2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第17講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性含解析

2023年新高考一輪復(fù)習(xí)講義第17講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?吉林吉林?模擬預(yù)測）若函數(shù)/卜）=1+/+"—1在（-00,”0）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

（）

A.〃之一B.a&—C.a>—D.ci<—

3333

2.（2022?全國?哈師大附中模擬預(yù)測）己知〃x）=；x2+cosx,尸（x）為/（x）的導(dǎo)函數(shù)，則y=/'（x）的圖

像大致是（）

a的取值范圍是（）

A.（0,2）B.[0,1）C.（0,+8）D.（2,+<?）

4.（2022?湖北?房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)/口）=5谷，不等式/卜2）>〃1+2）的解集為

（）

A.(-<o,-l)(2,-H?)B.(-1,2)

C.2)U(l,+oo)D.(—2,1)

5.(2022?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,2)上單調(diào)遞減的是

)

A.y=23B.y=-x3

Cx2-x

C.y=cos—D.y=In

2+x

6.(2022?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)〃幻=2/-依+6的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8),則減區(qū)間是

()

A.(一8,0)B.(-1,1)C.(0,1)D.(-oo,l),(0,1)

7.(2022?山東?德州市教育科學(xué)研究院二模)已知函數(shù)Ax)是偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象見下圖，且

8.(2022?山東?煙臺(tái)二中模擬預(yù)測)己知meR,p：3/n2-4w+l<0;q：函數(shù)〃力=/一3"用d+l在區(qū)

21Q

間/cm，/L\m上不單調(diào)，則P是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/@)=2￡-Inx,若/(x)在區(qū)間(2m,,〃+1)上單調(diào)遞增，則加的

取值范圍是(

B.：,+8

C.pl]D,[0,1)

10.(多選)(2022?全國?高三專題練習(xí))對(duì)于函數(shù)/(x)=9d-lnx,下列結(jié)論中正確的是()

A.“X)在(0,+s)上單調(diào)遞增B.“X)在(0,；)上單調(diào)遞減

C./(x)有最小值D.“X)有兩個(gè)零點(diǎn)

11.(多選)(2022?重慶八中高三階段練習(xí))函數(shù)/(x),g(x)均是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且

g(x)*0,則下列各函數(shù)一定在R上單調(diào)遞增的是()

A./(x>g(x)B./(x)+g(x)C."(x)fD.

g(x)

12.(多選)(2022?山東?青島二中高三期末)記”力的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若“力<礦(%)<2"力-」對(duì)任

意的正數(shù)都成立，則下列不等式中成立的有()

A.〃1)<2/出B./(1)<1/(2)

C.川)<4嗎卜D./(1)<1/(2)+1

13.(2022?湖北?模擬預(yù)測)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)“X),有〃-x)=/(x)且X20,

/(%)=e'—er-sin2x,則/(x)>/的解集為.

14.(2022?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)"x)=-gx3+or有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

15.(2022?北京?二模)己知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且19>0,則Ax)的單調(diào)遞減區(qū)間為

X--1

;滿足以上條件的一個(gè)函數(shù)是.

16.(2022?河北?高三階段練習(xí))若函數(shù)/(幻=任+儂,在-g,l上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則機(jī)的取值范

圍是.

17.(2022?山東師范大學(xué)附中高三期中)設(shè)函數(shù)〃x)=T-x+alnx

⑴當(dāng)。=3時(shí)，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)任意正實(shí)數(shù)占,當(dāng),當(dāng)%+々=2時(shí)，試判斷與=("2)2的大小關(guān)系并證明

18.(2022?北京?高考真題)已知函數(shù)f(x)=e'ln(l+x).

(1)求曲線>=/(%)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對(duì)任意的s,/e(0,+8),有/(s+r)>/(s)+/Q).

