實(shí)數(shù)的絕對值與倒數(shù)性質(zhì)

實(shí)數(shù)的絕對值與倒數(shù)性質(zhì)絕對值概念及性質(zhì)倒數(shù)概念及性質(zhì)絕對值與倒數(shù)關(guān)系典型例題解析誤區(qū)警示與易錯(cuò)點(diǎn)剖析總結(jié)回顧與拓展延伸contents目錄絕對值概念及性質(zhì)010102絕對值定義絕對值表示一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離。對于任意實(shí)數(shù)$x$，其絕對值$|x|$定義為：若$xgeq0$，則$|x|=x$；若$x<0$，則$|x|=-x$。010204絕對值運(yùn)算規(guī)則$|x|geq0$，對于所有實(shí)數(shù)$x$。$|xy|=|x|times|y|$，乘法分配律。$|x+y|leq|x|+|y|$，三角不等式。$||x|-|y||leq|x-y|$。03解形如$|x|geqa$（$a>0$）的不等式時(shí)，同樣需考慮$x$的正負(fù)情況，分別解得$xleq-a$或$xgeqa$。對于含絕對值的復(fù)雜不等式，通常需要先去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通的不等式組進(jìn)行求解。解形如$|x|<a$（$a>0$）的不等式時(shí)，需考慮$x$的正負(fù)情況，分別解得$-a<x<a$。絕對值不等式解法倒數(shù)概念及性質(zhì)02倒數(shù)是一個(gè)與原數(shù)相乘等于1的數(shù)。對于非零實(shí)數(shù)a，其倒數(shù)是1/a。0沒有倒數(shù)，因?yàn)闆]有任何數(shù)能與0相乘得到1。倒數(shù)定義兩個(gè)數(shù)的乘積的倒數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)倒數(shù)的乘積，即(ab)^(-1)=a^(-1)*b^(-1)。一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的倒數(shù)等于原數(shù)，即(a^(-1))^(-1)=a。一個(gè)數(shù)與它的倒數(shù)的和的平方等于這個(gè)數(shù)與它的倒數(shù)的差的平方加上4，即(a+1/a)^2=(a-1/a)^2+4。倒數(shù)運(yùn)算規(guī)則

倒數(shù)與分?jǐn)?shù)關(guān)系一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)等于它的分子與分母交換位置后得到的分?jǐn)?shù)，即(a/b)^(-1)=b/a。一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)等于這個(gè)帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為假分?jǐn)?shù)后的倒數(shù)，即(a+b/c)^(-1)=c/(ac+b)。一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的絕對值等于這個(gè)數(shù)的絕對值的倒數(shù)，即|a^(-1)|=|a|^(-1)。絕對值與倒數(shù)關(guān)系03互為倒數(shù)兩數(shù)絕對值關(guān)系如果兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，那么它們的絕對值也互為倒數(shù)?；榈箶?shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)，其絕對值之積等于1。如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值相等，那么它們的倒數(shù)也相等。絕對值相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，其倒數(shù)也相等，符號取決于原數(shù)。絕對值相等兩數(shù)倒數(shù)關(guān)系當(dāng)實(shí)數(shù)為0時(shí)，其沒有倒數(shù)，絕對值為0。當(dāng)實(shí)數(shù)為1或-1時(shí)，其倒數(shù)為自身，絕對值為1。對于其他實(shí)數(shù)，其倒數(shù)和絕對值之間存在一定關(guān)系，但無固定規(guī)律。特殊情況下關(guān)系探討典型例題解析04例題1解析例題2解析求一個(gè)數(shù)絕對值或倒數(shù)01020304求$|-3|$和$|5-7|$的值。根據(jù)絕對值的定義，$|-3|=3$，$|5-7|=|-2|=2$。求$-2$和$frac{1}{3}$的倒數(shù)。根據(jù)倒數(shù)的定義，$-2$的倒數(shù)是$-frac{1}{2}$，$frac{1}{3}$的倒數(shù)是$3$。例題3解析例題4解析利用絕對值或倒數(shù)解方程或不等式解方程$|x-2|=5$。解不等式$frac{1}{x}>2$。根據(jù)絕對值的性質(zhì)，方程可化為$x-2=5$或$x-2=-5$，解得$x=7$或$x=-3$。