銳角三角函數(shù)與圓綜合-中考數(shù)學復(fù)習題練習（教師版）

專題35銳角三角函數(shù)與圓綜合(解析版)

弟一部分反再酎析+針對劃［綜

類型一利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形

典例1(2022?三水區(qū)一模)如圖，已知RtZVlBC中，NBAC=90°,BC=6,AC=4√2,以A為圓心，AB

為半徑畫圓，與邊BC交于另一點

(1)求8。的長；

(2)連接A。，求ND4C的余弦值.

思路引領(lǐng)：(1)過點A作AHLBO于H,利用面積法求出AH,再利用勾股定理求出BH,由垂徑定理即

可解決問題；

(2)過點。作OM_LAC于M,利用面積法求出。M,再由勾股定理求出4M即可解決問題.

解：(1)過點A作A”,BO于”，如圖1所示：

VRtΔABC,ZBAC=90o,BC=6,ΛC=4√2,

.,.AB=y/BC2-AC2=Jβ2-(4√2)2=2,

11

V-ABMC==BC?AH,

22i

.AB-AC2×4√24π

BH=y∕AB2-AH2=J22-(∣√2)2=|,

`:AHIBD,

2

-

3

4

-

3

(2)過點。作OMJ_AC于"，如圖2所不:

由⑴得：ΛW=^√2,80=或AB=2,

414

，AD=AB=2,CD=BC-BD=6-三=苛,

11

,:-AH?CD=4DM?ΛC,

22

.AHCDWgX竽14

..DM=-=--÷-=E

AC4√f29

在Rt△4￡)〃中，由勾股定理得：AM=>JAD2-DM2=∣22-(?y)2=∣√2,

總結(jié)提升：本題考查了勾股定理、解直角三角形、垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用面積法解決

問題，屬于中考?？碱}型.

針對訓練

L（2021秋?湖州期末）如圖，在RtZiABC中，NAQ3=90°,AC=4tanΛ=?.以點C為圓心，。長為

f4

半徑的圓交AB于點。，則4。的長是（)

73

A.1B.-C.一D.2

52

思路引領(lǐng)：根據(jù)已知易求BC,AB的長,進而可以求出直角三角形斜邊上的高，所以想到過點C作CE

1AB,垂足為E,利用等面積法求出CE,然后放在Rt中，利用勾股定理求出BE,再利用垂徑定

理求出BD,最后求出AD即可.

解：過點C作CELAB,垂足為E,

在RtZ?ABC中,NAC3=90°,AC=4,tanA=

,BC3

??—―,

AC4

.*.BC=3,

：.AB=y∕AC2+BC2=√32÷42=5,

?/∕?ABC的面積=*AB?CE=∣ΛC?βC,

Λ5CE=12,

12

.'.CE=虧'

在RtABCE中，BE=√BC2-CE2=∣32-(?)2=1,

*：CELBD,

,BD=2BE=拳

-1o7

.?AD=AB-80=5一等=g

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形，垂徑定理，根據(jù)題目的已知條件添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?鄲州區(qū)期末）如圖，OO是AABC的外接圓，點。在BC延長線上，且滿足∕C4O=NB.

（1）求證：40是。。的切線；

（2）若AC是NBAO的平分線，SinB=|,BC=4,求Oo的半徑.

思路引領(lǐng)：（1）連接。4,OC與AB相交于點E,如圖，由OA=OC,可得/OAC=/OCA,根據(jù)圓周

角定理可得4B=^NZOC,由已知∕CAO=∕8,可得∕AOC=2∕CAO,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得N

OCA+ZCAO+ZAOC=?S0o,等量代換可得NCAO+NC4O=90°,即可得出答案；

（2）根據(jù)角平分線的定義可得NBAC=ND4C,由已知可得/BAC=NB,根據(jù)垂徑定理可得，OCLAB,

BE=AE,在RtZsBEC中，根據(jù)正弦定理可得SinB=蓋=竿=,，即可算出CE的長度，根據(jù)勾股定理

可算出BE=一C/的長度,設(shè)。。的半徑為r,則CE=OC-CE=r—竽，在Rtz?AOE中，OA2^

OE1+AE1,代入計算即可得出答案.

