高中數(shù)學必修第二冊 平面與平面平行 學案

8.5.3平面與平面平行

團闌國閹目底（教師獨具內(nèi)容）

課程標準：1.掌握平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.2.能夠用平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明相關問題.

教學重點：平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理及其應用.

教學難點：從生活實踐中歸納發(fā)現(xiàn)平面與平面判定定理和性質(zhì)定理的應用.

核心概念掌握

?

-知識導學-

知識點一平面與平面平行的判定定理

1.文字語言：如果回一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,那么

這兩個平面平行.

圖“U6、

回bu4

2.符號語言：回aAZ?=P>=>a〃/.

――〃a,

3.圖形語言：如圖所示.

4.作用：證明兩個平面區(qū)平行.

知識點二平面與平面平行的性質(zhì)定理

1.定理：兩個平面平行，如果四另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條

交線螞平行.

2.符號表示：若陷a〃8，aQ尸a,8Cy=b，則國a〃b.

3.作用：因證明或判斷線線平行.

?

新知拓展

1.證明面面平行的方法

(1)面面平行的定義.

(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平

行，那么這兩個平面平行.

(3)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行.

2.平面與平面平行的性質(zhì)定理使用時三個條件缺一不可

⑴兩個平面平行，即a//p.

(2)第一個平面與第三個平面相交，即aAy=a.

(3)第二個平面與第三個平面也相交，即4n〉=b.

3.三種平行關系可以任意轉(zhuǎn)化，其相互轉(zhuǎn)化關系如圖所示

才評價自測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)平行于同一條直線的兩個平面互相平行.()

(2)如果一個平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平

行.()

(3)若平面%夕都與平面y相交，且交線平行，則a〃夕.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做

(1)若一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個

平面的位置關系是()

A.一定平行B.一定相交

C.平行或相交D.以上判斷都不對

(2)已知平面a,§和直線a,b,c,且a//b//c,aUa,h,cU§,則a與夕

的關系是.

(3)設a,b是不同的直線，a,4是兩個不同的平面，給出下列結(jié)論：

①若a〃a,b〃a〃夕，則a〃8；

②若a〃夕，a//a,aQ0,則a〃夕；

③若a〃夕，AGa,過點A作直線/〃夕，則/Ua；

④平行于同一個平面的兩個平面平行.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

(4)平面a〃平面用，直線/〃a,則直線/與平面夕的位置關系是

答案(1)C(2)相交或平行(3)②③④(4)/〃.或/U4

核心素養(yǎng)形成

題型一平面與平面平行判定定理的理解

例1下列命題中正確的是()

①若一個平面內(nèi)有兩條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行；

②若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行；

③若一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行；

④若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，則這兩個平面平行.

A.①③B.②④C.②③④D.③④

［解析］對于①：一個平面內(nèi)有兩條直線都與另外一個平面平行，如果這兩

條直線不相交，而是平行，那么這兩個平面相交也能夠找得到這樣的直線存在，

故①錯誤；

對于②：一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另外一個平面平行，此時兩平面不一

定平行.如果這無數(shù)條直線都與兩平面的交線平行時，兩平面可以相交，故②錯

誤；

對于③：一個平面內(nèi)任何一條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平

行.這是兩個平面平行的定義，故③正確；

對于④：一個平面內(nèi)有兩條相交直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面

平行.這是兩個平面平行的判定定理，故④正確.

故選D.

［答案］D

金版點睛」應用平面與平面平行判定定理的注意事項

(1)平面與平面平行判定定理把判定面面平行轉(zhuǎn)化為判定線面平行，同時應注

意是兩條相交直線都平行于另一平面.

(2)解決此類問題，若認為命題正確，必須用相關定理嚴格證明；而要否定它,

只需要舉出一個反例，此時借用常見幾何模型是非常有效的方法.

「跟蹤訓練I

設直線I,m,平面a,B，下列條件能得出a/邛的有()

①/Ua,mCa,且/〃/，m///?；

②/Ua,mUa,且/〃m,/〃/，m〃§；

③/〃a,mH/3,且/〃加；

?lC\m=P,/Ua,"?Ua,且/〃4，，

A.1個B.2個C.3個D.0個

答案A

解析①錯誤，因為/,m不一定相交；②錯誤，一個平面內(nèi)有兩條直線平行

于另一個平面，這兩個平面可能相交；③錯誤，兩個平面可能相交；由面面平行

的判定定理可知，④正確.

題型二平面與平面平行的判定

例2如圖，在正方體ABCO-AiBGOi中，M,E,F,N分別是B\C\,

C\D\,DiAi的中點.

