2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題及答案解析

2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

設(shè)集合則

1.4={%CN∣3<x<7},B={x?log2(?x-2)<2},ACB=()

A.{x∣3≤%<6)B.[x∣3<x<6}C.{4,5,6}D.{4,5}

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z的共軌復(fù)數(shù)為2,若(1一。2=?36。)，則2對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.己知|初=巧I=2,三4=2遍，則=()

A.√6+√2B.√6-√2c.罕D.華

44

等差數(shù)列的前項和為無,則∑齡尚=()

4.{arι}nα5=5,S7=28,

A2021?4044C2023C?

A.1011B.2023C?1012D.2

5.如圖，有一壁畫，最高點4處離地面12m,最低點B處離地面7?n,若從離地高4τn的C處觀

6.已知函數(shù)/(%)=AsinOx+0)(/>0,3>0,|何V方的部分圖象如圖所示，若把/(%)圖

象上所有點向左平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(%)=()

A.3sin2xB.3sin(2x÷C.3sin(2x—D.3cos2x

7.橢圓C：《+I=l(α>b>0)經(jīng)過點(0,一8)，點尸是橢圓的右焦點，點尸到左頂點的距

離和到右準線的距離相等，過點尸的直線墳橢圓于4B兩點(4點位于X軸下方)，且IAFl=

2∣BF∣,則直線，的斜率為()

A.1B.2C.苧D.√5

8.設(shè)min{α,b}={：：：：,若函數(shù)/(x)=min{e*τ-%,-/+2皿-1}有且只有三個零點,

則實數(shù)Zn的取值范圍為()

A.(∣,+∞)B.6+8)C.(l,+∞)D.信+8)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知變量y與X具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計得到6組數(shù)據(jù)如下表：

若y關(guān)于X的線性回歸方程為9=0.8x+a,則()

A.變量y與X之間正相關(guān)B.歹=14.4

C.S=6.8D.當(dāng)X=12時，y的估計值為15.6

10.已知函數(shù)y=∕(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=/,(x),則()

A.若y=/Q)在X=α處取得極值，則f'(α)=0

B.若函數(shù)y=f(x)在(α,b)上是減函數(shù)，則當(dāng)x∈(α,b)時,f,(x)<0

C.若y=/(x)為偶函數(shù)，則y=f'(x)是奇函數(shù)

D.若y=∕(x)是周期函數(shù)，貝Uy=f'(x)也是周期函數(shù)

11.已知函數(shù)f(x)=COS尤+二，，則()

A./(x)的最小值為2B./Q)的圖象關(guān)于丫軸對稱

C./(尤)的圖象關(guān)于直線X=Tr對稱D./(x)的圖象關(guān)于(},0)中心對稱

12.如圖，矩形ABCO中，40=y[2AB=10√2,邊力D,BC的中點分別為E,F,直線BE交4C

于點G,直線DF交AC于點H.現(xiàn)分別將團ABE,回CDF沿BE,DF折起，點4C在平面BFDE同

側(cè)，則(

A.當(dāng)平面AEBL平面BEDF時，AGI5FffiBEDF

B.當(dāng)平面AEB〃平面CDF時，AE//CD

C.當(dāng)4C重合于點P時，二面角P-DF-B的大小等于60。

D.當(dāng)4C重合于點P時，三棱錐P-BE尸與三棱錐P-OEF外接球的公共圓的周長為IOzr

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若雙曲線C：今-，=1((1>0/>0)的離心率為近，則C的兩條漸近線所成的角等

于?

14.同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)解析式為/(X)=.

①不是常數(shù)函數(shù)；②/(-x)-f(x)=O;③/(1-X)=f(l+x)?

15.若(x+l+*(x+[)5的展開式中所有項的系數(shù)和為243,則展開式中/的系數(shù)是.

