2023屆新高考數(shù)學一輪復習 基本不等式基礎訓練含解析

基本不等式

學校:.姓名:班級:考號:

一、單選題（本大題共6小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.制作一個面積為2m2,形狀為直角三角形的鐵支架框，有下列四種長度的鐵管供選擇，較經(jīng)

濟（夠用，且耗損最少）的是（)

A.6.2mB.6.8mC.7mD.7.2m

設必ywH，b>l,若優(yōu)="=3,。+力=26,則,+’的最大值為（

2.)

xy

A.2BC.1D.

-12

3.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成

了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多

的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字

證明、現(xiàn)有如圖所示圖形，點尸在半圓。上，點C在直徑46上,

且設=BC=b,則該圖形可以完成的無

字證明為（)

A.a+>\[ab(a>b>0)B.a~+b2>2ab(a>b>0)

2

「a+bgz>0〉0)

C.>Z?>0)D.----<

a+b2

4.若a,beR且ab>0,則下列不等式中，恒成立的是（)

112

A.a+b..2-/abB.一+->—

ahab

ba?

C.—I—..2D.a2+b2>lab

ab

已知關于X的不等式分2+次+4<0的解集為其中相<0,則2+士的最小值

5.

m4ab

為.（)

A.-2B.1C.2D.8

已知關于X的不等式爐—4依+3a2<0（。<0）的解集為（馬,々），則％+々1的最大值

6.

XxX2

是（)

1

V626r40n46

A.B.―--c.----u.-----

333

二、多選題（本大題共5小題，共25.0分。在每小題有多項符合題目要求）

7.設正實數(shù)a,方滿足a+A=l,則（)

,117

A.log2a+log2h..-2B.abH---..;—

ah4

c.3+2V2D.2"七>-

ab2

8.已知實數(shù)a,b,。滿足a>Z?〉c>0,則下列說法正確的是（）

11bb+c

A.-------<--------B.—<----

a(c-a)b(c-a)aa+c

C.ab+c2>ac+beD.(6F+/?)(—+—)的最小值為

ab

9.已知。>b>0,且。b=4,則（)

A.2f>1

B.log2a-log2b>\

C.2"+2”>8

D.log2alog2b<1

10.下列函數(shù)中最小值為6的是（）

93

A.y=lnx-\----B.y=6|smx|+

Inx21sinx|

d+25

C.y=3'+32-'D.

Vx2+16

11.下列說法不正確的是（）

A.不等式（2x-l）（l-x）<（）的解集為{x|；<x<1}

B.已知"1<X<2,<7：log2X+l..l,則。是q的充分不必要條件

C.若xeR,則函數(shù)y=JR？+4+?廠J的最小值為2

Jf+4

D.當xe/?時，不等式foe?-乙+1>0恒成立，則4的取值范圍是（0,4）

三、填空題（本大題共3小題，共15.0分）

12.實數(shù)86滿足愴。+想/?=愴（。+如），則數(shù)的最小值為.

13.若x>l,則4x+—匚的最小值是

X—1

22

14.已知x>2,y>0且滿足2*-2,=16,則當x=________，y=__________時，——+-

x-2y

的最小值為.

四、解答題(本大題共2小題，共24.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

15.(本小題12.0分)

圍建一個面積為360nr的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，

其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2/?的進出口，如圖所示.已知舊

墻的維修費用為45元/根，新墻的造價為180元/根.設利用的舊墻長度為單位：加)，修

建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元).

圍建一個面積為360，然的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其

它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，已知舊墻的維修

費用為45元/加，新墻的造價為180元/加，設利用的舊墻的長度為xm修建此矩形場地圍

墻的總費用為y元.

(1)將y表示為x的函數(shù)；

(2)試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.

16.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=x?-tix+b+2,awR,b&R.

(1)若關于x的不等式/(x)<0的解集為(1,2),求實數(shù)a,6的值；

(2)若關于x的不等式f(x)?。在xe[1,3]上能成立，求實數(shù)a的取值范圍.

3

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查了利用基本不等式的實際應用，屬于基礎題.

設一條直角邊為*,求出周長/的表達式，利用基本不等式求出最小值即可.

【解答】

解：設一條直角邊為X,則另一條直角邊是：，斜邊長為巧V，

故周長/=x+3+-+，.4+20。6.828,

當且僅當X=2時等號成立，

故最合理（夠用，且浪費最少）是7/〃，

故選C.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本試題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題.

將x,y用a,6表示，用基本不等式求最值.

【解答】

解：ax-by-3,

,c1,cI

.?.x=log?3=-------y=log?3=-~~-，

log3alog3b

11,一,八'.

\,JI，

當且僅當a時取等號.

故選：C.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了圓的性質(zhì)、勾股定理、三角形三邊大小關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔

題.