求證：(1)￡,F,B,。四點共面；

(2)平面MAN//平面EFDB.

［證明］(1)如圖,連接5Q1,?分別是邊BiCi,GDi的中點，，歷〃

B\D\.

而BD〃BiDi,：.BD//EF.

：.E,F,B,。四點共面.

Q）易知MN〃BiDi,B1D1//BD,

J.MN//BD.

又MNQ平面EFDB,8。U平面EFDB,

〃平面EFDB.

連接ME「M,尸分別是A1B1,C1D1的中點,

：.MF//A\D\,MF=A\D\,

S.MF//AD,MF=AD,

二四邊形AOFM是平行四邊形，J.AM//DF.

又AM@平面BDFE,DFU平面BDFE,

...AM〃平面BDFE.

，平面MAN//平面EFDB.

金版點睛J線線平行、線面平行與面面平行的轉(zhuǎn)化

(1)要證面面平行需證線面平行，要證線面平行需證線線平行，因此“面面平

行”問題最終轉(zhuǎn)化為“線線平行”問題.此即為面面平行判定定理的推論產(chǎn)生的

依據(jù).

(2)在轉(zhuǎn)化為線面平行證面面平行時，首先觀察面內(nèi)已有的直線是否平行，若

不平行，再利用條件有針對性地構(gòu)造平面找出平行直線.

彳跟蹤訓練2

如圖所示，在三棱柱ABC—A山Ci中，E,F,G,”分別是AB,AC,AiB,

Ai。的中點，求證：

(1)B,C,H,G四點共面；

(2)平面〃平面BCHG.

證明(1)因為G,”分別是AiBi,AiG的中點，所以G"是△AiBCi的中位

線，所以G”〃BG.

又因為所以G"〃BC,

所以B,C,H,G四點共面.

(2)因為￡,尸分別是A3,AC的中點，所以EF〃BC

因為E網(wǎng)平面BC”G,BCU平面BCHG,

所以EF〃平面BCHG.

因為4G〃硝，A\G=EB,

所以四邊形4EBG是平行四邊形，所以AiE〃GB.

因為4EQ平面BCHG,GBU平面BCHG,

所以4E〃平面BCHG.

因為AiEAEF=E,

所以平面或弘1〃平面BCHG.

題型三平面與平面平行性質(zhì)定理的應用

例3如圖，在正方體ABCO-AiBCiOi中，0為底面A3CO的中心，P是

DDi的中點，設。是CG上的點，問：當點。在什么位置時，平面。1BQ與平面

孫。平行？

［解］如圖，設平面。iBQC平面AODi4=OiM,點M在A4上,

由于平面OlBQn平面BCC\B\=BQ,平面平面BCC\B\,

由面面平行的性質(zhì)定理可得BQ//D\M.

假設平面。山。〃平面PAO,由平面。山。0平面ADD\A\=D\M,平面

平面AODi4=AP,可得AP〃Z)iM,所以BQ〃AP.

因為P為。Qi的中點，所以Q為CG的中點.

故當。為CG的中點時，平面。山。〃平面出0.

金版點睛］應用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟

5跟蹤訓練3

如圖，已知AB,CO是夾在兩個平行平面a,夕之間的線段，M,N分別為

AB,CD的中點.求證：MN//a.

證明若AB,CD在同一平面內(nèi)，則平面A8OC與a,4的交線分別為

AC.

二B，.,.AC//BD.

\'M,N分別為AB,CD的中點,J.MN//BD.

又BDUa,MNQa,:.MN//a.

若AB,CO異面，如圖，過A作AE〃C。交a于點E,取AE的中點P,連

接MP,PN,BE,ED.

'：AE//CD,：.AE,CD確定平面AEOC,

且與a,8的交線分別為ED,AC.

,:B，：.ED//AC.

又P,N分別為AE,CO的中點，

J.PN//ED,：.PN//a,

同理可證MP〃BE,：.MP//a,平面MPN〃a,

又MNU平面MPN,：.MN//a.

題型四直線、平面平行的綜合應用

例4在正方體43cCQi中，如圖.

(1)求證：平面平面GBD；

(2)試找出體對角線AiC與平面AB\D\和平面GBD的交點E,F,并證明:

A\E=EF=FC.

［解］(1)證明：因為在正方體ABCO-AIBCQI中，

AD融BiCi,

所以四邊形AB。。是平行四邊形，所以AB〃CiD

又因為GOU平面CiBD,平面C\BD.

所以〃平面同理平面GBD.