【素養(yǎng)提升】

1.（2022?全國?高考真題）設(shè)“=0.幅°/力=，c=-ln0.9,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2

2.（多選）（2022?福建泉州?模擬預(yù)測）^\nb+b=a\nci+af則下列式子可能成立的是（）

A.a>b>\B.b>a>\

C.\>b>aD.\>a>b

3.（2022?湖南?長沙一中模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足lnx=）e*+lny,則X（y-X+4）的最大值為

4.（2022?江蘇江蘇?三模）設(shè)函數(shù)/（x）=e*+asinx-G?-（l+a）x.

（1）當(dāng)“VO時(shí)，討論/（x）的單調(diào)性；

（2）若/（x）在R上單調(diào)遞增，求a.

第17講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.(2022?吉林吉林?模擬預(yù)測)若函數(shù)/卜)=1+/+"-1在(—0,y0)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

()

A.〃之一B.a&—C.a>—D.ci<—

3333

【答案】A

【解析】由題可知，/(力=3/+2X+/0恒成立，

故△4()，即4—12a40=>a...—.

3

故選：A.

2.(2022?全國?哈師大附中模擬預(yù)測)已知f(x)=；x2+cosx,7'(x)為/⑴的導(dǎo)函數(shù)，貝力=f'(x)的圖

像大致是()

【解析】/(x)=1x-sinx,/(X)為奇函數(shù)，則函數(shù)尸(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)A、D,令

g（x）=/'（x）,g'（x）=g-cosx,

當(dāng)xe（0,9，g'（x）<0，g（x）在。號(hào)）遞減，

故選B.

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃力=1'3-3/-耳420）在區(qū)間（0,1）上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是（）

A.（0,2）B.[0,1）C.（0,+e）D.（2,-K?）

【答案】D

【解析】V/（%）=-1x3-^x2-%,7.//（x）=ax2-x-l

:函數(shù)〃》）=03-92_耳420）在區(qū)間（0,1）上不是單調(diào)函數(shù)

7（力=加-工-1=0在區(qū)間（0,1）上有根

當(dāng)〃=0時(shí)，x=-1不滿足條件

當(dāng)々>0時(shí)，???八0）=-1<0,???7（1）=4-2>0,

a>2.

故選：D.

4.（2022?湖北?房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（力="苔，不等式/（』）>〃》+2）的解集為

（）

A.（—oo,—l）（2,+oo）B.（—1,2）

C.（f,—2）U（L+oo）D.（-2,1）

【答案】B

【解析】解：因?yàn)?所以/所以“X）在R上單調(diào)遞減，

則/（V）>〃x+2）等價(jià)于f<x+2,解得-1<X<2,即原不等式的解集為（-1,2）.

故選：B.

5.（2022?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,2）上單調(diào)遞減的是

()

A.y=2WB.y=-x3

JQ2-x

C.y=cos—D.y=In-----

22+x

【答案】C

【解析】對(duì)于A,函數(shù)f(x)=2N的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

且J(-x)=2H=2H=/(X),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),

當(dāng)xe(0,2)時(shí)〃勸=2］函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，故A不符合題意;

對(duì)于B,函數(shù)/(力=-/的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且f(-x)=-(-%)3=/=-/(%),所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù),

由基函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)y=犬3在R上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(x)=-/在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意;

對(duì)于C,函數(shù)/(X)=cos5的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

XX

且f(-x)=cos(-9)=cos-=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),

當(dāng)xe(0,2)時(shí)5e(0,1),又(0,1)=(0段)，

所以函數(shù)/(x)=cos5在(0,1)上單調(diào)遞減，故C符合題意;

2—x

對(duì)于D,函數(shù)的定義域?yàn)棰澧?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

且小加如替小蕓，如W—(x),

12x

所以/(X)是奇函數(shù),又以。)=

2-x2+x(2-x)(2+x)'

令/'(x)v0=-2vx<0,令/。)>0=。<%<2,

所以函數(shù)在(-2,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，故D不符合題意.

故選：C.