16.早在南北朝時期，祖沖之和他的兒子祖晅在研究幾何體的體積時，得到了如下的祖曬原

理：事勢既同，則積不容異。這就是說，夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行于

這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等，

將雙曲線Cl：/一1=1與y=0ιy=√I所圍成的平面圖形(含邊界)繞其虛軸旋轉(zhuǎn)一周得到如

圖所示的幾何體『，其中線段04為雙曲線的實半軸，點B和點C為直線y=百分別與雙曲線一

條漸近線及右支的交點，則線段BC旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形的面積是,幾何體r的體積

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

己知△4BC的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為α,b,c,c2=a2+ab.

(1)證明：C=24；

(2)若α=3,sinΛ=?,求△4BC的面積.

18.(本小題12.0分)

22

已知正項數(shù)列｛αjl｝的前n項和為Sn,且曉-(n+n-2)Sn-2(n+n)=0.

(1)求數(shù)列｛α7l｝的通項公式；

(2)若與=[lgαn](其中[幻表示不超過X的最大整數(shù))，求數(shù)列｛4｝的前100項的和Ao。.

19.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P-ABC。中，PA，底面ABCD,AD∕∕BC,N為PB的中點.

(1)若點M在4。上，2AM=MD,AD=^BC,證明：MN〃平面PCD；

(2)若R4=AB=ZC=4D=3,BC=4,求二面角D-AC-N的余弦值.

20.(本小題12.0分)

某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，在該批棉花中隨機抽取了容量為120的樣本，測量每個樣

本棉花的纖維長度(單位：mm,纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[20,32]

內(nèi)，將其按組距為2分組，制作成如圖所示的頻率分布直方圖，其中纖維長度不小于28Zmn的

棉花為優(yōu)質(zhì)棉.

(1)求頻率分布直方圖中α的值；

(2)己知抽取的容量為120的樣本棉花產(chǎn)自于4B兩個試驗區(qū)，部分數(shù)據(jù)如下2X2列聯(lián)表:

將2X2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為優(yōu)質(zhì)棉與4,B兩個試驗區(qū)有關(guān)系;

(3)若從這批120個樣本棉花中隨機抽取3個,其中有X個優(yōu)質(zhì)棉,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

注：①獨立性檢驗的臨界值表：

P(JC2>?)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xo2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

②2=——n(ad-b∩-----其中=Q+b+c+d

J/(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)rι

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：各'=l(α>b>0)的離心率為浮直線1過C的焦點且垂直于%軸，直線蹶C所

截得的線段長為√Σ

(1)求C的方程；

(2)若C與y軸的正半軸相交于點P,點A在X軸的負半軸上，點B在C上,PA1PB,NPAB=60°,

求APAB的面積.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(χ)=竺箸.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若α=l,證明：/(x)<%+?(x>0).

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

化簡集合A和集合B,再求交集即可.

【解答】

解：A={xEN?3<x<7}={4,5,6},

B={x?log2(,x—2)<2]={x∣0<x—2<4}={x∣2<x<6},

則2CB={4,5).

故選D

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

利用復(fù)數(shù)運算求得z,從而求得N進而確定正確答案.

【解答】

解：依題意Z=上i(l+i)-l+t1,1.

(l-0(l+i)222

所以5=—g—夕，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為(—",一號，在第三象限.

故選C.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查利用向量的數(shù)量積求向量的模，屬于中檔題.

由己知條件，利用向量的數(shù)量積求向量的模即可.

【解答】

解：已知I五I=Ibl=2，a`b=2>/3?

則0+b)2=α2÷fe2÷2α?K

=∣α∣2+∣h∣2+2α?h=4+4+2×2√3=8+4√3

=(V2)2+(?/e)2+2×V2×√6=(V2+Vβ)2>

2

.?.1α+K1=y∣(a+b)=√2+√6-

故選A.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查等差數(shù)列中的基本量計算，考查裂項相消法求和，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)出公差，利用等差數(shù)列通項公式和求和公式列出方程組，求出公差與首項，得到Srl=嗎0,

進而利用裂項相消法求和.

