學(xué)案-空間中的垂直關(guān)系

學(xué)案空間中的垂直關(guān)系學(xué)案空間中的垂直關(guān)系學(xué)案空間中的垂直關(guān)系2學(xué)案空間中的垂直關(guān)系學(xué)案空間中的垂直關(guān)系學(xué)案空間中的垂1空間中的垂直關(guān)系以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2空間中的垂直關(guān)系以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和

1.在客觀題、解答題中以特殊幾何體為載體考查線面垂直、面面垂直關(guān)系以及邏輯推理能力.2.考查線面角、面面角的方法，考查作圖、證明、計算空間想像能力和推理論證能力。3.近年來開放型問題不斷在高考試題中出現(xiàn)，這說明高考對學(xué)生的能力要求越來越高，這也符合新課標(biāo)的理念，因而在復(fù)習(xí)過程中要善于對問題進行探究.立體幾何中結(jié)合垂直關(guān)系，設(shè)計開放型試題將是新課標(biāo)高考命題的一個熱點考向.31.在客觀題、解答題中以特殊幾何體為載體考查線

1.直線與平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作

.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫做垂足.

根據(jù)定義，過一點

直線與已知平面垂直；過一點

與已知直線垂直.l⊥α有且只有一條有且只有一個平面4l⊥α有且只有一條有且只有一個平面42.判定定理和性質(zhì)定理（1）判定定理：

，則該直線與此平面垂直.

（2）性質(zhì)定理：

.

一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直垂直于同一個平面的兩條直線平行52.判定定理和性質(zhì)定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交判定性質(zhì)圖形條件(b為a內(nèi)的任一條直線)結(jié)論6判定性質(zhì)圖形條件(b為a內(nèi)的任一條直線)結(jié)論6如圖,AB為圓O的直徑,C為圓周上異于AB的任一點,PA⊥面ABC,問:圖中共有多少個Rt△?【分析】找出直角三角形,也就是找出圖中的線線垂直.考點1線線垂直問題7如圖,AB為圓O的直徑,C為圓周上異于AB的任一點,PA⊥面【解析】∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.∵AB為圓O的直徑,∴AC⊥BC.又∵AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥面PAC.∵PC平面PAC,∴BC⊥PC.故圖中有四個直角三角形:△PAC,△PBC,△PAB,△ABC.8【解析】∵PA⊥面ABC,8

【評析】線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得,直線和平面垂直,這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線,這是尋找線線垂直的重要依據(jù).9【評析】線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得,直線和平面垂直,這如圖,已知矩形ABCD,過A作SA⊥平面AC,再過A作AE⊥SB交SB于E,過E作EF⊥SC交SC于F.(1)求證:AF⊥SC;(2)若平面AEF交SD于G,求證:AG⊥SD.10如圖,已知矩形ABCD,過A作SA⊥平面AC,再過A作AE⊥證明:(1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,∴SA⊥BC,∵四邊形ABCD為矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE,又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC,又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC,又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG,又由(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF,∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.11證明:(1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,11如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點.（1）求證：MN⊥CD；（2）若∠PDA=，求證：MN⊥平面PCD.考點2線面垂直【分析】（1）因M為AB中點，只要證△ANB為等腰三角形，則利用等腰三角形的性質(zhì)可得MN⊥AB.

（2）已知MN⊥CD，只需再證MN⊥PC，易看出△PMC為等腰三角形，利用N為PC的中點，可得MN⊥PC.12如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，【證明】(1)如圖,連接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N為PC中點，∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，

PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，從而在Rt△PBC中，BN為斜邊PC上的中線，∴BN=PC.∴AN=BN,∴△ABN為等腰三角形,又M為底邊的中點,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.13【證明】(1)如圖,連接AC，AN，BN，13(2)連接PM,CM，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四邊形ABCD為矩形,∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M為AB的中點，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N為PC的中點，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.14(2)連接PM,CM，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP【評析】垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來.15【評析】垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證如圖所示,Rt△ABC的斜邊為AB，過A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求證：PB⊥平面AEF.16如圖所示,Rt△ABC的斜邊為AB，過A作AP⊥平面ABC，證明：AP⊥平面ABCAP⊥BCBC⊥ACAP∩CA=AAF⊥PCAE⊥PBBC⊥AFAF⊥面PBCAF⊥PBBC∩PC=CAF∩AE=ABC⊥面APCAF面APCPB⊥面AEF.17證明：BC⊥面APCAF面APCPB⊥面AEF.17考點3面面垂直如圖，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，圖AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分別是棱AD,AA1的中點.（1）設(shè)F是棱AB的中點，證明：直線EE1∥平面FCC1;（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.18考點3面面垂直如圖，在直四棱柱ABCD18【證明】（1）證法一：取A1B1的中點為F1.連結(jié)FF1,C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1,所以F1∈平面FCC1,因此平面FCC1即為平面C1CFF1.連結(jié)A1D,F1C,由于A1F1D1C1CD,所以四邊形A1DCF1為平行四邊形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D,得EE1∥F1C.而EE1

平面FCC1，F(xiàn)1C平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.【分析】證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證線線平行或面面平行，故由條件尋求轉(zhuǎn)化的關(guān)系；而證明面面垂直，一般用判定定理證明.19【證明】（1）證法一：取A1B1的中點為F1.【分析】證明線證法二：因為F為AB的中點，CD=2,AB=4,AB∥CD,所以CDAF，因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC平面FCC1,CC1

平面FCC1,AD∩DD1=D,AD平面ADD1A1,DD1

平面ADD1A1,所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1

平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.故平面D1AC⊥平面BB1C1C.20證法二：因為F為AB的中點，CD=2,AB=4,AB∥CD,(2)連結(jié)AC，在△FBC中，F(xiàn)C=BC=FB,又F為AB的中點，所以AF=FC=FB.因此∠ACB=90°,即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C,所以AC⊥平面BB1C1C.而AC平面D1AC,故平面D1AC⊥平面BB1C1C.21(2)連結(jié)AC，在△FBC中，F(xiàn)C=BC=FB,21

【評析】證明線面垂直的方法：證明一個面過另一個面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線與添加輔助線解決.22【評析】證明線面垂直的方法：證明一個面過另一個面的垂線，將232324242525學(xué)案5空間中的垂直關(guān)系26學(xué)案5空間中的垂直關(guān)系26學(xué)案5空間中的垂直關(guān)系27學(xué)案5空間中的垂直關(guān)系27學(xué)案5空間中的垂直關(guān)系28學(xué)案5空間中的垂直關(guān)系28

（1）空間的垂直關(guān)系有直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直.它們之間存在相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：直線與直直線與平平面與平線垂直面垂直面垂直