上海市奉賢區(qū)四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一年級上冊數(shù)學(xué)期中考試試題

上海市奉賢區(qū)四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試題

閱卷入

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12

得分題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.對數(shù)式log2（1-3%）中X的取值范圍為

2.已知集合4=（—2,2）,B=（-3,一1）,則ZUB=

3.已知log2X=-1,貝I」K=.

4.若嘉函數(shù)丫=/的圖像經(jīng)過（3,V3）,則此函數(shù)的表達(dá)式為

5.已知a>0,用有理數(shù)指數(shù)幕的形式表示?獷=

6.不等式/f>之的解集為

7.下列幕函數(shù)在區(qū)間（0,+8）上是嚴(yán)格增函數(shù)，且圖像關(guān)于原點成中心對稱的有

（請?zhí)钊肴空_的序號）

1151

@y=%3；@y=x2;@y—；④y=%3

8.若%>0時，指數(shù)函數(shù)、=（2。2一1尸的值總小于1,則實數(shù)a的取值范圍為

9.若關(guān)于x的不等式組產(chǎn)尢一3）（3%}2）4°，}沒有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為

（x—a>0

10.設(shè)log。,2a>0,logo,2b>0,且10go.2a?logo.2b=1，則log。.2ab的最小值為

11.某服裝公司生產(chǎn)的襯衫每件定價160元，在某城市年銷售10萬件.現(xiàn)該公司計劃在該市招收代理來銷

售襯衫，以降低管理和營銷成本.已知代理商要收取的代理費為總銷售金額的r%（每100元銷售額收取r

元），且r為正整數(shù).為確保單件襯衫的利潤保持不變，服裝公司將每件襯衫價格提高到禺元，但提價

1—7%

后每年的銷售量會減少0.62r萬件.若為了確保代理商每年收取的代理費不少于65萬元，則正整數(shù)r的取值

組成的集合為__________________

12.已知函數(shù)y=*：（aeR）,若該函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，且函數(shù)值不恒為負(fù)，則實數(shù)a的取值

范圍為_____________

閱卷人二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13T4題每題4分，第15-

16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位

得分置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.如果a<0<b,那么下列不等式中成立的是（）

A.V—a<VbB.a2<b2C.a3<b3D.ab>b2

14.若a>0,a7LM>0,N>0,下列運算正確的是()

A.logaW=^logaMB-(log/)"Mog/

C.(logaM)+(logaN)=loga(M-N)D.(logaM)+(logayv)=loga(M+N)

15.設(shè)a、bCR,“a=0”是“方程ax=b的解集為R”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

16.關(guān)于x的不等式a/+b%+c<0的解集為(—8,-2)U(3,+oo),則下列說法正確的個數(shù)是

()個.

①a<0；②關(guān)于％的不等式bx+c>0的解集為(-8,-6)；③a+b+c>0；④關(guān)于x的不等式

11

c/—bx+a>0的解集為(—8,—W)0(訝，+8).

A.1B.2C.3D.4

閱卷人

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的

得分相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.

(1)設(shè)％,yER9用反正法證明：若X+y>2,則％>1或y>1

(2)設(shè)aeR,比較(a+l)2與/一。+1的值的大小

18.已知方程/+6租％+9771-2=0,且%1，%2是方程的兩個不同的實數(shù)根.

11

(1)若TH=1,求丁+=的值；

X1x2

2

(2)若znER,且％J+%2<4，求機(jī)取值范圍.

19.某新建居民小區(qū)欲建一面積為700租2的矩形綠地，并在綠地四周鋪設(shè)人行道.

設(shè)計方案為：綠地外南北兩側(cè)人行道寬3m,東西兩側(cè)人行道寬4m,如圖所示(單位：m),人行道的

占地面積為Szn2.

北

----------0?0----------

____1____

-4—綠地-4-

------E1------

_________±_________

南

(1)設(shè)矩形綠地的南北側(cè)邊長為xm,試寫出S關(guān)于久的函數(shù)關(guān)系式.

