塑料碗課程設計

1.3.3全稱命題與特稱命題的否定1.3.3全稱命題與特稱命題的否定1.通過探究數(shù)學中一些實例,歸納總結(jié)出含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)律.2.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.1.通過探究數(shù)學中一些實例,歸納總結(jié)出含有一個量詞的命題與它1.全稱命題的否定全稱命題p:對任意x∈M,p(x)成立;它的否定命題q是:存在x∈M,使p(x)不成立.全稱命題的否定是特稱命題.2.特稱命題的否定特稱命題p:存在x∈M,使p(x)成立;它的否定命題q是:對任意x∈M,p(x)不成立.特稱命題的否定是全稱命題.【做一做1】

命題“對任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是(

)A.不存在x∈R,使x3-x2+1≤0B.存在x∈R,使x3-x2+1≤0C.存在x∈R,使x3-x2+1>0D.對任意的x∈R,x3-x2+1>0解析:全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~,然后否定結(jié)論.答案:C1.全稱命題的否定【做一做2】

命題“某些平行四邊形是矩形”的否定是

(

)A.某些平行四邊形不是矩形B.任何平行四邊形是矩形C.每一個平行四邊形都不是矩形D.以上都不正確解析:特稱命題的否定是把存在量詞變?yōu)槿Q量詞,然后否定結(jié)論.答案:C【做一做2】命題“某些平行四邊形是矩形”的否定是()題型一題型二題型三題型四【例1】

寫出下列全稱命題的否定.(1)所有人都晨練;(2)對任意的x∈R,都有x2+x+1>0;(3)平行四邊形的對邊相等;(4)對每一個x∈R,都有x2-x+1=0.分析:全稱命題的否定是特稱命題,將全稱量詞改為存在量詞,并把結(jié)論否定.題型一題型二題型三題型四【例1】寫出下列全稱命題的否定.題型一題型二題型三題型四解:(1)有的人不晨練.(2)存在x∈R,使得x2+x+1≤0.(3)有些平行四邊形的對邊不相等.(4)存在某些x∈R,使得x2-x+1≠0.反思全稱命題的否定是特稱命題,即“所有對象滿足某一性質(zhì)”的否定是“存在一些對象不滿足某一性質(zhì)”.題型一題型二題型三題型四解:(1)有的人不晨練.題型一題型二題型三題型四【變式訓練1】

判斷下列命題的真假,并寫出這些命題的否定.(1)四邊形的內(nèi)角和為360°;(2)每個二次函數(shù)的圖像都開口向下;(3)所有的矩形都是平行四邊形.解:(1)是真命題.命題的否定:四邊形的內(nèi)角和不全為360°,即存在一個四邊形且它的內(nèi)角和不等于360°.(2)是假命題.命題的否定:存在一個二次函數(shù)的圖像開口不向下.(3)是真命題.命題的否定:存在一個矩形不是平行四邊形.題型一題型二題型三題型四【變式訓練1】判斷下列命題的真假,題型一題型二題型三題型四【例2】

寫出下列特稱命題的否定,并判斷其否定的真假.(1)存在一個實數(shù)x,使得x2+3x+1≤0;(2)有的三角形是等邊三角形;(3)至少有一個實數(shù)x,使x3+1=0.分析特稱命題的否定是全稱命題.解(1)命題的否定:對所有的實數(shù)x,都有x2+3x+1>0,假命題,因為當x=-1時,x2+3x+1=-1<0.(2)命題的否定:任何三角形都不是等邊三角形,假命題,因為三角形包含等邊三角形.(3)命題的否定:對所有的實數(shù)x,都有x3+1≠0,假命題,因為當x=-1時,x3+1=0.反思說明一個命題為假命題,只需舉出一個反例即可,不必證明.題型一題型二題型三題型四【例2】寫出下列特稱命題的否定,并題型一題型二題型三題型四【變式訓練2】

