安徽省宿州市2014-2015學年高二上學期期末考試數(shù)學(理)試卷

2014-2015學年安徽省宿州市高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．將無蓋正方體紙盒展開如圖，則直線AB、CD在原正方體中的位置關(guān)系是（）A．平行B．相交且垂直C．相交成60°D．異面2．“a=1”是“函數(shù)f（x）=cos2ax的最小正周期為π”的（）A．充分條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．充要條件3．若||=||=||=1，且＜，＞=，則（+﹣）?（++）=（）A．0B．1C．2D．34．經(jīng)過圓x2+2x+y2=0的圓心C，且與直線x+y=0垂直的直線方程是（）A．x+y+1=0B．x+y﹣1=0C．x﹣y﹣1=0D．x﹣y+1=05．若雙曲線的標準方程為﹣y2=1，則其漸近線方程是（）A．y=±4xB．y=±xC．y=±2xD．y=±x6．已知點A（2，1），拋物線y2=4x的焦點F，P是拋物線上的一動點則|PA|+|PF|的最小值為（）A．1B．2C．3D．47．過橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點F1，作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．8．體積為V的正方體，過不相鄰四頂點連成一個正四面體，則該正四面體的體積是（）A．B．C．D．9．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為2，且側(cè)棱AA1⊥底面ABC，其主視圖是邊長為2的正方形，則此三棱柱左視圖的面積為（）A．2B．2C．D．410．如圖過橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”，則橢圓+=1的“左特征點”M的坐標為（）A．（﹣2，0）B．（﹣3，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，0）二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11．命題“存在實數(shù)x，使x2+2x+2≤0”的否定是．12．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+與2互相垂直，則k值是．13．直線l與橢圓+y2=1相交于A，B兩點，若弦AB中點為（﹣1，），則直線l的方程為．14．拋物線y2=12x被直線x﹣y﹣3=0截得弦長為．解答：解：當a=1，則f（x）=cos2x，則函數(shù)的周期T=，若函數(shù)f（x）=cos2ax的最小正周期為π，則，解得a=±1，則“a=1”是“函數(shù)f（x）=cos2ax的最小正周期為π”的充分條件和必要條件，故選：B點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，以及三角函數(shù)周期的計算，比較基礎(chǔ)．3．若||=||=||=1，且＜，＞=，則（+﹣）?（++）=（）A．0B．1C．2D．3考點：平面向量數(shù)量積的運算．專題：平面向量及應用．分析：運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求．解答：解：若||=||=||=1，且＜，＞=，則=0，則（+﹣）?（++）=（+）2﹣2=++2﹣2=1+1﹣2=0，故選A．點評：本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．經(jīng)過圓x2+2x+y2=0的圓心C，且與直線x+y=0垂直的直線方程是（）A．x+y+1=0B．x+y﹣1=0C．x﹣y﹣1=0D．x﹣y+1=0考點：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；圓的一般方程．專題：直線與圓．分析：設與直線x+y=0垂直的直線方程為x﹣y+c=0，把圓心C（﹣1，0）代入，能求出所求直線方程．解答：解：設與直線x+y=0垂直的直線方程為x﹣y+c=0，把圓x2+2x+y2=0的圓心C（﹣1，0）代入，得c=1，∴所求直線方程為x﹣y+1=0．故選：D．點評：本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意直線與直線垂直的性質(zhì)和圓的簡單性質(zhì)的合理運用．5．若雙曲線的標準方程為﹣y2=1，則其漸近線方程是（）A．y=±4xB．y=±xC．y=±2xD．y=±x考點：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，求出a，b即可得到漸近線方程．解答：解：雙曲線﹣y2=1的a=2，b=1，由于漸近線方程為y=x，即為y=±x．故選D．點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．已知點A（2，1），拋物線y2=4x的焦點F，P是拋物線上的一動點則|PA|+|PF|的最小值為（）A．1B．2C．3D．4考點：拋物線的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：利用拋物線的定義，將點P到其焦點的距離轉(zhuǎn)化為它到其準線的距離即可．解答：解：根據(jù)題意，作圖如右．