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,=

解得Qi；；，故Sn=na1+以展?d=n+也產(chǎn)="/2,

故2=扁5=2（；-/，

故Σ瞥搟=2x（1+…+壺一壺）=2x（1一壺）=磊.

故選B.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查利用基本不等式解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)離墻的距離為為％,求得tan。關(guān)于X的表達式，結(jié)合基本不等式求得0取得最大值時X的值.

【解答】

A

設(shè)離墻的距離為為》,

過C作CDl4B,交AB的延長線于D,則CD=%,

易得BD=3fAβ=5tAD=8,

tan?ACD-tan乙BCD

所以CQ九6=tan(?ACD-ZJBCD)=

l÷tαn?ACD-tan乙BCD

8_3

-XX_5_5√6

_778"一市一^24~,

當(dāng)且僅當(dāng)X=X=2通時等號成立,

由于0＜。＜5，所以當(dāng)tan。最大時，8最大，此時％=2√^m.

故選D.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查由部分函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖象的平移變換，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)圖象確定4=3,求得最小正周期，求出3,利用點管,3)代入解析式求得w=*可得f(x)的

解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換即可得答案.

【解答】

解：由圖象得4=3,函數(shù)的最小正周期7滿足J=答一=%

41264

故T=Tr=含，又3＞O,?3=2,

將點管,3)代入函數(shù)/Q)=3sin(2x+φ),即3=3sin(2×≡+φ),

則方+φ=2kπ+^,(keZ)l:.φ=2fcπ+≡,(fc∈Z),

因為|6|<2，所以9=不，故函數(shù)/(x)=3sin(2x+?,

因為將fO)=3sin(2x+斜圖象上的所有點向左平移汐單位得到函數(shù)g(x)的圖象,

所以g(x)=3sin[2(x+,)+*=3sin(2x+今=3cos2x.

故選。.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用，屬于中檔題.

由題意確定b=6,根據(jù)點尸到左頂點的距離和到右準線的距離相等列式求得α,即得橢圓方程,

設(shè)直線，的方程，并聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合MFl=2∣BF∣化簡，即可求得答

案.

【解答】

解：設(shè)橢圓C：熱+/=l(a>b>0)的焦距為2c,由題意知b=√5,

2

由點尸到左頂點的距離和到右準線的距離相等，得α+c=--c,

C

2

又口2=廬+,聯(lián)立。+c=———解得Q=2,C=L

C

???橢圓C的標準方程為1+1=1,

43

由題意可知直線，的斜率一定存在，F(xiàn)(LO),

由于NFl=2∣BF∣,(A點位于X軸下方)，可知直線2的斜率k>0,

設(shè)直線，的方程為y=k(x-1)，t?Λ(x1,Vι),B(x2,y2)>

y-L1

fe(

聯(lián)∕

2

-y3可得將(3+4∕C2)X2-8k2x+4∕C2-12=O,/=144(fc2+1)>O,

4+

=I

Sk24fc2-12

則Xl+X2=

3+4必'久1”2-3+4∕c2

由∣4F∣=2∣BF∣,得y1=一2%，即/+2&=3,聯(lián)立%+%=衛(wèi)p

3+4/c

國74日4k2-99+4F心X4∕C2-12

解得"右必=訴'代入3=訴?中I+1'

4k2-99+4k24fc2-12

即.

3+席×3+4fc2-3+4必'

解得/C=孚(k=—苧舍去).

故選C.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，考查分段函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

構(gòu)造函數(shù)g(x)=e*τ-X與九(X)=-X2+2mx-1,先利用導(dǎo)數(shù)研究得g(x)的性質(zhì)，再利用二次

函數(shù)的性質(zhì)研究得九Q)的性質(zhì)，從而作出/Q)的圖像，由此得到九(X)max>0,分類討論m<-1與

m>1時/(x)的零點情況，據(jù)此得解.

