大學(xué)微積分教學(xué)課件版

大學(xué)微積分幻燈片版大學(xué)微積分幻燈片版大學(xué)微積分幻燈片版大學(xué)微積分幻燈片版大學(xué)微積分幻燈片版大學(xué)微積分幻燈片版1abxyoA

?曲邊梯形由連續(xù)曲線y

f(x)(f(x)

0)、x軸及兩條直線x

a、x

b所圍成.實(shí)例1（求曲邊梯形的面積）一、問題的提出y

f(x)2abxyoA?曲邊梯形由連續(xù)曲線y f(x)abxyx oabyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）3abxyx oabyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小曲邊梯形如圖所示，在區(qū)間[a,b]內(nèi)插入若干個(gè)分點(diǎn)，a

x0

x1

x2

xn

1

xn

b,o axi

1

ixi xn

1bxyx1把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間[xi

1,xi]，長度為

xi

xi

xi

1;在每個(gè)小區(qū)間[xi

1,xi]上任取一點(diǎn)

，i以[xi

1,xi]為底，f(

i)為高的小矩形面積為Ai

f(

i)

xi4曲邊梯形如圖所示，o axi1ixi xn1bxnA

f(

i)

xii

1當(dāng)分割無限加細(xì),記小區(qū)間的最大長度

或者(

x)

x

max{

x1,

x2,

xn}趨近于零(

x

0或者

0)時(shí)，曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為A

lim

f(

i)

xin

0i

15n曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為Alimf實(shí)例2（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度v

v(t)是時(shí)間間隔[T1,T2]上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且v(t)

0，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．6實(shí)例2（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度（1）分割T1

t0

t1

t2

tn

1

tn

T2

ti

ti

ti

1

si

v(

i)

ti部分路程值某時(shí)刻的速度（2）求和ns

v(

i)

tii

1

max{

t1,

t2,

,

tn}（3）取極限s

lim

v(

i)

tin

0i

1路程的精確值7（1）分割T1t0t1t2定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入記

x

max{

x1,

x2,

,

xn}，如果不論對[a,b]若干個(gè)分點(diǎn)a

x

x

x

x

x

b0 1 2 n

1 n把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長度依次為

xi

xi

xi

1，(i

1,2,

)，在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)

i（

i

xi），作乘積f(

i)

xin并作和S

f(

i)

xi，i

1(i

1,2,

)二、定積分的定義8定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,怎樣的分法，也不論在小區(qū)間[xi

1,xi]上

a積分下限f(x)dx

I

lim

f(

i)

xibn

0i

1被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量[a,b]積分區(qū)間點(diǎn)

i怎樣的取法，只要當(dāng)

x

0時(shí)，和S總趨于確定的極限I，我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記為積分上限積分和9怎樣的分法，也不論在小區(qū)間[xi1,xi]上a注意：（1）積分值僅及被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而及積分變量的字母無關(guān).

ab bf(x)dx

a f(t)dt

a f(u)dub（2）定義中區(qū)間的分法和

i的取法是任意的.（3）當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在時(shí)，稱f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.10注意：ab bf(x)dxa f(t)dt當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)時(shí)，稱f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.定理1定理2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)第一類的間斷點(diǎn)，則f(x)在 區(qū)間[a,b]上可積.三、存在定理11當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)時(shí)，定理1定理f(x)

0,

af(x)dx

Ab曲邊梯形的面積f(x)

0,

af(x)dx

A 曲邊梯形的面積的負(fù)值bA1A2A3A4A4A2

A3f(x)dx

A1b

a四、定積分的幾何意義12f(x)0,af(x)dxAb曲邊梯形幾何意義：它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x

a,x

b之間的各部分面積的代數(shù)和在x軸上方的面積取正號；在x軸下方的面積取負(fù)號．

13幾何意義：它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條例1利用定義計(jì)算定積分x dx.102

解將[0,1]n等分，分點(diǎn)為x

i

，(i

1,2,

,n)ni小區(qū)間[xi

1,xi]的長度

xi取

i

xi，(i

1,2,

,n)