證明：（1）連接。A,OC與AB相交于點E,如圖,

9

：OA=OCf

：.ZOAC=ZOCA,

λ

?AC=ACf

1

ΛZ-B=-^Z-AOCy

ZCAD=ZB9

：.ZA0C=2ZCADf

VZOCA+ZCAO+ZAOC=↑S0o,

，2NCAo+2NCAo=I80°,

???NC40+NCAZ）=90°,

ΛZOAD=90Q,

???OA是Oo的半徑，

???A。是。。的切線；

解：（2）:SC是N84。的平分線,

NBAC=ZDACf

ZCAD=ZB9

：.ZBAC=ZBf

：.OC±ABfBE=AE,

在Rt中，

VBC=4,

CE_CE_3

.*.sinB=BC=^=59

：.BE=y∣BC2-CE2=P?-（第2=M

設(shè)。。的半徑為r,則CE=OC-CE=r-節(jié),

在RtAAOE中，

OA2=OE2+AE2,

J=（T2+管）2,

解得：r=?.

總結(jié)提升：本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，垂徑定理及解直角三角形，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定,

垂徑定理及解直角三角形的方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵.

類型二利用直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形

典例2（2022?通遼）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A,B,C都在格點上，以AB為直徑

的圓經(jīng)過點C,D,則cosZADC的值為（）

思路引領(lǐng)：由格點構(gòu)造直角三角形，由直角三角形的邊角關(guān)系以及圓周角定理可得答案.

解：YAB為直徑，

ΛZzlCB=90°,

又二點A,B,C都在格點上,

ZADC^ZABC,

在RtZ?ABC中,

.,BC33√∏...,

COSZz.ADoCr==—~~——-=[3=COSz≤ΛDrCrτ

J32+22

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系，掌握圓周角定理以及直角三角形的邊角關(guān)系

是正確解答的前提.

針對訓練

1.（2021?東?？h模擬）如圖，某廣場上有一塊半徑125米的圓形綠化空地OO,城市管理部門規(guī)劃在這塊

空地邊緣順次選擇四點：A,B,C,D,建成一個從A-B-C-C-A的四邊形循環(huán)健身步道（步道寬度

忽略不計）.若NA=90°,ZB=53.2o,AB=200米.

（1）求步道的長；

（2）求步道圍成的四邊形ABC。的面積.（參考數(shù)據(jù)：sin53.成QO.80,cos53.2o≈0.60）

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑可得BO是。O的直徑，根據(jù)勾股定理即可求解；

（2）過點A作AEJ_BC于點E,過點。作AE于點F,解直角三角形求出AE、BE、AF、。尸的長,

證出四邊形8尸E是矩形，即可求得四邊形ABC。的面積.

解：（1）連接BD，

VZA=90°,

,B。是。。的直徑，

ΛBD=125×2=250（米）,

VΛB=200米，

.?AD=-JBD2-AB2=√2502-2002=150（米），

答：步道AO的長是150米；

（2）過點4作AELBC于點E,過點。作DFlAE于點F,

在RtZVlBE中，/8=53.2°,AB=200米,

."E=A8?sin53.2°=200X0.80=160（米）,

BE=AB?cos53.2°≈200×0.60=120（米），

；NBAE+NABE=NBAE+ND4F=90°,

.?.ZOΛF=ZABE≈53.2o,

在RtAADA中，DF=AD?sin53.2°g150X0.80=120（米）,

.?AF=90（米），

.'.EF=AE-AF^lO（米），

'JAELBC,DF±AE,NBCo=90°,

四邊形CZ）FE是矩形，

11

，四邊形的面積為：-X120X160+120X70+^X12O><90=23400（平方米）.

2Z

答：步道圍成的四邊形ABC。的面積是23400平方米.

總結(jié)提升：此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，以及圓周角定理，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握半圓

（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

類型三利用圓周角定理把角轉(zhuǎn)化到直角三角形中

典例3（2021春?中原區(qū)校級月考）如圖，。是AABC的BC邊上一點，連接A。，作aABO的外接圓，將

△AQC沿直線AO折疊，點C的對應(yīng)點E落在圓。上.

