蘇州三校2023-2024學年高二年級上冊12月聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學試題含答案

蘇州三校2023-2024學年高二上學期12月聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學試題

2023-2024學年高二年級12月三校聯(lián)合調(diào)研測試

數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.）

1.已知等比數(shù)列｛4｝中，％=1,4=-8,則公比4=（）

A.2B.-4C.4D.-2

2.已知過A。％2）,3（-加,機-1）兩點的直線的傾斜角是45°,則A5兩點間的距離為（）

A.2B.V6C.2啦D.3亞

3,直線3%+切-2n1=0平分圓C：x2+2x+y2-2y=0,則〃z=（）

3

A.-B.1C.-1D.-3

2

22_

4.設雙曲線三-%=1（。〉0力〉0）的虛軸長為2,焦距為26，則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±41xB.y=±2xC.y=+—xD.y=±—x

22

22

5.橢圓三+匕1中以點“（2,1）為中點的弦所在直線斜率為（

92

4

A.——Bc立D.

9-I.V

22

y

6.已知耳（-GO）,馬（c,0）是橢圓C：二+=的左、右焦點，若橢圓C上存在一點P使得

a

尸耳?尸乙=02,則橢圓。的離心率e的取值范圍是（）

V3V2

B.5萬

7.過動點尸（。,與（。70）作圓C：/+（、—4百『=3的兩條切線，切點分別為人，8,且NAPB=60。,

b

則一的取值范圍是（）

a

院-可U6｝

——,+8D.+oo

I3」.3>

72n+l

b

8.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足qH—。2H—+,??H—%="2+〃N+）,設數(shù)列也｝滿足:n=-----，數(shù)

aa

23nnn+l

列也｝的前幾項和為北，若（（二六叱叫丁恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

2)

n+1

13

A.—,+coB.—,+coD.

448*

二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）

9.下列說法正確的是（）

A,直線x-y-2=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2

B.點（0,2）關(guān)于直線y=x+1的對稱點為（1,1）

C.過（玉,%）,（4，%）兩點的直線方程為三江=三土

%—M入2—玉

D.已知點尸（1,2）,向量沅=/百,1）,過點尸作以向量而為方向向量的直線為/,則點A（3,l）到直線/

的距離為1-3

2

10.已知橢圓工+上=1上一點P,橢圓的左、右焦點分別為居，則（）

259

A.若點P的橫坐標為2,則PFj=—

B.尸月的最大值為9

C.若/耳尸居為直角，則6耳的面積為9

/

5s5尸

D.若/耳尸工為鈍角，則點尸的橫坐標的取值范圍為丁，丁,

%+2,〃為奇數(shù),

11.已知數(shù)列｛4｝滿足％=2,an+1設a=?”,記數(shù)列｛凡｝的前2”項和為S2n，

2a”〃為偶數(shù)

數(shù)列也｝的前幾項和為北，則（)

A.a5=20B.2=3x2"

C.7；=—2〃—6+3x2"”D.S,=—6〃—12+3X2"2

Zn

X2y2

12.畫法幾何的創(chuàng)始人法國數(shù)學家蒙日發(fā)現(xiàn):在橢圓C:二+=1（。〉）〉o）中，任意兩條互相垂直

ab2

的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長、短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓

就稱為橢圓C的蒙日圓，其圓方程為x2+y2=/+b2.已知橢圓C的離心率為逅，點A,2均在橢圓c

3

上，直線/:Zu+ay—4=0,則下列描述正確的為（）

A.點4與橢圓C的蒙日圓上任意一點的距離最小值為6

B.若/上恰有一點尸滿足：過P作橢圓C的兩條切線互相垂直，則橢圓C的方程為土+丁=1

3

C.若/上任意一點。都滿足誣.9〉。，則0<6<1

D.若6=1,橢圓C的蒙日圓上存在點M滿足也1MB,則0408面積的最大值為火

2

三、填空題（本大題共4小圓，每小題5分，共20分）

13.在等差數(shù)列｛4｝中，Sn為前n項和，2%=4+5，則51=.