，(i

1,2,

,n)n1n

f(

i)

xii

1

i

xii

1n2x

x,i

12

i in

14例1利用定義計(jì)算定積分x dx.102解將[0,1]nni

1

n

2

i

1n

i2

n3i

1

n161 n(n

1)(2n

1)n3

1

,1

2

1

16

n

n

x

0

n

x dx

102

xiin

0i

1

lim

2

n

lim1

1

1

2

1

1

.n

n

6

315ni1n2n i2n五、定積分的性質(zhì)16五、定積分的性質(zhì)16證

a[f(x)

g(x)]dxnb

lim

[f(

i)

g(

i)]

xi

0i

1

lim

f(

i)

xi

lim

g(

i)

xin n

0i

1

0i

1

a f(x)dx

ag(x)dx.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）bbb b b性質(zhì)1

a[f(x)

g(x)]dx

a f(x)dx

ag(x)dx.17證a[f(x)g(x)]dxblim

akf(x)dx

k

a f(x)dx k(b b為常數(shù)).證

akf(x)dx

lim

kf(

i)

xibn

0i

1

limk

f(

i)

xin ni

1

0

klim

f(

i)

xi

0i

1

k

a f(x)dx.b性質(zhì)218akf(x)dxka f(x)dx k

abc bf(x)dx

a f(x)dx

cf(x)dx.補(bǔ)充：不論a,b,c的相對位置如何,上式總成立.例若

a則a

b

c,cf(x)dx

af(x)dx

bf(x)dxcb

abf(x)dx

af(x)dx

bf(x)dxc cc b

a f(x)dx

c f(x)dx.（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）性質(zhì)3 假設(shè)a

c

b19abc bf(x)dx.補(bǔ)充：不論a,b,c的相對性質(zhì)4

1

dx

badx

b

a.b

a則

a f(x)dx

0.b(a

b)證

f(x)

0,

f(

i)

0,(i

1,2,

,n)

xi

0,n

f(

i)

xi

0,i

1

max{

x1,

x2,

,

xn}i in

0i

1f(

)

x

lim

f(x)dx

0.

ba性質(zhì)5如果在區(qū)間[a,b]上f(x)

0，20性質(zhì)41dxbadxba.ba例1 比較積分值

e dx和x

20xdx的大小.

20解令f(x)

ex

x,x

[

2,0]

f(x)

0,

(ex

x)dx

0,0

2

e dx

x

20xdx,0

2

于是

e dx

x

20xdx.

20

可以直接作出答案21例1 比較積分值e dx和x20xdx的大小.性質(zhì)5的推論：（1）如果在區(qū)間[a,b]上f(x)

g(x)，證

f(x)

g(x),

g(x)

f(x)

0,

a[g(x)

f(x)]dx

0,

ag(x)dx

a f(x)dx

0,bb b于是f(x)dx

b b

ag(x)dx.

a則f(x)dx

g(x)dx. (a

b)b b

a

a22性質(zhì)5的推論：證 f(x)g(x), gf(x)dx

f(x)dx. (a

b)b

a

ab證

f(x)

f(x)

f(x),f(x)dx,f(x)dx

f(x)dx

b

ab b

a

a

即f(x)dx

f(x)dx.b

a

ab說明：|f(x)|在區(qū)間[a,b]上的可積性是顯然的.性質(zhì)5的推論：（2）23f(x)dx f(x)dx. (ab)b設(shè)M及m分別是函數(shù)證a

m

f(x)

M,

amdx

a f(x)dx

aMdx,b b bm(b

a)

f(x)dx

M(b

a).ba（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）曲邊梯形的面積夾在兩個(gè)矩形之間則 m(b

a)

f(x)dx

M(b

a).bf(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，性質(zhì)624設(shè)M及m分別是函數(shù)證a amdxa f(解f(x)

,sinxxx2 x2f

(x)

xcosx

sinx

cosx(x

tanx)

0x

[ , ]4 2

f(x)在[ , ]上單調(diào)下降,4 2

故x

為極大點(diǎn)，x

為極小點(diǎn),4 2例2 不計(jì)算定積分估計(jì)

的大小dxx

sinx

24

2

4

2

4M

f(

)

2 2

,m

f( )

2

,4

2

b

a

,2 4 4

2

sinxdx

2 2

,

4

4

1

2sinxdx

2

.x 2x

25解f(x) ,sinxxx2 x2f(x)證性質(zhì)7（Th5.1定積分第一中值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)

，

f(x)dx

Mb

a

m

ba1

m(b

a)

f(x)dx

M(b

a)ba由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知使

af(x)dx

f(

)(b

a). (a

b)積分中值公式b26證性質(zhì)7（Th5.1定積分第一中值定理） f(x)d在區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)

，使f(x)dx, 1 f(

)

b

abaf(x)dx

f(

)(b

a).b

a(a

b)積分中值公式的幾何解釋：在區(qū)間[a,b]上至少存在一xoab

個(gè)點(diǎn)