（1）求證：AE=AB;

（2）填空：

①當/C4。=°時，四邊形OBEZ）是菱形.

1

②當NCAB=90°,cosZADB=j,BE=2時，BC=.

C

思路引領(lǐng)：（1）利用折疊的性質(zhì)得出AC=AE,/C=NAEZ）,再判斷出NC=∕ABC,得出AB=AC,

即可得出結(jié)論；

（2）①先判斷出AAOQ是等邊三角形，得出NAQO=60°,進而求出NAQE=I20°,再求出NC=N

ABC=ZDAC=30o；

②先求出EF=1,再判斷出NAEB=NAD3,利用銳角三角函數(shù)求出AE進而求出AB,即可得出結(jié)論.

(1)證明：由折疊知，AC=AE,ZC=ZAED.

?/ZABC=NAED,

.?.ZC=ZABC1

：.AB=AC,

：.AE=AB;

(2)解：①如圖，

CK

???四邊形AOEQ是菱形，

：?DE=OA=AD,

連接OD,

???OA=OO,

'.AD-OA=OD,

，Zvioo是等邊三角形，

ΛZADO=6QQ,

同理：ZODE=GOo,

ΛZADE=ZADO+ZODE=UOo,

山折疊知，CD=DE,ZADC=ZADE9

：.ZADC=120°,

YAD=DE,

工CD=AD,

/.ZCAD=ZC=I(180o-ZADO=30°,

故答案為：30°.

②如圖，過點A作4尸，8E于尸,

由（1）知，AE=AB,

；.EFMBE=1,

1

?/ZADB=NAEB,cosZADB=?,

cosNAEB=4，

1

在RtZX4尸E中，cosZAEB==?,

.".AE=3EF=3,

由（1）知，AE=AB,

."B=3,

由（1）知，A5=AC,

VZCAB=WQ,

：.BC=√2Λβ=3√2,

故答案為：3√2.

總結(jié)提升：此題是圓的綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，菱形的性質(zhì)，等

邊三角形的判定和性質(zhì)，求出NAoC是解本題的關(guān)鍵.

針對訓練

L（2019?臨河區(qū)―-模）如圖，已知AB是O。的直徑，點C,。在00上，且AB=6,BC=3,則tanNAQC

的值為.

思路引領(lǐng)：先利用圓周角定理得到NAC8=90°,再利用勾股定理計算出AC=3√1利用正且的定義得

至IJtanNABC=百，然后根據(jù)圓周角定理得到N4OC=N48C,從而得至∣Jtan/ADC的值.

解：YAB是。。的直徑，

ΛZACB=90o,

在RtΔACB中，AC=>JAB2-BC2=√62-32=3√3,

..,4C3和p：

??IanZz-AboγC==3=V3,

,:AADC=ZABC,

tanNAQC=V3.

故答案為W?

總結(jié)提升：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所

對的圓心角的一半.推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.也考

查了解直角三角形.

2.(2019春?西陵區(qū)期中)如圖，已知AO是OO的直徑，弦BD=弦BC,經(jīng)過點B作Oo的切線交的

延長線于點E.

(1)求證：NEBD=NCAB；

(2)若BC=√I,AC=5,求sin/CBA.

思路引領(lǐng)：(1)連接。8,根據(jù)切線的性質(zhì)得出NoB∕)+∕EBO=90°,由圓周角定理得出NCAB=/BAO,

ZABO+ZOBD=90°,即可證得/EftD=NABO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證得NO48=NO8A,從