22

14.已知點尸為橢圓C：/+1_=1上一點，點的，月分別為橢圓C的左、右焦點，若歸周=2|尸&],

則鳥的內(nèi)切圓半徑為

15.已知圓M經(jīng)過A（2,一百）,3（2,百）,C（—1,0）.若點P（3,2），點Q是圓M上的一個動點，則說.麗

的最小值為.

22

16.已知雙曲線C：——a=1（?！?]〉0）的左、右焦點分別為打，工，過點耳作傾斜角為30。的直線

/與C的左、右兩支分別交于點尸，Q,若0,則C的離心率為

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

17.已知數(shù)列｛4｝滿足：q=2,%=4,數(shù)列｛4-“｝為等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)求和：Sn=al+a2+---+an.

18.已知圓+—2『=1,直線/過原點。(0,0).

(1)若直線/與圓M相切，求直線/的方程；

(2)若直線/與圓M交于尸，。兩點，當口加「。的面積最大時，求直線/的方程.

19.如圖，已知A(6,6G)，3(0,0),C(12,0),直線/：(左+G)x—y—2左=0.

n

(i)證明直線/經(jīng)過某一定點，并求此定點坐標；

(2)若直線/等分DABC的面積，求直線/的一般式方程;

(3)若P(2,2g),李老師站在點P用激光筆照出一束光線，依次由(反射點為K)、AC(反射點

為/)反射后，光斑落在尸點，求入射光線PK的直線方程.

20.已知兩定點耳卜3,0),乙(2,0),滿足條件|庵而|=2的點尸的軌跡是曲線E,直線丁=依-1

與曲線E交于A,8兩個不同的點.

(1)求曲線E的方程；

(2)求實數(shù)上的取值范圍；

(3)若|45|=66，求直線AB的方程.

21.設數(shù)列｛4｝的前九項和為"，且S“=2a,—2向，數(shù)列也J滿足%=log,4,其中“eN*.

n+1

(1)證明為等差數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項公式;

T

⑵求數(shù)列島的前"項和為小

、(1)(11(1)

(3)求使不等式1+1,1+—1+——>m-,對任意正整數(shù)〃都成立的最大實數(shù)機的

值.

22.已知橢圓C的中心在坐標原點，兩焦點耳，耳在x軸上，離心率為《，點尸在C上，且△尸可心的周長

為6.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點又（4,0）的動直線/與C相交于A,B兩點,點B關(guān)于x軸的對稱點為。，直線4。與x軸的交

點為E,求DABE的面積的最大值.

2023-2024學年高二年級12月三校聯(lián)合調(diào)研測試

數(shù)學試卷

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.)

1.已知等比數(shù)列｛%｝中，％=1,4=-8,則公比4=()

A.2B.-4C.4D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的知識求得正確答案.

33

【詳解】依題意a4=a[q=q=-8,q=-2.

故選：D

2.已知過A(m,2),3(-加,加-1)兩點的直線的傾斜角是45。，則A5兩點間的距離為()

A.2B.V6C.2啦D.3亞

【答案】C

【解析】

【分析】利用傾斜角求出根=1,然后利用兩點間距離公式即可得出答案.

m—1—2

【詳解】由題知，--------=tan45°=l,

-m-m

解得根=1,故A(1,2),B(-1,0),

22

則A,3兩點間的距離為^(-1-1)+2=272.

故選：C

3.直線3%+5-2加=0平分圓C：x2+2x+y2-2y=0,則加=()

3

A.-B.1C.-1D.-3

2

【答案】D

【解析】

【分析】求出圓心，結(jié)合圓心在直線上，代入求值即可.

【詳解】/+2%+/—2y=0變形為(x+iy+(y—I1=2,故圓心為(一1』)，

由題意得圓心（T,l）在3%+切-2根=0上，故一3+加一2加=0,解得力=一3.

故選：D

22

4.設雙曲線券=l（a〉0]〉0）的虛軸長為2,焦距為26，則雙曲線的漸近線方程為（）

/，I

A.y—+-\/2xB.y=i2xC.y=±----xD._y=+—x

''"22

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意得到6=1,c=B進而得到a=0，求出漸近線方程.