【解答】

解:令g(x)=ex~1—X,則g,(x)=ex~1—1,

令g,(x)>0,得x>l；令g,(x)<0,得x<l；

所以g(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增，故g(x)min=9(1)=0；

又因為對于任意M>0,在(一8,1)上總存在X=-M,使得g(-M)=e-Mτ+M>M,

在(1,+8)上由于y=∕τ的增長速率比y=X的增長速率要快得多，所以總存在X=x0>使得

x1

e0~—x0>M,

所以g(χ)在(-8,1)與(L+8)上都趨于無窮大；

令∕ι(x)=—/+2mx—1,則h(x)開口向下，對稱軸為x=m,

所以九(X)在(一8,6)上單調(diào)遞增，在(m,+8)上單調(diào)遞減，故∕l(x)max=h(m)=m2-1↑

因為函數(shù)/^(x)=min{ex^1-x,-x2+2mx-1}有且只有三個零點，

而g(x)已經(jīng)有唯一零點X=1,所以九(X)必須有兩個零點，貝服(X)max>0，即-1>0,解得

m<—1或m>1；

當(dāng)m<一1時，∕ι(l)=-I2+2m×1-1=—2+2m<0>

則/(1)=min?(l),?(l))=∕ι(l)<0,

即f(x)在x=l處取不到零點，故/Q)至多只有兩個零點，不滿足題意；

當(dāng)m>1時，h(l)=-I2+2m×1-1=-2+2m>0,

則/(1)=min{g(l),/I(I)}=g(l)=0,所以/Q)在X=1處取得零點，

結(jié)合圖像又知g(x)與∕ι(x)必有兩個交點，故/'(x)在(-8,1)上與(m,+8)上必有兩個零點，

所以/(x)有且只有三個零點，滿足題意；

綜上：m>1,即me(l,+8).

故選C.

9.【答案】AB

【解析】

【分析】

本題考查線性回歸直線方程，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)線性回歸方程可判斷選項A,由得到的6組數(shù)據(jù)可計算樣本點中心，可判斷B,再根據(jù)回歸直

線過樣本點中心可判斷C,進而可判斷D.

【解答】

解：由y關(guān)于X的線性回歸方程為9=0.8x+a,可知變量y與X之間正相關(guān)，故A正確;

2+4+7+10+15+22

由表中數(shù)據(jù)可知M==10,

6

-8.1÷9.4+12+14.4+18.5+24.

y=-------------------------------=144.4y,l故B正確;

因此樣本點中心為(Io,14.4),將其代入線性回歸方程9=0.8x+a,

可得a=14.4—0.8x10=6.4,故C不正確；

因此，y關(guān)于X的線性回歸方程為m=0.8x+6.4,

將X=12代入線性回歸方程可得y=0.8X12+6.4=16,

即當(dāng)X=12時，y的估計值為16,故。不正確.

故選48.

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)極值的概念，考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題.

函數(shù)在極值處導(dǎo)數(shù)值為0,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)；周期函數(shù)的導(dǎo)函

數(shù)必然也是周期函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)容易作答.

【解答】

解：A,根據(jù)極值的定義，極值點處導(dǎo)數(shù)值為0,故A正確；

B,反例：f(x)=-χ3,%e(一ι,i),∕(χ)在定義域上是減函數(shù)，但是尸(0)=0,故B錯誤；

C,y=∕(x)為偶函數(shù)，所以/^(-x)=f(x),???-f,(-x)=f'(x),

所以y=f<X)是奇函數(shù)，故C正確；

D,y=f(%)是周期函數(shù),若7為其一個周期，則f(%+7)=/(x),.??∕,(x)=[f(x+T)]'=f'(x+T),

所以y=/，(X)也是周期函數(shù)，故D正確.

故選ACD.

11.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查含c。SX的函數(shù)的奇偶性與對稱性，屬于中檔題.