而證得結(jié)論；

(2)連接CC,交OB于M,根據(jù)垂徑定理得出OBLCQ,CM=DM,然后根據(jù)三角形中位線定理求得

OM=4,然后G根據(jù)勾股定理得出人(-)2=(√3)2-(r-?)2.解得，=3,解直角三角形求得Sin

222

NAoC=若=|,根據(jù)圓周角定理NCBA=NAOC,即可求得SinNeBA=/

(1)證明：連接08,

是Oo的切線，

:,OBLBE,

：.NoBD+NEBD=90°,

：AD是Oo的直徑，

ΛZABD=90°,

ΛZAB0+Z0BD=9Q°,

."EBD=NABO,

?：OA=OB,

：.ZOAB^ZOBA,

.".ZOAB=ZEBD,

■:弦BD=弦BC,

：.BC=BD,

：.ZCAB^ZBAD,

；.NEBD=NCAB；

(2)解：連接Cz),交OB于M,

VBC=BD,

：.OBLCD,CM=DM,

'：OA=OD,

：.OM=∣AC=

設(shè)圓的半徑為r,

.*?BM=r-0,

?：BD=BC=√3,

?/OD1-OM2=BD1-BM2,

.?∕-(?)2=(√3)2.(,,_5)2

22

解得r=3或r=—*(舍去)，

ΛAD=2r=6,

TAD是。。的直徑，

ΛZACD=90o,

ACCi

.'.SinZADC=而=石，

λ

:ZCBA=ZADCf

JsinNCBA=Z

總結(jié)提升：本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

類型四利用切線與相關(guān)半徑的關(guān)系構(gòu)造直角三角形

典例4(2022?通遼)如圖，在RtaAOB中，/408=90°,以。為圓心，OB的長為半徑的圓交邊AB于

點￡>,點C在邊OA上且CO=AC,延長CQ交OB的延長線于點E.

(1)求證：CZ)是圓的切線；

(2)己知sin∕OCO=g,Aβ=4√5,求AC長度及陰影部分面積.

思路引領(lǐng):⑴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余以及等量代換得出NOQB+NBQE=90°,

即。OLEC,進而得出EC是切線；

(2)根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求出OD、CD、AC、OC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出EC,根

據(jù)S陰影部分=SZXCOE-S扇形進行計算即可.

(1)證明：如圖，連接OD,

YAC=CD,

：,/A=NADC=NBDE,

VZAOB=90o，

ΛZA+ZABO=90o，

又：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.NODB+NBDE=90°,

即ODLEC,

：0。是半徑，

，EC是Oo的切線：

4

(2)解：在RtZ?COO中，由于sin/OC。=*

設(shè)Oo=4x,則OC=5x,

：.CD=y∕0C2-0D2=3x=AC,

在RtZXAOB中，OB=0Q=4x,OA=OC+AC=Sx,AB=4√5,由勾股定理得,

OB2+OA2=AB2,

BP：(4x)2+(8x)2=(4√5)2,

解得x=l或X=-1(舍去)，

.?.AC=3x=3,OC=5x=5,O8=OZ)=4x=4,

YNOOC=NEoC=90°,NOCD=NECO,

:ACODsACEO,

OCCD

EC~OC

53

即一=一,

EC5

25

LEC=

T,

二?S陰影部分=SACOE-S扇形

12590T?！?2

2xT×4-360

50

—4π

T

50-12π

-3-

50-12π

答：AC=3,陰影部分的面積為

3

E

總結(jié)提升：本題考查切線的判定，扇形面積的計算以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握切線的判定方法，

直角三角形的邊角關(guān)系以及扇形、三角形面積的計算方法是正確解答的前提.

針對訓練

1.（2019?東河區(qū)二模）如圖，在aABC中，AB=AC,以AC邊為直徑作。。交BC于點。，過點。作

的切線，交AB于點E,交AC的延長線于點F；若半徑為3,且SinNCf'。=右則線段AE的長是（）

思路引領(lǐng)：連接。。，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的判定得到0?！?&再根據(jù)切線的性質(zhì)得

至∣JOCD尸，則AELER接著在RtZ?OOF中利用正弦的定義求出0F=5,然后在RtZVkM中利用正弦

定義可求出AE的長.

解：連接0/九如圖，

9

JAB=ACf

LNB=NACB,

9

：OC=OD1

：.AOCD=AODC,

：.ZB=ZODC,

:,OD//AB,

???。尸為切線，

：.ODl.DF,

：.AELEF1

在RtD尸中,TsinNCFD=器=5,OD=3,

Λ0F=5,

ΛΠ?

在RtAAEF中，VsinZF=養(yǎng)=*

324

ΛAE=≡(3+5)=會

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的

半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了解直角三角形.