，使得以區(qū)間[a,b]為即yf(

)以曲線y

f(x)底邊，為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為f(

)的一個(gè)矩形的面積。27在區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使f(x)dx,Th5.2(推廣的積分第一中值定理）如果函數(shù)f(x),g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且g(x)在閉區(qū)間[a,b]上可積且不變號,則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)

，使f(x)g(x)dx

f(

)

g(x)dx當(dāng)g(x)

1時(shí),即為Th5.1b ba a

28Th5.2(推廣的積分第一中值定理）f(x)g(x)dx六、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且設(shè)x為[a,b]上的一點(diǎn)，考察定積分

ax xf(x)dx

a f(t)dt記

(x)

af(t)dt.x積分上限函數(shù)如果上限x在區(qū)間[a,b]上任意變動(dòng)，則對于每一個(gè)取定的x值，定積分有一個(gè)對應(yīng)值，所以它在[a,b]上定義了一個(gè)函數(shù)，29六、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)ax xf(x)dxax

xbxyf(t)dto定理１如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

(x)

f(t)dt在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)x

a數(shù)是f(t)dt

f(x) (a

x

b)

(x)

dxd xa

證

(x

x)

x

x

a

(x

x)

(x)

a f(t)dt

a f(t)dtx

x x

(x)x

(x)

a f(t)dt.x30axxbxyo定理１如果f(x)在[a,x

x

xbf(t)dtf(t)dt

f(t)dt

x

ax

x

xx

a

x f(t)dt,x

x由積分中值定理得

f(

)

x

x

0,

x

f(

),

xlim

lim f(

)

x

0

x

0

x

(x)

f(x).o

[x,x

x],axy

(x)31xxxbf(t)dtf(t)dtf計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)

t2e

t

t

tcosxxxdtdxdxde dtdxde dtd111222(3)(2)(1)32計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)t2etttcosxxxdtdxd補(bǔ)充 如果f(t)連續(xù)，a(x)、b(x)可導(dǎo)，則F(x)

f(t)dt的導(dǎo)數(shù)F

(x)為b(x)

a(x)證F(x)

f(t)dt

a(x)b(x)0

0

f(t)dt

0b(x)

0f(t)dt,a(x)F

(x)

f

b(x)

b

(x)

f

a(x)

a

(x)f(t)dt

f

b(x)

b

(x)

f

a(x)

a

(x)F

(x)

dxb(x)a(x)d33補(bǔ)充 如果f(t)連續(xù)，a(x)、b(x)可例1求limx

0.21cosx2xe dt

t

解

e

td

1cosx2dt

dxdt,cosx t21

e

dxd (cosx)

cos2x

e,

sinx

e

cos2xx21cosxlimx

02dte

t

2x2sinx

e

cos x

limx

0.12e

00分析：這是型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.34例1求lim.21cosx2xe dtt解et定理2（原函數(shù)存在定理）如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

(x)

原函數(shù).f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一個(gè)x

a定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分及原函數(shù)之間的聯(lián)系.35定理2（原函數(shù)存在定理）如果f(x)在[a,b]上定理3（微積分基本公式）如果F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上b的一個(gè)原函數(shù)，則

f(x)dx

F(b)

F(a).a又

(x)

f(t)dt也是f(x)的一個(gè)原函數(shù),x

a

已知F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，

F(x)

(x)

Cx

[a,b]證七牛頓—萊布尼茨公式36定理3（微積分基本公式）如果F(x)是連續(xù)函數(shù)f(令x

a

F(a)

(a)

C,

(a)

a f(t)dt

0

aF(a)

C,

f(t)dt

F(x)

F(a),xa

F(x)

f(t)dt

C,xa令x

b

f(x)dx

F(b)

F(a).ba牛頓—萊布尼茨公式37令xa F(a)(a)C,(f(x)dx

F(b)

F(a)

F(x)

ba

微積分基本公式表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量.求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.ba注意當(dāng)a

b時(shí)，

f(x)dx

F(b)

F(a)仍成立.ba38f(x)dxF(b)F(a)F例4 求

2(2cosx

sinx

1)dx.0

原式

20

2sinx

cosx

x

3

.2f(x)dx.例5 設(shè)f(x)

,求

2x 0

x

1

5 1

x

220解解1 2f(x)dx

0 f(x)dx

1 f(x)dx

02在[1,2]上規(guī)定當(dāng)x

1時(shí)，f(x)