6.(2022?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)=戊+6的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+00),則減區(qū)間是

()

A.(-8,0)B.(-1,1)C.(0,1)D.ED,(0,1)

【答案】B

【解析】函數(shù)/(x)=2x3-?x+6,則解(x)=6f-a,

當(dāng)“VO時(shí)，_f(x)W0恒成立，函數(shù)F(x)在其定義域內(nèi)是遞增.

當(dāng)”>0時(shí)，令/'(x)=0,解得：x=±4,

當(dāng)時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)f(x)是遞增?

函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8),故得：器=1,解得：。=6,

在(T，l)時(shí)，/。)<0，函數(shù)f(x)是遞減.

故選：B.

7.(2022?山東?德州市教育科學(xué)研究院二模)己知函數(shù)Ax)是偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)/(X)的圖象見下圖，且

【答案】D

【解析】f(-x)=f(x)/(-1)=/(1)

〃x+2)=/(2T..=

又由導(dǎo)函數(shù)的圖象得，

當(dāng)xe(O,2)時(shí)，/'(力>0,“X)單調(diào)遞增,

力圖<川)“圖

???嗎卜㈠寸圖

故選：D.

8.（2022?山東?煙臺(tái)二中模擬預(yù)測）己知meR,p：3濟(jì)-4優(yōu)+140;q：函數(shù)/（x）=Y-3叫/十】在區(qū)

218

間7上不單調(diào),則p是q的（)

[MH可J

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由3加-4〃?+lW0可得;又，'（工）=3/-23向*=3%（廠2?3"'）,又

21Q4

要使函數(shù)在區(qū)間7》，丁中上不單調(diào),解得0＜加＜§,顯然

【陰陰J

p=q，q（P,

即p是q的充分不必要條件.

故選：A.

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃X）=2X2-Inx,若〃x）在區(qū)間（2利,〃?+1）上單調(diào)遞增，則加的

取值范圍是（）

兒同B.4+8）

C.；』）D.[0,1）

【答案】A

【解析】因?yàn)?（x）=2f—Inx的定義域?yàn)椋?,+功，r（x）=4x_,

由/'（耳＞0,得4x-1＞0,解得X＞：,所以/（X）的遞增區(qū)間為

由于f（x）在區(qū)間（2北加+1）上單調(diào)遞增，則⑵"，加+l）c[；,+oo],

〃z+1>2m

所以c、1，解得.

2m>—4

2

因此，實(shí)數(shù)，"的取值范圍是田

故選：A.

10.(多選)(2022?全國?高三專題練習(xí))對(duì)于函數(shù)/(x)=9V-Inx,下列結(jié)論中正確的是()

A./(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增B.“X)在(0,手上單調(diào)遞減

C./(X)有最小值D.“X)有兩個(gè)零點(diǎn)

【答案】BC

【解析】V./(x)=9x3-lnx,x>0,

1_27x3-1

/'(x)=27f

XX

由ra)=o可得，

當(dāng)時(shí)，尸(x)<0"(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xeg+8)時(shí)，f(x)>0J(x)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=；時(shí)，函數(shù)有最小值《)=9x(；)Tn渭4

即〃力2§，

所以A錯(cuò)誤，BC正確，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.(多選)(2022?重慶八中高三階段練習(xí))函數(shù)f(x),g(x)均是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且

g(x)*0,則下列各函數(shù)一定在R上單調(diào)遞增的是()

A./(x)-g(x)B.f(x)+g(x)C."(x)fD.

g(x)

【答案】BC

【解析】取/。)=羽8。)=6"，故/XxAg(x)=xe*,設(shè)F(x)=xe*,

則F(x)=(x+l)e*,

在(―,-1)上，F(xiàn)'(x)<0,故F(x)在(-組-1)上為減函數(shù)，故A錯(cuò)誤.