選項A,/(κ)的值可以為負，所以A不正確；選項B,f(x)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，所以

B正確；選項C,/(π-x)=∕(π+x),所以f(x)的圖像關(guān)于直線X=兀對稱，所以C正確：選項

D，/(≡-χ)=-∕ξ+χ),所以/(X)的圖象關(guān)于停,0)中心對稱，所以。正確.

【解答】

解：選項A,當(dāng)CoSX<O時，/(x)的值為負，所以4不正確;

選項B,/(-X)=cos(-x)+??=CoSX+?=f(%),

所以/(x)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，所以8正確；

選項C,/(7T+X)=C0S(7r+X)+兩島=-COSX-裊

f(π-%)=cos(π一%)Hγ~~r=-cos%———,

‘'''，COS(Tr-x)COSX

所以/(7T-x)=f(τr+%),所以f(%)的圖像關(guān)于直線X=Tr對稱，所以C正確；

選項。，展-為=COScT)+W^=sinx++,

—居+%)=TCoSG+%)+兩為］=sinx+?,

所以fG-x)=—&+%)，所以/(x)的圖象關(guān)于&。)中心對稱，所以。正確.

故選BCD.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查直線與平面、平面與平面垂直或平行的判定定理與性質(zhì)定理，考查二面角大小的求解，

考查三棱錐的外接球問題，屬于較難題.

對于4,先利用三角形相似證得力G1BE,再利用面面垂直的性質(zhì)定理證得4G，平面BEDF,從而

得以判斷；

對于B,先利用線面垂直推得平面AGH與平面CHG重合，再利用面面平行的性質(zhì)定理證得4G〃CH,

進而推得Aey/GH,假設(shè)AE〃CD,推得GH〃平面ZEDC,利用線面平行的性質(zhì)定理推得GH〃ED,

進而推得GH=CE,與已知矛盾，由此得以判斷；

對于C,由PHI。尸，GH1DF,得到二面角P-Cf-B的平面角為4PHG,進而由PG=PH=GH

推得NPHG=60。，據(jù)此判斷即可；

對于D,先分析得三棱錐P-BEF與三棱錐P-DEF外接球的公共圓為團PEF的外接圓，再由勾股

定理的逆定理證得PEJ.PF,從而求得公共圓的直徑，由此得解.