【詳解】由題意得26=2,2c=2右，解得6=1,c=A

故a=y]c2-b2=41，

故雙曲線漸近線方程為y=±-x=+-X.

a2

故選：C

22

5.橢圓+=1中以點M（2,l）為中點的弦所在直線斜率為（）

A_iR1c@DS

9233

【答案】A

【解析】

【分析】先設出弦的兩端點的坐標，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率.

【詳解】設弦的兩端點為4（%，%）,B5,%）,

(22

江+&=1

代入橢圓得《92

22

尤2+%_]

--------1--------_i

[92

兩式相減得T3+T二L。,

即(%-々)(4+%)=(%—%)(%+%)

92

即—2尸\二

9(%+%)占一%2

2x4%-%

即-------=——工■

9x2x1-x2

y-y4

即二}二2一5

4

，弦所在的直線的斜率為-

故選:A.

22

6.已知耳（-GO）,8億0）是橢圓。：二+與=l（a〉6〉0）的左、右焦點，若橢圓。上存在一點尸使得

ab

尸耳?尸耳=02,則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）

、

V341J3

A.B.C.D.

~2與

T'TF'F7

【答案】B

【解析】

【分析】

設點P的坐標，根據(jù)題意構(gòu)造齊次方程，計算即可.

22

【詳解】設尸（X。，幾），則3+當.=i（a>b>0）,

ah

,2、

???尤=廿「存

aJ

化為考一。2+4=。2,；.與+/72

-a2

2

V0<Xg<a2,AO<02.

解得走

32

故選：B

7.過動點尸（。/）（。*0）作圓C：必+卜一4百『=3的兩條切線，切點分別為A,8,且乙4尸8=60。，

b

則一的取值范圍是（）

a

【答案】D

【解析】

【分析】求出|PC|=2百，確定動點P（a,6）的軌跡方程，從而結(jié)合，表示圓好+卜―4G『=12上的點

與坐標原點連線的斜率，利用距離公式列出不等式，即可求得答案.

【詳解】由題意知圓C：V+b—46『=3的半徑為6，

因為A,B分別為兩條切線PA,的切點，且NAPB=60°,則NAPC=NBPC=30°,所以

|PC|=2|AC|=2V3,所以動點在圓必+｝一4G『=12上且awO,

?表示圓好+卜—4百『=12上的點與坐標原點連線的斜率，

設?=左，則直線y=&與圓必+卜―4百『=12有公共點，

V

由點到直線的距離公式可得<273,解得攵W-6或左2省,

收+1

故選：D

(A1110/\(7,J12Tl+1

8.已知數(shù)列｛a.｝滿足%+—a,+—q+…+—4="~,設數(shù)列也,｝滿足：bn=-----,數(shù)

2"3n41a“+i

列也｝的前幾項和為北，若7；<—、/(〃eN+)恒成立，則實數(shù)X的取值范圍為()

n+1

1B.1,+co3D.|,+8

A.—,+coC.-,+oo

48

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式，進一步利用裂項相消法求數(shù)列的和，最后利用函數(shù)的單

調(diào)性求出結(jié)果.

【詳解】數(shù)列｛%｝滿足qH—%—a3-----1—①

23n

.r111/T\2Y~

當〃>2時，〃]+5%+§。3+…"I-------~?！ㄒ?二(〃—1)+〃—1,②

1o

①一②得，一a”=2n,故a“=2rr,

n

,2n+l2/7+1if11

則"=------=-77~^7=7-~^2

anan+\4〃一(〃+1)4172(?+l)

41-(?+1)2

由于7；<—^X("eN+)恒成立,

1nc

故；1-<-----2,

n+1)~n+1

.n+211

整理得:彳〉------=—17-------r,

4〃+444(〃+1)

11

因二+隨〃的增加而減小,

44(〃+1)

113

所以當”=1時，了+五一不了最大，且為?

44(〃+1)8

3

即；I〉一.

8

故選：D

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.)