寫出下列命題的否定,并判斷其否定的真假.(1)存在實數(shù)x,使得x3>x2;(2)有些實數(shù)的絕對值是正數(shù);(3)某些平行四邊形是菱形.解:(1)命題的否定:對所有的實數(shù)x,都有x3≤x2,假命題.(2)命題的否定:所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù),假命題.(3)命題的否定:每一個平行四邊形都不是菱形,假命題.題型一題型二題型三題型四【變式訓練2】寫出下列命題的否定,題型一題型二題型三題型四【例3】

若命題“存在一個實數(shù)x,使關于x的不等式ax2-2ax+3≤0成立”是假命題,求實數(shù)a的取值范圍.分析:該命題是特稱命題,由于它是假命題,因此對任意x∈R,ax2-2ax+3>0為真命題.只需考慮“對任意x∈R,ax2-2ax+3>0”,即為對一切實數(shù)x,ax2-2ax+3>0恒成立.題型一題型二題型三題型四【例3】若命題“存在一個實數(shù)x,使題型一題型二題型三題型四解:問題轉(zhuǎn)化為:求對一切實數(shù)x,ax2-2ax+3>0恒成立時a的取值范圍.顯然a=0滿足;故a的取值范圍是[0,3).反思當命題不易直接求解時,可以轉(zhuǎn)化為求解命題的否定.題型一題型二題型三題型四解:問題轉(zhuǎn)化為:求對一切實數(shù)x,ax題型一題型二題型三題型四【變式訓練3】

若三個關于x的方程x2+ax+1=0,x2+2ax+2=0,x2-ax+4=0中至少存在一個方程有實根,求實數(shù)a的取值范圍.分析:直接求解,需分類討論,比較復雜.問題的反面為方程x2+ax+1=0,x2+2ax+2=0,x2-ax+4=0沒有一個方程有實根,即所有的方程都無實根,從而原問題獲解.解:由x2+ax+1=0無實根,可知a2-4<0,即a2<4.由x2+2ax+2=0無實根,可知4a2-8<0,即a2<2.由x2-ax+4=0無實根,可知a2-16<0,即a2<16.題型一題型二題型三題型四【變式訓練3】若三個關于x的方程x題型一題型二題型三題型四易錯點

對關鍵詞“至少”“至多”的理解有誤【例4】

寫出下列命題的否定.(1)平面內(nèi)凸多邊形的內(nèi)角中至多有三個銳角;(2)三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°.錯解:(1)平面內(nèi)凸多邊形的內(nèi)角中至少有三個銳角.(2)三角形中至多有一個內(nèi)角不小于60°.錯因分析:以上錯解的主要原因是對含有“至少”與“至多”的命題的否定理解不正確.一般地,“至多有n個”的否定為“至少有(n+1)個”,“至少有n個”的否定為“至多有(n-1)個”.正解:(1)平面內(nèi)存在一個凸多邊形,它的內(nèi)角中有四個或多于四個銳角.(2)存在一個三角形,它的內(nèi)角都小于60°.題型一題型二題型三題型四易錯點對關鍵詞“至少”“至多”的理123451.命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是(

)A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C.存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D.存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)解析:本題是一個全稱命題,其否定是特稱命題,同時將命題的結(jié)論進行否定,命題的否定與否命題不同,含有一個量詞的命題的否定,要注意量詞的改變和否定的程度.答案:D1234123452.命題“存在實數(shù)x,使|x|≥1”的否定是(

)A.對任意實數(shù)x,都有|x|≥1B.不存在實數(shù)x,使|x|<1C.對任意實數(shù)x,都有|x|<1D.存在實數(shù)x,使|x|<1解析:“存在”對應“任意”,“|x|≥1”的否定為“|x|<1”.故命題“存在實數(shù)x,使|x|≥1”的否定是“對任意實數(shù)x,都有|x|>1”.答案:C1234123453.在下列特稱命題中,其否定是假命題的個數(shù)是(

)①有的實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù);②有些三角形不是直角三角形;③有的四邊形是正方形.A.0 B.1 C.2 D.3解析:寫出所給特稱命題的否定,再進行判斷,其中①②③的否定都是假命題.答案:D1234123454.命題“函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱”的否定是

.

答案:存在一個函數(shù)的圖像不關于直線y=x對稱1234123455.判斷下列命題的真假,并寫出命題的否定.(1)存在一個三角形,它的