【解答】

解：對于4在矩形ABC。中，AD=y[2AB=10√2,E是的中點,

所以AE=[∕W=5√ΣCD=AB=10,則變=在=竺，

，AB2AD

又NBAE=Z.ADC=90°,所以回AEB?回DCA,則BE=/.DAC,

^?^?DAC+?AEG=?ABE+?AEG=90°,貝此AGE=90。，故4G1BE,

當(dāng)平面AEB_L平面BEDF時，如圖1,

又因為平j(luò)?4EBn平面BEDF=BE,AGU平面4EB,

所以4G1平面BEDF,故A正確；

圖1

對于8,當(dāng)平面ABE〃平面CDF,如圖1,

由選項A易知在矩形4BC。中，ACLBE1ACLDF,則BE〃DF,

所以在Rt中，BE=√∕1E2+ΛB2=5√6.AG=華萼=竽，

BE3

同理CH=等，貝IJGH=軍，AG=CH,

又BE：G,BElGH,AGCtGH=G,AG1GHcψffiΛGH,

所以BEl平面4GH,同理DFI平面CHG,

又因為BE〃DF,所以平面AGH與平面CHG重合，即四邊形AGHC為平面四邊形，

又平面ABE//平面CDF,平面4BEn平面AGHC=4G,平面CoFn平面4GHC=CH,

所以4G〃CH,又AG=CH,所以四邊形AGHC是平行四邊形，則4√∕GH,

假設(shè)4E〃CD,則四邊形ZEDC為平面圖形，

又ACu平面ZEDC,G”C平面ZEDC,所以GH〃平面AEnC,

又平面AEOCn平面BEDF=ED,GHU平面BEDF,所以GH〃ED,

又BEllDF,^GE//DH,所以四邊形。EGH是平行四邊形，

所以DE=GH,而G”=竿，DE=5√2,顯然矛盾，故B錯誤；

對于C,如圖2,由選項A易得PH，DF,GHLDF,

所以二面角P-DF-B的平面角為4PHG,

在APGH中，由選項B知PG=PH=GH=竽，

所以APGH是正三角形，故NPHG=60。，即二面角P-DF-B的大小等于60。，故C正確;

圖2

對于D,如圖2,三棱錐P-BEF與三棱錐P-DEF的公共面為面PEF,

所以三棱錐P-BEF與三棱錐P-OEF外接球的公共圓為回PEF的外接圓,

易知PE=AE=5√2.PF=CF=5√2>EF=AB=10,

所以PE2+尸產(chǎn)=100=￡7修，所以PEJ.PF,即團PE尸為直角三角形，

所以EF為回PEF的外接圓的直徑，即2R=EF=10,

所以所求公共圓的周長為2τrR=10兀，故。正確.

故選ACD.

13.【答案】?

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)離心率與α,b,c的關(guān)系以及漸近線方程的表達式即可求解.

【解答】

解：因為雙曲線的離心率為e=（=√∑,所以c=√∑α,

又因為c2=a2+b2,所以2α2=α2+z>2,解得a=b,

所以雙曲線的一條漸近線為y=X,傾斜角為*

所以兩條漸近線所成的角等于最

故答案為宗

14.【答案】COSTrx（答案不唯一）

【解析】

【分析】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性與對稱性求解析式，屬于基礎(chǔ)題.

首先理解條件中的性質(zhì)，再寫出滿足條件的函數(shù).

【解答】

解:因為/(―乃一f(X)=O,BP∕(-X)=f(x),所以函數(shù)是偶函數(shù)，

因為/(1-%)=f(l+x),所以函數(shù)關(guān)于x=l對稱，且函數(shù)不是常函數(shù)，所以滿足條件的函數(shù)為

/(χ)=COSTTX.

故答案為COSTrX(答案不唯一)

15.【答案】9

【解析】

【分析】

本題考查求展開式中特定項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

先賦值，求出a=-1,再求出(x+§5的展開式的通項公式，得到A，T2,與的對應(yīng)項

相乘后得到展開式中”的系數(shù).

【解答】

解：(%+1+?)0+§5中令欠=1得：(l+l+a)(l+2)5=243,解得：a=-1,

(x+§5的展開式的通項公式為圖+1=C^x5-r(2χ-1)r=備-2rx5-2r,

當(dāng)5-2r=3時，r=1,則R=Cg?2x3=IOx3,

當(dāng)5-2r=5時，r=0,則Tl=Cθx5=%5,

當(dāng)5-2r=4時，r=?gZ,不合要求，舍去，

故(x+1-90+令5的展開式中％4的系數(shù)為10×1+1×(-1)=9.

故答案為9.

16.【答案】π

4√3

Cπ

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，以及幾何體體積的計算，屬于中檔題.

過y軸任意一點作直線”/BC,交雙曲線漸近線、雙曲線于B'、C,計算內(nèi)部圓形（綠色部分）和環(huán)

帶面積（橙色部分），利用祖隨原理即可求解.

【解答】

解：

如圖所示，B'C'∕∕BC,

雙曲線的一條漸近線方程為y=Bx,設(shè)夕（患心），cyJl+%y0）,

當(dāng)B'C'繞y軸旋轉(zhuǎn)一周時，內(nèi)部圓形面積（綠色部分）為兀呼，

所以線段BC旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形的面積是兀華=兀"=π,

外部橙色環(huán)帶面積為TT（Jl+#）一兀牛=乃，

此部分對應(yīng)的體積等價于底面積為兀，高為√5的圓柱，

所以幾何體r的體積為“√5（橙色部分）+3兀b（圓錐部分）=苧τr?

