正態(tài)分布課堂講義

基礎(chǔ)知識診斷第6節(jié)正態(tài)分布基礎(chǔ)知識診斷考點出現(xiàn)頻率2022年預(yù)測考點103隨機抽樣23次考3次2021年在選擇題和填空題中仍會重考點104用樣本估計總體23次考11次點考查各種統(tǒng)計圖表、古典概型或幾考點105變量間的相關(guān)關(guān)系23次考12次何概型及其概率計算，在解答題中重考點106隨機事件的概率、古典概型、幾何概型23次考5次點考查頻率分布直方圖及其應(yīng)用(與考點107獨立性檢驗23次考1次概率相結(jié)合)，或與統(tǒng)計案例相結(jié)合.回顧教材務(wù)實基礎(chǔ)【知識梳理】考點一正態(tài)曲線(x"■tt)21.定義：我們把函數(shù)中(x)= e~202,xG(—8,+s)(其中目是樣本均值，O是樣本標(biāo)準(zhǔn)差)的圖M，0 %?2兀0象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．2．正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=目對稱；(3)曲線在x=目處達到峰值(最大值)-J=-；2冗0(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)0一定時，曲線的位置由口確定，曲線隨著目的變化而沿x軸平移，如圖甲所示：(6)當(dāng)日一定時，曲線的形狀由0確定.0越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；0越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散,如圖乙所示:：甲 乙甲 乙考點二正態(tài)分布1．定義隨機變量X落在區(qū)間(a,b］的概率為P(a<X<b)=』b隼(x)dx，即由正態(tài)曲線，過點(a,0)和點(b,0)的

兩條x軸的垂線，及x軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是X落在區(qū)間（a,b］的概率的近似值.從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)目從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)目，o確定，因此正態(tài)分布常記作N（N，O2）.如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為XN（de）.其中，參數(shù)目是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計；o是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計.3o原則若XN（do2），則對于任意的實數(shù)a〉0,P⑴―a<X<^+a）=J"即（x）dx為下圖中陰影部分的面積，M-a四，o對于固定的目和a而言，該面積隨著o的減小而變大.這說明o越小，X落在區(qū)間（目-a，目+a］的概率越大，即X集中在日周圍的概率越大0\MRM x特別地，有P(N-o<X<N+o)=0.6826；P⑴-2o<X<目+2o)=0.9544；P(目-3o<X<曰+3o)=0.9974.由P（目-3o<X<目+3o）=0.9974，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間（目-3o,目+3o）之內(nèi).而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件.在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N3,o2）的隨機變量X只?、?3o,目+3o）之間的值，并簡稱之為3o原則.考點聚焦突破 分類講練以例求法考點一正態(tài)曲線（x1）2/TOC\o"1-5"\h\z【例1】（多選）（2020?江蘇盱胎期中）已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)①（x）=-^e-2o；2（xeR,i=1,2,1 <2no3）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）A.o=o B.1>1 C.1=1 D.o<o1 2 1 3 1 2 2 3