又因為ABinBiDi=Bi,ABC平面ABOi,BOC平面

所以平面AB\D\//平面C\BD.

(2)如圖，連接AiG交于點。，連接AOi與4C交于點E.

又因為AOU平面AB\D\,

所以點E也在平面ABiDi內(nèi)，

所以點E就是AC與平面n的交點；

連接AC交BO于點0,連接C0與AC交于點F,則點尸就是AC與平面

C\BD的交點.

下面證明A\E=EF=FC.

因為平面4GCA平面

平面4cleA平面C\BD=C\F,

平面ABDi〃平面GBD,所以EOi〃CF.

在△AiGf'中，Oi是ACi的中點，所以E是AiF的中點，即

同理可證0尸〃4民又因為。為AC的中點，所以尸是CE的中點，即C/=

FE,所以AiE=EE=FC.

金版點睛」三種平行關系的相互轉(zhuǎn)化

線線平行、線面平行、面面平行這三種關系是緊密相連的，可以進行相互轉(zhuǎn)

化.相互間的轉(zhuǎn)化關系如圖.

因此判定某一平行的過程就是從一平行關系出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過程，在證明問

題時要切實把握這一點，靈活地確定轉(zhuǎn)化思路和方向.“平行關系”的應用是證

明線線、線面、面面平行的依據(jù),充分理解并掌握三者之間轉(zhuǎn)化的判定及性質(zhì)定

理，并進一步理解轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，是解決“平行關系”問題的關鍵所在.

「跟蹤訓練4

如圖所示，P是△ABC所在平面外一點，平面a〃平面ABC,a分別交線段

PA,PB,PC于A',B',C'.若票7=。，求S1B：￡的值.

AA3SMBC

解?平面a〃平面ABC,平面雨8C1平面a=A'B',

平面BABA平面ABC=AB,

：.A'B'〃AB.同理可證8'C//BC,A'C//AC.

：.ZB'A'C=ZBAC,NA'B'C=ZABC,ZA'C'B'=ZACB.

:.△A'B'C'^/\ABC.

又物'：A'A=2：3,：.PA'：PA=2：5.

.?.A'B':AB=2:5.

=

SA/I-BC':SMBC425.

隨堂水平達標

1.已知直線/,平面a,a下列命題正確的是()

A.m//1,I//a^m//a

B.I//(i,m///3,/Ua,機Ua與a〃4

C.I//m,lUa,機u4=>a〃4

D.I///3,m〃B，/Ua,mUa,lCm=M0a〃0

答案D

解析A中，可能在a內(nèi)，也可能與a平行；B中，a與P可能相交，也

可能平行；C中，a與尸可能相交，也可能平行；D中，lCm=M,且/,機分別

與平面夕平行，依據(jù)面面平行的判定定理可知a〃夕.故選D.

2.設a〃夕，Ada,B-C是A3的中點，當A,B分別在平面a,夕內(nèi)運

動時，得到無數(shù)個A3的中點C,那么所有的動點C()

A.不共面

B.當且僅當A,8分別在兩條直線上移動時才共面

C.當且僅當A,3分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面

D.不論A,8如何移動，都共面

答案D

解析如圖所示，A',B'分別是A,B兩點在a,夕上運動后的兩點，此時

的中點變成A'B'的中點C',連接A'8,取A'B的中點￡連接CE,C'E,

AA',BB',CC'.則C￡〃44',

：.CE//a.'：CE//BB',：.C'E〃夕.又a〃4，：.CE//a.

'：C后門。七=￡，平面。。'E〃平面a.

：.CC〃a.所以不論A,B如何移動，所有的動點C都在過C點且與a,4

平行的平面上.

3.如圖，在正方體ABC。一AiBiGDi中，若經(jīng)過。山的平面分別交A4i,

CCi于點E,F,則四邊形。IEBF的形狀不可能是（）

A.矩形B,菱形

C.平行四邊形D.正方形

答案D

解析若點E與點4重合，則點尸與點C重合，此時四邊形OiEB尸是矩形;

若點E在/Ui的中點處，則點尸也在CG的中點處，此時四邊形OiEBR是菱形

但不是正方形；其他情況下為普通的平行四邊形.故選D.

4.如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中四邊形A3CO為正方形，E,F,

G,“分別為出，PD,PC,的中點，在此幾何體中，給出下面五個結(jié)論:

①平面ER7H〃平面A8CD；

②出〃平面BDG；

③EF〃平面PBC；

④"7〃平面BDG；

⑤EE〃平面BDG.

其中正確的結(jié)論是，

答案①②③④

解析還原幾何體可知該幾何體是一個如圖所示的正四