平面向量的基本運算法則

平面向量的基本運算法則目錄向量基本概念與性質(zhì)向量加減法運算規(guī)則向量數(shù)乘運算規(guī)則向量點積（內(nèi)積）運算規(guī)則向量叉積（外積）運算規(guī)則向量混合積運算規(guī)則01向量基本概念與性質(zhì)Chapter向量是既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。向量可以用小寫字母a、b、c等表示，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如向量AB。向量定義向量表示方法向量定義及表示方法向量長度與方向向量長度向量的長度（或模）用向量所在的有向線段的長度表示，記作|a|。向量方向向量的方向由向量所在的有向線段的方向確定，可以用角度或方位角來表示。01長度為0的向量叫做零向量，記作0。零向量的方向是任意的。零向量02長度為1的向量叫做單位向量。單位向量可以表示任何方向。單位向量03方向相同或相反的非零向量叫做共線向量。任意兩個共線向量都可以用一個實數(shù)與另一個向量相乘得到。共線向量零向量、單位向量及共線向量向量相等兩個向量相等當且僅當它們的長度相等且方向相同。即若a=b，則|a|=|b|且a與b方向相同。向量平行兩個向量平行當且僅當它們方向相同或相反，即存在實數(shù)k，使得a=kb或b=ka。零向量與任何向量平行。向量相等與平行關系02向量加減法運算規(guī)則Chapter三角形法則定義將兩個向量首尾相接，從第一個向量的起點到第二個向量的終點的向量就是這兩個向量的和。加法運算步驟按照三角形法則，將兩個向量進行首尾相接，然后通過作圖或者計算的方式求出合向量。減法運算步驟將減向量反向，然后與被減向量進行三角形法則的加法運算。三角形法則進行向量加減加法運算步驟按照平行四邊形法則，以兩個向量為鄰邊作平行四邊形，然后通過作圖或者計算的方式求出合向量。減法運算步驟將減向量反向，然后與被減向量進行平行四邊形法則的加法運算。平行四邊形法則定義以兩個向量為鄰邊作平行四邊形，這兩個向量所夾的對角線就是這兩個向量的和。平行四邊形法則進行向量加減坐標表示法定義在平面直角坐標系中，向量可以用坐標來表示，即向量的終點坐標減去起點的坐標。加法運算步驟將兩個向量的對應坐標分量相加，得到的結(jié)果就是這兩個向量的和向量的坐標。減法運算步驟將減向量的對應坐標分量減去被減向量的對應坐標分量，得到的結(jié)果就是這兩個向量的差向量的坐標。坐標表示法進行向量加減交換律向量加法滿足交換律，即a+b=b+a。向量加法滿足結(jié)合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。存在零向量0，使得對任意向量a，有a+0=a。對任意向量a，存在負向量-a，使得a+(-a)=0。向量的加減法運算在幾何上表現(xiàn)為圖形的平移、伸縮等變換，是線性代數(shù)和解析幾何的重要基礎。結(jié)合律負元向量加減法的幾何意義零元運算性質(zhì)及幾何意義03向量數(shù)乘運算規(guī)則Chapter數(shù)乘定義及性質(zhì)定義：數(shù)乘是向量與實數(shù)的乘法運算，其結(jié)果仍為向量。對于向量$vec{a}$和實數(shù)$k$，數(shù)乘定義為$kvec{a}$。性質(zhì)當$k>0$時，$kvec{a}$與$vec{a}$方向相同；當$k<0$時，$kvec{a}$與$vec{a}$方向相反。$0vec{a}=vec{0}$，即零向量與任何向量的數(shù)乘結(jié)果為零向量。$1vec{a}=vec{a}$，即單位元與向量的數(shù)乘結(jié)果仍為原向量。$|kvec{a}|=|k|cdot|vec{a}|$，即數(shù)乘向量的模等于實數(shù)絕對值與向量模的乘積。交換律對于任意實數(shù)$k$和$l$，以及向量$vec{a}$，有$k(lvec{a})=(kl)vec{a}$。結(jié)合律對于任意實數(shù)$k$、$l$和向量$vec{a}$、$vec$，有$(k+l)vec{a}=kvec{a}+lvec{a}$和$k(vec{a}+vec)=kvec{a}+kvec$。分配律對于任意實數(shù)$k$、$l$和向量$vec{a}$、$vec$，有$k(vec{a}+vec)=kvec{a}+kvec$和$(k+l)vec{a}=kvec{a}+lvec{a}$。數(shù)乘運算律和運算性質(zhì)縮放數(shù)乘可以用于縮放向量。當實數(shù)大于1時，數(shù)乘結(jié)果向量比原向量長；當實數(shù)在0到1之間時，數(shù)乘結(jié)果向量比原向量短；當實數(shù)小于0時，數(shù)乘結(jié)果向量與原向量方向相反。平移在平面直角坐標系中，一個點可以通過數(shù)乘一個向量來實現(xiàn)平移。例如，點$A(x_1,y_1)$平移至點$B(x_2,y_2)$可以表示為$vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，平移后的坐標可以通過原坐標加上數(shù)乘后的向量得到。旋轉(zhuǎn)雖然數(shù)乘本身不直接涉及旋轉(zhuǎn)操作，但結(jié)合其他向量運算（如點積、叉積）可以實現(xiàn)向量的旋轉(zhuǎn)效果。