數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略研究

-PAGEII-摘要數(shù)學(xué)作為一種文化存在，是人類文明的火車頭，具有深厚的文化底蘊(yùn)。在當(dāng)代，數(shù)學(xué)從幕后走到了臺(tái)前，對(duì)現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展有著不可估量的巨大貢獻(xiàn)。數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)含了豐富的教育價(jià)值，展現(xiàn)了古人在追求真理的道路上堅(jiān)持不懈的精神，展現(xiàn)了不同國(guó)家的學(xué)者對(duì)于數(shù)學(xué)的一致見解，展現(xiàn)了人類在解決現(xiàn)實(shí)問題時(shí)的思維歷程……數(shù)學(xué)史是一座巨大的文化寶藏，有待于我們深入、細(xì)致地挖掘。 本研究在查閱了大量有關(guān)文獻(xiàn)后，進(jìn)行理論分析，總結(jié)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的巨大作用。筆者在理論分析的基礎(chǔ)之上，對(duì)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材（2022年版）中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)史料進(jìn)行了整理分析，為一線教師進(jìn)行數(shù)學(xué)史教學(xué)提供教材分析上的支持。筆者又從“一師一優(yōu)課”網(wǎng)站中選擇了九節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課進(jìn)行案例分析，根據(jù)結(jié)果，筆者發(fā)現(xiàn)目前融入了數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課堂方式較為單一，多為“附加式”和“復(fù)制式”，對(duì)數(shù)學(xué)史料的內(nèi)在價(jià)值挖掘不夠深入。同時(shí)，對(duì)于暗含于數(shù)學(xué)史中的人文價(jià)值，也缺乏一定的關(guān)注?；诂F(xiàn)存的問題以及已有的研究，筆者從教師、教學(xué)和教材三個(gè)方面闡述了數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的有效策略，以便更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)史應(yīng)有的教育價(jià)值。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；有效教學(xué)策略

AbstractMathematics,asakindofculture,isthelocomotiveofhumancivilizationandhasprofoundculturaldeposits.Incontemporarytimes,mathematicsfromthebackgroundtothestage,thedevelopmentofmodernsocietyhasanimmeasurablecontribution.Thehistoryofmathematicscontainsawealthofeducationalvalue,showstheancientsinthepursuitoftruthontheroadofperseverancespirit,showsthescholarsofdifferentcountriesonmathematicsconsensus,showsthehumanthinkingprocessinsolvingpracticalproblemsThehistoryofmathematicsisahugeculturaltreasure,waitingforustodigdeeplyandcarefully.Afterconsultingalargenumberofrelevantliterature,thisstudymakestheoreticalanalysisandsummarizesthegreatroleofthehistoryofmathematicsinmathematicseducation.Onthebasisoftheoreticalanalysis,theauthorcollatesandanalyzesthemathematicalhistoricalmaterialsinthehuman-educationeditionofprimaryschoolmathematicstextbook(2022edition),providingtextbookanalysissupportforfront-lineteachersinthehistoryofmathematicsteaching.Theauthoralsoselectedninehigh-qualityprimaryschoolmathematicslessonsfromthewebsite"Oneteacher,OneExcellentCourse"forcaseanalysis.Accordingtotheresults,theauthorfoundthatthecurrentmathematicsclassroommethodsintegratedintothehistoryofmathematicsarerelativelysimple,mostly"additive"and"duplicative",andtheintrinsicvalueofmathematicalhistoricalmaterialsisnotdeeplyexplored.Atthesametime,thereisalackofattentiontothehumanisticvalueimpliedinthehistoryofmathematics.Basedontheexistingproblemsandexistingresearch,theauthorexpoundstheeffectivestrategiesofintegratingthehistoryofmathematicsintoprimaryschoolmathematicsclassroomfromthreeaspectsofteachers,teachingandtextbooks,soastogivefullplaytotheeducationalvalueofthehistoryofmathematics.Keywords:Historyofmathematics;Primaryschoolmathematicsteaching;Effectiveteachingstrategy這里頁(yè)碼從1開始，就是4變成了1這里頁(yè)碼從1開始，就是4變成了1目錄摘要 IAbstract II目錄 1一、緒論 1（一）研究緣起 11.傳統(tǒng)教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)史的忽略 12.數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中發(fā)揮的作用 1（1）數(shù)學(xué)史有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣 1（2）數(shù)學(xué)史有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解 13.各國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)史的重視 2（二）研究目的和價(jià)值 21.研究目的 22.研究?jī)r(jià)值 2（三）理論基礎(chǔ) 21.建構(gòu)主義理論 22.歷史發(fā)生原理 33.弗賴登塔爾的再創(chuàng)造理論 3（四）文獻(xiàn)綜述 41.數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值研究 42.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀及方式研究 4（五）研究思路和研究方法 51.研究思路 52.研究方法 5二、數(shù)學(xué)史相關(guān)概念、價(jià)值及融入方式 5（一）概念界定 51.數(shù)學(xué)文化 52.數(shù)學(xué)史 63.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué) 6（二）價(jià)值 61.豐富學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，開拓視野 62.激發(fā)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣 63.增強(qiáng)學(xué)生的文化自信 74.加深學(xué)生對(duì)于所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解 75.有利于發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科育人的整體性作用 7（三）常見方式 8三、人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的整理分析 8（一）數(shù)學(xué)史的數(shù)量與分布 8（二）數(shù)學(xué)史內(nèi)容的特點(diǎn)分析 111.以“你知道嗎？”為主要欄目 112.以“數(shù)與代數(shù)”為主要領(lǐng)域 113.以介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)為主要內(nèi)容 124.以文字陳述為主要呈現(xiàn)方式 13四、數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀的調(diào)查分析 13（一）調(diào)查目的 14（二）調(diào)查方法 14（三）結(jié)果分析 141.數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)方式 152.數(shù)學(xué)史內(nèi)容選取 163.數(shù)學(xué)史融入環(huán)節(jié) 174.數(shù)學(xué)史人文價(jià)值 18五、數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效策略 19（一）教師方面 191.改變傳統(tǒng)的教學(xué)觀，深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值 192.儲(chǔ)備大量數(shù)學(xué)史知識(shí)，提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng) 193.積極參加有關(guān)的集體教研活動(dòng)，有意識(shí)地在課堂中傳授數(shù)學(xué)史知識(shí) 20（二）教學(xué)方面 201.以學(xué)生能夠接受的方式深入淺出，聯(lián)系學(xué)生實(shí)際 202.因“地”制宜，實(shí)施多元化的融入方式 203.注重挖掘數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)含的人文價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生正確的人生觀 214.滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)理性思維 21（三）教材方面 211.數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)的多樣化 212.數(shù)學(xué)史內(nèi)容的多元化 223.數(shù)學(xué)史編排的合理化 22結(jié)語(yǔ) 23參考文獻(xiàn) 24致謝 27-PAGE5-一、緒論（一）研究緣起1.傳統(tǒng)教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)史的忽略長(zhǎng)久以來(lái)，數(shù)學(xué)史的價(jià)值被淹沒在“題海戰(zhàn)術(shù)”之中，數(shù)學(xué)課堂上沒有歷史的身影。美國(guó)學(xué)者Bidwell曾把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比作孤島上的學(xué)習(xí)，學(xué)生在孤島上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)覺得封閉呆板[1]。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)顯然不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本身的魅力。隨著人們不斷地反思傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂中存在的問題，數(shù)學(xué)史的重要性日益突出。數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（簡(jiǎn)稱HPM）成為了國(guó)際學(xué)術(shù)研究的領(lǐng)域之一。我國(guó)于1981年在全國(guó)第一次數(shù)學(xué)史學(xué)術(shù)討論會(huì)上成立了數(shù)學(xué)史分會(huì)，自此，我國(guó)的學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)史的研究愈來(lái)愈多，愈來(lái)愈認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)與歷史的不可分割。