第二部分專題理優(yōu)別綜

1.（2022?東城區(qū)二模）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A,B,。在格點上，以AB為直徑的圓過C,

O兩點，則sin/BCD的值為

思路引領(lǐng)：連接AQ、8Z）,根據(jù)圓周角定理得到NAOB=90°,NBCD=NBAD,根據(jù)勾股定理求出A8,

根據(jù)正弦的定義解答即可.

解：連接A。、BD,

為圓的直徑，

ΛZADB=90°,

."B=√?D2+BD2=√42+32=5.

.".SmZBAD=器=

由圓周角定理得：ZBCD=ZBAD,

3

.'.SinZBCD=耳，

總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形、圓周角定理，熟記正弦的定義、掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?青白江區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系Xoy中，已知RIZ?A8C可運動（平移或旋轉(zhuǎn)），且NC

=90o,BC=√5+4,tanA=j,若以點M（3,6）為圓心，2為半徑的OM始終在AABC的內(nèi)部，則4

ABC的頂點C到原點O的距離的最小值為.

思路引領(lǐng)：如圖，設(shè)。M與AC相切于點J,與AB相切于點T,連接OC,MJ,MT,延長交AB于

F.解直角三角形求出CM,OM,根據(jù)OCNOM-CM即可解決問題.

解：如圖，設(shè)。例與4C相切于點J,與A8相切于點T,連接0C,MJ,MT,延長交48于F.

),

-o∣氣

VAC,AB是。。的切線，

：.MJ±AC,MTLAB,

，NA/M=/ATM=90°,

ΛZA+ZJΛ∕7'=180o,

"：AJMT+ΛFMT=?^a,

ZA=ZFMT,

.*.tanA=tanZFMT=

?.?MT=2,

TF=1,FM=√MΓ2+FT2=√22+I2=√5,

：.JF=MJ+MF=2+赤,

ΛAJ=2Λ∕=4+2√5,

?.SC=2BC=8+2√5,

.?.C∕=4,

VZC√Λ∕=90o,

,2222

..CM=yjCJ+MJ=√4+2=2√5,

'：M(3,6),

：.OM=√32+62=3√5,

,：OC-OM-CM,

ΛOC≥3√5-2√5,

.?.0C≥√5,

二OC的最小值為的.

故答案為

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形，切線的性質(zhì)，坐標由圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題

意，學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

3.（2020秋?上虞區(qū)期末）如圖，AB是。。的直徑，AB=4,P是AB延長線上一點，且BP=1,過點P作

一直線，分別交OO于C,D兩點,已知∕P=30°.

（D求Cz）與PC的長；

（2）連接BC,AD,求圓內(nèi)接四邊形ABCZ）的面積.

思路引領(lǐng)：（1）過點。作OHLCO于點H,連接OC,解直角三角形求得OH,PH,然后根據(jù)勾股定理

求得CH,進而即可求得CD和PC；

（2）求得aAPO和APBC的面積，進而即可求得四邊形ABC。的面積.

解：（1）過點。作OHLCO于點H,連接。C,

在RtPH中，NP=30°,Op=O8+8P=2+l=3,

ΛOH=∣0P=∣×3=1PH=OP?cos300=3x*=攣，

在RtAOHC中，CH=√0C2-OH2=J22-（1）2=號.

<CD=2CH,

：.CD=2×γ=√7.

：.PC=PH-HC=當-與=駕衛(wèi).

(2)由(1)知：PD=CD+PC=巾+3''^g=3等",β4=5,N尸=30°,

2

；?SAPBC=IPB?PC?si∏30°=^xl='S.=^PDPA-sin30°=?×

△“以22228△P匕AD*22

3√3+√715(3√3+√7)

---7：---Xsz5cXvK=-----7：----

.C_CC_5(3√3+√7)3√3-√7_6√3+3√7

四邊形ABCD~`APAD—XPBC-§§_4

D

總結(jié)提升：本題考查垂徑定理，解直角三角形以及勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積，通過解直角三角形

其實三角形的高是解題的關(guān)鍵.

4.(2022秋?思明區(qū)校級期中)如圖，AB與00相切于點B,AO交。0于點C,AO的延長線交C)O于點D,

E是玩力上不與8,。重合的點，ZΛ=30o.