由圖形可知。尸=,AB=2(a+b),OC--(a+b)-b^-(a-b),在Rt.OC戶中，由勾股定理可

2222

求CF,結合C與。不重合，CVAOF即可得出.

【解答】

解：由圖形可知：0F=」AB=L(a+6),OC=-(a+b)-b=-(a-b),

2222

在Rt二0C/中，由勾股定理可得：

CF=J空2+(暇=枷+〃)，

當C與。不重合時，CF>OF,

(o'+/?')>—(n+Z?),(a>b>0).

故選：D.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查不等式與不等關系，以及基本不等式求最值或取值范圍，屬于基礎題.

解題的關鍵是熟練掌握不等式成立判斷的方法以及基本不等式適用的范圍，根據(jù)不等關系與不等

式以及基本不等式等相關知識對四個選項逐一判斷得出正確選項.

【解答】

解：因為而〉0,當\時，a-^b<2y/abf,則力、夕選項錯誤；

b<0abab

由于宗+后.2?！泛愠闪?，當且僅當時，取“=”，故〃錯；

由于3>0,則2>0,0>0,即2+且..2口.0=2,當且僅當2=即時取“=”，

abab\abab

故C對,

故選C.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

5

本題考查了一元二次不等式與對應方程的關系，也考查了利用基本不等式求最值的問題，屬于中

等題.

b4

根據(jù)不等式or?+2版+4<0的解集求出a的值和力的取值范圍，再代入—+-中利用基本不等

4ab

式求出它的最小值.

【解答】

解：關于x的不等式分2+2"+4<()的解集為(九色)，其中機<0,

m

4

所以卬和二?是方程以2+2版+4=0的實數(shù)根，

m

由根與系數(shù)的關系知

ina

b4b41b4b4

所以2+；=2+；..2產(chǎn).；=2,當且僅當2=2,即匕=4時取等號,

4ab4b\4b4b

h4

所以2+2的最小值為2.

4ab

故選：C.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了一元二次不等式的應用，以及根與系數(shù)的關系，同時考查了基本不等式性質(zhì)的運

用能力和計算能力.

根據(jù)不等式f-4ax+3a2<0(a<0)的解集為(龍》%)，利用韋達定理求出須％=3/，

%+々=4。，利用基本不等式的性質(zhì)求解.

【解答】

解：不等式f—4ax+3a2<0(a<0)的解集為(否,々)，

故不，々為對應方程x?-4or+3a2=0的兩個根，

2

根據(jù)韋達定理，可得：xtx2=3a,xt+x2=4a,

那么：Xj+%2----=4。H---，

xxx23a

a<0,

—(4tz4----)..2.1(—4(i)x(-----)——------,

3aV3a3

即4。+'-,,一逑，當且僅當。=一立時等號成立，

3a36

故西+x,H——的最大值為一生叵.

一xtx23

故選：D

7.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題主要考查了基本不等式及應用條件的簡單應用，屬于中檔試題.

結合基本不等式及不等式的性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷.

【解答】

解：因為正實數(shù)a,6滿足a+>=l,

所以a",("2)2=，,當且僅當a=b時取等號，

242

log,a+log2b=log2(a/?)?log2；=-2,A錯誤；

令t=abe(0」,ab+」-=r+!在(0-］上單調(diào)遞減，

4abf4

117

當￡=上時取得最小值,，8成立；

44

2+1=^^+@3+絲+々3+2血，

ababab

當且僅當a=2-及，b=a-1時取等號，C不成立；

正實數(shù)a,6滿足。+。=1,

ci—b=a—(1—CL)=2a—1>—1,

則2所’>2一|=!，〃成立.

2

故選：BD.

8.【答案】BC

【解析】

7

【分析】

對于4結合不等式的性質(zhì)，即可求解，對于6,結合作差法，即可求解，對于G結合作差法,

即可求解，對于。，根據(jù)已知條件，運用不等式的公式，即可求解.

本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及作差法，屬于中檔題.

【解答】

解：對于4,-,a>b>c>0,—^―<0,

ahc-a

―1—>―1—,故4錯誤，

a(c-a)b(c-a)

對于B,\a>h>c>0,

.?心一生=竺上上誕±0=迎二夕<0,即2〈比，故6正確，

aa+cQ(Q+C)a{a+c)aa+c

對于C,a>h>c>0,:.b-c>0,a-c>0,

ab+c2-ac-bc=b(a一c)+c(c—a)=(b—c)(a-c)>0,B|Jah+c2>ac-\-bc,故。正確，

對于〃，(4+6)(工+3=1+1+2+q=2+2+@..2+2、叵5=4,當且僅當@=即。=匕時，

ababah\haha

等號成立，

a手b,

...(a+力(_L+_L)取不到最小值4,故。錯誤.

ab

故答案選：BC.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)運算，基本不等式的應用等，屬于中檔題.