數(shù)乘在幾何中的應用04向量點積（內(nèi)積）運算規(guī)則Chapter點積定義及性質(zhì)$vec{a}cdotvec{a}=|vec{a}|^2$，其中$|vec{a}|$是向量$vec{a}$的模長。與模長的關系對于兩個向量$vec{a}=(a_1,a_2)$和$vec=(b_1,b_2)$，它們的點積定義為$vec{a}cdotvec=a_1b_1+a_2b_2$。點積定義點積滿足交換律和分配律，即$vec{a}cdotvec=veccdotvec{a}$，$(vec{a}+vec)cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+veccdotvec{c}$。性質(zhì)0102運算律點積滿足交換律、分配律和結(jié)合律。交換律$vec{a}cdotvec=veccdotvec{a}$。分配律$(vec{a}+vec)cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+veccdotvec{c}$。結(jié)合律$(lambdavec{a})cdotvec=lambda(vec{a}cdotvec)=vec{a}cdot(lambdavec)$，其中$lambda$是標量。運算性質(zhì)當兩個非零向量$vec{a}$和$vec$垂直時，$vec{a}cdotvec=0$。030405點積運算律和運算性質(zhì)點積在幾何中的應用判斷兩向量的位置關系當$vec{a}cdotvec>0$時，$vec{a}$和$vec$的夾角為銳角；當$vec{a}cdotvec<0$時，$vec{a}$和$vec$的夾角為鈍角；當$vec{a}cdotvec=0$時，$vec{a}$和$vec$垂直。計算兩向量的夾角通過點積可以計算兩個非零向量$vec{a}$和$vec$之間的夾角$theta$，即$costheta=frac{vec{a}cdotvec}{|vec{a}||vec|}$。計算向量的投影向量$vec{a}$在向量$vec$上的投影長度為$|vec{a}|costheta=frac{vec{a}cdotvec}{|vec|}$。05向量叉積（外積）運算規(guī)則Chapter對于兩個向量a和b，它們的叉積是一個向量，記作a×b，其方向垂直于a和b所在的平面，并且遵循右手定則，大小等于|a|和|b|的乘積與它們之間夾角的正弦值的乘積。叉積定義叉積滿足反交換律，即a×b=-b×a；叉積不滿足結(jié)合律，但滿足分配律，即(a+b)×c=a×c+b×c。叉積性質(zhì)叉積定義及性質(zhì)叉積運算律叉積運算滿足分配律，即對于任意向量a、b和c，有(a+b)×c=a×c+b×c，以及a×(b+c)=a×b+a×c。叉積運算性質(zhì)叉積的結(jié)果是一個向量，其方向垂直于原向量所在的平面，大小等于原向量大小與它們之間夾角的正弦值的乘積。如果兩個向量垂直，則它們的叉積為零向量。叉積運算律和運算性質(zhì)叉積在幾何中的應用通過計算兩個向量的叉積，可以判斷第三個點相對于前兩個點所在直線的位置關系，例如判斷點是否在多邊形內(nèi)部。計算三角形的面積利用三角形兩邊向量的叉積可以計算出三角形的面積，即面積等于兩邊向量叉積結(jié)果的一半。判斷向量的方向關系通過計算兩個向量的叉積結(jié)果的正負，可以判斷這兩個向量的方向關系，例如判斷一個向量是順時針還是逆時針旋轉(zhuǎn)到另一個向量。判斷點的位置關系06向量混合積運算規(guī)則Chapter定義三個向量$vec{a},vec,vec{c}$的混合積定義為$(vec{a}timesvec)cdotvec{c}$，記作$[vec{a}vecvec{c}]$。性質(zhì)1混合積$[vec{a}vecvec{c}]$的值與三個向量的排列順序有關，改變排列順序會改變混合積的符號。即$[vec{a}vecvec{c}]=-[vecvec{a}vec{c}]$。性質(zhì)2若三個向量共面，則它們的混合積為零。即如果$vec{a},vec,vec{c}$共面，則$[vec{a}vecvec{c}]=0$。混合積定義及性質(zhì)運算律1數(shù)乘分配律。對于任意實數(shù)$k$和向量$vec{a},vec,vec{c}$，有$[kvec{a}vecvec{c}]=k[vec{a}vecvec{c}]$。運算性質(zhì)1若$vec{a}$與$vec$垂直，則$[vec{a}vecvec{c}]=0$。運算性質(zhì)2若$vec{a},vec,vec{c}$構(gòu)成右手系，則$[vec{a}vecvec{c}]>0$；若構(gòu)成左手系，則$[vec{a}vecvec{c}]<0$。運算律2加法分配律。對于任意向量$vec{a},vec,vec{c},vec2lfs6lh$，有$[vec{a}+vec,vec{c},vecnmhik1i]=[vec{a}vec{c}veck3rqr7m]+[vecvec{c}vec42rsbz3]$?；旌戏e運算律和運算性質(zhì)要點三應用1計算四面體的體積。若$vec{A},vec{B},vec{C},vec{D}$為四面體的四個頂點位置向量，則四面體的體積$V=frac{1}{6}[vec{AB},vec{AC},vec{AD}]$。要點一要點二應用2判斷點是否在三角形內(nèi)部。若點$P$的位置向量為$vec{p}$，三角形$ABC$的三個頂點位置向量為$vec{A},vec{B},vec{C}$，則點$P$在三角形$ABC$內(nèi)部的充要條件是$[vec