(1)求NBEZ)的大小；

(2)若點尸在A8的延長線上，且8F=48,求證：Z)F與Oo相切.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)切線的性質(zhì)，得出乙480=90°,進而求出NAo8=60°,ZBOD=120°,再根據(jù)

圓周角定理得出答案；

(2)根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)可得AB=Z)B,進而得出Z)B=AB=BF,根據(jù)“三角形一邊的中線等

于這邊的一半，這個三角形是直角三角形”得出OOLO尸即可.

(1)解：連接。8,

,：AB與Oo相切于點B,

：.OBLAB,即∕A8O=90°,

VZΛ=30o,

ΛZAOB=90o-30°=60°,

.?.Z8OO=180°-60°=120°,

二NBED=aNBOO=60°,

(2)證明：連接8力，

VOB=OD,ZBOD=MOo,

/.ZODB=?(180°-60°)=30°=ZA,

：.AB=DB,

又YAB=BF,

：.DB=AB=BF,

.?.△4。尸是直角三角形，

即/AOF=90°,

'：ODYDF,。。是半徑,

。尸是。。的切線.

總結(jié)提升：本題考查切線的性質(zhì)和判定，圓周角定理以及等腰三角形、直角三角形性質(zhì)，掌握切線的性

質(zhì)和判定方法，圓周角定理以及等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)是正確解答的前提.

5.(2020秋?平邑縣期末)如圖，已知A8是OO的直徑，點P在BA的延長線上，PZ)切OO于點。，過點

B作BELPD,交尸。的延長線于點C,連接4。并延長，交BE于點E.

(1)求證：AB=BE;

(2)如果尸O=2√lZABC=60°,求BC的長.

思路引領(lǐng)：(1)連接O。，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OOJ_PC,則可判斷。O〃8E,所以Nor>A=∕E,

加上NoDA=NOAQ,所以NoAo=NE,然后根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論；

(2)利用0￡>〃8E得到/OOP=NA8C=60°,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到0Q=2,PO

=4,則P8=6,然后在RtZ?PBC中利用∕P=30度得到BC的長.

(1)證明：連接OD,如圖，

：PZJ切。。于點。，

：.ODI.PC,

*：PC.LBEf

：.OD//BE,

：.ZODA=ZEt

YOA=OD,

.'.ZODA=ZOADf

：.ZOAD=ZEt

：.AB=BE；

(2)解：*：OD//BE9

ΛZDOP=ZABC=60Q,

在RtZ?POO中，VZP=90o-NPOC=30°，

：.OD=*D=?×2√3=2,

，尸O=2OQ=4,

,PB=PO+OB=6,

↑

在RtZ?P8C中，BC=^PB=3.

總結(jié)提升：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了含30度的直角三角形三

邊的關(guān)系.

6.(2022?松陽縣二模)如圖，已知以AB為直徑的半圓，圓心為O,弦AC平分/84。，點/)在半圓上，

過點C作CELAO,垂足為點E,交A8的延長線于點F.

(1)求證：EF與半圓。相切于點C.

(2)若A0=3,BF=I,求Ian乙4CE的值.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)垂直定義可得NE=90°,再利用角平分線和等腰三角形的性質(zhì)可證A七〃OC然后

利用平行線的性質(zhì)可求出Nob=90°,即可解答；

(2)根據(jù)已知可求出。/=5,AF=8,再在Rt2?OCb中，利用勾股定理求出C/=4,然后證明4字模

型相似三角形AFC0S∕V7E4,從而利用相似三角形的性質(zhì)求出AE,EF的長，最后在RtCE中，利

用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答.

9

(1)證明：?CEJLAD9

ΛZE=90o,

:4C平分NBA。，

/.ZEAC=ZCAOf

9：OA=OC,

：.ZCAO=ZACO,

.?ZEAC=ZACO,

.?AE∕∕OC,

.u.ZE=ZOCF=90o,

YOC是半C)O的半徑，

JE/與半圓。相切于點C

(2)VA0=3,BF=2,

：.OF=OB+BF=5,OC=3,

：.AF=OFWA=Sf

YNOC尸=90°,

:.CF=√OF2-oc2=√52-32=4,

YNE=NoCr=90°,ZF=ZF,

：ZCOsXFE