福建省廈門市2023--2024學年上學期九年級期末考試數(shù)學試卷

準考證號:姓名:

（在此卷上答題無效）

2023-2024學年第一學期初中畢業(yè)班期末考試

數(shù)學

本試卷共6頁.滿分150分.

注意事項：

1.答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定位置填寫本人準考證號、姓名等信息.核對答題

卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與本人準考證號、姓名是否一致.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用

橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.非選擇題答案用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上

相應位置書寫作答，在試題卷上答題無效.

3.可以直接使用2B鉛筆作圖.

一、選擇題（本大題有8小題，每小題4分，共32分.每小題都有四個選項，其中有且只

有一個選項正確）

1.擲一枚質地均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，下列事件中，是確定

性事件的是

A.向上一面的點數(shù)是2B.向上一面的點數(shù)是奇數(shù)

C.向上一面的點數(shù)小于3D.向上一面的點數(shù)小于7

2.下列方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是

A.x2=0B.X2-3X-1=0

C.X2-2X+5=0D.X2+1=0C

3.如圖1,4ABC內接于。O,直徑AD交BC于點P,連接OB.

下列角中，等于;NAOB的是

A.ZOABB.ZACB、~）

圖i

C.ZCADD.ZOPB

4.關于y=（x-2）（x為任意實數(shù)）的函數(shù)值，下列說法正確的是

A.最小值是-1B.最小值是2

C.最大值是-1D.最大值是2

5.某學校圖書館2023年年底有圖書5萬冊，預計到2025年年底增加至U8萬冊，設圖書數(shù)量

的年平均增長率為％,可列方程

A.5(1+x)=8B.5(1+2%)=8

C.5(1+x)2=8D.5(1+2%)2=8

6.如圖2,直線/是正方形ABCD的一條對稱軸，/與AB,CD分別

交于點M,N.AN,BC的延長線相交于點P,連接BN.下列三

角形中，與4NCP成中心對稱的是

A.ANCBB.ABMN

圖2

C.AAMND.ANDA

數(shù)學試題第1頁（共6頁）

7.某個正六邊形螺帽需要擰4

圈才能擰緊，小梧用扳手的

卡口卡住螺帽，通過轉動扳

手的手柄來轉動螺帽（如圖3

所示）.以此方式把這個螺帽

擰緊，他一共需要轉動扳手

的次數(shù)是

A.4B.16C.24D.32

8.某航空公司對某型號飛機進行著陸后的滑行測試.飛機著陸后滑行的距離s（單位:m）

關于滑行的時間/（單位:s）的函數(shù)解析式是s=-，+60/,貝8的取值范圍是

A.0<r<600B.20W/W40C.0W/W40D.0W/W20

二、填空題（本大題有8小題，每小題4分，共32分）

9.不透明袋子中只裝有2個紅球和1個黃球，這些球除顏色外無其下二

他差別.從袋子中隨機摸出1個球，摸出紅球的概率是________.（\4

10.拋物線y=3（x-1）2+4的對稱軸是________.V/,

11.已知x=l是方程f+Mc-3=0的根，則機的值為__________.7"改1二7c

一圖4

12.四邊形ABCD內接于。O,E為CD延長線上一點，如圖4所示，

則圖中與NADE相等的角是________.

A_______TF

13.如圖5,在aABC中，AB=AC=5,BC=6,AD是AABC的/弋［'

角平分線./y\|￡

把4ABD繞點A逆時針旋轉90°得到AAEF,點B的對應點是點/j一\

E,則點D與點F之間的距離是.圖5

14.在平面直角坐標系xOy中，口ABCD的對角線交于點O.若點A的

坐標為（-2,3）,則點C的坐標為.

15.為了改良某種農(nóng)作物的基因，培育更加優(yōu)良的品種，某研究團隊開展試驗，對該

種農(nóng)作物的種子進行輻射，使其基因發(fā)生某種變異.表一記錄了截至目前的試驗數(shù)據(jù).