9.下列說法正確的是（）

A.直線x-y-2=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2

B.點（0,2）關(guān)于直線y=x+l的對稱點為（1,1）

C.過（七,力）,（々，%）兩點的直線方程為之》=三生

%一%工2一工1

D.已知點P（l,2）,向量而=（一百,1）,過點尸作以向量而為方向向量的直線為/,則點A（3,l）到直線/

的距離為1-@

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】由直線方程，求得在坐標軸上的截距，利用面積公式，可判定A正確；根據(jù)點關(guān)于直線的對稱的

求法，求得對稱點的坐標，可判定B正確；根據(jù)直線的兩點式方程的條件，可判定C錯誤；根據(jù)題意，求

得直線/的方程，結(jié)合點到直線的距離公式，可判定D正確.

【詳解】對于A中，令尤=0,可得y=-2,令y=0,可得x=2,

則直線x—y—2=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積S=^x2x2=2,所以A正確；

2

對于B中，設（0,2）關(guān)于直線y=x+1對稱點坐標為（m,n）,

則I叱,解得機=1/=1,所以B正確；

對于C中，直線的兩點式使用的前提是玉W%，%。%，所以C錯誤;

則過點尸的直線/的方程為y=—三（x—1）+2，即x+Gy—1—26=0,

，/…I3+V3-1-2V3I出

則點A（3,1）到直線I的距離d=I_____________?=1_也，所以D正確.

V1+32

故選：ABD.

10.已知橢圓三+上=1上一點P,橢圓的左、右焦點分別為4,B，則（）

259

A.若點P的橫坐標為2,則

B.尸耳的最大值為9

C.若/耳P耳為直角，則APFR的面積為9

D.若/耳尸耳為鈍角，則點尸的橫坐標的取值范圍為一己一，己一

（44）

【答案】BCD

【解析】

【分析】對A,可直接解出點P坐標，求兩點距離；

對B,。片最大值為a+c

對C,設PK=x,則尸8=10-x,列勾股定理等式，可求面積;

對D,所求點尸在以原點為圓心，。=4為半徑的圓內(nèi)，求出橢圓與該圓的交點橫坐標即可判斷.

【詳解】橢圓的長半軸為0=后=5,半焦距為°=岳=？=4，.??耳（一4,0）,工（4,0）

對A,x=2時，代入橢圓方程得，y=+^!lL,尸K=j±^T|+（2-4）2=?,人錯;

對B,尸片的最大值為。+c=9,B對；

對C,/耳尸月為直角，設Pf]=x,則尸8=10-x,則有％2+（1（）_》）2=82nx2-i0x+]8=o,

11Q

則△2￡鳥的面積為5%（10—X）=5=9,C對；

對D,以原點為圓心，c=4為半徑作圓，則耳耳為圓的直徑，則點尸在圓內(nèi)時，/耳尸工為鈍角，聯(lián)立

22

工+匕=15萬（5s5尸

259,消〉得％=土?匕，故點尸的橫坐標的取值范圍為一,D對.

24丁'丁

X+/=16I7

故選：BCD

為奇數(shù)，（）

11.已知數(shù)列｛4,｝滿足q=2,an+1為偶數(shù)’設記數(shù)歹3｝的前2”項和為S,

數(shù)列也｝的前〃項和為北，則（)

A.%=20B,2=3x2"

C.7；=—2〃一6+3x2""D.邑“=—6〃―12+3X2"+2

【答案】ACD

【解析】

【分析】分析?！?i與4的遞推關(guān)系，根據(jù)數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項、偶數(shù)項以及分組求和法求得\,S2“.

【詳解】依題意，%=q+2=4,%=2%=8,4=。3+2=1。,%=2%=20,A選項正確.

bx=a2=4^3x2',所以B選項錯誤.

aa+2=2a

當n為偶數(shù)時，?計2=n+M=n+ln+2，

所以4+2+2=2(4+2),而%+2=6,所以*+2=6x2"：%=6x2，—2,

=

以Tn=a?+〃4+,,,+|6+6x2+.??+6x22j—2〃

=60-2)—2n=一2〃_6+3x2'"i，所以C選項正確.

1-2

當n為奇數(shù)時，?！?2=4+i+i=2?！?1=2(*+2)=2an+4，

/、〃十1n—i

a

所以n+2+4=2((2n+4),而q+4=6,所以4+4=6X2可二?！?6x2h—4,

，n-\、

所以6+%+%+…+。2〃-1=6+6x2H—+6x22—4〃

I)

6(1-2,!)