設點P在其準線x=﹣1上的射影為M，有拋物線的定義得：|PF|=|PM|∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，∵|PA|+|PM|≥|AM|（當且僅當M，P，A三點共線時取“=”），∴|PA|+|PF|取得最小值時（M，P，A三點共線時），點P的縱坐標y0=1，設其橫坐標為x0，∵P（x0，1）為拋物線y2=4x上的點，∴x0=，則有當P為（，1）時，|PA|+|PF|取得最小值，為3．故選C．點評：本題考查拋物線的定義和簡單性質(zhì)，將點P到其焦點的距離轉(zhuǎn)化為它到其準線的距離是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想的靈活應用，屬于中檔題．7．過橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點F1，作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：把x=﹣c代入橢圓方程求得P的坐標，進而根據(jù)∠F1PF2=60°推斷出=整理得e2+2e﹣=0，進而求得橢圓的離心率e．解答：解：由題意知點P的坐標為（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故選：D．點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查了考生綜合運用橢圓的基礎(chǔ)知識和分析推理的能力，屬中檔題．8．體積為V的正方體，過不相鄰四頂點連成一個正四面體，則該正四面體的體積是（）A．B．C．D．考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：如圖所示，設正方體的棱長為a，則=﹣，即可得出．解答：解：如圖所示，設正方體的棱長為a，則=﹣===．點評：本題考查了正方體與三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為2，且側(cè)棱AA1⊥底面ABC，其主視圖是邊長為2的正方形，則此三棱柱左視圖的面積為（）A．2B．2C．D．4考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：由三視圖和題意可知三棱柱是正三棱柱，結(jié)合正視圖，俯視圖，不難得到側(cè)視圖，然后求出面積．解答：解：由三視圖和題意可知三棱柱是正三棱柱，底面邊長為2，側(cè)棱長2，結(jié)合正視圖，俯視圖，得到側(cè)視圖是矩形，長為2，寬為面積為：2×=2故選：A．點評：本題考查由三視圖求側(cè)視圖的面積，是基礎(chǔ)題．10．如圖過橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”，則橢圓+=1的“左特征點”M的坐標為（）A．（﹣2，0）B．（﹣3，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，0）考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設M（m，0）為橢圓的左特征點，根據(jù)橢圓左焦點，設直線AB方程代入橢圓方程，由∠AMB被x軸平分，kAM+kBM=0，利用韋達定理，即可求得結(jié)論．解答：解：設M（m，0）為橢圓+=1的左特征點，橢圓的左焦點F（﹣1，0），可設直線AB的方程為x=ky﹣1（k≠0）代入+=1得：3（ky﹣1）2+4y2=12，即（3k2+4）y2﹣6ky﹣9=0，設A（x1，y1），B（x2，y2）得y1+y2=，y1y2=﹣∵∠AMB被x軸平分，kAM+kBM=0，即，即y1（ky2﹣1）+y2（ky1﹣1）﹣（y1+y2）m=0∴2ky1y2﹣（y1+y2）（m+1）=0于是，2k×（﹣）﹣×（m+1）=0∵k≠0，∴﹣18﹣6（m+1）=0，即m=﹣4，∴M（﹣4，0）．故選：C．點評：本題以新定義為載體主要考查了橢圓性質(zhì)的應用，直線與橢圓相交關(guān)系的處理，要注意解題中直線AB得方程設為x=ky﹣2（k≠0）的好處在于避免討論直線的斜率是否存在．二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11．命題“存在實數(shù)x，使x2+2x+2≤0”的否定是對任意實數(shù)x，使x2+2x+2＞0．．考點：特稱命題；命題的否定．專題：規(guī)律型．分析：根據(jù)特稱命題與全稱命題是互為否定命題求解即可．解答：解：命題為特稱命題，其否定為求出命題，其否定命題是：對任意實數(shù)x，使x2+2x+2＞0．故答案是對任意實數(shù)x，使x2+2x+2＞0．點評：本題考查特稱命題的否定．12．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+與2互相垂直，則k值是．考點：向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系．專題：計算題．分析：由已知中向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），我們可以求出向量k+與2的坐標，根據(jù)k+與2互相垂直，兩個向量的數(shù)量積為0，構(gòu)造關(guān)于k的方程，解方程即可求出a值．解答：解：∵向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴k+=（k﹣1，k，2），2=（3，2，﹣2）∵k+與2互相垂直，則（k+）?（2）=3（k﹣1）+2k﹣4=5k﹣7=0解得k=故答案為：點評：本題考查的知識點是向量語言表述線線的垂直關(guān)系，其中根據(jù)k+與2互相垂直，兩個向量的數(shù)量積為0，構(gòu)造關(guān)于k的方程，是解答本題的關(guān)鍵．