而一^S=-￡'設(shè)G(x)=-^，則G'(x)=?，

6\A/cee

在(e,l)上,G,(x)<0,故G(x)在上為減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

設(shè)S(x)=/(x)+g(x),t/(x)=[/(x)]\

任意占<天，則5(演)-5(W)=/(蒼)一/(々)+8(%)一g(w),

因?yàn)?(x)，g(x)均是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

故/1(不卜〃動(dòng),g(xj<g(毛)，

所以5(藥)一5(毛)<0即56)<5(々),故S(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù).

而U(XJ-U(X2)=["XJ-/(X2)]+)&)

因?yàn)?(x)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

故/(由)</(%),且(/(xj+g4々))+3尸(*1)>°,

所以。(珀一。(々)<0即U(xJ<U(xJ,故。(X)是R上的單調(diào)遞增函數(shù).

故BC正確.

故選：BC

12.(多選)(2022?山東?青島二中高三期末)記/(x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若/(犬卜才⑺及/⑴-x對(duì)任

意的正數(shù)都成立，則下列不等式中成立的有()

A.〃1)<2/出B.”1)亭⑵

C.〃1)<4/出-1D./(1)<1/(2)+1

【答案】BC

【解析】解：因?yàn)椤▁)<V'(x),所以r(x)x—/(x)>0,則尸(同=[9]=:("),/(“)>0,所以

尸(x)=§在x?0,問單調(diào)遞增，所以F(l)>嗚｝即半所以故A錯(cuò)

2

誤；同理*2)>尸⑴，即與〉平，所以/⑴<g〃2),故B正確：因?yàn)?'(x)<2〃x)-x,所以

#,(x)-2/(x)+x<0,構(gòu)造函數(shù)//(x)="，-x,則〃(幻』/("1]='(x)2/(x)+x<0,所以

廠JTX

心尸如二在無?0,內(nèi))單調(diào)遞減，所以〃(1)＜人(3,即犯匚

化簡得

x21

4

/(1)＜4/^-1,故C正確；同理〃(2)＜/7⑴，即"?-2＜岑口化簡得〃1)＞；〃2)+；,故D錯(cuò)

誤.

故選：BC.

13.(2022?湖北?模擬預(yù)測)已知定義域?yàn)镽的函數(shù),f(x),有=且X20,

/(x)=e'-e-J-sin2x,則f(x)＞fW的解集為.

【答案】卜—號(hào)卜,1

【解析】x＞0,廣⑴=e"+e-x-2cosx＞2\Jexxe-x-2cosx=2(1-cosx)NO

f(x)在［0,y)為增函數(shù)，又〃x)為偶函數(shù)，

則W＞；，得》＜一：或x＞：，

故答案為：

14.(2022?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)=有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

【答案】(0,+8)

【解析】/(x)=-x2+a,

由于函數(shù)〃x)=-g/+必有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,

所以/(x)=-犬+。=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以。＞0.

故答案為：(。,+8)

15.(2022?北京?二模)已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且/9＞0,則/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

x-1

:滿足以上條件的一個(gè)函數(shù)是.

【答案】(7,1)f(x)=^x3-x(答案不唯一)

【解析】由?^>0可得/

rw>orruxo

所以

x2-1>0^[x2-l<o'

所以當(dāng)X<-1或X>1時(shí)，r(x)>0,當(dāng)時(shí)，f'(x)<0,

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,

所以滿足條件的一個(gè)函數(shù)可以為f(x)=gd—》(答案不唯一)

故答案為：(-LD,f(x)=^x3-x(答案不唯一)

16.(2022?河北?高三階段練習(xí))若函數(shù)/。)=(/+如:k'在-《,1上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則”的取值范

圍是?

【答案】〃?<；

v2x

【解析】/'(X)=(2x+m)e+(x+nix)e=+(機(jī)+2)x+〃?]e",

則原向題等價(jià)于/'(x)<0在-；，1上有解，即/+(〃?+2口+“<0在,1上有解，

_r2_2x「1]

即mV—'上在一彳』上有解，

x+1L2J

-r2-2r11「1-

因?yàn)槿搿?_。+])+」_,且y=_*+l)+一^在一彳,1上單調(diào)遞減，

x+1x+1x+1L2」

.11_3

所以當(dāng)x=T時(shí)，^=-(-2+1n)+-r-=2,

2---r1

2

3

所以加<；.