故答案為兀；兀?

17.【答案】解：(1)在4ABC中，由余弦定理C?=α2+fo2-20bcosC及c?=α2+ab,

得M+而=。2+爐-2abcosC9得b=α+2acosC,

由正弦定理得SinB=sinA+2sinΛcosC,因為B=ττ-(∕+C),

所以SinB=Sin(A+C)=SirL4cosC+cosΛsinC,

所以COSAsinC-sin4cosC=SirL4,即Sin(C-4)=sinΛ,

因為4B,C是三角形的內(nèi)角，所以C-/=4即C=24

(2)由(1)可得4∈(O(),因為Sina=所以CoSi4=?/l-sin2A=學(xué)，

??3

所以SinC=sin24=2sin∕lcosi4=挈，cosC=cos24=cos2A—sin2A=?,

..,一廠、172√24√223

SlnBn=SlnG4+Q=3×9+l~×-Γ=57,

QSinC

由正弦定理得，??(所以C4√2,

SinA

所以△/BC的面積S=TQCSinB=?×3×4√2×||=與二

【解析】本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積公式，屬于中檔題.

(1)由余弦定理C?=Q2+爐-2αbcosC和C?=M+Qb,聯(lián)立得b=Q+2acosC,結(jié)合正弦定理邊

化角，再將SinB代換為SinOI+C)即可求解；

(2)由同角三角函數(shù)關(guān)系求出COSi4,利用Sine=sin24求出SinC,

由求出進而求出結(jié)合擊求出的由進而得解.

COSC=Cos2ACOSC,SinB,sιn√j4=Ksin7eS=^ZacsinB

18.【答案】解：(1)因為說一012+72-2?71-2(712+切=0,所以⑹"+2)^^-^?+^)]=。,

又因為｛α,J為正項數(shù)列，所以S71>0,可得S"="2+n,

當(dāng)n—1時,%=Si=2;

22

當(dāng)n≥2時，αjl=Sn-SnT=∏+n-[(n-I)+(n-1)]-2n;

將n=1代入上式驗證顯然成立，所以期=2n；

(2)已知％=[lgαn],因為a5=10,a50=100,a500=1000,

0,1≤n≤4

所以brι=1,5≤n≤49,

.2,50≤n≤100

所以TIOO=0x4+1x45+2x51=147.

【解析】本題考查數(shù)列的前n項和及S71與azι的關(guān)系，考查分組求和法，屬于中檔題.

(1)先應(yīng)用因式分解求出Srι,再利用a7τ=Sn-Sn-I即可求出；

(2)根據(jù)數(shù)列特點采用分組求和法求解.

19.【答案】(1)證明：如圖所示:

取PC中點F,連接NF,DF,

因為MD=24M,所以MD=

又因為AD=.BC,所以MD=5BC,

又因為4D〃BC,所以MD〃BC,

又因為N為PB的中點，

所以NF〃BC且NF=；BC,

即有NF〃MC且NF=MD,

所以四邊形NFDM是平行四邊形，

所以MN〃。凡

又因為MNu平面PCD,OFU平面PC。，

所以MN〃平面PCD；

(2)解：連接NC,

因為ZB=AC=3,

所以AABC為等腰三角形，

取BC中點Q,連接4Q,則有AQ_LBC,

又因為AD〃BC,所以4QJ.AC,

又因為P4?L底面4BCD,AQ,AD^W?ABCD,

所以PA1AQ,PALAD,

即4Q,4D,4P兩兩垂直，

以4為原點，以ZQ所在直線為X軸，4。所在直線為y軸，AP所在直線為Z軸，建立空間直角坐標系,

如圖所示：

Z1

因為PA=AB=AC=AD=3,BC=4,

則有/(O,O,O),D(O30),C(√5,2,0)./V(y,-l,∣).

