17.1 勾股定理 課件 2023-2024學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

14.1勾股定理14.1.1直角三角形三邊的關(guān)系情境引入?？谑泻Ｐ懵肥芘_(tái)風(fēng)的影響，一棵樹(shù)在離地面3米處被人為砍伐，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)跟底部4米處，這棵樹(shù)折斷前有多高？如下圖所示：3米4米CBA圖1-1探究RQPACB（1）正方形P的面積是

平方厘米。（2）正方形Q的面積是

平方厘米。（3）正方形R的面積是

平方厘米。圖1-2112QPR圖3QPR圖4把R看作是大正方形面積減去四個(gè)直角三角形的面積。S正方形RQPR圖1-3QPR圖1-4把R看作是四個(gè)直角三角形的面積+小正方形面積。探究P的面積(單位長(zhǎng)度)Q的面積(單位長(zhǎng)度)R的面積(單位長(zhǎng)度)圖2圖3P、Q、R面積關(guān)系直角三角形三邊關(guān)系QPR圖2QPR圖3ABCABC(每一小方格表示1平方厘米)991625413AC2+BC2=AB2SP+SQ=SR根據(jù)上面的探究，你能得出什么結(jié)論？在直角三角形中,兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方結(jié)論2動(dòng)手操作

在右圖(學(xué)案)的方格圖中，用三角尺化出兩條直角邊分別為3cm、4cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜邊，并驗(yàn)證剛才得到的直角三角形三邊的關(guān)系是否成立。(每一小格代表１平方厘米)345總結(jié)

勾股定理：abc勾股弦即：如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么直角三角形兩邊直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的故事

商高是公元前十一世紀(jì)的中國(guó)人。當(dāng)時(shí)中國(guó)的朝代是西周，處于奴隸社會(huì)時(shí)期。在中國(guó)古代大約是西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對(duì)話。周公問(wèn)商高：“天不可階而升，地不可將盡寸而度?！碧斓母叨群偷孛娴囊恍y(cè)量的數(shù)字是怎么樣得到的呢？商高說(shuō)：“故折矩以為勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！奔次覀兂Ｕf(shuō)的勾三股四弦五。什么是“勾、股”呢？在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱(chēng)為“勾”，下半部分稱(chēng)為“股”。商高答話的意思是：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的內(nèi)容最早見(jiàn)于商高的話中，所以人們就把這個(gè)定理叫做“商高定理”。拓展

《九章算術(shù)》中，趙爽描述此圖：“勾股各自乘，并之為玄實(shí)。開(kāi)方除之，即玄。1、請(qǐng)求說(shuō)出下列直角三角形三邊之間的關(guān)系并未知邊的長(zhǎng)度。試一試：34x(1)10x6(2)x1213(3)解：由勾股定理得：x2=100-36x2=64,x=±8

x2=102-62∴x=8x2+122=132x2=132-122x2=169-144x2=25,x=±5∴x=5∵x>0，（-8舍去）∵x>0，（-5舍去）x2=9+16x2=25x2=32+42∴x=5x=±5∵x>0，（-5舍去）

62+x2=

102(1)(2)(3)例1：如圖所示，Rt△ABC的斜邊AC比直角邊AB長(zhǎng)2cm，另一直角邊BC的長(zhǎng)為6cm，求AC的長(zhǎng).例題鞏固ABC

受臺(tái)風(fēng)影響，一棵樹(shù)在離地面3米處被人為砍掉，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)跟底部4米處，這棵樹(shù)折斷前有多高？如下圖所示：求解過(guò)程：3米4米CBA例題鞏固想一想思考下列問(wèn)題：（1）運(yùn)用勾股定理的條件是什么？（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么關(guān)系？

（3）勾股定理有什么用途？（4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為13cm，一條直角邊長(zhǎng)為5cm.你以求出另一條直角邊的長(zhǎng)嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的做法。（在直角三角形中）（三邊之間）(已知兩邊求第三條邊)（運(yùn)用勾股定理）小結(jié)acb如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么

a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理1.勾股定理的內(nèi)容是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的________.