13．直線l與橢圓+y2=1相交于A，B兩點，若弦AB中點為（﹣1，），則直線l的方程為x﹣2y+2=0．考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設A（x1，y1），B（x2，y2），則+=1，，兩式相減，再利用中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．解答：解：設A（x1，y1），B（x2，y2），則+=1，，兩式相減可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∵弦AB中點為（﹣1，），∴=0，∴kAB=．∴直線l的方程為y﹣=（x+1），解得x﹣2y+2=0．故答案為：x﹣2y+2=0．點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14．拋物線y2=12x被直線x﹣y﹣3=0截得弦長為24．考點：拋物線的簡單性質(zhì)．專題：直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：直接把直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，利用韋達定理和弦長公式求解．解答：解：假設直線和哦拋物線的兩個交點分別為（x1，y1）、（x2，y2），由，得x2﹣18x+9=0，∴x1+x2=18，x1?x2=9，∴弦長為?=×=24．故答案為：24．點評：本題考查了直線與拋物線的關(guān)系，考查了韋達定理和弦長公式的應用，是中檔題．15．如圖所示正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)且EF=，給出下列五個結(jié)論①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③異面直線AE，BF所成的角為60°④A1點到面BEF的距離為定值⑤三棱柱A﹣BEF的體積為定值其中正確的結(jié)論有：①②④⑤（寫出所有正確結(jié)論的編號）考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：①AC⊥BE，可由線面垂直證兩線垂直；②EF∥平面ABCD，可由線面平行的定義請線面平行；③由兩個極端位置說明兩異面直線所成的角不是定值；④A1點到面DD1B1B距離是定值，所以A1點到面BEF的距離為定值；⑤三棱錐A﹣BEF的體積為定值，可證明棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值．解答：解：①AC⊥BE，由題意及圖形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命題正確；②EF∥平面ABCD，由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的兩個底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD無公共點，故有EF∥平面ABCD，此命題正確；③由圖知，當F與B1重合時，令上底面頂點為O，則此時兩異面直線所成的角是∠A1AO，當E與D1重合時，此時點F與O重合，則兩異面直線所成的角是∠OBC1，此二角不相等，故異面直線AE、BF所成的角不為定值，故不正確．④A1點到面DD1B1B距離是定值，所以A1點到面BEF的距離為定值，正確；⑤三棱錐A﹣BEF的體積為定值，由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DD1B1B距離是定值，故可得三棱錐A﹣BEF的體積為定值，此命題正確．故答案為：①②④⑤．點評：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，解答本題關(guān)鍵是正確理解正方體的幾何性質(zhì)，且能根據(jù)這些幾何特征，對其中的點線面和位置關(guān)系作出正確判斷．熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的知識保證．三、解答題（共6小題，滿分75分）16．已知p：對任意x∈R，不等式x2+ax+a＞0恒成立，q：方程x2+ay2=a表示的是焦點在x軸上的橢圓，如果命題“p且q”為假命題，命題“p或q”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．考點：復合命題的真假．專題：簡易邏輯．分析：由p：對任意x∈R，不等式x2+ax+a＞0恒成立，可得△＜0，解得a的取值范圍．由q：方程x2+ay2=a表示的是焦點在x軸上的橢圓，得=1，a＞1．由于命題“p且q”為假命題，命題“p或q”為真命題，故p、q一真一假，解出即可．解答：解：p：對任意x∈R，不等式x2+ax+a＞0恒成立，∴△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4，得a的取值范圍是0＜a＜4．q：方程x2+ay2=a表示的是焦點在x軸上的橢圓，得=1，故a＞1．∵命題“p且q”為假命題，命題“p或q”為真命題，故p、q一真一假，∴或，解得0＜a≤1或a≥4．綜上實數(shù)a的取值范圍是：0＜a≤1或a≥4．點評：本題考查了一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、橢圓的標準方程、復合命題的判定，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．17．