2023屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基本不等式基礎(chǔ)訓(xùn)練含解析

基本不等式

學(xué)校:.姓名:班級(jí):考號(hào):

一、單選題（本大題共6小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.制作一個(gè)面積為2m2,形狀為直角三角形的鐵支架框，有下列四種長(zhǎng)度的鐵管供選擇，較經(jīng)

濟(jì)（夠用，且耗損最少）的是（)

A.6.2mB.6.8mC.7mD.7.2m

設(shè)必ywH，b>l,若優(yōu)="=3,。+力=26,則,+’的最大值為（

2.)

xy

A.2BC.1D.

-12

3.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成

了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多

的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字

證明、現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑46上,

且設(shè)=BC=b,則該圖形可以完成的無(wú)

字證明為（)

A.a+>\[ab(a>b>0)B.a~+b2>2ab(a>b>0)

2

「a+bgz>0〉0)

C.>Z?>0)D.----<

a+b2

4.若a,beR且ab>0,則下列不等式中，恒成立的是（)

112

A.a+b..2-/abB.一+->—

ahab

ba?

C.—I—..2D.a2+b2>lab

ab

已知關(guān)于X的不等式分2+次+4<0的解集為其中相<0,則2+士的最小值

5.

m4ab

為.（)

A.-2B.1C.2D.8

已知關(guān)于X的不等式爐—4依+3a2<0（。<0）的解集為（馬,々），則％+々1的最大值

6.

XxX2

是（)

1

V626r40n46

A.B.―--c.----u.-----

333

二、多選題（本大題共5小題，共25.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

7.設(shè)正實(shí)數(shù)a,方滿足a+A=l,則（)

,117

A.log2a+log2h..-2B.abH---..;—

ah4

c.3+2V2D.2"七>-

ab2

8.已知實(shí)數(shù)a,b,。滿足a>Z?〉c>0,則下列說(shuō)法正確的是（）

11bb+c

A.-------<--------B.—<----

a(c-a)b(c-a)aa+c

C.ab+c2>ac+beD.(6F+/?)(—+—)的最小值為

ab

9.已知。>b>0,且。b=4,則（)

A.2f>1

B.log2a-log2b>\

C.2"+2”>8

D.log2alog2b<1

10.下列函數(shù)中最小值為6的是（）

93

A.y=lnx-\----B.y=6|smx|+

Inx21sinx|

d+25

C.y=3'+32-'D.

Vx2+16

11.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.不等式（2x-l）（l-x）<（）的解集為{x|；<x<1}

B.已知"1<X<2,<7：log2X+l..l,則。是q的充分不必要條件

C.若xeR,則函數(shù)y=JR？+4+?廠J的最小值為2

Jf+4

D.當(dāng)xe/?時(shí)，不等式foe?-乙+1>0恒成立，則4的取值范圍是（0,4）

三、填空題（本大題共3小題，共15.0分）

12.實(shí)數(shù)86滿足愴。+想/?=愴（。+如），則數(shù)的最小值為.

13.若x>l,則4x+—匚的最小值是

X—1

22

14.已知x>2,y>0且滿足2*-2,=16,則當(dāng)x=________，y=__________時(shí)，——+-

x-2y

的最小值為.

四、解答題(本大題共2小題，共24.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

15.(本小題12.0分)

圍建一個(gè)面積為360nr的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，

其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2/?的進(jìn)出口，如圖所示.已知舊

墻的維修費(fèi)用為45元/根，新墻的造價(jià)為180元/根.設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為單位：加)，修

建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y(單位：元).

圍建一個(gè)面積為360，然的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其

它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，已知舊墻的維修

費(fèi)用為45元/加，新墻的造價(jià)為180元/加，設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為xm修建此矩形場(chǎng)地圍

墻的總費(fèi)用為y元.

(1)將y表示為x的函數(shù)；

(2)試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用.

16.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=x?-tix+b+2,awR,b&R.

(1)若關(guān)于x的不等式/(x)<0的解集為(1,2),求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)?。在xe[1,3]上能成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

3

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查了利用基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)一條直角邊為*,求出周長(zhǎng)/的表達(dá)式，利用基本不等式求出最小值即可.

【解答】

解：設(shè)一條直角邊為X,則另一條直角邊是：，斜邊長(zhǎng)為巧V，

故周長(zhǎng)/=x+3+-+，.4+20。6.828,

當(dāng)且僅當(dāng)X=2時(shí)等號(hào)成立，

故最合理（夠用，且浪費(fèi)最少）是7/〃，

故選C.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本試題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

將x,y用a,6表示，用基本不等式求最值.

【解答】

解：ax-by-3,

,c1,cI

.?.x=log?3=-------y=log?3=-~~-，

log3alog3b

11,一,八'.

\,JI，

當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號(hào).

故選：C.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了圓的性質(zhì)、勾股定理、三角形三邊大小關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔

題.

由圖形可知。尸=,AB=2(a+b),OC--(a+b)-b^-(a-b),在Rt.OC戶中，由勾股定理可

2222

求CF,結(jié)合C與。不重合，CVAOF即可得出.