【訓(xùn)練1】（2020?新疆月考）根據(jù)公共衛(wèi)生傳染病分析中心的研究，傳染病爆發(fā)疫情期間，如果不采取任何措施，則會出現(xiàn)感染者基數(shù)猛增，重癥擠兌，醫(yī)療資源負(fù)荷不堪承受的后果．如果采取公共衛(wèi)生強制措施，則會導(dǎo)致峰值下降，峰期后移.如圖，設(shè)不采取措施、采取措施情況下分別服從正態(tài)分布N（35,2）,N（70，8），則峰期后移了——天，峰值下降了——％（注：正態(tài)分布的峰值計算公式為六）考點二正態(tài)分布【例1】（2020?全國理）某公司訂購了一批樹苗，為了檢測這批樹苗是否合格，從中隨機抽測100株樹苗的高度,經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖（1）所示的頻率分布直方圖,其中最高的16株樹苗的高度的莖葉圖如圖（2）所示,以這100株樹苗的高度的頻率估計整批樹苗高度的概率.（1）求這批樹苗的高度高于1.60米的概率，并求圖（1）中a,b,c的值；（2）若從這批樹苗中隨機選取3株，記己為高度在（1.40，1.60］的樹苗數(shù)量，求工的分布列和數(shù)學(xué)期望;（3）若變量S滿足P（目—。＜S＜目+。）〉0.6826且P（目―2q＜S＜目+2。）〉0.9544,］則稱變量S滿足近似于正態(tài)分布N(N,o2)的概率分布.如果這批樹苗的高度滿足近似于正態(tài)分布N(1.5，0.01)的概率分布，則認(rèn)為這批樹苗是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收.試問：該批樹苗能否被簽收？【解題總結(jié)】.在解決有關(guān)問題時，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(N,o2)的隨機變量x只取(目-3。，目+3。)之間的值.如果服從正態(tài)分布的隨機變量的某些取值超出了這個范圍就說明出現(xiàn)了意外情況．.求正態(tài)變量x在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法：(1)根據(jù)題目中給出的條件確定日與。的值.(2)將待求問題向(口―。，R+。］,(目―2。，目+2。］,(目―3。，目+3。］這三個區(qū)間進行轉(zhuǎn)化；(3)利用x在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果.3.假設(shè)檢驗的思想(1)統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的基本思想：根據(jù)小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的原則和從總體中抽測的個體的數(shù)值，對事先所作的統(tǒng)計假設(shè)作出判斷：是拒絕假設(shè)，還是接受假設(shè).(2)若隨機變量自服從正態(tài)分布N(N,O2),則自落在區(qū)間(目-3。，目+3。］內(nèi)的概率為0.9974，亦即落在區(qū)間(目-3。，目+3。］之外的概率為0.0026，此為小概率事件.如果此事件發(fā)生了，就說明己不服從正態(tài)分布.(3)對于小概率事件要有一個正確的理解：小概率事件是指發(fā)生的概率小于3%的事件．對于這類事件來說，在大量重復(fù)試驗中，平均每試驗大約33次，才發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發(fā)生的．不過應(yīng)注意兩點：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對“一次試驗”來說的，如果試驗次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進行推斷時，也有3%犯錯的可能性．【例2】(2020?牡丹江一中)2020年2月，受新冠肺炎的影響，醫(yī)衛(wèi)市場上出現(xiàn)了“一罩難求”的現(xiàn)象.在政府部門的牽頭下，部分工廠轉(zhuǎn)業(yè)生產(chǎn)口罩，已知某工廠生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)4~N(15，0.0025)，單位為g，該廠每天生產(chǎn)的質(zhì)量在(14.9g，15.05g)的口罩?jǐn)?shù)量為818600件，則可以估計該廠每天生產(chǎn)的質(zhì)量在15.15g以上的口罩?jǐn)?shù)量為()參考數(shù)據(jù)：若。N(n,o2)，則UP(目—0<X<R+o)=0.6826，P⑴―2o<X<目+2o)=0.9544，P⑴—3o<X<目+3o)=0.9973.A.158700 ~B.22750 C.2700 D.1350【解題總結(jié)】.求正態(tài)曲線的兩個方法(1)圖解法：明確頂點坐標(biāo)即可，橫坐標(biāo)為樣本的均值口，縱坐標(biāo)為-J=-.2m(2)待定系數(shù)法：求出口，o便可..正態(tài)分布下兩類常見的概率計算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線l=口對稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3o原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的目，o進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(目—o，目+o),(目—2o，目+2o),(目—3o，目+3o)中的哪一個..正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線對稱性和曲線與x軸之間面積為1.(2)熟記P(目—ovX<^+o),P(目—2o<X<目+2o),P(目—3o<X<目+3o)的值.(3)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化：①P(X<a)=1—P(X>a);②P(X<目一a)=1—P(X>目+a);③若b<目，則p（X<b）=>P（—b<X<n+b）.2特別提醒：正態(tài)曲線，并非都關(guān)于y軸對稱，只有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線才關(guān)于y軸對稱.【訓(xùn)練1（2020?湖北十堰）設(shè)某地胡柚（把胡柚近似看成球體）的直徑（單位：mm）服從正態(tài)分布N（75,16）,則在隨機抽取的1000個胡柚中，直徑在（79，83］內(nèi)的個數(shù)約為（ ）附：若X—N（N，。