—4〃=—4〃一6+3義2向

1-2

所以52'=(一4〃-6+3X2"M)+(—2〃—6+3X2"+I)=—6〃—12+3x2-2,所以D選項正確.

故選：ACD

【點睛】求解形如4+1=。4+［（。片1）的遞推關(guān)系式求通項公式的問題，可考慮利用配湊法，即配湊為

4+1+%=P（4+%）的形式，再結(jié)合等比數(shù)列的知識來求得4.求關(guān)于奇數(shù)、偶數(shù)有關(guān)的數(shù)列求和問題,

可考慮利用分組求和法來進行求解.

V2y2

12.畫法幾何的創(chuàng)始人?法國數(shù)學家蒙日發(fā)現(xiàn):在橢圓c：r+=1（?！等恕祇）中，任意兩條互相垂直

ab2

的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長、短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓

就稱為橢圓C的蒙日圓，其圓方程為尤2+丁=4+62.已知橢圓C的離心率為點A,8均在橢圓C

3

上，直線/:Zu+ay—4=0,則下列描述正確的為（）

A.點A與橢圓C的蒙日圓上任意一點的距離最小值為b

2

B.若/上恰有一點尸滿足：過P作橢圓C的兩條切線互相垂直，則橢圓C的方程為土+>2=1

3

C.若/上任意一點。都滿足諉.9〉0，則0<6<1

D.若6=1,橢圓C的蒙日圓上存在點M滿足也1MB,則口4。8面積的最大值為立

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓上點到原點最大距離為。，蒙日圓上的點到橢圓上點的距離最小值為半徑減去?？膳袛郃,

利用相切列出方程即可求得橢圓的方程，可判斷B,分析可得點。應在蒙日圓外，解不等式從而判斷C,依

據(jù)題意表示出面積表達式并利用基本不等式即可求出面積最大值，可判斷D.

【詳解】由離心率e=￡=逅，且/=。2+°2可得/=3/,

a3

所以蒙日圓方程V+9=4/；

對于A,由于原點。到蒙日圓上任意一點的距離為2"原點O到橢圓上任意一點的距離最大值為

a-y/3b，

所以橢圓C上的點A與橢圓C的蒙日圓上任意一點的距離最小值為（2-6）。,即A錯誤；

對于B,由蒙日圓定義可知：直線+—4=0與蒙日圓V+y2=4b2相切，

|-4|4

則圓心到直線I的距離為,11=—=2&,解得6=1；

J/+/2b

所以橢圓C的方程為二+丁=1,即B正確；

3

TT

對于C,根據(jù)蒙日圓定義可知：蒙日圓上的點與橢圓上任意兩點之間的夾角范圍為0,-,

若若I上任意一點Q都滿足QAQB>0,可知點Q應在蒙日圓外，

|-4|4

所以此時直線/與蒙日圓d+y2=462相離，即II=F>2b,解得—

J/+―2b

又a〉6〉0,所以可得0<6<1,即C正確.

2

對于D,易知橢圓C的方程為（+>2=1,即/+3,2=3,蒙日圓方程為爐+產(chǎn)=4,

不妨設〃（分,九），因為其在蒙日圓上，所以片+/=4,

設又也1MB,所以可知與橢圓相切，

此時可得直線MA的方程為％x+3為y=3,同理直線MB的方程為+3〉2y=3;

=3

將〃（x0,九）代入MA,MB的直線方程中可得<

=3,

所以直線A3的方程即為x0x+3%y=3,

］，消去y整理可得（片+3端必—6/x+9—9>；=0；

聯(lián)立《

由韋達定理可得％+々，再%2=~~~~2，

玉）+3%%+3%

所以|AB|=

2+y；

y0J3%)

J3

原點。到直線AB的距離為d=J.2+斤

]_

因此0408的面積SUAOB=^\AB\-d

2

3l1+2y；31

=-x——=——x

2￡+2y；)+122.