5,原式

02xdx

151 2dx

6.xyo1239例4 求0原式 20 2sinxcosx例6 求

max{x,x2}dx.2

2解由圖形可知f(x)

max{x,x2}

x2

2

x

0

x 0

x

1 ,1

x

2

2

xdx

0xdx

1 xdx

原式

0x2

21 22.2

112 xyoy

x2y

x1

240例6 求max{x,x2}dx.22解由圖形可知設(shè)f(x)

C[a,b],且F

(x)

f(x), 則有1.微積分基本公式

af(x)dx

f(

)(b

a)

F

(

)(b

a)

F(b)

F(a)b積分中值定理 微分中值定理牛頓–萊布尼茨公式41設(shè)f(x)C[a,b],且F(x) f(定理 假設(shè)（1）f(x)在[a,b]上連續(xù)；（2）函數(shù)x

(t)在[

,

]上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（3）當(dāng)t在區(qū)間[

,

]上變化時(shí)，x

(t)的值在[a,b]上變化，且

(

)

a、

(

)

b，則有f[

(t)]

(t)dt.f(x)dx

b

a

八、換元公式42定理 假設(shè)則有f[(t)](t)dt.f證 設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，

f(x)dx

F(b)

F(a),ba

(t)

F[

(t)],

(t)

dF

dx

f(x)

(t)

f[

(t)]

(t),dx dt

(t)是f[

(t)]

(t)的一個(gè)原函數(shù).f[

(t)]

(t)dt

(

)

(

),

43證 設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)， f(

(

)

a、

(

)

b,

(

)

(

)

F[

(

)]

F[

(

)]

F(b)

F(a),

f(x)dx

F(b)

F(a)

(

)

(

)ba

f[

(t)]

(t)dt.注意 當(dāng)

時(shí)，換元公式仍成立.

44()a、()b, f(x應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）用x

(t)把變量x換成新變量t時(shí)，積分限也相應(yīng)的改變.（2）求出f[

(t)]

(t)的一個(gè)原函數(shù)

(t)后，不必象計(jì)算不定積分那樣再要把

(t)變換成原變量x的函數(shù)，而只要把新變量t的上、下限分別代入

(t)然后相減就行了.45應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）用x(t)把變量2cos5xsinxdx.0

例1 計(jì)算.x lnxe43

edx例2 計(jì)算462cos5xsinxdx.0例1 計(jì)算.x ln例1 計(jì)算cos5xsinxdx.20

2

2

25cos5xd(

cosx)00cos6x0cos xsinxdx

(0

1)

1.6 66

解湊微分是第一類換元積分法，特點(diǎn)是不要明顯地?fù)Q元，也就不要更換積分的上下限。47例1 計(jì)算cos5xsinxdx.205c3

1

)4 2

2(

2 lnxlnxdlnxx lnxe4e4

ee dx 例2計(jì)算

解 原式

3e4e33.x lnxe43edx483 1)2(2 lnxlnxdlnx例3計(jì)算

3解

2xdx49例3計(jì)算3解2xdx49三角代換和根式代換50三角代換和根式代換50例4 計(jì)算解

12 x 1

x122dx.1令x

sint,x

1

t

,2x

12

t

6dx

costdt,原式

22

2

6sin2tcostsin2t6 6 cost dt

dt

cott

(cot

cot

)

(0

3)

32 6

明顯換元51例4 計(jì)算解12 x 1x122dx.1令xs例5當(dāng)f(x)在[

a,a]上連續(xù)，且有①f(x)為偶函數(shù)，則

af(x)dx

2

0 f(x)dx；a a②f(x)為奇函數(shù)，則

a f(x)dx

0.a證f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx,0a 0 a

a

a在

a0f(x)dx中令x

t,52例5當(dāng)f(x)在[a,a]上連續(xù)，且有af

af(x)dx

a f(

t)dt

0 f(

t)dt,00a①f(x)為偶函數(shù)，則f(

t)

f(t),

af(x)dx

0 f(x)dxf(t)dt;f(x)dx

aa 0a

2

0a②f(x)為奇函數(shù)，則f(

t)

f(t),

af(x)dx

a f(x)dx

0 f(x)dx

0.a 0a在

a0f(x)dx中令x

t,53af(x)dxa f(t)dt奇函數(shù)例6 計(jì)算解2x

xcosx

dx.1

1

x21

12原式

11

1

x2122xdx

11

1

x21xcosx dx偶函數(shù)

4

0dx1

1

x2

4

0 (1

12 x

01

(1

x2)