如圖，在四棱柱P﹣ABCD中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=2，M，N分別為AD，BC的中點．（1）求證：平面PMN⊥平面PAD（2）求PM與平面PCD所成角的正弦值．考點：直線與平面所成的角；平面與平面垂直的判定．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（1）證明MN⊥平面PAD，即可證明平面PMN⊥平面PAD（2）過M作MO⊥平面PCD，連接PO，則∠MPO即為所求，利用VM﹣PCD=VP﹣MCD，求出OM，即可求PM與平面PCD所成角的正弦值．解答：（1）證明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥MN，PA⊥AB，∵M、N分別為AD、BC中點，∴AB∥MN，∵AB⊥AD，AD∩MN=M，∴AB⊥平面PAD，∵AB∥MN，∴MN⊥平面PAD，∵MN?平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）解：過M作MO⊥平面PCD，連接PO，則∠MPO即為所求．∵VM﹣PCD=VP﹣MCD，∴=，∴OM=，∴sin∠MPO==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）點評：本題考查平面與平面、直線與平面垂直的判定，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．18．已知圓x2+y2﹣6x﹣7=0與拋物線C：y2=2px（p＞0）的準線相切（Ⅰ）求拋物線C的方程（Ⅱ）過拋物線C的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|=7，求線段AB的中點M到y(tǒng)軸的距離．考點：圓與圓錐曲線的綜合；拋物線的標準方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（Ⅰ）求出圓的圓心與半徑，利用y2=2px（p＞0）的準線相切，求出p，得到拋物線方程．（Ⅱ）求出拋物線C的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=﹣1，求出拋物線定義知線段AB的中點M到準線的距離，然后求解線段AB的中點M到y(tǒng)軸的距離．解答：解：（Ⅰ）圓x2+y2﹣6x﹣7=0，即（x﹣3）2+y2=16，所以圓心（3，0），半徑為4，拋物線的準線方程為x=，依題意，有3﹣（﹣）=4，得p=2，故拋物線方程為y2=4x；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線C的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=﹣1，由拋物線定義知線段AB的中點M到準線的距離為，故線段AB的中點M到y(tǒng)軸的距離d=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）點評：本題考查圓的方程與拋物線方程的綜合應用，點到直線的距離，考查分析問題解決問題的能力．19．已知圓心為C（﹣2，6）的圓經(jīng)過點M（0，6﹣2）（1）求圓C的標準方程；（2）若直線l過點P（0，5）且被圓C截得的線段長為4，求直線l的方程．考點：直線和圓的方程的應用；圓的標準方程．專題：直線與圓．分析：（1）根據(jù)題意求得圓的半徑，則圓的方程可得．（2）先看當斜率不存在時，設出直線的方程，與圓的方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理和弦長公式建立等式求得k．則直線的方程可得．最后看斜率不存在時，進而驗證．解答：解：（1）圓C的半徑為|CM|=，∴圓C的標準方程為（x+2）2+（y﹣6）2=16．（2）當所求直線l的斜率存在時，設所求直線的方程為y=kx+5，即kx﹣y+5=0．聯(lián)立直線與圓C的方程：，消去y得（1+k2）x2+（4﹣2k）x﹣11=0①設方程①的兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系得②由弦長公式得|x1﹣x2|==4③將②式代入③，并解得k=，此時直線l的方程為3x﹣4y+20=0．當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=0，驗算得方程為x=0的直線也滿足題意．∴所求直線l的方程為3x﹣4y+20=0或x=0．點評：本題主要考查了直線與圓的方程問題．解題過程中對直線斜率不存在的情況一定不要疏漏．20．如圖，已知四邊形ABCD，EADM，MDCF都是邊長為2的正方形，點P，Q分別是ED，AC的中點．（1）求幾何體EMF﹣ABCD的表面積；（2）證明：PQ∥平面BEF；（3）求平面BEF與平面ABCD夾角的余弦值．考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）設EMF﹣ABCD的表面積為S，利用S=S正方形ABCD+S正方形MDCF+S正方形EADM+S△EAB+S△FBC+S△MEF+S正△BEF，即可得出；（2）P是AM的中點，Q是AC的中點，由三角形中位線定理可得PQ∥BE，再利用線面平行的判定定理即可得出；（3）利用即可得出．解答：（1）解：設EMF﹣ABCD的表面積為S，則S=S正方形ABCD+S正方形MDCF+S正方形EADM+S△EAB+S△FBC+S△MEF+S正△BEF=22×3+3×+=18+2．（2）證明：∵P是AM的中點，Q是AC的中點，由三角形中位線定理可得：PQ∥BE，PQ?平面BEF，BE?平面BEF，∴PQ∥平面BEF．（3）解：設平面BEF與平面ABCD夾角為θ．由于△BEF在平面ABCD