表一

累計獲得試驗成功的種子數(shù)（單位:粒）1468101214

累計試驗種子數(shù)（單位:千粒）15810.512.514.516.5

該團隊共需要30?；虬l(fā)生該種變異的種子，請根據(jù)表一的數(shù)據(jù)，合理估計他們還

需要準備用以輻射的種子數(shù)（單位:千粒）：.

16.有四組一元二次方程:①％2-4%+3=0和3r-4》+1=0;②％2_%_6=0和6/+%-1=0;

③一一4=0和43_1=0；④4/_13》+3=0和3--13》+4=0.這四組方程具有共同特征，

我們把具有這種特征的一組一元二次方程中的一個稱為另一個的“相關方程”.請寫

出一個有兩個不相等實數(shù)根但沒有“相關方程”的一元二次方程:.

數(shù)學試題第2頁（共6頁）

三、解答題（本大題有9小題，共86分）

17.（本題滿分8分）

解方程P5x+2=O.

18.（本題滿分8分）

如圖6,四邊形ABCD是平行四邊形,AC=AD,AE，BC,DF，AC,垂足分別為E,F.

證明AE=DF.

圖6

19.（本題滿分8分）

先化簡，再求值：（血一工）4-m~~2m+1.,其中巾=&+L

mm

20.（本題滿分8分）

如圖7,AB與。O相切于點A,OB交。O于點C,OC=8,AC的長為2兀，求BC

的長.

數(shù)學試題第3頁（共6頁）

21.（本題滿分8分）

在矩形ABCD中，點E在AD邊上，ZABE=60°,將^ABE繞點B順時針旋轉得到

△FBG,使點A的對應點F在線段BE上.

（1）請在圖8中作出△FBG;（要求:尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）FG與BC交于點Q,連接EQ,EC,若EC=BQ,請?zhí)骄緼E與DE的數(shù)量關系.

22.（本題滿分10分）

某公交公司有一棟4層的立體停車場，第一層供車輛進出使用，第二至四層停車.每層的

層高為6n1,橫向排列30個車位，每個車位寬為3n1,各車位有相應號碼，如:201表示二

層第1個車位.第二至四層每層各有一個升降臺，分別在211,316,421,為便于升降臺

垂直升降，升降臺正下方各層對應的車位都留空.每個升降臺前方有可在軌道上滑行的

轉運板（以第三層為例，如圖9所示）.該系統(tǒng)取車的工作流程如下（以取停在311的車

子為例）：

①轉運板接收指令，從升降臺316前空載滑行至311前；

②轉運板進311,托起車，載車出311;

③轉運板載車滑行至316前；

④轉運板進316,放車，空載出316,停在316前；

⑤升降臺垂直送車至一層，系統(tǒng)完成取車.

停車位???停車位???升降臺???留空???停車位

301311316321330

轉運板滑行區(qū)圈轉運板滑行區(qū)

圖9停車場第三層平面示意圖

升降臺升與降的速度相同，轉運板空載時的滑行速度為lm/s,載車時的滑行速度是升

降臺升降速度的2倍.

（1）若第四層升降臺送車下降的同時，轉運板接收指令從421前往401取車，升降臺回

到第四層40s后轉運板恰好載著401的車滑行至升降臺前，求轉運板載車時的滑行速

度；

（說明:送至一層的車駛離升降臺的時間、轉運板進出車位所用的時間均忽略不計）

（2）在（1）的條件下，若該系統(tǒng)顯示目前第三層沒有車輛停放，現(xiàn)該系統(tǒng)將某輛車

隨機停放在第三層的停車位上，取該車時，升降臺已在316待命，求系統(tǒng)按上述工

作流程在1分鐘內完成取該車的概率.

數(shù)學試題第4頁（共6頁）

23.(本題滿分10分)

正方形的頂點T在某拋物線上，稱該正方形為該拋物線的“T懸正方形”.若直線

/：>=》+/與“T”是正方形“以T為端點的一邊相交，且點T到直線1的距離為0

(24),則稱直線1為該正方形的“T懸割線”.