+2a+24

22

13

當且僅當萬訴薪，即"1時等號成立,

因此口A06面積的最大值為即D正確;

2

故選：BCD

【點睛】方法點睛：在求解橢圓中三角形面積最值問題時，經(jīng)常利用弦長公式和點到直線距離公式表示出

三角形面積的表達式，再利用基本不等式或函數(shù)單調(diào)性即可求得結(jié)果.

三、填空題（本大題共4小圓，每小題5分，共20分）

13.在等差數(shù)列｛4｝中,S,為前〃項和，2%=4+5,則%=.

【答案】55

【解析】

【分析】根據(jù)下標和性質(zhì)求出4,再根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式及下標和性質(zhì)計算可得.

【詳解】在等差數(shù)列｛4｝中2%=%+5，又2%=%+。6，所以4=5，

所以==n

11226

故答案為：55

22

14.已知點P為橢圓C：+=1上一點，點耳，片分別為橢圓C的左、右焦點，若|「凰=2|尸引，

則△「4心的內(nèi)切圓半徑為

【答案】2^1##-715

55

【解析】

【分析】首先求歸國,|尸閭的值，再求△尸耳耳的面積，再利用三角形內(nèi)切圓的半徑表示面積，即可求解.

【詳解】因為|「片|+|P《|=2a=6,|「片|=2|產(chǎn)乙|,所以|「片|=4,||=2,

0?=9—5=4,|耳心|=2c=4,則|耳居|=|「41=4,

等腰△尸耳乃邊P耳上的高人=V42-l2=V15，

所以與PFF=-x2xV15=V15,

urrlr2）

設□尸鳥鳥的內(nèi)切圓半徑為「，則g（|p昂+|p鳥|+W《|）xr=gxlOxr=JI?,

所以廠=15.

5

故答案為：叵.

5

15.已知圓M經(jīng)過A（2,—1,0）.若點P（3,2）,點Q是圓M上的一個動點，則說.而

的最小值為.

【答案】4-472

【解析】

【分析】先利用待定系數(shù)法求出圓的方程，再利用數(shù)量積的運算律轉(zhuǎn)化結(jié)合數(shù)量積的定義求出.

【詳解】設圓M的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=Q,

由于圓經(jīng)過A（2,一6卜B（2,V3）,C（-l,0）,

7+2D-y/3E+F=0[D=-2

所以有17+2D+GE+R=0,解得｛石=0,

l-D+F=0[F=-3

所以圓M的一般方程為好+爐―2x—3=0,即標準方程為（x-l『+y2=4.

則圓M的圓心M（1,0）,半徑「=|"。|=2,

且\MP\=^（3-1）2+（2-0）2=2V2，

因為=MQ-IMQ-MP\=MQ-MQ-MPN4-2X2^2=4-川2,

當且僅當說與訴同向時，等號成立，

所以而?而的最小值為4-4A/L

故答案為：4-472-

22

16.已知雙曲線C：5―%=1（?！?]〉0）的左、右焦點分別為F2,過點大作傾斜角為30°的直線

/與C的左、右兩支分別交于點尸，Q,若=0,則C的離心率為.

【答案】V2

【解析】

【分析】由:苗+崗；（可—板）=0,NPgQ的平分線與直線PQ垂直，結(jié)合圖像，根據(jù)雙曲線

的定義，找出各邊的關(guān)系，列出等式，求解.

【詳解】依題意，由=0,

如圖，設NP鳥。的平分線鳥。與直線PQ交于點，

則=ZF2DP=ZF2DQ=9Q0,又工|=|。工|,

所以△PrqgAQD乙，所以|產(chǎn)必=也必，|尸閭=

由題得耳（一〈0）,居（c,0）,設|。得|=。，|。闖=s,|尸耳|=寸,

在Rt△。耳工中，/耳。工=90°,ZDF^=30°,則/i=c,|。娟=/0,

QjpJ—Q工|=|尸°|+1—s=2〃??

由雙曲線的性質(zhì)可得JJ11,,解得PQ=4a,

SQ

PF2\-尸甲=7=2

則|尸。=|。。|=2%所以在RSQ。工中，5=商+（2〃『,

又％=耳|一|尸￡）|=百。一2〃，s-t=2a,所以Jc?+（2Q/一（6C—2〃）=2a，

即打+函=&,整理得2/=02,所以6=?=行.

