17.1 勾股定理 課件 2023-2024學年人教版八年級數(shù)學下冊

14.1勾股定理14.1.1直角三角形三邊的關系情境引入海口市海秀路受臺風的影響，一棵樹在離地面3米處被人為砍伐，樹的頂部落在離樹跟底部4米處，這棵樹折斷前有多高？如下圖所示：3米4米CBA圖1-1探究RQPACB（1）正方形P的面積是

平方厘米。（2）正方形Q的面積是

平方厘米。（3）正方形R的面積是

平方厘米。圖1-2112QPR圖3QPR圖4把R看作是大正方形面積減去四個直角三角形的面積。S正方形RQPR圖1-3QPR圖1-4把R看作是四個直角三角形的面積+小正方形面積。探究P的面積(單位長度)Q的面積(單位長度)R的面積(單位長度)圖2圖3P、Q、R面積關系直角三角形三邊關系QPR圖2QPR圖3ABCABC(每一小方格表示1平方厘米)991625413AC2+BC2=AB2SP+SQ=SR根據(jù)上面的探究，你能得出什么結論？在直角三角形中,兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方結論2動手操作

在右圖(學案)的方格圖中，用三角尺化出兩條直角邊分別為3cm、4cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜邊，并驗證剛才得到的直角三角形三邊的關系是否成立。(每一小格代表１平方厘米)345總結

勾股定理：abc勾股弦即：如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么直角三角形兩邊直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的故事

商高是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，處于奴隸社會時期。在中國古代大約是西漢的數(shù)學著作《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。周公問商高：“天不可階而升，地不可將盡寸而度?！碧斓母叨群偷孛娴囊恍y量的數(shù)字是怎么樣得到的呢？商高說：“故折矩以為勾廣三，股修四，經隅五。”即我們常說的勾三股四弦五。什么是“勾、股”呢？在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。商高答話的意思是：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的內容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫做“商高定理”。拓展

《九章算術》中，趙爽描述此圖：“勾股各自乘，并之為玄實。開方除之，即玄。1、請求說出下列直角三角形三邊之間的關系并未知邊的長度。試一試：34x(1)10x6(2)x1213(3)解：由勾股定理得：x2=100-36x2=64,x=±8

x2=102-62∴x=8x2+122=132x2=132-122x2=169-144x2=25,x=±5∴x=5∵x>0，（-8舍去）∵x>0，（-5舍去）x2=9+16x2=25x2=32+42∴x=5x=±5∵x>0，（-5舍去）

62+x2=

102(1)(2)(3)例1：如圖所示，Rt△ABC的斜邊AC比直角邊AB長2cm，另一直角邊BC的長為6cm，求AC的長.例題鞏固ABC

受臺風影響，一棵樹在離地面3米處被人為砍掉，樹的頂部落在離樹跟底部4米處，這棵樹折斷前有多高？如下圖所示：求解過程：3米4米CBA例題鞏固想一想思考下列問題：（1）運用勾股定理的條件是什么？（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么關系？

（3）勾股定理有什么用途？（4）如果一個直角三角形的斜邊長為13cm，一條直角邊長為5cm.你以求出另一條直角邊的長嗎？請說說你的做法。（在直角三角形中）（三邊之間）(已知兩邊求第三條邊)（運用勾股定理）小結acb如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么

a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理1.勾股定理的內容是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的________.

2.勾股定理能解決________三角形的許多問題，因此在現(xiàn)實生活和數(shù)學中有著廣泛的應用.

3.勾股定理把直角三角形中的“形”的特征，轉化為三邊“數(shù)”的關系，是數(shù)形結合的一個典范.平方

直角

自主導學勾股定理的簡單應用

【例1】如圖，一條小船從點A處出發(fā)，欲到達河對岸的點B處，但由于水流的影響，小船實際靠岸的地點C偏離欲到達的地點B200m，如果小船在水中實際航行了520m，那么河的寬度AB為多少米?分析：因為AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理，直角三角形已知兩邊可求第三邊.探究學習

1.有兩棵樹，一棵高8m，另一棵高2m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的最高點飛到另一棵樹的最高點，至少要飛________m.

10跟蹤訓練利用勾股定理求最短距離問題

【例2】如圖，正方體的棱長為3，一只螞蟻在正方體表面爬行，它從點A爬到點B的最短路程是多少?分析：將正方體沿棱剪開得到展開圖，從點A到點B最少要穿過兩個正方形，連接AB，即為最短距離，利用勾股定理求斜邊長度.

技巧點撥：正方體的六個面是相同的，所以無論螞蟻走哪兩個面，最短路程都是一樣的.但如果是長方體就需要進行分類討論，比較后確定最短路程.2.如圖，一個長方體的長、寬、高分別為2，1，4，如果一只螞蟻所處的位置是頂點A，那么它沿長方體表面從點A爬到點B的最短路程是多少?

跟蹤訓練1.放學以后，萍萍和曉曉從學校門口分開，分別沿東南方向和西南方向回家，若萍萍和曉曉行走的速度都是40m/min，萍萍用15min到家，曉曉用20min到家，則萍萍家和曉曉家的距離為(

).A.600mB.800mC.1000mD.不能確定C提升訓練

C3.小強量得家里新購置的液晶電視屏幕的長為93cm，寬為52cm，這臺液晶電視的尺寸(屏幕的對角線長度為電視機的尺寸)最有可能是(

).A.32英寸(約81cm)B.50英寸(127cm)C.42英寸(約107cm)D.60英寸(約152cm)C4.(跨學科情境)如圖，一個由傳感器A控制的燈，裝在門上方離地面高度為4.5m的墻上，任何物體只要移至該燈5m及5m以內時，燈就會自動發(fā)光.一名身高為1.5m的學生走到離墻(

)遠的地方燈剛好發(fā)光.A.4mB.3mC.5mD.7mA

D

D7.如圖，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于點P.求證：BP2＝BC2＋AP2.證明：連接BM，因為MP⊥AB，所以△BMP和△AMP均為直角三角形.所以BP2+MP2=BM2，AP2+MP2=AM2.同理可得BC2+CM2=BM2.所以BP2+MP2=BC2+CM2.又因為AM=CM，所以CM2=AM2=AP2+MP2.所以BP2+MP2=BC2+AP2+MP2，即BP2=BC2+AP2.8.如圖，長方體的長為3cm，寬為1cm，高為6cm.如果用一根細線從點A開始經過4個側面纏繞一圈到達點B(B為棱的中點)，那么所用細線最短是多少厘米?

9.(河北省)如圖，從筆直的公路l旁一點P出發(fā)，向西走6km到達l；從點P出發(fā)向北走6km也到達l，下列說法錯誤的是(

).A.從點P出發(fā)，向北偏西45°走3km到達lB.公路l的走向是南偏西45°C.公路l的走向是北偏東45°D.從點P出發(fā)，先向北走3km，再向西走3km到達lA10.如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m