（2）如何設(shè)計綠地的邊長，才能使人行道的占地面積最小?（結(jié)果精確到（Mm）

20.

（1）已知集合4={久||x—a|<2|},B=且41求實數(shù)a的取值范圍；

（2）已知集合4={x\x2-2%-3>0|},B={x\x2+px+q<0\],若力UB=R且力CB=,求p+

q的值;

（3）已知keR,當(dāng)k變化時，求不等式（卜久―1—4）（久一4）>0的解集.

21.已知集合4為非空數(shù)集，定義：S={x\x=a+b,a,bEA},T={x\x=\a-b\,a,bEA]（a,b

實數(shù)可以相同）

（1）若集合4={2,5},直接寫出集合S、T；

（2）若集合4={%i，K2，久3，久4卜久1<久2<芯3<%4，且T=A，求證：無1+處=X2+%3；

（3）若集合A￡{久|0〈X〈2021,%GN},SCIT=0,記|A|為集合4中元素的個數(shù)，求⑷的最大值.

答案解析部分

1.【答案】

【知識點】函數(shù)的定義域及其求法

【解析】【解答】解：要使久）有意義，需久>所以對數(shù)式久）中久的

log2（1-31-30x</,log2（1—3

取值范圍為（-co,1）.

故答案為：X<^.

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，列出不等式，即可得結(jié)果.

2.【答案】（一3,2）

【知識點】交集及其運算

【解析】【解答】解：因為A=（-2,2）,B=（一3,-1）,所以AUB=（—3,2）

故答案為：（一3,2）.

【分析】根據(jù)并集定義即可得結(jié)論.

3.【答案】|

【知識點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化

【解析】【解答】解：因為log2x——1所以％=2-1=

故答案為：I.

【分析】對數(shù)式化成指數(shù)式即可.

4.【答案】了二久］

【知識點】幕函數(shù)的概念與表示

【解析】【解答】解：因為嘉函數(shù)y=%a的圖像經(jīng)過（3,遍），所以百=3%所以a=$所以此函數(shù)

的表達(dá)式為y=

故答案為：”=I.

【分析】根據(jù)幕函數(shù)定義，代入點計算即可.

5.【答案】0學(xué)

【知識點】有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)

【解析】【解答】解：因為a>。所以a3.^=a3.J=a3+?=a學(xué).

故答案為：。竽.

【分析】把根式轉(zhuǎn)化為指數(shù)塞，根據(jù)同底數(shù)幕運算即可.

6.【答案】％e(—8,1)U(3,+00)

【知識點】一元二次不等式；指、對數(shù)不等式的解法

【解析】【解答】解：因為3/一軌>3=3-3,所以比2一4久>—3,，x>3殷<1,所以不等式

3，-4X>3的解集為％e(_8,1)u(3,+00).

故答案為：Xe(—00,1)U(3,+00).

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解即可.

7.【答案】①③

【知識點】基函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1

【解析】【解答】解：因為幕函數(shù)y=￡a在區(qū)間(0,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以a>0,①y=%3;

151

=③丫二戶滿足.又因為圖像關(guān)于原點成中心對稱，所以該幕函數(shù)為奇函數(shù)，而②丫=久2定

15

義域為x20,定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)，?_3，③V./圖像在一三象限，都是奇

yV一4Yy一人

函數(shù).

故答案為：①③.

【分析】根據(jù)嘉函數(shù)的圖象，觀察其單調(diào)性、奇偶性即可判斷.

8.【答案】(-1,—易乂孝，1)

【知識點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】解：因為龍〉0時，指數(shù)函數(shù)y=(2a2-1尸<1,...0<2a2-1<1!<a2<1,

所以—1<%<—乎或乎<%<1,所以實數(shù)a的取值范圍為(—1,—孝)u(￥，1).

故答案為：(―1,-圣火孝,1).

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，％>0時函數(shù)值大于。小于I,則底數(shù)也在。與I之間，解不等式組即可.

9.【答案】a?|

【知識點】交集及其運算；一元二次不等式及其解法

【解析】【解答】解：因為（2久—3）（3%+2）W0一代xw|,又｛（2久一］［；；）<。沒有實數(shù)根，

所以a?|

故答案為:a>^.