【解答】

解：由圖形可知：0F=」AB=L(a+6),OC=-(a+b)-b=-(a-b),

2222

在Rt二0C/中，由勾股定理可得：

CF=J空2+(暇=枷+〃)，

當(dāng)C與。不重合時(shí)，CF>OF,

(o'+/?')>—(n+Z?),(a>b>0).

故選：D.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查不等式與不等關(guān)系，以及基本不等式求最值或取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.

解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式成立判斷的方法以及基本不等式適用的范圍，根據(jù)不等關(guān)系與不等

式以及基本不等式等相關(guān)知識(shí)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷得出正確選項(xiàng).

【解答】

解：因?yàn)槎?,當(dāng)\時(shí)，a-^b<2y/abf,則力、夕選項(xiàng)錯(cuò)誤；

b<0abab

由于宗+后.2?！泛愠闪ⅲ?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，故〃錯(cuò)；

由于3>0,則2>0,0>0,即2+且..2口.0=2,當(dāng)且僅當(dāng)2=即時(shí)取“=”，

abab\abab

故C對(duì),

故選C.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

5

本題考查了一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，也考查了利用基本不等式求最值的問(wèn)題，屬于中

等題.

b4

根據(jù)不等式or?+2版+4<0的解集求出a的值和力的取值范圍，再代入—+-中利用基本不等

4ab

式求出它的最小值.

【解答】

解：關(guān)于x的不等式分2+2"+4<()的解集為(九色)，其中機(jī)<0,

m

4

所以卬和二?是方程以2+2版+4=0的實(shí)數(shù)根，

m

由根與系數(shù)的關(guān)系知

ina

b4b41b4b4

所以2+；=2+；..2產(chǎn).；=2,當(dāng)且僅當(dāng)2=2,即匕=4時(shí)取等號(hào),

4ab4b\4b4b

h4

所以2+2的最小值為2.

4ab

故選：C.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，以及根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)考查了基本不等式性質(zhì)的運(yùn)

用能力和計(jì)算能力.

根據(jù)不等式f-4ax+3a2<0(a<0)的解集為(龍》%)，利用韋達(dá)定理求出須％=3/，

%+々=4。，利用基本不等式的性質(zhì)求解.

【解答】

解：不等式f—4ax+3a2<0(a<0)的解集為(否,々)，

故不，々為對(duì)應(yīng)方程x?-4or+3a2=0的兩個(gè)根，

2

根據(jù)韋達(dá)定理，可得：xtx2=3a,xt+x2=4a,

那么：Xj+%2----=4。H---，

xxx23a

a<0,

—(4tz4----)..2.1(—4(i)x(-----)——------,

3aV3a3

即4。+'-,,一逑，當(dāng)且僅當(dāng)。=一立時(shí)等號(hào)成立，

3a36

故西+x,H——的最大值為一生叵.

一xtx23

故選：D

7.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題主要考查了基本不等式及應(yīng)用條件的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于中檔試題.

結(jié)合基本不等式及不等式的性質(zhì)分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】

解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,6滿足a+>=l,

所以a",("2)2=，,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，

242

log,a+log2b=log2(a/?)?log2；=-2,A錯(cuò)誤；

令t=abe(0」,ab+」-=r+!在(0-］上單調(diào)遞減，

4abf4

117

當(dāng)￡=上時(shí)取得最小值,，8成立；

44

2+1=^^+@3+絲+々3+2血，

ababab

當(dāng)且僅當(dāng)a=2-及，b=a-1時(shí)取等號(hào)，C不成立；

正實(shí)數(shù)a,6滿足。+。=1,

ci—b=a—(1—CL)=2a—1>—1,

則2所’>2一|=!，〃成立.

2

故選：BD.

8.【答案】BC

【解析】

7

【分析】

對(duì)于4結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解，對(duì)于6,結(jié)合作差法，即可求解，對(duì)于G結(jié)合作差法,

即可求解，對(duì)于。，根據(jù)已知條件，運(yùn)用不等式的公式，即可求解.

本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及作差法，屬于中檔題.

【解答】

解：對(duì)于4,-,a>b>c>0,—^―<0,

ahc-a

―1—>―1—,故4錯(cuò)誤，

a(c-a)b(c-a)

對(duì)于B,\a>h>c>0,

.?心一生=竺上上誕±0=迎二夕<0,即2〈比，故6正確，

aa+cQ(Q+C)a{a+c)aa+c

對(duì)于C,a>h>c>0,:.b-c>0,a-c>0,

ab+c2-ac-bc=b(a一c)+c(c—a)=(b—c)(a-c)>0,B|Jah+c2>ac-\-bc,故。正確，

對(duì)于〃，(4+6)(工+3=1+1+2+q=2+2+@..2+2、叵5=4,當(dāng)且僅當(dāng)@=即。=匕時(shí)，

ababah\haha

等號(hào)成立，

a手b,

...(a+力(_L+_L)取不到最小值4,故。錯(cuò)誤.

ab

故答案選：BC.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用等，屬于中檔題.