故答案為："?<5

17.(2022?山東師范大學(xué)附中高三期中)設(shè)函數(shù)f(x)=-—x+alnx

⑴當(dāng)a=3時(shí),求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)任意正實(shí)數(shù).芻，當(dāng)％+%=2時(shí)，試判斷/(xj+〃w)與-(“-2)2的大小關(guān)系并證明

>X+1

【解】(1)。=3時(shí)，/(x)=^-x+31nx,x>0,/(x)=-—~^

令r(x)>o得(苧；令r(x)<o得0<》<1或

故f(x)的單增區(qū)間為?2瀘,安51,單減區(qū)間為(o,3瀘],(檸叵，”

10

⑵結(jié)論：/(x,)+/(x2)>--(a-2)-,證明如下:

(1

/(西)+/(々)=——%+alnXi-x2+a\nx2

=%+/—(%4-x2)4-alnx1x2=———2-\-a\x\xxx2

x}x2~x}x2

\2

設(shè)”玉%2，由N,W均為正數(shù)且百工24馮強(qiáng)=1得0<區(qū)1

設(shè)g⑺=：_2+alnf(O<fW1),則=-4+y=

①當(dāng)q?2時(shí)，由0vr41得〃一2Ko即g'?)<0

故g⑺單調(diào)遞減,從而g(，)Ng(l)=O

11

而一5(〃一2)9-?0,此時(shí)/(玉)+/(/)2-](。一2)92成立

②當(dāng)a>2時(shí)，g(f)在(o,m)上單調(diào)遞減，在(jl)上單調(diào)遞增

故g。)的最小值為g(j=a-2+aln/

此時(shí)只需證4-2+aIn(2-；(a-2)2,化簡后即證In^+ga-lNO

設(shè)〃(a)=ln2+ga-l(a>2),//(a)=.；j>0

故碎)單調(diào)遞增，從而有/i(a)>網(wǎng)2)=0,即證ln*+,a-lNO

綜上：不等式得證.

18.(2022?北京?高考真題)已知函數(shù)/(x)=e'ln(l+x).

(1)求曲線>=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=f'M,討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對(duì)任意的s,/w(0,+8),有f(s+/)>/($)+/(f).

【解】(1)解：因?yàn)閒(x)=e，ln(l+x),所以/(0)=0,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

又廣(x)=e”(ln(l+x)+J-),...切線斜率&=尸(。)=1，切線方程為：丫=%

1+x

i21

(2)解：因?yàn)間(x)=/V)=ex(ln(l+x)+-——),所以g'(x)=e，(ln(l+x)+---------7),

1+xl+x(1+x)

o11G2.1

令h(x)=ln(l+x)+----------7,則h\x)=------------+-----r=----7->0,

l+x(l+x)-14-X(14-X)2(l+x)3(l+x)3

〃(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，"(x)>〃(0)=1>0.\g'(x)>0在［0,+8)上恒成立,

...g(x)在。+<?)上單調(diào)遞增.

(3)解：原不等式等價(jià)于f(s+t)-f(s)>/(0-/(0),

4"m(x)=f(x+t)-/(x),(x,/>0),即證④x)>/n(O),

m(x)=f(x+t)-f(x)=ev+,ln(l+x+r)-evln(l+x),

e*+rQX

m'(x)=ev+,ln(l+x+f)+--------e'ln(l+x)------=g(x+r)-g(x),

1+x+Z1+x

由(2)知8。)=/'(為=6，。11(1+為+三7在［0,+8)上單調(diào)遞增，

g(x+f)>g(x),：.m(x)>0

在(0,田)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閤j>0,

Am(x)>m(O),所以命題得證.