【分析】解出一元二次不等式，根據(jù)不等式組沒有實數(shù)根，作圖可得結(jié)論.

10.【答案】2

【知識點】對數(shù)的性質(zhì)與運算法則；基本不等式；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

,2

log,a+log,h\

【解析】【解答】解：因為logo2a>0,logo,2b>0,所以loga-logb<0202

02022

2

(log0.2叫，

4

又logo.2a,logo.2b=L所以log。,2ab>2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時log。,2ab的最小值為2.

故答案為：2.

【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合對數(shù)運算即可得結(jié)論.

11?【答案】｛7,8,9,10｝

【知識點】不等關(guān)系與不等式；一元二次不等式及其解法

【解析】【解答】解：當(dāng)每件襯衫價格為短空元時，代理商可銷售（10-0.62r）萬件襯衫，則代理商收取

1—r%

的代理費為/空（10-0.62r；r%萬元.據(jù)題意得3維110-0.62r；r%>65,

1—r%1—r%

0<1-r<1

即10-0.62r>0所以罌等，則正整數(shù)r的取值組成的集合為｛7,8,9,10｝

,496r2-8325r+32500<0

故答案為：｛7,8,9,10).

【分析】根據(jù)題意得每件襯衫價格、銷售量，進(jìn)而得出代理商的代理費，解不等式組即可.

12.【答案】（—2,J）

【知識點】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；函數(shù)恒成立問題

【解析】【解答】解：因為y="^=a+上等（aeR,久?！?）,在區(qū)間上a,+oo是嚴(yán)格減函數(shù)，且

I乙A.I乙

函數(shù)值不恒為負(fù)，所以l-2a>0a>-2,所以-2<a<12,所以實數(shù)a的取值范圍為（-2,12）.

故答案為：(-2,12).

【分析】把函數(shù)分離常數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)單調(diào)性，列出不等式組，即可求解.

13.【答案】C

【知識點】利用不等式的性質(zhì)比較大小

【解析】【解答】解：對于A、B,取a=-2,b=l則口>VF,a2>標(biāo)所以人、B錯誤.

對于C,若a<O<b,則a3<0,戶>0,a3Vb3,所以C正確.

對于D,因為ab—/?2=b(a—b)因為，a<0<b,所以b>0,a—b<0,b(a—b)<0,.1,ab<

b2.

所以D錯誤.

故答案為：C.

【分析】舉反例即可判斷A、B錯誤，根據(jù)正數(shù)奇次幕為正數(shù)，負(fù)數(shù)奇次幕仍為負(fù)數(shù)，即可判斷C正

確，

作差比較法比較ab與b2的大小，即可判斷D錯誤.

14.【答案】A

【知識點】對數(shù)的性質(zhì)與運算法則

1d

【解析】【解答】解：對于A,]OgaV/W=\ogaMN=-^logaM>故A正確.

Ww

對于B,(logaM)N\ogaM=logaM,故B錯誤.

對于C,(10gaM)+(10gaN)/loga(M-N),故C錯誤.

對于D,(10gaM)+(10gaN)=10gaMN410ga(M+N),故D錯誤.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)對數(shù)運算法則逐個判斷即可.

15.【答案】B

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】解：關(guān)于x的方程a尤=b的解集為R,則卷二，當(dāng)a=0時，不一定于x的方程a久=b

的解集為R,但關(guān)于x的方程ax=b的解集為R,可以推出a=0,所以“a=0”是'方程a久=力的解集為R”

的必要非充分條件.

故答案為：B.

【分析】先根據(jù)關(guān)于x的方程ax=b的解集為R,得出噂:二，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可

16.【答案】C

【知識點】一元二次不等式及其解法；二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系；一元二次方程的根

與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：因為關(guān)于久的不等式。久2+6芯+。<0的解集為（_8,—2）u（3,+8）,所以

a<0

a<0

-2+3=--(b——a故①正確.

c=-6a

-2x3=-a

所以關(guān)于％的不等式"+c>0可化為-ax-6a>0,所以第>-6,故②錯誤.