41x(1

1

x)

dx2 21

x )dx

4

412

1

x dx102

4

.單位圓的面積54奇函數(shù)例6 計(jì)算解2x xcosxdx.1總結(jié)：1、定積分公式—2、定積分計(jì)算方法（直接代入，湊微分，根式代換，三角代換）3、根式和三角代換為明顯的代換，所以換元要換上下限4、介紹了積分上限函數(shù)5、積分上限函數(shù)是原函數(shù)6、計(jì)算上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)55總結(jié)：55例7 若f(x)在[0,1]上連續(xù)，證明（1）

f(sinx)dx

f(cosx)dx;2 200（2）

0xf(sinx)dx

f(sinx)dx.2 0

由此計(jì)算

01

cos2x

xsinx dx.證 （1）設(shè)x

t2

dx

dt,x

0

t

,2x

t

0,256例7 若f(x)在[0,1]上連續(xù)，證明（1）

20f(sinx)dx

f sin

t

dt

022

2

0f(cost)dt

f(cosx)dx;

20

x

t2570f(sinx)dx f si（2）x

t

dx

dt,x

0

t

,x

t

0,

0

xf(sinx)dx

(

t)f[sin(

t)]dt

0(

t)f(sint)dt,

0

由此計(jì)算

01

cos2x2

0

0

xf(sinx)dx

f(sinx)dx

xsinx dx設(shè)58（2）xtdxdt,x0xf(sinx)dx

0

f(sint)dt

0tf(sint)dt

0 f(sinx)dx

0xf(sinx)dx,f(sinx)dx.2

0xf(sinx)dx

0

01

cos2x

xsinx dx

sinx 2

01

cos2xdx2

01

cos2x

1 d(cosx)

arctan(cosx)

02.4

2)

(

2 4 4

0

59xf(sinx)dx 0f(sint)dt

avdu.定積分的分部積分公式九、分部積分公式設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間

a,b

上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有

udv

uvbabba推導(dǎo)

uv

u

v

uv

,

(uv)

dx

uv

,baba

u

vdx

uv

dx,ba abbauv

udv

uv

vdu.bababa60avdu.定積分的分部積分公式九、分部積分公式導(dǎo)數(shù)，則有例 計(jì)算解lnxdx.

1e61例 計(jì)算解lnxdx.1e61例2 計(jì)算arcsinxdx.120

解令u

arcsinx,dv

dx,du

dx ,1

x2v

x,

120arcsinxdx

xarcsinx

120

xdx 1

x2

120

2 61

1 d(1

x2)1

x120212

1

x

12

1202

1.12 2

3則62例2 計(jì)算arcsinxdx.10解令uarcsi例3 計(jì)算解xedxx

10例4計(jì)算

xcosxdx1063例3 計(jì)算解xedxx10例4計(jì)算xcosxd例5 計(jì)算解

1edxx2lnx64例5 計(jì)算解1edxx2lnx64一、無窮限的廣義積分定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

)上連續(xù)，取b

a，如果極限lim

b

baf(x)dx存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,

)上的廣義積分，記作

a

f(x)dx.

a

f(x)dx

lim

b

baf(x)dx當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱廣義積分發(fā)散.第四節(jié)廣義積分65一、無窮限的廣義積分ba，如果極限limbb類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(

,b]上連續(xù)，取a

b，如果極限lim

a

baf(x)dx存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(

,b]上的廣義積分，記作

f(x)dx.b

bf(x)dx

lima

baf(x)dx當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱廣義積分發(fā)散.66類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,b]上連續(xù)，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(

,

)上連續(xù),如果0

廣義積分

f(x)dx和

0f(x)dx都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(

,

)上的廣義積分，記作

f(x)dx.

0

f(x)dx

f(x)dx

0f(x)dx

a

b

lim0af(x)dx

lim

b0f(x)dx極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發(fā)散.67設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,)上連續(xù),如果0 例1計(jì)算廣義積分解

1sin1

dx.