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、基本不等式等依次驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)的正誤,

進(jìn)而得到正確選項(xiàng).

【解答】

解：a>fe>0,.-.2<,>2*>0,

.?.白>1即22>1,故4正確；

a>b>0,不妨設(shè)a=20,b=應(yīng),

“卜山「，"叱」；!，故8錯(cuò)誤；

2"+2噓,2"-2"=2石/2正庭=2x22=8,

由于。>人>0,則等號(hào)不成立，

.?.2"+2'>8,故C正確；

當(dāng)。時(shí)，log2a>0,log2b<0,log2alog2b<\\

*八〃、i葉,.,./k>g?a>lo&.fc\2pog^aft))2(log4):

當(dāng)a>b>l時(shí)4I-s

由于a>b>0,則等號(hào)不成立，

綜上可得：log2a-log2b<1,故〃正確.

故選ACD

10.【答案】6c

【解析】

【分析】

本題考查了基本不等式的性質(zhì)，注意“一正二定三相等”的應(yīng)用，屬于中檔題.

利用基本不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判定.

【解答】

9

解：A當(dāng)0<x<l時(shí)，lnx<0,;.y=lnx+心一最小值不可能為6,故月錯(cuò)誤；

Inx

B.0<|sinx|”1,.?.y=6|sinx|+---..2亞=6,當(dāng)且僅當(dāng)、:1時(shí)取等號(hào)，故8

21sinx|2

正確；

C.31>0,32T>0,；.y=3'+32T..2j￥=6,當(dāng)且僅當(dāng)3'=32-",即x=l時(shí)取等號(hào)，故

C正確；

D.y=：=J-2+16+/9,+16..4,

yx2+16Jx?+16

.?.。=6+16+/9..2囪=6,當(dāng)且僅當(dāng)Jf+i6=3時(shí)取等號(hào),而6+i6w3,其

V-X2+16

取不到6,故〃錯(cuò)誤.

故選BC.

11.【答案】ACD

9

【解析】

【分析】

求出不等式的解集判斷4得到。是g的充分不必要條件，判斷凡基本不等式判斷G反例判斷

D.

本題考查不等式的解集，基本不等式，充分不必要條件，不等式恒成立，是基本知識(shí)的考查.

【解答】

解：對(duì)于4不等式(2xT)(l-x)<0的解集為{x[x<；或x>l},所以1不正確；

對(duì)于氏p：1<X<2,整理q：10g2X4-1..1,得0：X..1,

則夕是g的充分不必要條件，所以8正確;

對(duì)于C,若xeR,則函數(shù)y=Jx2+4+/------2、后7.7二=2,當(dāng)且僅當(dāng)/=一3

>Jx2+4VVX2+4

時(shí)取等號(hào)，顯然不正確，所以。不正確.

對(duì)于〃當(dāng)xeR時(shí)，女=0時(shí)，不等式版2一日+i>()恒成立，所以。中A的取值范圍是(0,4)是

不正確的，所以。不正確；

故選：ACD.

12.【答案】8

【解析】

【分析】

本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及基本不等式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于中檔題.

根據(jù)條件，運(yùn)用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可得，力=。+28,再結(jié)合基本不等式，即可求解.

【解答】

解:因?yàn)閻怼?館/?=愴出?=愴(。+2/?),

所以=a+28..2ab,且a>0,b>0,

所以J茄..20

故出?..8,當(dāng)且僅當(dāng)。=2〃，即。=4,6=2時(shí)取等號(hào)，

所以a6的最小值為8.

故答案為8.

13.【答案】8

【解析】

【分析】

本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

把所求式子化為4x+—匚=4。-1)+」一+4,利用基本不等式，即可求出結(jié)果.

x-\x-\

【解答】

解：x>l,x-l>0,

..4x+—=+—+4>2./l(r-1)f—?—1+1-8,

牙一1Jt-1y\x-1/

13

當(dāng)且僅當(dāng)4(/-1)=」一即x=二時(shí)取等號(hào)，

x—12

時(shí)，4x+」一取最小值8.

2%—1

故答案為：8.

14.【答案】3

1

4

【解析】

【分析】

本題考查基本不等式求最值的問(wèn)題，屬于中檔題.

根據(jù)題意，由指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)可得2,+>'=16,即x+y=4,變形可得x—2+y=2,進(jìn)而可

得二一+2=[(x—2)+訓(xùn)(-2一+2)=2+-^-+—,由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案.

x-2yx-2yx-2y

【解答】

解：根據(jù)題意，已知x〉2,y>0且滿足22V=16,則有2"，=16,則x+y=4,

變形可得：x-2+y=2,

*-2?6,/y

則為+1-3(*?幻+引(為3小七

當(dāng)且僅當(dāng)尤=3,y=l時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：3；1；4

15.【答案】解：(1)設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為四，

則y=45x+180(x-2)+180x2a=225x+360a-360.

11

由已知ar=360,得。=2——，

x