已知拋物線M:y=-(x-1)2+m2_2m+4,其中m<1,A(m,3),B(4-3m,

3),以AB為邊作正方形ABCD(點D在點A的下方).

(1)證明：正方形ABCD是拋物線M的“A懸正方形”；

(2)判斷正方形ABCD是否還可能是拋物線M的“B懸正方形”，并說明理由；

(3)若直線1是正方形ABCD的“A懸割線”，現(xiàn)將拋物線M及正方形ABCD進行

相同的平移，是否存在直線1為平移后正方形的“C懸割線”的情形？若存在，

請?zhí)骄繏佄锞€M經(jīng)過了怎樣的平移;若不存在，請說明理由.

24.(本題滿分12分)

四邊形ABCD是菱形，點。為對角線交點，AD邊的垂直平分線交線段OD于點P

(P不與。重合)，連接PC,以點P為圓心，PC長為半徑的圓交直線BC于點E,

直線AE與直線CD交于點F,如圖10所示.

(1)當NABC=60°時，求證:直線AB與OP相切；

(2)當AO=2,AF2+EF2=16時，求NABC的度數(shù)；

(3)在菱形ABCD的邊長與內角發(fā)生變化的過程中，若點C與E不重合，請?zhí)骄?/p>

NAFC與NCAF的數(shù)量關系.

數(shù)學試題第5頁(共6頁)

25.（本題滿分14分）

請閱讀下面關于運用跨學科類比進行的一次研究活動的材料：

［背景］

小梧跟同學提到他家附近在規(guī)劃開一個超市，有同學問道：“你家附近不是已經(jīng)有一個A超

市了嗎？再開一個能吸引顧客嗎？“這個問題引起了大家對超市的吸引力展開研究的興趣.

［過程］

為了簡化問題，同學們首先以“在樓層數(shù)相同、同樣商品的品質和價格相同、售貨服務的

品質也大致相同的情況下，影響超市吸引力的主要因素“為主題對該市居民展開隨機調查.

結果顯示:超市的占地面積、住處與超市的距離這兩個因素的影響程度顯著大于其他因素.

大家根據(jù)調查進行了總結：

①可以把“平均每周到超市購物次數(shù)p”作為超市吸引力指標；

②占地面積越大吸引力越大；

③距離越大吸引力越小.

在此次調查所收集到的居民平均每周到各超市購物次數(shù)的基礎上，同學們進一步調查了相

應超市的占地面積s（單位:m?）及其與居民住處的距離r（單位:m）,并對p,s,r之間的

關系進行研究.

一開始，同學們猜想p可能是，的正比例函數(shù)，但經(jīng)過檢驗，發(fā)現(xiàn)與實際數(shù)據(jù)相差較大.這時,

小梧提出：“我聯(lián)想到牛頓萬有引力定律，這個定律揭示了兩個物體之間的引力大小與各個

物體的質量成正比，而與它們之間距離的平方成反比，可以表示為F

=詈磬（6是引力常數(shù)），我們是不是可以作個類比，試一下看O與

己的關系如何？”.按他的建議，同學們利用調查所得的數(shù)據(jù)在平面直

角坐標系中繪制了p與2對應關系的散點圖，如圖11所示.

根據(jù)閱讀材料思考：

（1）觀察圖11中散點的分布規(guī)律，請用一種函數(shù)來合理估計p與矗的對應關系，直

接寫出它的一般形式；

（2）為了清晰表示位置，同學們選A超市為原點，分別以正東、正北方向為x軸、y

軸正方向建立平面直角坐標系，規(guī)定一個單位長度代表1m長，則小悟家的坐標為

（400,200）.A超市的占地面積為2000m2,規(guī)劃中的B超市在A超市的正東方向.

根據(jù)（1）中的對應關系，解決下列問題：

①若B超市與A超市距離600m~800m,且對小悟家的吸引力與A超市相同，求B

超市占地面積的范圍；

②小梧家在東西向的百花巷，百花巷橫向排列著較為密集的居民樓.現(xiàn)規(guī)劃B超市

開在距A超市300m處，且占地面積最大為490m2,要想與A超市競爭百花巷的

居民，該規(guī)劃是否合適？請說明理由.