所以a+b+c=—Get>0,故③）正確.

所以關(guān)于％的不等式c%2-ft%+a>0可化為-6a/+ax+a>0,即6/—x—1>0/x>號或t<

_1

一7

所以關(guān)于％的不等式c/一b%+。>o的解集為（_8,-1）u（1,+oo）.故④正確.

故答案為：C.

a<0

ba<0

-2+3=一萬b=—a,然后逐個代入判斷即可.

{-2X3=-=-6a

a

17.【答案】（1）證：假設(shè)xW1且y<1

則x+yW2,與已知條件久+y>2矛盾

所以假設(shè)不成立，即久>1或y>l

（2）（a+1）2—（口2-0+1）=Q2+2a+1—+a—1=3a當(dāng)a>。時，（a+1）2>a?—a+1

當(dāng)a=0時，（a+I）2=a2—a+1

當(dāng)a<0時，（a+1）2<a?-a+1

【知識點】不等關(guān)系與不等式

【解析】【分析】（1）利用反證法證明步驟，先假設(shè)結(jié)論不成立，然后根據(jù)假設(shè)推出矛盾即可.

（2）根據(jù)作差法比較大小即可.

18.【答案】（1）解：當(dāng)m=l時，方程為x2+6x+7=0,因為%1；利是方程的兩個不同的實數(shù)根?

所以%1+%2=-6;%「皿=7，所以看答=一母

(2)解：%i+%2=—6m,?冷二97n—2

2

???+x2=(%i+%2)—2?%2

2

???(%1+%2)—2%i?％2V4

???36m2—2(9m—2)<4

解得0<m<|

又??,方程有兩個不同的根

??./=36m2—4(9m—2)>0

解得根<4或771>!

1

0<TH<W

【知識點】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解集

11

【解析】【分析】(1)根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得%1+%2=—6;%1-%2=7,代入"+石化簡即可.

22

狙+支2<4,解不等式組即可.

(△>0

19.【答案】(1)矩形綠地的南北側(cè)邊長為工根，則東西側(cè)邊長為迎根

x

700

5=(%+8)(--+6)-700

?X

(2)根據(jù)平均值不等式，得6%+噌2216"噌=2V33600=80舊

當(dāng)且僅當(dāng)6久=嚶，即％=2()&。30.6(m)時等號成立.

此時S達(dá)到最小，^x22.9(陶

所以，當(dāng)設(shè)計綠地的南北側(cè)邊長約為30.6m,東西側(cè)邊長約為22.9m時，人行道占地面積最小.

【知識點】基本不等式；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【分析】(1)由矩形綠地的南北側(cè)邊長為久m,得東西側(cè)邊長為避m,即可列出人行道的占地

X

面積S的解析式.

(2)根據(jù)基本不等式，即可求出S的最小值.

20.【答案】(1)4=(a—2,a+2)B=(-2,3)

■■■AQB

,Ca-2>-2

"ta+2<3

解得0<a<1

(2)A=(-oo,-1)u(3,+oo)AUB=R,ADB=[-2,-1)

B=[-2,3]

???方程/+p%+q=0的解為=—2,%2=3

%]+%2=1=—p,得p=-1

%1-%2=-6=q，得q=—6

???P+q=—7

(3)當(dāng)k=0時，71={%|%<4]；

當(dāng)kW0時,解方程(々％-k2-4)(%-4)=0,得％=k+/或％=4,

97

且k+*_4=卜—軌+4=(k-2)

kkk

①當(dāng)k<0時，、+3_4=(J/<0,則k+g<4,

kkK

解原不等式可得k+U<v。，即A={久Ik+UV%<4}；

KK

2A

②當(dāng)0<k<2或k>2時，k+」_4=(k—2)>0,即k+^>4,

kkR

解原不等式可得％<4或%>/c+p即4={%I%<4或%>k+3；

③當(dāng)k=2時，k+2=4,原不等式即為2(%—4)2>0,解得%H4,即4={%|%W4}.