將不等式化為$frac{1}{x}-2>0$，即$frac{1-2x}{x}>0$，解得$0<x<frac{1}{2}$。例題5已知函數(shù)$f(x)=|x-a|+frac{1}{x}$，若$f(x)$在$(0,+infty)$上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。解析由題意可知，當(dāng)$x>a$時(shí)，$f(x)=x-a+frac{1}{x}$；當(dāng)$0<x<a$時(shí)，$f(x)=a-x+frac{1}{x}$。根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可列出不等式組求解得$aleq1$。綜合運(yùn)用舉例例題6：設(shè)函數(shù)$f(x)=begin{cases}2^{-x}-1,&xleq0綜合運(yùn)用舉例ABCD綜合運(yùn)用舉例end{cases}$f(x-1),&x>0解析：由題意可知，當(dāng)$xleq0$時(shí)，方程為$2^{-x}-1=x+a$；當(dāng)$x>0$時(shí)，方程為$f(x-1)=x+a$。通過換元法將方程轉(zhuǎn)化為二次方程求解得$-1<a<(frac{1}{2}-frac{sqrt{5}}{2})$。若方程$f(x)=x+a$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是____。誤區(qū)警示與易錯(cuò)點(diǎn)剖析05認(rèn)為任何數(shù)的絕對值都是正數(shù)。實(shí)際上，0的絕對值是0，不是正數(shù)。誤區(qū)一認(rèn)為一個(gè)數(shù)的倒數(shù)就是將其分子分母顛倒。實(shí)際上，一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是其與1的商，即1除以這個(gè)數(shù)。特別地，0沒有倒數(shù)。誤區(qū)二認(rèn)為一個(gè)數(shù)的絕對值和其倒數(shù)相等。實(shí)際上，這兩者之間沒有必然聯(lián)系，除非這個(gè)數(shù)是1或-1。誤區(qū)三常見誤區(qū)警示易錯(cuò)點(diǎn)一在處理含有絕對值的表達(dá)式時(shí)，未考慮絕對值內(nèi)的數(shù)的正負(fù)情況。糾正方法：在處理含有絕對值的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)根據(jù)絕對值內(nèi)的數(shù)的正負(fù)情況分別討論。易錯(cuò)點(diǎn)二在計(jì)算一個(gè)數(shù)的倒數(shù)時(shí)，未考慮這個(gè)數(shù)是否為0。糾正方法：在計(jì)算一個(gè)數(shù)的倒數(shù)時(shí)，應(yīng)先判斷這個(gè)數(shù)是否為0。若為0，則這個(gè)數(shù)沒有倒數(shù)；若不為0，再按照倒數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算。易錯(cuò)點(diǎn)三在處理同時(shí)含有絕對值和倒數(shù)的表達(dá)式時(shí)，未綜合考慮兩者的性質(zhì)。糾正方法：在處理同時(shí)含有絕對值和倒數(shù)的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)先分別討論絕對值和倒數(shù)的性質(zhì)，再綜合考慮兩者的關(guān)系進(jìn)行求解。易錯(cuò)點(diǎn)剖析及糾正方法總結(jié)回顧與拓展延伸06絕對值定義：對于任意實(shí)數(shù)$x$，其絕對值$|x|$定義為：若$xgeq0$，則$|x|=x$；若$x<0$，則$|x|=-x$。絕對值表示數(shù)軸上點(diǎn)$x$到原點(diǎn)的距離。倒數(shù)定義：對于任意非零實(shí)數(shù)$a$，其倒數(shù)$frac{1}{a}$是一個(gè)數(shù)，滿足$atimesfrac{1}{a}=1$。倒數(shù)與原數(shù)相乘等于1。性質(zhì)正數(shù)和零的絕對值是其本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。零沒有倒數(shù)，非零實(shí)數(shù)的倒數(shù)是唯一存在的?；榈箶?shù)的兩個(gè)數(shù)乘積為1。關(guān)鍵知識點(diǎn)總結(jié)回顧對于復(fù)數(shù)$z=a+bi$（其中$a,b$為實(shí)數(shù)，$i$為虛數(shù)單位），其絕對值或模定義為$|z|=sqrt{a^2+b^2}$。這表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上到原點(diǎn)的距離。復(fù)數(shù)的絕對值對于非零復(fù)數(shù)$z=a+bi$，其倒數(shù)$frac{1}{z}$是滿足$ztimesfrac{1}{z}=1$的復(fù)數(shù)。計(jì)算方式為$frac{1}{z}=frac{a-bi}{a^2+b^2}$。復(fù)數(shù)的倒數(shù)