格萊舍確信，任何企圖將一種科目和它的歷史割裂開來(lái)，數(shù)學(xué)的損失更大。[2]2.數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中發(fā)揮的作用（1）數(shù)學(xué)史有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是他們避之不及的存在。在課堂上，數(shù)學(xué)是枯燥無(wú)聊的；在作業(yè)中，數(shù)學(xué)是困難無(wú)解的；在考試中，數(shù)學(xué)是拖人后腿的。大家談“數(shù)學(xué)”而色變。造成這種現(xiàn)象的原因，除了數(shù)學(xué)本身抽象的特點(diǎn)之外，與數(shù)學(xué)教師在課堂中平鋪直敘地講解知識(shí)點(diǎn)也有很大的關(guān)系。而數(shù)學(xué)發(fā)展中發(fā)生的種種歷史故事，對(duì)學(xué)生而言是真實(shí)的、有趣的、彼此相連的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)引入數(shù)學(xué)史，可以為枯燥的課堂增添更多的趣味。例如莫比烏斯發(fā)現(xiàn)莫比烏斯帶的故事、歐拉與哥尼斯堡的故事、“數(shù)學(xué)王子”高斯的故事等。這些有趣的數(shù)學(xué)史帶給學(xué)生新鮮感，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)不是虛無(wú)縹緲的，數(shù)學(xué)就在我們身邊，與我們息息相關(guān)。（2）數(shù)學(xué)史有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解數(shù)學(xué)相比于其他的學(xué)科，很顯著的特點(diǎn)之一就是抽象。數(shù)學(xué)的抽象導(dǎo)致學(xué)生理解起來(lái)更加困難，尤其是過(guò)去數(shù)學(xué)的過(guò)度形式化，讓數(shù)學(xué)成為高高在上不可攀登的存在。然而，一切的數(shù)學(xué)都是來(lái)自于生活，只有將數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程展開在學(xué)生的面前，他們才能將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系起來(lái)，才能逐漸放下心中對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，可以短暫的將學(xué)生帶回到歷史中，站在無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家們的視角，體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯與美。教師在教學(xué)中有意識(shí)地貫穿數(shù)學(xué)史于其中，培養(yǎng)學(xué)生用原始問題的特色分析解決問題的能力。[3]3.各國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)史的重視西方對(duì)數(shù)學(xué)史的研究要早于我國(guó)。法國(guó)哲學(xué)家孔德的觀點(diǎn)是：孩子從胚胎期經(jīng)由出生、成熟、衰老一直到死亡的整個(gè)生命過(guò)程中的認(rèn)知發(fā)展順序與前人的發(fā)展順序相同。英國(guó)數(shù)學(xué)家德摩根強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的講授順序應(yīng)與數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生順序相一致。龐加萊認(rèn)為，如果我們想要預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)的未來(lái)，必須研究數(shù)學(xué)的歷史與現(xiàn)在。[4]弗賴登塔爾表示，數(shù)學(xué)教師需掌握數(shù)學(xué)史的基本要素，這是必備條件。俄羅斯高中數(shù)學(xué)的目的之一是了解數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)思想的歷史。 1981年我國(guó)成立的數(shù)學(xué)史分會(huì)，打開了數(shù)學(xué)史研究的大門。自此，教育部編制的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中也體現(xiàn)了我國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)史的重視。第一屆全國(guó)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會(huì)議，標(biāo)志著我國(guó)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的研究走向高潮。[5]如今，我國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)史的重視程度不言而喻。數(shù)學(xué)史已出現(xiàn)在我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教科書中，但“高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用”的現(xiàn)象卻普遍存在。因此，如何最大程度的發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，成為廣大數(shù)學(xué)教育研究者普遍關(guān)注的問題。（二）研究目的和價(jià)值1.研究目的在理論分析以及真實(shí)課堂分析的基礎(chǔ)上，總結(jié)出數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效策略，以期真正發(fā)揮數(shù)學(xué)史應(yīng)有的教育價(jià)值，為廣大一線數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)史教學(xué)提供方法論參考。2.研究?jī)r(jià)值近些年，我國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系的研究越來(lái)越多，相關(guān)的成果也較為豐富。但對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教育的關(guān)注程度仍然較低，大多數(shù)研究集中于初高中階段，導(dǎo)致小學(xué)數(shù)學(xué)教師在課堂中忽視數(shù)學(xué)史的教學(xué)，數(shù)學(xué)史在基礎(chǔ)教育階段沒能更好的發(fā)揮作用。因此，本研究有助于豐富這兩方面的研究。本文通過(guò)對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)資料的查閱與分析，提煉數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的有效策略，或許能夠?yàn)橐鹦W(xué)數(shù)學(xué)教師們對(duì)數(shù)學(xué)史的重視出一份力，為一線教師提供學(xué)習(xí)研究的思路。（三）理論基礎(chǔ)1.建構(gòu)主義理論根據(jù)建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀，學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)自己知識(shí)的過(guò)程。建構(gòu)主義理論為數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)提供支撐。首先，學(xué)生建構(gòu)新知識(shí)是在已有的知識(shí)背景之上進(jìn)行建構(gòu)的，而數(shù)學(xué)史是歷史上的數(shù)學(xué)家為推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展而做出的努力，是真實(shí)存在的、與生活密切相關(guān)的。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中融入數(shù)學(xué)史，學(xué)生獲得了最初的知識(shí)背景，從而為學(xué)生建構(gòu)起自己的知識(shí)意義搭建了橋梁。第二，數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)并不是一蹴而就的，而是需要逐步提高梯度，從而達(dá)到較高層次的水平。數(shù)學(xué)史將數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程展現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生能順著數(shù)學(xué)家們的思路逐步達(dá)到更高水平的意義建構(gòu)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供合適的梯度。第三，數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)含了大量的數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)家們智慧的結(jié)晶。融入數(shù)學(xué)史，學(xué)生更清楚的了解到數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思維，更容易挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，對(duì)于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)體系有著較大的幫助，為學(xué)生完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)提供腳手架。隨著建構(gòu)主義在教育領(lǐng)域的影響越來(lái)越大，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)被人們所推崇。胡典順教授在《數(shù)學(xué)教學(xué)論》中總結(jié)促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的方法有：選擇恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容、設(shè)置合適的情景和鼓勵(lì)深刻的反思。其中情境創(chuàng)設(shè)的重要來(lái)源之一就是數(shù)學(xué)史，在數(shù)學(xué)課上，用現(xiàn)實(shí)生活中的例子來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展，學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，處于創(chuàng)造的地位，有利于學(xué)生了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。2.歷史發(fā)生原理歷史發(fā)生原理與生物學(xué)中的重現(xiàn)法則類似，重現(xiàn)法則強(qiáng)調(diào)個(gè)體的發(fā)育史與種族的發(fā)展史相重合，將重現(xiàn)法則運(yùn)用于教育中，便得到了歷史發(fā)生原理。[11]英國(guó)社會(huì)學(xué)家斯賓塞曾說(shuō)知識(shí)在個(gè)人身上的出現(xiàn)，必須遵循知識(shí)在整個(gè)種族中出現(xiàn)的相同過(guò)程。龐加萊、波利亞等著名數(shù)學(xué)家也曾重述過(guò)這一觀點(diǎn)，這一觀點(diǎn)也常常稱作漢克爾定律：“個(gè)體發(fā)育是種族發(fā)育的重演?！睔v史發(fā)生原理作為數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)之一受到廣泛關(guān)注，龐加萊曾說(shuō)，動(dòng)物學(xué)家認(rèn)為，動(dòng)物胚胎在發(fā)育的短期內(nèi)，經(jīng)歷了祖先發(fā)展的所有主要階段，人類的思維發(fā)展也是如此。[24]在此理論的支撐下，人們得出“知識(shí)的歷史發(fā)展順序符合個(gè)體認(rèn)知學(xué)習(xí)的心理順序?！盵25]歷史發(fā)生原理認(rèn)為：個(gè)體理解數(shù)學(xué)的過(guò)程與人類歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)基本相同。數(shù)學(xué)家波利亞曾在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中闡述他的觀點(diǎn)：只有了解人們?nèi)绾潍@得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能更好地判斷兒童應(yīng)該如何獲得這些知識(shí)。[26]因此，將數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史聯(lián)系起來(lái)，展示數(shù)學(xué)家在歷史上如何發(fā)展數(shù)學(xué)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。尤其對(duì)于小學(xué)生而言，從小開始接觸數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，更加符合人類知識(shí)發(fā)生的過(guò)程。