所以前=(y,-l,∣),ΛC=(√5,2,0),

設(shè)平面4CN的法向量為元=(x,y,z),

則有F"翼x-y+∣z=O,令“6,廝1=(6,-3a一4遍)，

H?AC—?[Sx+2y=O

因為PA，底面4BCD,所以取平面4CD的法向量沅=(0,0,1),

設(shè)二面角D-N的大小為。(由圖可得。為鈍角)，

∣∣→八，一》一、沅'五-4√54√805

則71l有rcoSe=CoS<m,n>=而祠=限=一

【解析】本題考查線面平行的判定，考查平面與平面所成角的向量求法，屬于中檔題.

Cl)取PC中點F,連接NF,DF,則有N/7/BC且N尸=加C,由已知條件可得MD〃Be且MD=和C,

于是可得四邊形NFDM是平行四邊形，所以MN〃DF,即可得證；

(2)建立空間直角坐標系，求出平面ACN與平面ACC的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.

20.【答案】解：(1)由2(。+2。+4。+0.200+4￡1+￡1)=1,解得α=0.025;

(2)抽取的優(yōu)質(zhì)棉樣本數(shù)為120X2(4α+α)=120×2×0.125=30,

則非優(yōu)質(zhì)棉樣本數(shù)為90,

則2X2列聯(lián)表如下：

A試驗區(qū)8試驗區(qū)合計

優(yōu)質(zhì)棉102030

非優(yōu)質(zhì)棉603090

合計7050120

2_120(10x30-20x60)2

則工≈10.286<10.828,

-30×90×70×50

則沒有99.9%的把握認為優(yōu)質(zhì)棉與4B兩個試驗區(qū)有關(guān)系;

(3)X的可能取值為0,1,2,3,

-2937_12015

則P(X=0),1)：

C120^7021一c120―28084

。馬0吊0=些P(X=-≤30__29

P(X=2)=28084,(3),

C120一而一-2006

則X的分布列如下:

X0123

293712015391529

P

7UΣI2808428084

數(shù)學(xué)期望E(X)=OX黯+IX默+2X彘+3X募=3

4

【解析】本題考查頻率分布直方圖，考查獨立性檢驗，考查超幾何分布的概率計算，屬于中檔題.

(1)利用頻率和為1列出關(guān)于α的方程，解之即可求得α的值；

(2)先求得抽取的優(yōu)質(zhì)棉樣本數(shù)為30,進而求得非優(yōu)質(zhì)棉樣本數(shù)為90,進而補全表格，求得f的

值并與10.828進行大小比較即可得到是否有99.9%的把握認為優(yōu)質(zhì)棉與4B兩個試驗區(qū)有關(guān)系；

(3)先求得X的各可能取值的概率，進而得到X的分布列，依據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義即可求得E(X)=^

21.【答案】解：(1)不妨設(shè)直線/過C的右焦點(c,0),則直線1的方程為x=c,

由6|+咚=1，解得y=±9故＜=￠①，

由于橢圓的離心率e4=監(jiān)=jr?g4②,

由①②解得a2=?2=|,

所以橢圓C的方程為等+學(xué)=1;

(2)由(1)得P(O,令設(shè)4(t,0),t<0,

fc-=?Γ=-f由于PAUB'所以如LN=苧，

所以直線PB的方程為y=苧X+凈

(2X2,2y2

----I-------=11

由《9/Z3Z消去y并整理得(l+2t2)∕+6tχ=0,

VDt,√6

v=~x+~

解得出=2,為=學(xué)*鼻+半=送警+半，

Bl+2t27B3l+2tz23+6t22

由于4P4B=60。，所以鬻=遮，則∣PB∣2=3∣P*2,

PAl

?)2+仁富)2=3d+弓)2],解得U=?,

所以∣PA∣2=t2+(^)