數(shù)學試題第6頁（共6頁）

2023-2024學年第一學期初中畢業(yè)班期末考試

數(shù)學參考答案

說明：解答只列出試題的一種或幾種解法.如果考生的解法與所列解法不同，可參照評分量表的要求相應

評分.

、選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

題號12345678

選項DBBACDCD

二、填空題（本大題共8小題，每題4分，共32分）

2

9.§.10.x=l.11.2.12.NABC.（寫/B亦可）13.4啦

14.(2,-3).15.16.16.X2-X=0.（常數(shù)項為0的一元二次方程均可）

三、解答題（本大題有10小題，共86分）

17.（本題滿分8分）

解：

a=l,b=—5,c=2.

因為△=右一4"=17>0,......................................................4分

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根

-b土ylb2-4ac

x=2a

5土西八

—2?.....................................................6刀

即『呼，乂?二空.

8分

18.（本題滿分8分）

解法一：

證明：

???四邊形ABC。是平行四邊形，

AD//BC...................................................3分

ZDAC^ZACB.......................................................4分

AE±BC,DF±AC,

：./AEB=NOFC=90°.

AC^AD,

：.AAEC^/\DFA.......................................................7分

AE=DF.......................................................8分

解法二：

證明：

四邊形ABC。是平行四邊形，

/.AB=DC,/B=/ADC.....................3分

AC^AD,

：.ZADC^ZACD.......................................................4分

/.NB=/ACD.

'：AE±BC,DF±AC,

/.ZAEB=ZDFC^90

：.AAEB咨ADFC..................................................7分

AE=DF.......................................................8分

解法三：

證明：

,/四邊形ABC。是平行四邊形，

AB=DC,AD=BC.......................................................3分

,?AC=AC,

：.△ABg/XCDA.......................................................5分

SAABC-SACDA-

VAE±BC,DF±AC,

11

，-^BC-AE=-jAC-AF.......................................................7分

,?AD=AC,AD=BC,

??BC^AC.

；.AE=DF.......................................................8分

19.（本題滿分8分）

解：

療一］療一2m+l

原式=2分

mm

(m+1)(m-l).(m-1)2

=----------------------.................4y

mm

(m+工)(m—l)m

—m(m—1)2

m+1

6分

m—1,

當m=y[2+l時,

也+1+1

原式=

啦+1—1

=啦?=也+〉..........................8分

20.（本題滿分8分）

解：連接。4

,/AB與。。相切于點A,

OA±AB.

iPZO/?B=90°.......................................................2分

設N40B=n°,

,?OC=8,筋的長為2n,

.8-71

,,180=2zr'

解得。=45,即4OB=45°.......................................................5分

NB=90°—NAOB=45°.

ZB^ZAOB.

：.OA=AB=8.

.?.在Rt/XCMB中，OB=qOA2+AB2=8版.................7分

/.BC=0B-0C=8啦一8.8分

21.（本題滿分8分）

解：（1）（本小題滿分4分）

如圖4FSG即為所求..........................................................4分

解法一（利用SSS作全等三角形）：

解法二（利用SAS作全等三角形）：

解法三（利用ASA作全等三角形）：

(2)(本小題滿分4分)

矩形ABCD中，AD=BC,

ZABC=ZBAD=ZBCD=ZADC=90°.

'：△ABE繞點B順時針旋轉得到△FBG,

點A的對應點F在線段BE上，

AABE咨AFBG.

：./BFG=/BAE=90°,BA=BF.

'：在RtZkBAE中，ZABE=60°,

：.ZAEB=30°.

：.BE=2BA.............................5分

BE=2BF.

又：FG1.BE,FG與BC交于點Q,

BQ=EQ........................6分

ZQBE=ZQEB=30a.

：.ZEQC=Z.QBE+ZQEB=60a.

又,:EC=BQ,

：.EC=EQ.