3.弗賴登塔爾的再創(chuàng)造理論弗賴登塔爾的再創(chuàng)造理論的框架是：通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理。[27]再創(chuàng)造理論概括起來(lái)包含了三個(gè)核心概念，即：數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)化以及再創(chuàng)造。數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)。每個(gè)學(xué)生由于不同的經(jīng)歷而有不同的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。數(shù)學(xué)化指人們應(yīng)用數(shù)學(xué)分析、研究、組織和改造客觀世界的現(xiàn)象，以觀察、認(rèn)識(shí)和改造它們的過(guò)程?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)史就是古代數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)化過(guò)程的簡(jiǎn)縮。在數(shù)學(xué)教育中融入數(shù)學(xué)史教學(xué)，學(xué)生分析數(shù)學(xué)家們數(shù)學(xué)化的過(guò)程，逐漸學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化，從而深化數(shù)學(xué)知識(shí)?！霸賱?chuàng)造”的過(guò)程強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者是主體，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中的主動(dòng)性，核心是數(shù)學(xué)過(guò)程的重復(fù)。數(shù)學(xué)史在課堂上的呈現(xiàn)，有利于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造。（四）文獻(xiàn)綜述1.數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值研究19世紀(jì)初，國(guó)外開始關(guān)注數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系，并探討數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。瓊斯認(rèn)為，數(shù)學(xué)史中著名的數(shù)學(xué)家們的精彩有趣的故事都可以呈現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)之中。一個(gè)解法的發(fā)現(xiàn)發(fā)展過(guò)程能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。[4]在20世紀(jì)50年代，我國(guó)開始嘗試數(shù)學(xué)史教育。在全國(guó)性的數(shù)學(xué)史會(huì)議中，數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值都曾多次被闡述。吳文俊院士強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史不可分割，并呼吁全國(guó)高校普及數(shù)學(xué)史教學(xué)。[12]宋乃慶教授認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)史可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的全面學(xué)習(xí)和理解，培養(yǎng)實(shí)踐和創(chuàng)新能力。[5]張奠宙教授多次提議在教育實(shí)踐的基礎(chǔ)上開發(fā)HPM教學(xué)案例。[13]進(jìn)一步指出，如果數(shù)學(xué)教育在廣泛的文化知識(shí)、優(yōu)雅的文化氛圍和優(yōu)秀的文化傳統(tǒng)的推動(dòng)下，可以說(shuō)數(shù)學(xué)教育已經(jīng)達(dá)到了最高水平。[14]華東師范大學(xué)的汪曉勤教授認(rèn)為HPM的研究應(yīng)做到立足于教育現(xiàn)實(shí)，任何一位一線教師都不可能僅為文化而文化，為歷史而歷史。[14]2.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀及方式研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育這一研究領(lǐng)域方興未艾，越來(lái)越多的研究者踏足這一領(lǐng)域。隨著數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值越來(lái)越被人們肯定，課程標(biāo)準(zhǔn)中也強(qiáng)調(diào)了要將數(shù)學(xué)史編入數(shù)學(xué)教材。大多數(shù)教材都有豐富的材料和插圖，但其中存在的問題是：它們多從小學(xué)低段開始出現(xiàn)，且分布不均，排版單一。[15]同時(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，“高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用”的現(xiàn)象普遍存在，小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)尤為突出。[5]在對(duì)數(shù)學(xué)教育中融入數(shù)學(xué)史的案例進(jìn)行深刻分析后，汪曉勤教授提出數(shù)學(xué)教育中融入數(shù)學(xué)史的四種方式：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式。[16]朱哲和張維忠教授認(rèn)為數(shù)學(xué)史可以通過(guò)四種不同的方式在課堂中呈現(xiàn)：數(shù)學(xué)課本、數(shù)學(xué)讀本、選修課程以及專題研究。[17]（五）研究思路和研究方法1.研究思路本研究在了解相關(guān)領(lǐng)域的研究成果的基礎(chǔ)上確定研究?jī)?nèi)容為調(diào)查數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效策略。在這之后，筆者閱讀了大量相關(guān)文獻(xiàn)并進(jìn)行整理分析，確定了研究的大致方向的具體內(nèi)容。并且，筆者還仔細(xì)選取出了人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中涉及數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，對(duì)此進(jìn)行分析。最后通過(guò)觀看一師一優(yōu)課中與數(shù)學(xué)史有關(guān)的部?jī)?yōu)級(jí)課堂實(shí)錄，從中學(xué)習(xí)、提煉出能夠?yàn)橐痪€教師在教學(xué)過(guò)程中更好滲透數(shù)學(xué)史的有效教學(xué)策略。2.研究方法文獻(xiàn)法：筆者搜集、閱讀、整理了有關(guān)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化、HPM、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)等方面的文獻(xiàn)，查閱了相關(guān)的著作，同時(shí)也參考了學(xué)位論文庫(kù)中具有代表性的文獻(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，筆者對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系有了更加深入的了解，為本文的寫作奠定了基礎(chǔ)。個(gè)案研究法：本文選取小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)《5.數(shù)學(xué)廣角—鴿巢問題》、四年級(jí)下冊(cè)《9.數(shù)學(xué)廣角—雞兔同籠》、四年級(jí)上冊(cè)《*神奇的莫比烏斯帶》這三個(gè)課題，每個(gè)課題各選取“一師一優(yōu)課”網(wǎng)站中三位教師的部?jī)?yōu)級(jí)優(yōu)質(zhì)課，共9節(jié)，挑選出其中融入了數(shù)學(xué)史的教學(xué)片段進(jìn)行研究分析，了解教師數(shù)學(xué)史的真實(shí)教學(xué)情況和學(xué)生的反應(yīng)，從中探究出數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效策略。二、數(shù)學(xué)史相關(guān)概念、價(jià)值及融入方式（一）概念界定1.數(shù)學(xué)文化對(duì)于數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，學(xué)術(shù)上有過(guò)多種觀點(diǎn)。顧沛認(rèn)為，狹義的數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)思想、精神、方法、觀點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展[6]；廣義的除上述外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育等。[6]代欽進(jìn)一步提出：數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法及其在人類活動(dòng)的應(yīng)用，以及與數(shù)學(xué)有關(guān)的民俗習(xí)慣和信仰的總和。[7]隨后，楊豫暉、宋乃慶等學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵進(jìn)行了評(píng)述，提煉出新的“數(shù)學(xué)文化”的概念界定，即一群人，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中遵循共同的數(shù)學(xué)規(guī)則，通過(guò)長(zhǎng)期的、歷史的積累，形成了共同的數(shù)學(xué)知識(shí)、精神和思維方式的約定，并指出數(shù)學(xué)文化對(duì)于思維、道德和美育具有重要意義。[8]2.數(shù)學(xué)史李文林認(rèn)為：數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)概念、方法和思想的起源和發(fā)展，并研究其背景對(duì)社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)和文化的影響的科學(xué)。[9]陳奧運(yùn)認(rèn)為“數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)歷史研究，即研究數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律的科學(xué)?！盵10]向慧將數(shù)學(xué)史分為廣義和狹義，廣義以數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)生發(fā)展為主要研究對(duì)象并探索其內(nèi)在規(guī)律；狹義特指數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展及其系統(tǒng)化整體化的過(guò)程。[4]雖然對(duì)于數(shù)學(xué)史不同的學(xué)者有不同的看法，但他們大多認(rèn)同一個(gè)觀點(diǎn)，即數(shù)學(xué)史不僅研究數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維方法的發(fā)生過(guò)程，還涉及數(shù)學(xué)、教育、政治學(xué)、歷史學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等。3.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)張俊忠認(rèn)為“融入”就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和內(nèi)在發(fā)展需要，從發(fā)展、聯(lián)系和辯證的角度，理解和探討數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育不同組成部分之間的關(guān)系，將數(shù)學(xué)史和相關(guān)內(nèi)容重新整合，從歷史產(chǎn)生和發(fā)展的角度來(lái)講授數(shù)學(xué)內(nèi)容，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性。[11]中國(guó)HPM的研究?jī)?nèi)容之一就是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)。（二）價(jià)值1.豐富學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，開拓視野數(shù)學(xué)史是一座豐富的文化寶庫(kù)，其中蘊(yùn)含了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，顯然可以豐富學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，讓學(xué)生的頭腦中除了呆板沉悶的公式定理，還有多姿多彩的人文情懷，各種各樣的數(shù)學(xué)趣聞，日積月累，便逐漸能博古通今。