22

x x

2

1sin1

dx

x x2

2

sin d

x

1

1x

x

2

cos1

cos0

0

12

lim cos1

cos

x

x

lim F(x)

F(a)x

F(

)

F(a)f(x)dx

F(x)

aa

簡記為68例1計(jì)算廣義積分解1sin1dx.22例1計(jì)算廣義積分

.1

x2

dx解

1

x2

dx

1

x20dx

0

1

x2dx

1

x0 1

lim dx

lima

2a

01

x2b

b 1 dx

arctanx

0

limaa

b

arctanx

b0lim

limarctana

limarctanb

a

b

.2

2

69例1計(jì)算廣義積分.dx解1x2例3證明廣義積分

1

1dx當(dāng)p

1時(shí)收斂，xp當(dāng)p

1時(shí)發(fā)散.證(1) p

1,

1

1 dx

xp

1

1dx

lnx

x

1

,

, p

1(2) p

1,

1

1 dx

xp

1

p

1

x

1 1

p ,p

1

p

1

因此當(dāng)p

1時(shí)廣義積分收斂，其值為 1 ；p

1當(dāng)p

1時(shí)廣義積分發(fā)散.70例3證明廣義積分11dx當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)>o,i×iJy$y(×)d×bbo+cb/(z)dz71>o,i×iJy$y(×)d×bbb/(z)dz71o,—?y(?d??‘. ??.:i?? a?.aJ(z)dz-J-J(z)dz72o,—?y(?d??‘. ??.:i?? a?.aJ(±A’crBUX‘if.±4STJ‘1.i*J1?I;-,;;y,pJbo/(,)dp2 z ' 4—z'73±A’crBUX‘if.±4STJ‘1.i*J1?1

1—1

—211741 1 —21174éf=?‘éo￡i??l?yr->sjk. °×r—y￡ G&"?"GT￡ **fJ÷?5.7pa—le—*dx(o > 0){75éf=?‘éo￡i??l?yr->sjk. °×ti@5.8e—2z176ti@5.8e—2z176回顧 曲邊梯形求面積的問題A

a f(x)dxb第五節(jié)、定積分應(yīng)用曲邊梯形由連續(xù)曲線y

f(x)(f(x)

0)、x軸及兩條直線x

a、x

b所圍成。ab xyoy

f(x)77回顧 曲邊梯形求面積的問題Aa f(x)dxb第1、幾何上的應(yīng)用781、幾何上的應(yīng)用78面積79面積79axx

dxb xyoy

f(x)A

lim

f(

i)

xi

n

0i

1

abf(x)dx

af(x)dx.bdA面積元素80axxdxb xyoyf(x)Al一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線及直線及x軸所圍曲邊梯形面積為A, 則dA

f(x)dxA

f(x)dxbaO a xb xyy

f(x)x

dxyby

f2(x)xay

f1(x)Oxx

dx[f(x)

f (x)]dxA

右圖所示圖形，面積元素為dA

[f1(x)

f2(x)]dxba1 2

81一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線及直線及x軸所xyoy

f(x)a xx

xbxyoy

f1(x)y

f (x)2ab曲邊梯形的面積A

abf(x)dx曲邊梯形的面積A

a[f2(x)

f1(x)]dxbx

x82xyoy f(x)a xxxbxyoy f1(x)

f2(x)dxA

bayb xaxx

dxy

f2(x)y

f1(x)Oc[f(x)

f (x)]dxca1 2

[f (x)

f(x)]dxbc2 1A

(y)

(y)dydcy

dyyOx

(y) xyd x

(y)cdA

|f1(x)

f2(x)|dx有時(shí)也會(huì)選y為積分變量dA

|

(y)

(y)|dy83f1(x)f2(x)dxAbayb xa例1計(jì)算由兩條拋物線y2

x和y

x2所圍成的圖形的面積.解（1）作圖（2）求出兩曲線的交點(diǎn)(0,0) (1,1)（3）選x為積分變量x

[0,1]A

( x

x2)dx

101x3

3

0

3

223

x

.13

y

x2x

y2（4）代公式A

a[f2(x)

f1(x)]dxb84例1計(jì)算由兩條拋物線y2x和yx2所例2計(jì)算由曲線y2

2x和直線y

x

4所圍成的圖形的面積.解 兩曲線的交點(diǎn)

y2

2x

y

x

4

(2,

2),(8,4).選y為積分變量

y

[

2,4]dA

y

4

y

dy2

2

A

dA

18.4

2

y2

2xy

x

485例2計(jì)算由曲線y22x和直線yx4解題步驟：(1) 畫出草圖；(2) 求出交點(diǎn)；(3) 選擇合適的積分變量，確定積分區(qū)間，計(jì)算。86解題步驟：(1) 畫出草圖；86O xx

dxayb例3.求橢圓解:利用對稱性, 有dA

y

dx所圍圖形的面積.A

4

0 ydx

4b

0a利用橢圓的參數(shù)方程x

acost(0

t

2π)y

bsint應(yīng)用定積分換元法得

4abπ202sin tdt

4ab

2

2

πab1

π當(dāng)a