?*.△EQC是等邊二角形.

ZECQ=60°,EC=CQ..................................................7分

在RtZ\EDC中，ZECD=30°,

/.CE=2DE.

：.BQ=CQ=2OE.

AO=BC=BQ+CQ=4OE.

AE=AD—DE=3DE......................................................8分

22.（本題滿分10分）

解：（1）（本小題滿分5分）

設轉運板載車時的滑行速度為xm/s,則升降臺升降速度為0.5xm/s,.......................2分

依據(jù)題意可知，車位421與401相距20X3=60m,且每層的層高為6m,

—12X3X66060八

可列方程：05x+40=T+q.....................................................4分

解得：x—0.5,

經(jīng)檢驗，原分式方程的解為x=0.6,且符合題意.

答：轉運板載車時的滑行速度為0.6m/s......................................................5分

（2）（本小題滿分5分）

設系統(tǒng)將車輛隨機停放在316旁的第a個車位，要使得系統(tǒng)按上述工作流程在1分鐘內完成取該

車，..........................6分

解得:a<2.5.

因為。是正整數(shù)，所以aW2......................................................8分

因此，要使得系統(tǒng)按上述工作流程在1分鐘內完成取該車，該車只能停放在316左右兩旁一共4個車位上,

也即該系統(tǒng)將某輛車隨機停放在第三層的停車位上共有28種可能性相等的結果，而停放在滿足條件“系統(tǒng)

按上述工作流程在1分鐘內完成取該車”的停車位上的結果有4種.

41

所以P（系統(tǒng)按上述工作流程在1分鐘內完成取該車）=葭=7........................10分

Zo/

23.（本題滿分10分）

解：（1）（本小題滿分3分）

當x=m時，y——（m—l）2+m2-2m+4——m2+2m—1+m2—2m+4=3.

.....................................................3分

所以點A在拋物線M上.

所以正方形ABCD是拋物線M的?A懸正方形”.

（2）（本小題滿分3分）

解法一：

正方形48C。不可能是拋物線M的“B懸正方形”，理由如下：

假設點B在拋物線M上，則當x=4—3m時，y=3.

所以一（4—3m-1）2+“一2m+4=3.....................................................4分

化簡得：m2—2m+l=0.

所以mi=m2=l..................................................5分

1

與矛盾.

所以假設不成立.

所以點8不在拋物線M上.

正方形ABCD不可能是拋物線M的“B懸正方形”...........................6分

解法二：

正方形ABC。不可能是拋物線M的“B懸正方形”，理由如下：

假設點B在拋物線M上，

由4m,3),B(4-3m,3)可知拋物線M的對稱軸x=①9=—m+2.................4分

由拋物線M：y=-(x-l)2+m2-2m+4可知對稱軸是x=l.

所以一m+2=l.

解得m=l......................................................5分

1

與矛盾.

所以假設不成立.

所以點B不在拋物線M上.

正方形ABCD不可能是拋物線M的“B懸正方形”...........................6分

(3)(本小題滿分4分)

假設存在直線/為平移后正方形的“C懸割線”的情形，則平移后，正方形A8C0是拋物線M的“C懸正方

形”.

因為拋物線M及正方形ABC。進行相同的平移，

所以平移前，正方形ABC。是拋物線M的“C懸正方形”.

所以點C在拋物線M上.

因為4m,3),B(4-3m,3),所以AB〃x軸.

又因為m<l,

所以>48=4—4m.

在正方形ABC。中，AB±BC,AB=BC,

所以C(4-3m,4m-l)......................................7分

因為點C在拋物線M上，

所以一(4—3m—1)2+“—2m+4=4m—1.

1

解得：mi=2>m2=l(不合題思，舍去).

1

所以m=]......................................................8分

155

所以平移前，4]，3),8(-,3),%,1).

因為直線/：y=x+t■與x軸,y軸分別交于(一30),(0,t),

又因為|一t|=|t|,乂軸_1_丫軸,

所以直線/：y=x+t與x軸夾角是45。.