同時(shí)，由于不同的民族有著不同的文化，他們對(duì)數(shù)學(xué)的看法各有千秋。有的重視嚴(yán)密的邏輯，有的重視實(shí)際的應(yīng)用等，所以對(duì)于某一數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)等，往往有多種角度的不同見解。學(xué)生深入了解知識(shí)發(fā)展的過(guò)程，親身領(lǐng)略不同國(guó)家之間數(shù)學(xué)思維的異同。2.激發(fā)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣 對(duì)于現(xiàn)在的學(xué)生而言，數(shù)學(xué)猶如洪水猛獸，很多學(xué)生談數(shù)學(xué)而色變。一方面，是由于數(shù)學(xué)學(xué)科本身的高度抽象性和形式化；另一方面，是由于數(shù)學(xué)教師在課堂中對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)枯燥的講解，使得學(xué)生上課昏昏欲睡，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。學(xué)生一味地記憶知識(shí)點(diǎn)，反復(fù)機(jī)械的做題，參加各種考試，使得數(shù)學(xué)儼然成為了脫離學(xué)生生活的神圣存在。于是如何激發(fā)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育中亟待攻克的難題。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，是攻克這一難題行之有效的方法。很多數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)發(fā)明的過(guò)程都是為了解決生活中遇到的難題，這些概念、定理、定理、性質(zhì)等的產(chǎn)生與生活息息相關(guān)。如果數(shù)學(xué)教師能合理的從浩瀚的數(shù)學(xué)史寶庫(kù)中選擇有趣生動(dòng)的數(shù)學(xué)史材料，并對(duì)其進(jìn)行加工使之適合于數(shù)學(xué)課堂，那么這樣融入了數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課堂必將激發(fā)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，使課堂變得生動(dòng)有趣，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的畏懼心理也將得到一定的緩解。3.增強(qiáng)學(xué)生的文化自信 數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。在古代，我國(guó)的數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出過(guò)巨大的貢獻(xiàn)，編寫了許多例如《孫子算經(jīng)》《九章算術(shù)》等巨作。學(xué)生在了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出的努力，明白中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是世界數(shù)學(xué)發(fā)展史中非常重要、不可分割的一部分，真切感受到我國(guó)古人的智慧，從而從心底油然而生出對(duì)本民族文化的自信與驕傲。同時(shí)，數(shù)學(xué)教師在講述數(shù)學(xué)史知識(shí)時(shí)，不能夸大中國(guó)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出的貢獻(xiàn)從而忽視其他國(guó)家做出的努力，應(yīng)中肯、公正、尊重歷史事實(shí)，辯證的看待我國(guó)數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)。長(zhǎng)久以來(lái)，學(xué)生對(duì)于本民族文化的自信也會(huì)激勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域繼續(xù)攀登，攻堅(jiān)克難，將祖先們流傳下來(lái)的文化發(fā)揚(yáng)光大，將祖先們身上鍥而不舍的精神繼承并弘揚(yáng)，堅(jiān)守文化自信，立志再創(chuàng)輝煌。4.加深學(xué)生對(duì)于所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解 數(shù)學(xué)最突出的特點(diǎn)是抽象。例如笛卡爾坐標(biāo)系、點(diǎn)、線、面等，雖然在數(shù)學(xué)史中可以找到它們形成時(shí)的背景，但是在現(xiàn)實(shí)世界中并不存在它們的物質(zhì)實(shí)體。同時(shí)，數(shù)學(xué)還是形式化的，人們只能看到數(shù)學(xué)材料的外在形式，而其內(nèi)在的實(shí)質(zhì)是抽象的思想，它深藏于數(shù)學(xué)形式之下。例如對(duì)于三角函數(shù)中的“sinx”，對(duì)于沒有接觸過(guò)數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)這僅僅只是幾個(gè)英文字母的組合，然而其在初中數(shù)學(xué)及高中數(shù)學(xué)中卻有著深層次的含義。這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，要盡可能的拋開形式的阻攔，去理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。而數(shù)學(xué)史展現(xiàn)給學(xué)生的是一個(gè)從無(wú)到有、從有到優(yōu)的一個(gè)過(guò)程，是一個(gè)創(chuàng)造和完善的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生親身體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)逐漸披上形式的外衣的過(guò)程，從而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有更深入的理解。數(shù)學(xué)史家丹皮爾還曾說(shuō)道：數(shù)學(xué)史是研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的最好材料。在了解數(shù)學(xué)史的過(guò)程中，也就體驗(yàn)了數(shù)學(xué)思想方法的產(chǎn)生過(guò)程，才能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有真正的體會(huì)。5.有利于發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科育人的整體性作用 數(shù)學(xué)史的育人價(jià)值不僅體現(xiàn)在知識(shí)方面。在歷史中，有許許多多的數(shù)學(xué)家為了數(shù)學(xué)奉獻(xiàn)了自己的一生。他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是世界上最為美麗和高貴的，他們不知疲倦地沉迷于其中，忘卻時(shí)間。數(shù)學(xué)家們的奇聞?shì)W事，在激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)，也將學(xué)生帶入到他們當(dāng)時(shí)的心境中，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家們勇于追求真理、堅(jiān)持不懈的科學(xué)精神，感受到他們勤于思考、敢于質(zhì)疑權(quán)威的批判精神，感受到他們孜孜不倦、不斷探索的進(jìn)取精神等。學(xué)生在數(shù)學(xué)家們的身上學(xué)到了積極樂觀的生活態(tài)度，求真求實(shí)的科學(xué)態(tài)度……在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科育人的整體性作用。（三）常見方式在教材編寫時(shí)融入數(shù)學(xué)史內(nèi)容是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的第一步，能否更大程度的發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值更大一部分是看數(shù)學(xué)教師在課堂之中對(duì)于數(shù)學(xué)史是如何呈現(xiàn)的。教材中融入數(shù)學(xué)史服務(wù)于數(shù)學(xué)自身和數(shù)學(xué)教學(xué)，素材應(yīng)以一手文獻(xiàn)為主，以附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式四種方式融入教材。[28]本文借鑒汪曉勤對(duì)數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)方式的分類標(biāo)準(zhǔn)，描述如表3-1所示：表3-1數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)方式類型描述附加式附加于教學(xué)內(nèi)容之中，去除后對(duì)教學(xué)沒有影響。例如展示有關(guān)數(shù)學(xué)家的肖像、講述奇聞?shì)W事等復(fù)制式將歷史中的數(shù)學(xué)問題、解題技巧與方法直接運(yùn)用于課堂中順應(yīng)式以歷史中的數(shù)學(xué)事件等為原型，編制數(shù)學(xué)問題重構(gòu)式借鑒或重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的歷史三、人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的整理分析本研究選取人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材（2022年版）為分析對(duì)象。在仔細(xì)研讀了課程標(biāo)準(zhǔn)和每一冊(cè)教材后不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史作為一種數(shù)學(xué)教學(xué)資源已經(jīng)受到教材編寫者的重視。教材是教師上課的主要依據(jù)，在教材中編入數(shù)學(xué)史知識(shí)，一方面有利于教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，轉(zhuǎn)變對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)的看法；另一方面可以豐富教師的數(shù)學(xué)史料儲(chǔ)備，同時(shí)激勵(lì)教師在課余時(shí)間多積累。（一）數(shù)學(xué)史的數(shù)量與分布本研究選取一年級(jí)到六年級(jí)共12冊(cè)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行分析，將教材中涉及數(shù)學(xué)史的內(nèi)容單獨(dú)整理，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如表2-1、2-2所示：表2-1人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)史內(nèi)容整理教科書數(shù)學(xué)史內(nèi)容頁(yè)碼一年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)6-10的認(rèn)識(shí)和加減法（你知道嗎？）：我國(guó)古代用算籌來(lái)表示數(shù)P606-10的認(rèn)識(shí)和加減法（你知道嗎？）：古埃及象形數(shù)字P72認(rèn)識(shí)鐘表（你知道嗎？）：我國(guó)古代計(jì)時(shí)工具日晷和銅漏壺P85一年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)認(rèn)識(shí)圖形（二）（你知道嗎？）：“七巧板”是我國(guó)古代的一種拼板玩具P4二年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)長(zhǎng)度單位（正文）：很久以前，人們用1庹、1拃等作為測(cè)量長(zhǎng)度的單位P1表內(nèi)乘法（一）（你知道嗎？）：乘號(hào)的由來(lái)，英國(guó)數(shù)學(xué)家奧特雷德P51表內(nèi)乘法（二）（你知道嗎？）：我國(guó)兩千多年前竹簡(jiǎn)上的乘法口訣表，也叫做“九九歌”P86二年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)表內(nèi)除法（一）（你知道嗎？）：瑞士數(shù)學(xué)家拉恩首次使用“”P17萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)（正文）：算盤P76三年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（你知道嗎？）：分?jǐn)?shù)的演變：我國(guó)-印度-阿拉伯人P99三年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)位置與方向（一）（你知道嗎？）：我國(guó)古代四大發(fā)明之一—指南針P6面積（你知道嗎？）