綜上所述，當(dāng)k=0時，X={%|%<4}；

當(dāng)々V0時，A={x\k+^<x<4};

當(dāng)0<k<2或々>2時,A={x\x<4或%>k+3；

當(dāng)k=2時，A={久|xH4}.

【知識點】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題；交、并、補(bǔ)集的混合運算；其他不等式的解法

【解析】【分析】(1)先解出A、B集合，然后由力UB,得出不等式組，即可求解.

(2)由/=(—8,-1)U(3,+8)4UB=R,AClB=[-2,-1)得到B集合的解集，利用根與系數(shù)關(guān)

系，即可求解.

(3)先求得方程(kx-k2-4)(%-4)=0的兩根，然后根據(jù)根的大小分類討論，根據(jù)范圍解不等式即可.

21.【答案】(1)S=[4,1,10)；

(2)由于集合力={久「久2，K4卜巧<%2<%3<則T集合的兀素可能包含0,%2~X1,X3—

久4一久1，久3一%2，X4~X2,%4一X3這些兀素，

且有％2一久]力久3一%1片久4一久]

因為4=7,所以7集合有4個元素，即7={0,久2-尤1，久3-%4-xl}>

則剩下的一第2=%4—%3=%2一第1，所以％1+%4=%2+%3；

(3)設(shè)4={的,…縱}滿足題意，其中V。2<…<耿，

貝42al<的+gV的+的<…<+%V。2+縱<。3+縱<…<ctk-i+縱<2/，

?e?|S|N2k—1,臼一的<g—<。3—%V…<耿—，?，?|T|之女，

???SnT=0,由容斥原理|SUT|=|S|+\T\>3/c-l,

SUT中最小的元素為0,最大的元素為2%，

|SUT|<2ak+1,

???3/c-1<2ak+1<4043(/c>1,kEN)

即3/c—l<4043

???k<1348

實際上當(dāng)月={674,675,676,…2021}時滿足題意，

證明如下：

設(shè)力={m,m+1,m+2,…，2021},mEN,

則5={2租，2m+1,2m+2,…，4042},T={0,1,2,…，2021-m},依題意有2021-租<

2m,即血>673件，

故TH的最小值為674,于是當(dāng)TH=674時，A中元素最多，

即4={674,675,676,-,2021}時滿足題意，

綜上所述，集合4中元素的個數(shù)的最大值是1348.

【知識點】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題；子集與交集、并集運算的轉(zhuǎn)換

【解析】【分析】(1)根據(jù)題中定義，代入計算集合S、T即可.

(2)利用集合相等定義證明即可.

(3)通過假設(shè)集合設(shè)/={加，m+1,m+2,,2021},mEN,寫出對應(yīng)集合S、T,由SCl7=0

列出不等式，求出對應(yīng)值即可.

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分:150分

客觀題（占比）18.0(12.0%)

分值分布

主觀題（占比）132.0(88.0%)

客觀題（占比）4(19.0%)

題量分布

主觀題（占比）17(81.0%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題（本大題共有

12題，滿分54分，

第1?6題每題4分，

第7-12題每題512(57.1%)54.0(36.0%)

分）考生應(yīng)在答題紙

的相應(yīng)位置直接填寫

結(jié)果.

選擇題（本大題共有

4題，滿分18分，

第13-14題每題4

分，第15-16題每題

5分）每題有且只有4(19.0%)18.0(12.0%)

一個正確選項.考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位

置，將代表正確選項

的小方格涂黑.

解答題（本大題共有

5題，滿分78分）

解答下列各題必須在5(23.8%)78.0(52.0%)

答題紙的相應(yīng)位置寫

出必要的步驟.

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號難易度占比

1普通(42.9%)

2容易(52.4%)

3困難(4.8%)

4、試卷知識點分析

序號知識點（認(rèn)知水平）分值（占比）對應(yīng)題號

1一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系19.0(12.7%)16,18

2幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.0(3.3%)7

3集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題36.0(24.0%)2