因為平移前，直線/是正方形48C。的“A懸割線”，如圖，設直線/與4B,AD分別交于點P,Q,

因為4B〃x軸，

所以NAPQ=45°.

在正方形ABC。中，NBAO=90°,

所以NAQP=45°.

所以AQ=AP.

所以PQ=7AP2+AQ2=y[iAP.

11

因為SAAPQ=]AQ?AP=3PQ'd，d=y[2(2~t),

所以4P=2(2-t)=4—2t.

9

所以喝一2t,3).

3

因為點P在直線/：y=x+t上，所以t=2-

9分

設點eg,1)平移后的坐標為(|+6，1+k).

設直線/與平移后正方形的CD邊交于點E,

如圖，同理可得：CE=2(2-t)=4—2t=l.

3

所以E(]+/7,1+k).

3

因為點E在直線/：y=x+,上，

33

所以5+6+5=1+卜.

所以k—h+2.

因為拋物線M及正方形進行相同的平移，

所以要使直線/為平移后正方形的“C懸割線”，則拋物線M向右平移八個單位，向上平移(h+2)個單位,

其中h為任意實數(shù)...........................10分

24.（本題滿分12分）

（1）（本小題滿分4分）

證明：連接AP.

V四邊形ABC。是菱形，

/.BA=BC=A。，AO^CO,BD±AC.

.....................................................2分

1

ZABD=ZCBD=^ZABC=30\

：.4BO=4OB=30°.

；P是AO垂直平分線上的點，

PA=PD.

：.NPAD=/PDA=30°............................3分

/.ZAPB=60°.

：.NR4B=180°—/AP8-/A80=90°.

PA±AB.

：BO垂直平分AC,P在BD上，

:.PA=PC,即點A在。P上.

直線AB與。P相切......4分

（2）（本小題滿分4分）

由（1）得點。在。P上.

,/NADC與/AEC同對最，

NADC=/AEC.

V四邊形ABC。是菱形，

/.AB//CD,AD//BC.

：./ADC=/DCE.

：./AEC=/DCE.

：.FE=FC................................b力

---AF2+EF2=16,

.?.在中，AF2+CF2^AF2+fF2=16.

*/由（1）得AC=2AO=4,BPAC2=16.

：.AF2+EF2^AC2.

△ACF為直角三角形，且/AFC=90。.7分

/.ZAEC=ZDCE=45°.

又?:AB//CD,

NABC=NOCE=45°.........................8分

（3）（本小題滿分4分）

設4BC=a,

由(1)知：當a=60。時，直線AB與。P相切，同理：當a=60。時，直線BC與。P相切，此時，點C是

切點，點E、F、C重合.

所以若點C與E不重合，可分兩類討論：

①當點E在BC延長線上時，

由(2)知：/AEC=/DCE=/ABC=a.

1

ZAFC=2ZDCE=2a,即a=~ZAFC.

'：由(1)得&4=BC,

11

ZACB=ZCAB=2(180。一/ABC)=90。一/a.

13

ZCAF=ZACB-ZAEC=90°~2a~。=90。一10分

3

ZCAF=90°—^ZAFC.

3

即/CAF+z/AFC=90°...............11分

②當點E在BC邊上時，

:點A,E,C,。在。P上，

ZAEC+ZADC^180°.

ZAEC+ZFEC^180°,

：.NFEC=/ADC=NABC=a.

'：由（1）得AO〃BC,

/.NFCE=/ADC=a.

/AFC=180°—/FCE—NFEC=180°—2a.

1

即a=~（180°—NAFC）.

又?:由（1）得BA=BC,

11

ZBAC=ZBCA=^（180°—/ABC）=90°—

13

ZCAF=ZFEC~ZBCA=a-（90。一=/a—90。.

33

/CAF=Z（180°—/AFC）—90°=45°—公/AFC.

3

即/CAF+w/AFC=45°.

3

綜上，NCAF+a/AFC=90°或45°............................12分

25.(本題滿分14分)

(1)(本小題滿分4分)

ks