：我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》“方田”章P63小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)（你知道嗎？）：我國(guó)古代及西方小數(shù)的表示方法P96四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)大數(shù)的認(rèn)識(shí)（正文）：數(shù)的產(chǎn)生：實(shí)物、結(jié)繩、刻道、古國(guó)的數(shù)字P16大數(shù)的認(rèn)識(shí)（你知道嗎？）：阿拉伯?dāng)?shù)字的產(chǎn)生P17大數(shù)的認(rèn)識(shí)（你知道嗎？）：算籌記數(shù)方法P21大數(shù)的認(rèn)識(shí)（正文）：人們發(fā)明了各種各樣的計(jì)算工具：算籌、算盤、計(jì)算尺、機(jī)械計(jì)算器、電子計(jì)算機(jī)、電子計(jì)算器。其中算盤特別介紹P23-24公頃和平方千米（你知道嗎？）：我國(guó)計(jì)算土地面積方法“畝”P35三位數(shù)乘兩位數(shù)（你知道嗎？）：意大利“格子算法”P48平行四邊形和梯形（數(shù)學(xué)游戲）：神奇的莫比烏斯帶P70四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)小數(shù)的意義和性質(zhì)（你知道嗎？）：小數(shù)是我國(guó)最早提出和使用的P33數(shù)學(xué)廣角—雞兔同籠（正文、閱讀資料）：我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中雞兔同籠問題P99-100數(shù)學(xué)廣角—雞兔同籠（練習(xí)二十四）：我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》P102五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)簡(jiǎn)易方程（你知道嗎？）：埃及、我國(guó)古代《九章算術(shù)》、法國(guó)的方程P63多邊形的面積（你知道嗎？）：我國(guó)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》“方田章”P90多邊形的面積（你知道嗎？）：我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽“出入相補(bǔ)”原理P94五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)因數(shù)與倍數(shù)（你知道嗎？）：哥德巴赫猜想P17長(zhǎng)方體和正方體（你知道嗎？）：幾何學(xué)和歐幾里得P22長(zhǎng)方體和正方體（你知道嗎？）：我國(guó)《九章算術(shù)》立體圖形體積計(jì)算公式P35分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)（你知道嗎？）：我國(guó)《九章算術(shù)》“約分術(shù)”P67六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)分?jǐn)?shù)乘法（你知道嗎？）：《莊子》“一尺之棰”P14分?jǐn)?shù)除法（你知道嗎？）：我國(guó)《九章算術(shù)》“經(jīng)分”P43圓（你知道嗎？）：我國(guó)《周髀算經(jīng)》“周三徑一”、祖沖之世界上第一個(gè)把圓周率的值精確到小數(shù)點(diǎn)后7位P61圓（你知道嗎？）：我國(guó)劉徽在《九章算術(shù)》中提出“割圓術(shù)”P66百分?jǐn)?shù)（一）（你知道嗎？）：恩格爾系數(shù)P81數(shù)學(xué)廣角—數(shù)與形（練習(xí)二十二）：我國(guó)宋代楊輝撰寫的《詳解九章算法》中的“楊輝三角”P109六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)負(fù)數(shù)（你知道嗎？）：中國(guó)很早就開始使用負(fù)數(shù)，古代數(shù)學(xué)家劉徽給出了用算籌區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法P5圓柱與圓錐（你知道嗎？）：阿基米德“圓柱容球”P29數(shù)學(xué)廣角—鴿巢問題（你知道嗎？）：抽屜原理P69整理與復(fù)習(xí)（你知道嗎？）：七橋問題P103表2-2人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)史分布統(tǒng)計(jì)分析頻數(shù)百分比有效百分比累計(jì)百分比一年級(jí)4101010二年級(jí)512.512.522.5三年級(jí)4101032.5四年級(jí)10252557.5五年級(jí)717.517.575六年級(jí)102525100總計(jì)40100100 從統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，數(shù)學(xué)史較多出現(xiàn)在小學(xué)高段，小學(xué)低段雖有呈現(xiàn)但數(shù)量較少。筆者認(rèn)為，一方面，數(shù)學(xué)史在編寫過(guò)程中要注意符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律；另一方面，應(yīng)在小學(xué)低段更多的融入數(shù)學(xué)史知識(shí)，不應(yīng)忽視數(shù)學(xué)史對(duì)于小學(xué)低段學(xué)生的巨大教育價(jià)值。（二）數(shù)學(xué)史內(nèi)容的特點(diǎn)分析1.以“你知道嗎？”為主要欄目 借鑒劉蘭等學(xué)者的研究，將教材的欄目分為課題導(dǎo)入、正文等。[18]統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2-3：表2-3數(shù)學(xué)史料所屬欄目頻數(shù)百分比（保留兩位小數(shù)）有效百分比累計(jì)百分比數(shù)字游戲12.332.332.33閱讀資料12.332.334.66練習(xí)24.654.659.31正文511.6211.6220.93你知道嗎3479.0779.07100總計(jì)43100100《課程標(biāo)準(zhǔn)》是教材編寫的重要依據(jù)，無(wú)論是2011年版還是2022年版的課程標(biāo)準(zhǔn)都強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史在教材中的重要性。為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，人教版教材專門設(shè)置了“你知道嗎？”這一欄目。[19]而“你知道嗎？”欄目包含了滲透德育教育功能、提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣功能、提供拓展導(dǎo)學(xué)功能、提高師生數(shù)學(xué)素養(yǎng)功能等。[20]這恰恰為數(shù)學(xué)史編入數(shù)學(xué)教材提供了安身之地。張貝貝的研究發(fā)現(xiàn)，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“你知道嗎？”欄目是特殊欄目中數(shù)量最多的。[19]而經(jīng)過(guò)分析，本研究發(fā)現(xiàn)在涉及數(shù)學(xué)史的欄目中，“你知道嗎？”達(dá)34次，占數(shù)學(xué)史所在欄目總數(shù)的百分之七十九，由此可見，數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，多以“你知道嗎？”欄目為載體，用以補(bǔ)充知識(shí)和延伸數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的了解，是在正文內(nèi)容基礎(chǔ)之上的深化和拓展。2.以“數(shù)與代數(shù)”為主要領(lǐng)域數(shù)學(xué)知識(shí)被劃分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、綜合與實(shí)踐四類。因此，本研究以此為依據(jù)，分類結(jié)果如表2-4所示：表2-4人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)史所屬知識(shí)領(lǐng)域知識(shí)領(lǐng)域數(shù)學(xué)史內(nèi)容百分比數(shù)與代數(shù)算籌；象形數(shù)字；日冕和銅漏壺；拃；乘號(hào)；乘法口訣表；除號(hào)；分?jǐn)?shù)演變；記數(shù)方法；小數(shù)表示方法；數(shù)的產(chǎn)生；阿拉伯?dāng)?shù)字；技術(shù)工具；畝；“格子算法”；小數(shù)的產(chǎn)生；雞兔同籠；方程的產(chǎn)生；哥德巴赫猜想；“約分術(shù)”；極限思想；“經(jīng)分”；恩格爾系數(shù)；楊輝三角；負(fù)數(shù)產(chǎn)生；抽屜原理71.05%圖形與幾何七巧板；指南針；方天章求面積方法；莫比烏斯帶；“出入相補(bǔ)”原理；幾何學(xué)和歐幾里得；《九章算術(shù)》立體圖形體積計(jì)算；圓周率；割圓術(shù)；圓柱容球；七橋問題28.95% 經(jīng)統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中集中于數(shù)與代數(shù)和圖形與幾何這兩個(gè)領(lǐng)域。其中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域達(dá)到了71.05%，圖形與幾何領(lǐng)域?yàn)?9.95%。從數(shù)據(jù)中不難看出在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史主要滲透于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，造成這種現(xiàn)象的主要原因是，小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域相比于其它三個(gè)領(lǐng)域而言占比更大，因此其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)史料相應(yīng)更多。也從一個(gè)側(cè)面反映出在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何這兩個(gè)領(lǐng)域中滲透數(shù)學(xué)史知識(shí)是比較合適的，教師應(yīng)抓住這兩個(gè)領(lǐng)域的特點(diǎn)，合理滲透數(shù)學(xué)史知識(shí)。3.以介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)為主要內(nèi)容將教材中的數(shù)學(xué)史料進(jìn)行分類，統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果如2-5、2-6所示：表2-5人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史分類類別內(nèi)容數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)與發(fā)展算籌；數(shù)字的產(chǎn)生；計(jì)時(shí)工具；測(cè)量單位；乘號(hào)；除號(hào)；乘法口訣表；分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生；指南針；小數(shù)的發(fā)展；阿拉伯?dāng)?shù)字的產(chǎn)生；計(jì)算工具；畝；“格子算法”；方程的發(fā)展；負(fù)數(shù)的產(chǎn)生數(shù)學(xué)家的故事劉徽；楊輝；歐幾里得；祖沖之；恩格爾；阿基米德經(jīng)典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》；《孫子算經(jīng)》；《算法統(tǒng)宗》；《周髀算經(jīng)》；《詳解九章算法》經(jīng)典數(shù)學(xué)問題七巧板；莫比烏斯帶；雞兔同籠；抽屜原理；七橋問題數(shù)學(xué)猜想哥德巴赫猜想數(shù)學(xué)思想方法“一尺之棰”表2-6人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史分類統(tǒng)計(jì)分析頻數(shù)百分比有效百分比累計(jì)百分比數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)與發(fā)展2145.6545.6545.65經(jīng)典數(shù)學(xué)著作1123.9223.9269.57數(shù)學(xué)家的故事715.2215.2284.79經(jīng)典數(shù)學(xué)問題510.8710.8795.66數(shù)學(xué)猜想12.172.1797.83數(shù)學(xué)思想方法12.172.17100.00總計(jì)46100100 統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，教材中有關(guān)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容較多地分布在“數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)與發(fā)展”和“經(jīng)典數(shù)學(xué)著作”這兩中類型，因?yàn)榇蠖鄶?shù)數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)與發(fā)展都在數(shù)學(xué)著作中記載，因此這兩者往往同時(shí)出現(xiàn)。