故答案為：V2

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

17.已知數(shù)列｛4｝滿足：q=2,&=4,數(shù)列為等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求和：Sn=<2j+tZ2H---FCln.

【答案】(1)n+2"-1

11

(2)-n92+-n+T-1

22

【解析】

【分析】(1)首先求出%-1,%-2,即可求出等比數(shù)列｛氏-，｝的通項公式，從而求出｛4｝的通項公

式；

(2)利用分組求和法計算可得.

【小問1詳解】

因為q=2,%=4,數(shù)列｛?！耙弧保秊榈缺葦?shù)列，

d—2

所以4—1=1,%-2=2,則i[=2,即｛4一〃｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以4—〃=2"T,則a"=〃+2'T.

【小問2詳解】

Sn=a1+a2+---+an

=1+2°+2+21+3+22+.?.+/?+2,,-1

=(1+2+3+-.+〃)+(2。+21+22+-.+2"7)

(l+n)n1-2"

=—?2+—?+2"-1.

~2-1-222

18.已知圓/：(x+l)2+(y—2『=1,直線/過原點。(0,0).

(1)若直線/與圓M相切，求直線/的方程；

(2)若直線/與圓M交于P,。兩點，當口MPQ的面積最大時，求直線/的方程.

3

【答案】(1)%=0或丁=—

(2))=一％或丁=-71.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)直線/的斜率是否存在進行分類討論，結(jié)合圓心到直線的距離等于半徑來求得直線/的方

程.

(2)設出直線/的方程，由點到直線的距離公式、弦長公式求得三角形面積的表達式，結(jié)合二次函數(shù)

的性質(zhì)求得口苗「。的面積最大時直線/的方程.

【小問1詳解】

①當直線/的斜率不存在時，直線/為x=0,顯然符合直線與圓相切，

②當斜率存在時，設直線為丁=近，圓M的圓心坐標(-1,2),

圓心到直線的距離d=*掃=上旦,

\k+2\3

由題意得：直線/與圓M相切，則11——,解得：k=——,

7T7F4

3

所以直線/的方程為：y=——無，

4

3

綜上所述，直線/的方程為：％=0或丁=——x

4

【小問2詳解】

直線/的斜率不存在時，直線/為x=0與圓相切，不符合題意，故直線/斜率必存在，

設直線/的方程為：y=mx,

圓心到直線的距離d=1；+2],弦長|P@=2yJr2-d2=2^1-d2,

所以S△尸QM=g,|尸Q|,d=,(1_屋”2=

1

當屋9=一時，面積s最大，

2

2

|m+2|1

這時(I----于2，整理得加2+8加+7=0，解得〃？=-7,或機=-1,

+I

所以直線/的方程：)=一％或丁=-7%.

19.如圖，已知4(6,66)，3(0,0),C(12,0),直線/：(左+G)x—y—2左=0.

(1)證明直線/經(jīng)過某一定點，并求此定點坐標；

(2)若直線/等分口ABC的面積，求直線/的一般式方程；

(3)若P(2,26),李老師站在點尸用激光筆照出一束光線，依次由(反射點為K)、AC(反射點

為/)反射后，光斑落在尸點，求入射光線PK的直線方程.

【答案】(1)證明見解析，定點坐標為(2,26)；

(2)百x+17y-366=0；

(3)2x+底-10=0.

【解析】

【分析】(1)整理得到左(x-2)+(Gx->)=0,從而得到方程組，求出定點坐標；

13

(2)求出定點尸(2,26)在直線A3上，且|AM|=8,由用加m=5S口油0得至1HA。1=jAC1=9，設出

D(x0,y0),由向量比例關(guān)系得到。點坐標，得到直線方程；

(3)作出輔助線，確定P關(guān)于和AC的對稱點片，鳥，得到左心=罕，由對稱性得既長=—手，寫

成直線方程.

【小問1詳解】

直線/:(左+G)x—y—2左=0可化為左(x—2)+(Gx—y)=0,

%—2=0x=2

令1廠，解得1廠，故直線/經(jīng)過的定點坐標為(2,26)；

y/3x-y=