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)、對數(shù)運算法則、基本不等式等依次驗證每個選項的正誤,

進而得到正確選項.

【解答】

解：a>fe>0,.-.2<,>2*>0,

.?.白>1即22>1,故4正確；

a>b>0,不妨設a=20,b=應,

“卜山「，"叱」；!，故8錯誤；

2"+2噓,2"-2"=2石/2正庭=2x22=8,

由于。>人>0,則等號不成立，

.?.2"+2'>8,故C正確；

當。時，log2a>0,log2b<0,log2alog2b<\\

*八〃、i葉,.,./k>g?a>lo&.fc\2pog^aft))2(log4):

當a>b>l時4I-s

由于a>b>0,則等號不成立，

綜上可得：log2a-log2b<1,故〃正確.

故選ACD

10.【答案】6c

【解析】

【分析】

本題考查了基本不等式的性質(zhì)，注意“一正二定三相等”的應用，屬于中檔題.

利用基本不等式的性質(zhì)逐項進行判定.

【解答】

9

解：A當0<x<l時，lnx<0,;.y=lnx+心一最小值不可能為6,故月錯誤；

Inx

B.0<|sinx|”1,.?.y=6|sinx|+---..2亞=6,當且僅當、:1時取等號，故8

21sinx|2

正確；

C.31>0,32T>0,；.y=3'+32T..2j￥=6,當且僅當3'=32-",即x=l時取等號，故

C正確；

D.y=：=J-2+16+/9,+16..4,

yx2+16Jx?+16

.?.。=6+16+/9..2囪=6,當且僅當Jf+i6=3時取等號,而6+i6w3,其

V-X2+16

取不到6,故〃錯誤.

故選BC.

11.【答案】ACD

9

【解析】

【分析】

求出不等式的解集判斷4得到。是g的充分不必要條件，判斷凡基本不等式判斷G反例判斷

D.

本題考查不等式的解集，基本不等式，充分不必要條件，不等式恒成立，是基本知識的考查.

【解答】

解：對于4不等式(2xT)(l-x)<0的解集為{x[x<；或x>l},所以1不正確；

對于氏p：1<X<2,整理q：10g2X4-1..1,得0：X..1,

則夕是g的充分不必要條件，所以8正確;

對于C,若xeR,則函數(shù)y=Jx2+4+/------2、后7.7二=2,當且僅當/=一3

>Jx2+4VVX2+4

時取等號，顯然不正確，所以。不正確.

對于〃當xeR時，女=0時，不等式版2一日+i>()恒成立，所以。中A的取值范圍是(0,4)是

不正確的，所以。不正確；

故選：ACD.

12.【答案】8

【解析】

【分析】

本題考查了對數(shù)的運算，以及基本不等式，需要學生熟練掌握公式，屬于中檔題.

根據(jù)條件，運用對數(shù)的性質(zhì)，可得，力=。+28,再結合基本不等式，即可求解.

【解答】

解:因為愴。+館/?=愴出?=愴(。+2/?),

所以=a+28..2ab,且a>0,b>0,

所以J茄..20

故出?..8,當且僅當。=2〃，即。=4,6=2時取等號，

所以a6的最小值為8.

故答案為8.

13.【答案】8

【解析】

【分析】

本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎題.

把所求式子化為4x+—匚=4。-1)+」一+4,利用基本不等式，即可求出結果.

x-\x-\

【解答】

解：x>l,x-l>0,

..4x+—=+—+4>2./l(r-1)f—?—1+1-8,

牙一1Jt-1y\x-1/

13

當且僅當4(/-1)=」一即x=二時取等號，

x—12

時，4x+」一取最小值8.

2%—1

故答案為：8.

14.【答案】3

1

4

【解析】

【分析】

本題考查基本不等式求最值的問題，屬于中檔題.

根據(jù)題意，由指數(shù)幕的運算性質(zhì)可得2,+>'=16,即x+y=4,變形可得x—2+y=2,進而可

得二一+2=[(x—2)+訓(-2一+2)=2+-^-+—,由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案.

x-2yx-2yx-2y

【解答】

解：根據(jù)題意，已知x〉2,y>0且滿足22V=16,則有2"，=16,則x+y=4,

變形可得：x-2+y=2,

*-2?6,/y

則為+1-3(*?幻+引(為3小七

當且僅當尤=3,y=l時等號成立.

故答案為：3；1；4

15.【答案】解：(1)設矩形的另一邊長為四，

則y=45x+180(x-2)+180x2a=225x+360a-360.

11

由已知ar=360,得。=2——，

x