另外，由于數(shù)學(xué)著作中記載的是數(shù)學(xué)家們的思想，因此數(shù)學(xué)著作與數(shù)學(xué)家的故事也往往同時(shí)出現(xiàn)。對(duì)于明顯的數(shù)學(xué)猜想和數(shù)學(xué)思想方法，在教材中呈現(xiàn)較少。4.以文字陳述為主要呈現(xiàn)方式小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史有4種粗略的呈現(xiàn)方式：文字、文字為主、圖片為主和連環(huán)畫。[22]依據(jù)該分類要求將人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)方式進(jìn)行整理、分析，結(jié)果如表2-7、2-8所示：表2-7人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)方式類別內(nèi)容文字乘號(hào)的由來(lái)；除號(hào)的由來(lái)；分?jǐn)?shù)的演變；小數(shù)；畝；雞兔同籠；方程；平面圖形面積算法；哥德巴赫猜想；幾何學(xué)；立體圖形體積；“約分術(shù)”；一尺之棰；“經(jīng)分”；恩格爾系數(shù)；抽屜原理文字為主七巧板；乘法口訣表；指南針；長(zhǎng)方形面積計(jì)算方法；格子算法；莫比烏斯帶；出入相補(bǔ)；圓周率；“割圓術(shù)”；楊輝三角；負(fù)數(shù)；圓柱容球；七橋問題圖片為主算籌表示數(shù)；象形數(shù)字；計(jì)時(shí)工具；長(zhǎng)度單位；算籌記數(shù)連環(huán)畫算盤；數(shù)的產(chǎn)生；阿拉伯?dāng)?shù)字；計(jì)算工具表2-8人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)方式統(tǒng)計(jì)分析頻數(shù)百分比有效百分比累計(jì)百分比文字1642.1142.1142.11文字為主1334.2134.2176.32圖片為主513.1613.1689.48連環(huán)畫410.5210.52100.00總計(jì)38100.00100.00 統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史以文字為主要呈現(xiàn)方式，其次是以文字為主的方式，附以數(shù)學(xué)家肖像、古物圖片等圖片。以圖片為主和連環(huán)畫的形式較少出現(xiàn)。在小學(xué)，學(xué)生一方面可以通過(guò)圖表獲得感性知識(shí)，另一方面可以通過(guò)文字獲得理性知識(shí)，兩者缺一不可，以獲得理性知識(shí)為主。四、數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀的調(diào)查分析本文研究的重點(diǎn)是對(duì)“一師一優(yōu)課”網(wǎng)站中融入了數(shù)學(xué)史的小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課進(jìn)行調(diào)查分析，并據(jù)此得出數(shù)學(xué)史的有效教學(xué)策略。在前文對(duì)數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行了理論分析的基礎(chǔ)之上，筆者選取了小學(xué)數(shù)學(xué)中的三個(gè)課題：鴿巢問題、雞兔同籠和神奇的莫比烏斯帶，在“一師一優(yōu)課”中以“全部年度”、“部?jī)?yōu)”為篩選條件，每個(gè)課題選取三節(jié)優(yōu)質(zhì)課，共9節(jié)優(yōu)質(zhì)課進(jìn)行轉(zhuǎn)錄與分析，從分析結(jié)果中概括提煉出數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)的有效教學(xué)策略。選取結(jié)果如下表4-1所示：表4-1小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課選取情況課題學(xué)校執(zhí)教教師數(shù)學(xué)廣角—鴿巢問題天津市津南區(qū)咸水沽第五小學(xué)張乃順寧夏固原市隆德縣第一小學(xué)馬越寧夏中衛(wèi)市第六小學(xué)詹玉明數(shù)學(xué)廣角—雞兔同籠山東省濟(jì)南市歷下區(qū)私立濟(jì)南齊魯學(xué)校王亞楠遼寧省葫蘆島小學(xué)蘇麗杰重慶市大足區(qū)龍水第三小學(xué)羅國(guó)云神奇的莫比烏斯帶廣東省珠海市香洲區(qū)第十八小學(xué)賴金輝天津市萬(wàn)全小學(xué)王麗華河北省滄州市泊頭市紅旗小學(xué)李藏然（一）調(diào)查目的 本次調(diào)查目的主要有：1.了解優(yōu)質(zhì)課中教師對(duì)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的處理方式2.了解學(xué)生對(duì)于課堂中融入數(shù)學(xué)史的態(tài)度筆者希望在觀看并記錄優(yōu)質(zhì)課中數(shù)學(xué)史內(nèi)容時(shí)能夠明白執(zhí)教教師如何處理數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中最大限度的發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，學(xué)生對(duì)于課堂中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容感興趣的程度如何等，以便后續(xù)從優(yōu)質(zhì)課中提煉出將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)的有效教學(xué)策略。（二）調(diào)查方法 采用個(gè)案研究法，從教育平臺(tái)中檢索了9節(jié)含有數(shù)學(xué)史內(nèi)容的小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課，根據(jù)分析框架對(duì)其中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行了整理與統(tǒng)計(jì)，得到優(yōu)質(zhì)課中融入數(shù)學(xué)史的共性，并結(jié)合數(shù)據(jù)歸納出數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效策略。（三）結(jié)果分析 通過(guò)對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的查閱與梳理，本研究從數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)方式、內(nèi)容選取和融入時(shí)間這三個(gè)方面對(duì)優(yōu)質(zhì)課進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，具體內(nèi)容見圖4-1：圖4-1優(yōu)質(zhì)課中的數(shù)學(xué)史分析框架1.數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)方式 筆者在觀看優(yōu)質(zhì)課的同時(shí)，撰寫了課堂記錄報(bào)告。根據(jù)報(bào)告，將選取的優(yōu)質(zhì)課中數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)方式進(jìn)行了分類，其中因?yàn)橐还?jié)優(yōu)質(zhì)課存在多種數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)方式，本文選取最為明顯的一種方式進(jìn)行討論，結(jié)果如表4-2：表4-2優(yōu)質(zhì)課中數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)方式課題執(zhí)教教師內(nèi)容類型鴿巢問題張乃順狄里克雷（1805-1859）抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要原理，它最早是由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷提出并運(yùn)用于解決數(shù)論中的問題，所以該原理又稱為“狄里克雷原理”（附肖像）復(fù)制式馬越《狄利克雷》原理：鉛筆放進(jìn)鉛筆里、鴿子飛回鴿巢、書放進(jìn)抽屜里，其實(shí)都是一樣的，鉛筆盒、抽屜數(shù)都相當(dāng)于鴿巢數(shù)。鉛筆數(shù)、書的本數(shù)都相當(dāng)于鴿子數(shù)，這種數(shù)學(xué)問題就叫做《鴿巢問題》又稱《鴿巢原理》或《抽屜原理》。它最早是由19世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出的，所以又稱《狄利克雷》原理，它是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要原理。（附肖像）復(fù)制式詹玉明“鴿巢問題”又稱“抽屜原理”，最先是19世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷提出來(lái)的，所以又稱“狄里克雷原理”。抽屜原理的應(yīng)用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，它是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)主要原理。（附肖像）附加式雞兔同籠王亞楠今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？復(fù)制式蘇麗杰今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？復(fù)制式羅國(guó)云今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？某處有鶴龜百頭，只云足數(shù)和為二百七十二，問鶴龜各幾何？順應(yīng)式神奇的莫比烏斯帶賴金輝早在1858年，德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯，他在一次偶然的機(jī)會(huì)發(fā)現(xiàn)玉米的葉子很自然的扭曲成半圓狀，他就順著葉子扭曲的方向把它接成一個(gè)圈。回到實(shí)驗(yàn)室，他就把這個(gè)神奇的圈做出來(lái)了。后來(lái)人們就以他的名字，把它命名為莫比烏斯圈，也有人把它叫作莫比烏斯帶，還有人把它叫作怪圈。附加式王麗華公元1858年，德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)：把一張紙條的一端扭轉(zhuǎn)180°，將兩端粘連起來(lái)的帶子，只有一個(gè)面。這個(gè)神奇的單面紙帶被稱為“莫比烏斯帶”。莫比烏斯帶的出現(xiàn)引發(fā)著人們更多的想象和思考。附加式李藏然有一天，莫比烏斯不經(jīng)意的把一張長(zhǎng)長(zhǎng)的紙條擰了一個(gè)圈，然后把兩端對(duì)接了起來(lái)。這時(shí)，正好有一只小螞蟻爬了過(guò)來(lái)，于是他小心翼翼的把小螞蟻放在紙上，小螞蟻在紙上不停的到處游蕩，莫比烏斯靜靜地注視著小螞蟻。他發(fā)現(xiàn)小螞蟻雖然沒有翻越任何一處紙的邊緣，卻爬過(guò)了紙表面的每一個(gè)地方。這讓莫比烏斯非常驚訝，本來(lái)是兩個(gè)面的紙條，經(jīng)他翻轉(zhuǎn)對(duì)接就變成只有一個(gè)面了。就這樣，一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)在不經(jīng)意間產(chǎn)生了。附加式 從分析結(jié)果可以看出，不同的課題類型對(duì)應(yīng)了不同的最佳呈現(xiàn)方式，其中附加式和復(fù)制式最為常見，其次是順應(yīng)式，最后是重構(gòu)式。2.數(shù)學(xué)史內(nèi)容選取 數(shù)學(xué)史的內(nèi)容可以分為數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)與發(fā)展、數(shù)學(xué)家的故事、經(jīng)典數(shù)學(xué)著作、經(jīng)典數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)思想方法。本研究選取的三個(gè)課題均屬于經(jīng)典數(shù)學(xué)問題，但是對(duì)于具體資料的選擇，各位老師有各自的特色，分析如表4-3所示：表4-3優(yōu)質(zhì)課中數(shù)學(xué)史料的選取課題執(zhí)教教師內(nèi)容鴿巢原理張乃順狄里克雷肖像；鴿巢原理的別稱馬越狄里克雷肖像；鴿巢問題、抽屜問題、鉛筆問題詹玉明狄里克雷肖像；鴿巢原理別稱雞兔同籠王亞楠《孫子算經(jīng)》；原題蘇麗杰《孫子算經(jīng)》；原題羅國(guó)云《孫子算經(jīng)》；《算法統(tǒng)宗》；《算法點(diǎn)竄指南錄》；雞兔同籠問題；鶴龜算問題神奇的莫比烏斯帶賴金輝莫比烏斯肖像；莫比烏斯和玉米葉子的故事王麗華莫比烏斯肖像；莫比烏斯和紙條的故事李藏然莫比烏斯肖像；莫比烏斯和螞蟻的故事 從結(jié)果可以看出，對(duì)于同一課題、同一數(shù)學(xué)歷史，不同的老師選擇了不同的數(shù)學(xué)史料融入課堂教學(xué)。對(duì)于如何選擇合適的數(shù)學(xué)史料，首先應(yīng)遵守科學(xué)性的原則。即所選的數(shù)學(xué)史必須是正確的、有記載的，要盡可能選用原始資源，至少應(yīng)該是可靠的二手文獻(xiàn)。