2.勾股定理能解決________三角形的許多問(wèn)題，因此在現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.

3.勾股定理把直角三角形中的“形”的特征，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范.平方

直角

自主導(dǎo)學(xué)勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【例1】如圖，一條小船從點(diǎn)A處出發(fā)，欲到達(dá)河對(duì)岸的點(diǎn)B處，但由于水流的影響，小船實(shí)際靠岸的地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)的地點(diǎn)B200m，如果小船在水中實(shí)際航行了520m，那么河的寬度AB為多少米?分析：因?yàn)锳B⊥BC，所以△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理，直角三角形已知兩邊可求第三邊.探究學(xué)習(xí)

1.有兩棵樹(shù)，一棵高8m，另一棵高2m，兩樹(shù)相距8m，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的最高點(diǎn)飛到另一棵樹(shù)的最高點(diǎn)，至少要飛________m.

10跟蹤訓(xùn)練利用勾股定理求最短距離問(wèn)題

【例2】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，一只螞蟻在正方體表面爬行，它從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是多少?分析：將正方體沿棱剪開(kāi)得到展開(kāi)圖，從點(diǎn)A到點(diǎn)B最少要穿過(guò)兩個(gè)正方形，連接AB，即為最短距離，利用勾股定理求斜邊長(zhǎng)度.

技巧點(diǎn)撥：正方體的六個(gè)面是相同的，所以無(wú)論螞蟻?zhàn)吣膬蓚€(gè)面，最短路程都是一樣的.但如果是長(zhǎng)方體就需要進(jìn)行分類(lèi)討論，比較后確定最短路程.2.如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，4，如果一只螞蟻所處的位置是頂點(diǎn)A，那么它沿長(zhǎng)方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是多少?

跟蹤訓(xùn)練1.放學(xué)以后，萍萍和曉曉從學(xué)校門(mén)口分開(kāi)，分別沿東南方向和西南方向回家，若萍萍和曉曉行走的速度都是40m/min，萍萍用15min到家，曉曉用20min到家，則萍萍家和曉曉家的距離為(

).A.600mB.800mC.1000mD.不能確定C提升訓(xùn)練

C3.小強(qiáng)量得家里新購(gòu)置的液晶電視屏幕的長(zhǎng)為93cm，寬為52cm，這臺(tái)液晶電視的尺寸(屏幕的對(duì)角線長(zhǎng)度為電視機(jī)的尺寸)最有可能是(

).A.32英寸(約81cm)B.50英寸(127cm)C.42英寸(約107cm)D.60英寸(約152cm)C4.(跨學(xué)科情境)如圖，一個(gè)由傳感器A控制的燈，裝在門(mén)上方離地面高度為4.5m的墻上，任何物體只要移至該燈5m及5m以?xún)?nèi)時(shí)，燈就會(huì)自動(dòng)發(fā)光.一名身高為1.5m的學(xué)生走到離墻(

)遠(yuǎn)的地方燈剛好發(fā)光.A.4mB.3mC.5mD.7mA

D

D7.如圖，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于點(diǎn)P.求證：BP2＝BC2＋AP2.證明：連接BM，因?yàn)镸P⊥AB，所以△BMP和△AMP均為直角三角形.所以BP2+MP2=BM2，AP2+MP2=AM2.同理可得BC2+CM2=BM2.所以BP2+MP2=BC2+CM2.又因?yàn)锳M=CM，所以CM2=AM2=AP2+MP2.所以BP2+MP2=BC2+AP2+MP2，即BP2=BC2+AP2.8.如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為3cm，寬為1cm，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B(B為棱的中點(diǎn))，那么所用細(xì)線最短是多少厘米?

9.(河北省)如圖，從筆直的公路l旁一點(diǎn)P出發(fā)，向西走6km到達(dá)l；從點(diǎn)P出發(fā)向北走6km也到達(dá)l，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

).A.從點(diǎn)P出發(fā)，向北偏西45°走3km到達(dá)lB.公路l的走向是南偏西45°C.公路l的走向是北偏東45°D.從點(diǎn)P出發(fā)，先向北走3km，再向西走3km到達(dá)lA10.如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為13m