[28]其次，還應(yīng)遵循適切性、有效性等原則，使得數(shù)學(xué)史融入教學(xué)能給學(xué)生提供正確的知識(shí)儲(chǔ)備，同時(shí)能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，真正做到促進(jìn)教學(xué)。 例如羅國(guó)云老師在講解“雞兔同籠”問題時(shí)，除了《孫子算經(jīng)》中的原題，還介紹了日本根據(jù)“雞兔同籠”問題引出的“鶴龜算”，開闊了學(xué)生的視野，在國(guó)別類型這一維度上體現(xiàn)出數(shù)學(xué)史的多元性。而對(duì)于莫比烏斯發(fā)現(xiàn)莫比烏斯帶的過(guò)程，應(yīng)追求科學(xué)性，教師應(yīng)有辨別數(shù)學(xué)史料真假的能力，不能為了生動(dòng)有趣而改編數(shù)學(xué)史。3.數(shù)學(xué)史融入環(huán)節(jié) 數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以作為導(dǎo)入激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；也可以作為一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生從探究中獲得知識(shí)；亦或者在課堂結(jié)束時(shí)作為總結(jié)呈現(xiàn)。對(duì)樣本優(yōu)質(zhì)課進(jìn)行分析后結(jié)果如表4-4：表4-4優(yōu)質(zhì)課中數(shù)學(xué)史融入環(huán)節(jié)課題執(zhí)教教師融入環(huán)節(jié)鴿巢原理張乃順課堂結(jié)束馬越課堂結(jié)束詹玉明課堂結(jié)束雞兔同籠王亞楠課堂導(dǎo)入蘇麗杰課堂導(dǎo)入羅國(guó)云課堂導(dǎo)入神奇的莫比烏斯環(huán)賴金輝課堂活動(dòng)王麗華課堂活動(dòng)李藏然課堂活動(dòng) 從表中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史料融入數(shù)學(xué)課堂的最佳環(huán)節(jié)因史料而異。對(duì)于鴿巢原理，上述三位教師都選擇先講述該原理的內(nèi)容，引出“鴿巢原理”，作為一節(jié)課的總結(jié)。對(duì)于雞兔同籠，則都選擇了將其作為課堂導(dǎo)入引出問題，接下來(lái)進(jìn)行問題的解決。而神奇的莫比烏斯帶，則在活動(dòng)中加深對(duì)它的認(rèn)識(shí)。4.數(shù)學(xué)史人文價(jià)值 數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值絕不僅限于知識(shí)層面，數(shù)學(xué)史還具有獨(dú)特的人文價(jià)值。因此，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂時(shí)，總能在不經(jīng)意間激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情、激勵(lì)學(xué)生留心觀察等。對(duì)優(yōu)質(zhì)課樣本中體現(xiàn)人文價(jià)值的部分進(jìn)行整理，如表4-5所示：表4-5優(yōu)質(zhì)課中數(shù)學(xué)史人文價(jià)值的體現(xiàn)課題執(zhí)教教師內(nèi)容鴿巢問題張乃順無(wú)馬越無(wú)詹玉明同學(xué)們，在經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展的今天，還有好多好多的新發(fā)明新創(chuàng)造，只要我們留心觀察，你肯定有所收獲。雞兔同籠王亞楠無(wú)蘇麗杰無(wú)羅國(guó)云剛剛課前交流的這個(gè)活動(dòng)中就涉及到我國(guó)著名的一個(gè)趣題—雞兔同籠。那雞兔同籠到底有多大的影響呢？我們應(yīng)該以什么樣的態(tài)度對(duì)待它？神奇的莫比烏斯帶賴金輝無(wú)王麗華無(wú)李藏然孩子們，沒有誰(shuí)能隨隨便便成功。莫比烏斯之所以有個(gè)偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，是因?yàn)樗饺绽锪粜挠^察周圍的事和物，然后苦苦思索。 對(duì)于同一課題，有些教師善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)史料中獲得啟示，有些教師則對(duì)于數(shù)學(xué)史的人文價(jià)值有所忽略。數(shù)學(xué)史料中的人文價(jià)值史非常寶貴的，學(xué)生可以從數(shù)學(xué)家們身上學(xué)習(xí)到科學(xué)研究應(yīng)具有的精神和品質(zhì)，為學(xué)生日后的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，因此不可忽視。數(shù)學(xué)是“人為”的和“為人”的，融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教育是一種文化教育，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)觀的形成。[29]五、數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效策略（一）教師方面1.改變傳統(tǒng)的教學(xué)觀，深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的主導(dǎo)者，數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)觀直接影響著數(shù)學(xué)教學(xué)的效果和學(xué)生數(shù)學(xué)觀的形成。在數(shù)學(xué)教育中，Ernest把教師的數(shù)學(xué)觀分成了三類：?jiǎn)栴}解決的觀點(diǎn)、柏拉圖主義的觀點(diǎn)和工具主義的觀點(diǎn)[30]。隨著時(shí)代的變遷，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀已不適合當(dāng)下的社會(huì)對(duì)學(xué)生的需求，數(shù)學(xué)教師應(yīng)賦予數(shù)學(xué)觀新的內(nèi)涵。教師應(yīng)擯棄傳統(tǒng)唯分?jǐn)?shù)論英雄的觀點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。尤其在小學(xué)教育中，更應(yīng)該在了解學(xué)生的發(fā)展特點(diǎn)的基礎(chǔ)之上，從學(xué)生的立場(chǎng)、以學(xué)生能接受的語(yǔ)言講述知識(shí)。當(dāng)教師以學(xué)生的發(fā)展而不是以分?jǐn)?shù)為最終的教學(xué)目標(biāo)時(shí)，自然而然地就不會(huì)認(rèn)為再課堂中講授有關(guān)數(shù)學(xué)史的知識(shí)會(huì)浪費(fèi)課堂教學(xué)時(shí)間，就不會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)史只是數(shù)學(xué)家們的故事，對(duì)于講給學(xué)生聽毫無(wú)用處。因此，對(duì)于數(shù)學(xué)教師而言，首先應(yīng)樹立正確的數(shù)學(xué)觀，擺正對(duì)于數(shù)學(xué)史的看法，接納數(shù)學(xué)史，才能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。2.儲(chǔ)備大量數(shù)學(xué)史知識(shí)，提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng) 即使認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，但仍有部分教師因自身知識(shí)儲(chǔ)備的不足而導(dǎo)致未能將數(shù)學(xué)史融入課堂中，多有些“巧婦難為無(wú)米之炊”的遺憾。作為數(shù)學(xué)教師，在認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)史的價(jià)值后，應(yīng)抓住各種機(jī)會(huì)，在閑暇時(shí)或在培訓(xùn)時(shí)，有意識(shí)地積累數(shù)學(xué)史材料，并通過(guò)觀察優(yōu)秀教師地?cái)?shù)學(xué)課堂，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的成功案例。積累數(shù)學(xué)史料的途徑眾多，可以通過(guò)閱讀古籍、已有文獻(xiàn)或權(quán)威圖書等收集。但教師在積累數(shù)學(xué)史料時(shí)要特別注意數(shù)學(xué)史料的真實(shí)性和科學(xué)性，以免在課堂上誤導(dǎo)學(xué)生。數(shù)學(xué)家洛維特說(shuō)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)者應(yīng)該去尋找原始文獻(xiàn)，二手的思想就像二手書和二手衣服一樣充滿細(xì)菌[31]。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史及其在教學(xué)中的實(shí)踐是小學(xué)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的重要途徑，[32]小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)以數(shù)學(xué)史為抓手，儲(chǔ)備數(shù)學(xué)史料，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。3.積極參加有關(guān)的集體教研活動(dòng)，有意識(shí)地在課堂中傳授數(shù)學(xué)史知識(shí) 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)絕不是簡(jiǎn)單的在課堂中出示數(shù)學(xué)家們的名字和肖像，絕不是隨意挑選幾段有關(guān)的數(shù)學(xué)史料放進(jìn)教學(xué)過(guò)程中。數(shù)學(xué)史教學(xué)在史料的選取、呈現(xiàn)的方式和時(shí)間、表述的語(yǔ)言等方面都要經(jīng)過(guò)精心的設(shè)計(jì)，才能達(dá)到較好的效果。因此，對(duì)于數(shù)學(xué)教師而言，積極參與有關(guān)的集體教研活動(dòng)、培訓(xùn)活動(dòng)等，是提高數(shù)學(xué)史教學(xué)能力必不可少的途徑。在備課過(guò)程中，就應(yīng)明確本節(jié)課是否可以融入數(shù)學(xué)史，用哪些史料效果更好，在什么地方進(jìn)入，用什么話語(yǔ)講述，這樣才能在課堂上做到有意識(shí)地教學(xué)，而不是突然冒出了一個(gè)數(shù)學(xué)家的故事，這不僅不能很好的發(fā)揮數(shù)學(xué)史應(yīng)有的作用，還可能產(chǎn)生相反的效果。教育取向的中國(guó)古代數(shù)學(xué)史研究及其融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐和評(píng)價(jià)，都將是未來(lái)HPM領(lǐng)域的重要課題，也將成為小學(xué)數(shù)學(xué)教師研修培訓(xùn)的重要主題之一[33]。（二）教學(xué)方面1.以學(xué)生能夠接受的方式深入淺出，聯(lián)系學(xué)生實(shí)際 長(zhǎng)期以來(lái)，課程總是以一種“作為事實(shí)的課程”出現(xiàn)。胡典順教授在《數(shù)學(xué)教學(xué)論》中指出，“作為事實(shí)的課程”忽略了人的意義和交流過(guò)程。如今在課程改革的背景下，數(shù)學(xué)課程的內(nèi)涵由“作為事實(shí)的課程”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白鳛閷?shí)踐的課程”。“作為實(shí)踐的課程”強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)必須以學(xué)生為本。“教育是人的靈魂的教育，教育的本質(zhì)是育人，而不是知識(shí)的堆積。學(xué)生不是接受知識(shí)的容器，而是一支有待點(diǎn)燃的火把。”因此，在數(shù)學(xué)課堂中，要注意回歸主體立場(chǎng)，真正做到以人為本，以學(xué)生的發(fā)展為本，用學(xué)生能夠理解的方式方法傳授數(shù)學(xué)史知識(shí)，傳遞數(shù)學(xué)精神。只有將學(xué)數(shù)學(xué)與用數(shù)學(xué)結(jié)合在一起，才能達(dá)到數(shù)學(xué)教育的最終目的。而數(shù)學(xué)史料大多數(shù)都是古代數(shù)學(xué)家們生活的直接寫照，與現(xiàn)代生活也有著或多或少的聯(lián)系，如果在講述數(shù)學(xué)史知識(shí)時(shí)，能適當(dāng)聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、削弱學(xué)生將數(shù)學(xué)視為高高在上的神壇的畏懼心理有著事半功倍的成效。2.因“地”制宜，實(shí)施多元化的融入方式 在歷史長(zhǎng)河中，數(shù)學(xué)史料數(shù)不勝數(shù)，因此，在將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的方式多種多樣，教師們需要根據(jù)不同學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史料，并合理選擇融入的方式。在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史主要分為：導(dǎo)入環(huán)節(jié)融入、新授環(huán)節(jié)融入、鞏固拓展融入。[34]例如小學(xué)六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角中的鴿巢問題，有些教師喜歡用筆和筆盒探究出規(guī)律后引入相關(guān)的史料，有些教師則更喜歡在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)用古代的鴿巢問題作為切入點(diǎn)引出課題，另有一些教師希望學(xué)生在課后搜集有關(guān)鴿巢問題及其衍生的數(shù)學(xué)史料。具體的方式教師需要從本身的技能水平、知識(shí)內(nèi)容的特點(diǎn)、學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣等多個(gè)方面綜合考慮后再做出決定，萬(wàn)不可千篇一律，照搬照套。3.注重挖掘數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)含的人文價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生正確的人生觀 數(shù)學(xué)史作為“人文思想教育的主要手段”[35]，對(duì)于學(xué)生良好數(shù)學(xué)觀的形成、學(xué)習(xí)熱情和數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)都有著重要的作用。一直以來(lái)，數(shù)學(xué)課堂中體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的人文價(jià)值時(shí)，常常表現(xiàn)為順手拈來(lái)，零星滲透，厚古薄今，著重于“民族自豪感”等“外在”教育[36]。盡管近代數(shù)學(xué)之所以能發(fā)展到今天，主要是靠中國(guó)的數(shù)學(xué)，而非希臘的數(shù)學(xué)[37]，但是教師向?qū)W生傳授的數(shù)學(xué)史不應(yīng)該是純粹的中國(guó)數(shù)學(xué)史，而應(yīng)該是世界數(shù)學(xué)史。除了激發(fā)學(xué)生的民族自豪感之外，對(duì)于其他國(guó)家著名數(shù)學(xué)家可歌可泣的故事，也應(yīng)當(dāng)從中抽取出值得借鑒的精神。例如不怕繁瑣與勞累，將零碎的幾何事實(shí)串聯(lián)起來(lái)的歐幾里得；力排眾議，創(chuàng)建“集合論”的康托；敢于質(zhì)疑權(quán)威，堅(jiān)持真理的羅巴切夫斯基……同時(shí)，數(shù)學(xué)的發(fā)展也并非是一帆風(fēng)順、一派和諧的。數(shù)學(xué)歷史中出現(xiàn)的三次危機(jī)、“連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)”的命題等一系列對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生沖擊的歷史事實(shí)在一次次的證明與反駁中不斷完善，有些被認(rèn)為是正確的數(shù)學(xué)命題也曾誤導(dǎo)了幾個(gè)世紀(jì)的人們。這些數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中走過(guò)的彎路對(duì)于學(xué)生而言也具有極大的價(jià)值，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生知道并非所有的知識(shí)都是絕對(duì)真理，數(shù)學(xué)不是完美的，而是有些許瑕疵的，培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑權(quán)威的意識(shí)。4.滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)理性思維 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。胡典順教授認(rèn)為，在宏觀上，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的關(guān)鍵和動(dòng)力；在微觀上，只有從知識(shí)和思想方法兩個(gè)層面上去教和學(xué)，學(xué)生才能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的過(guò)程包含在數(shù)學(xué)史中，例如解析幾何的創(chuàng)立實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的溝通，數(shù)形結(jié)合的思想才有生長(zhǎng)的土壤。有了新的思想方法，數(shù)學(xué)才會(huì)有創(chuàng)新，才能夠繼續(xù)向前發(fā)展。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中融入數(shù)學(xué)史知識(shí)，介紹數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的過(guò)程，就是向?qū)W生滲透其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程。只有把學(xué)生放在適當(dāng)?shù)臍v史和數(shù)學(xué)語(yǔ)境下，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造過(guò)程，親身體驗(yàn)教材中數(shù)學(xué)知識(shí)從不確定的“問題狀態(tài)”向相對(duì)確定的“結(jié)果狀態(tài)”轉(zhuǎn)化的過(guò)程，他們才能真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法[38]。（三）教材方面1.數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)的多樣化數(shù)學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)史可以以數(shù)學(xué)課本、數(shù)學(xué)讀本、選修課程和專題研究等形式呈現(xiàn)[39]。隨著時(shí)代的進(jìn)步，同一數(shù)學(xué)史料在課堂中呈現(xiàn)的方式多種多樣，教師應(yīng)擯棄傳統(tǒng)的一成不變的方法，尋找突破與創(chuàng)新。數(shù)學(xué)史融入教材不是只能以文字印刷的方式展現(xiàn)給學(xué)生，也可以采用現(xiàn)代媒體手段，例如使用教材配套的光盤或相關(guān)的網(wǎng)頁(yè)鏈接，以故事、情景劇等方式將數(shù)學(xué)史活靈活現(xiàn)地呈現(xiàn)在學(xué)生面前。[28]打破靜態(tài)、呆板的大段文字的方式，讓數(shù)學(xué)史更好地發(fā)揮它本身的魅力。2.數(shù)學(xué)史內(nèi)容的多元化 呈現(xiàn)多元文化數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生尊重、分享、欣賞和理解不同文化背景下的數(shù)學(xué)成果，這是“數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程”和“數(shù)學(xué)史融入教科書”的突破點(diǎn)[40]。數(shù)學(xué)是人類文化的一部分，數(shù)學(xué)史有著相應(yīng)的文化背景，在多元文化的背景下，數(shù)學(xué)史內(nèi)容必然呈現(xiàn)出多元化的趨勢(shì)。例如“勾股定理”的證明，其方法眾多，不同的方法代表著不同的文化、不同的民族思維方式。因此將數(shù)學(xué)史編入教材中時(shí)，應(yīng)注意呈現(xiàn)多元的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，使得學(xué)生能從不同的方法中體會(huì)古希臘人對(duì)理性的追求，體會(huì)中國(guó)古代對(duì)實(shí)用數(shù)學(xué)的重視等。3.數(shù)學(xué)史編排的合理化 向慧的調(diào)查結(jié)果顯示，大部分教師認(rèn)為教材中的數(shù)學(xué)史知識(shí)分布比較散，于是對(duì)于如何組織數(shù)學(xué)史教學(xué)犯了難[4]。在教材的編排上，應(yīng)考慮到該年齡段的學(xué)生處于何種思維發(fā)展水平，考慮到涉及的數(shù)學(xué)史本身有什么樣的特征，遵循量力性等原則，使得數(shù)學(xué)史內(nèi)容的抽象程度不高于學(xué)生的理解水平，使學(xué)生能夠接受并理解的。同時(shí)，筆者認(rèn)為應(yīng)建設(shè)一支由教材編寫者、數(shù)學(xué)史學(xué)家、一線教師等組成的專業(yè)團(tuán)隊(duì)，共同設(shè)計(jì)教材中的數(shù)學(xué)史，將數(shù)學(xué)史料放置于適當(dāng)?shù)奈恢茫l(fā)揮更大的作用。結(jié)語(yǔ)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育作為一個(gè)方興未艾的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，其教育價(jià)值不斷被人們挖掘，也逐漸掀起了將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的熱潮。然而就如張奠宙教授所言，數(shù)學(xué)史在教學(xué)過(guò)程中依然存在著明顯的“高評(píng)價(jià)，低應(yīng)用”的情況。究其根本，主要是數(shù)學(xué)教師的教育觀念還未及時(shí)更新、或是數(shù)學(xué)教師沒有足夠的數(shù)學(xué)史儲(chǔ)備導(dǎo)致心有余而力不足的窘?jīng)r。因此，如何才能沖破重重桎梏，將數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值充分發(fā)揮出來(lái)，是HPM領(lǐng)域亟待解決的難題。尤其是在初等教育階段，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)能起到很好的奠基作用，為學(xué)生正確數(shù)學(xué)觀、人生觀的形成做好準(zhǔn)備，為學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)做好準(zhǔn)備，為學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想方法做好準(zhǔn)備。因此，筆者專門對(duì)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教育進(jìn)行了細(xì)致的分析，從人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材入手，整理分析其中的數(shù)學(xué)史料，為一線教師數(shù)學(xué)史教學(xué)提供幫助。繼而在充分分析了數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)后，對(duì)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課進(jìn)行了深入分析，并從三個(gè)方面提出了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)融入數(shù)學(xué)史的策略。 本研究原想調(diào)查數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀，并根據(jù)相關(guān)理論設(shè)計(jì)融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)案例進(jìn)行實(shí)踐對(duì)比研究。然而限于條件不足，未能親自設(shè)計(jì)問卷調(diào)查所在省市的數(shù)學(xué)史應(yīng)用情況，也未能進(jìn)行實(shí)踐研究，這是本研究最為可惜的一點(diǎn)。于是將研究方法改為個(gè)案研究法，通過(guò)觀看并記錄融入了數(shù)學(xué)史的小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課，從中提出促進(jìn)數(shù)學(xué)史教學(xué)的有效策略。由于筆者研究水平和能力均十分有限，導(dǎo)致研究或多或少存在一些問題，比如對(duì)于有關(guān)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的文獻(xiàn)資料收集不夠全面，對(duì)于數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值論述太過(guò)寬泛，對(duì)于數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的理論基礎(chǔ)分析不夠透徹等。幸運(yùn)的是，在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，有所改進(jìn)，但是離有水平的學(xué)術(shù)論文還有著較大的差距。因此，這也堅(jiān)定了我繼續(xù)學(xué)習(xí)的決心，在日后的工作或?qū)W習(xí)中，不斷從實(shí)踐中獲取經(jīng)驗(yàn)，提高我的研究水平。參考文獻(xiàn)[1]JamesK.Bidwell.HumanizeYou