【素養(yǎng)提升】

1.(2022?全國?高考真題)設(shè)4=0.1e°」,6=g,c=-ln0.9,貝ij()

A.a<h<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】設(shè)〃x)=ln(l+x)—Mx>-l),因?yàn)?(公:丁!一一1=--^,

1+x1+x

當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)XG(0,+oo)時(shí)r(x)<0,

所以函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x在(0,+O單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以〃》<〃0)=0,所以In^-gvO,故g>ln?=-ln0.9，即b>c,

1910111

所以“-77)</(°)=。，所以足2+77<°，故二<e%所以-!-8°<上，

10101010109

故。<b,

設(shè)8。)=》6*+111(1一》)(()<:了<1),則g，(x)=(x+］)e*+-^=^~

令〃(x)=e'(x2-1)+1,h\x)=ex(x2+2x-1),

當(dāng)時(shí)，"(x)<0,函數(shù)〃(x)=e'，-1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí),〃'(x)>0,函數(shù)〃(x)=e，(f_i)+l單調(diào)遞增,

又〃(0)=0,

所以當(dāng)O<x<&-1時(shí)，h(x)<0,

所以當(dāng)0<%<四-1時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)=xe*+ln(l-x)單調(diào)遞增,

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>—ln0.9,所以

故選：C.

2.(多選)(2022?福建泉州?模擬預(yù)測)若In匕+匕=〃lna+/,則下列式子可能成立的是()

A.a>h>\B.b>a>\

C.\>b>aD.\>a>b

【答案】BCD

【解析】令/(x)=x+lnx,x>0

則/(力=1+|>0恒成立，

所以/(x)=x+lnx單調(diào)遞增，

其中=/(1)=1>0,

則存在與€()),使得/(%)=()

①當(dāng)時(shí)，〃lna+q2=ln/?+b<a+lnq

即+<0,

若々21,則lna+a>0,且。一130,貝?。?a-l)(lnQ+Q)20,

不滿足(。―l)(lno+a)<0,故avl,且/⑷>0,

所以七)

又因?yàn)樗訢正確；

②當(dāng)時(shí)，

a\na+cr=\nb+b>a+lna,即(。-l)(lna+a)>0

(1)當(dāng)〃>1時(shí)，a-\>0,lna+a>0,貝ij(a-l)(lna+a)>0成立，故B正確；

(2)當(dāng)avl時(shí)，a-1<0,若(〃-l)(lna+a)〉0,則Ina+avO,

因?yàn)?（x（））=0，且/（x）=%+lnx在（0,+。）上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)Ova<工0時(shí)，Ina+avO,則alnq+a2<o，

所以Inb+bvO,所以力<1,又因?yàn)閍<b,所以選項(xiàng)C正確.

故選：BCD

3.(2022?湖南?長沙一中模擬預(yù)測)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足lnx=)e*+lny,則X(y-X+4)的最大值為

4

【答案】4+4

e-

【解析】由lnx=ye*+lny得In2=yev,所以*ln*=xe'，%er=ln--e丁，

yyyy

x

因?yàn)閤>0,所以In—>。，

y

設(shè)f(x)=xe*(x>。)，則尸(%)=e*(x+l)>0,/*)遞增,

In—xr

所以由xe*=ln'Ye'得x=ln—,所以丫=之，

yye

xXT

x(y-x+4)=x(----x+4)=------x2+4x,

exer

設(shè)g(x)=——W+4x,則g\x)=2**-2x+4=(2-x)(-4+2),

eee

所以0vxv2時(shí)，g'(x)>0,g(x)遞增，尤>2時(shí)，g'")vO,g(x)遞減，

4

所以g(x)3x=g(2)=-r+4?

e"

4

故答案為：/+4.

4.(2022?江蘇江蘇?三模)設(shè)函數(shù)/(x)=e'+asinx-辦2-(]+a)x

⑴當(dāng)a?0時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若在R上單調(diào)遞增,求。.

【解】⑴解：因?yàn)椤▁)=e'+asinx-潑可得#(x)=e，+acosx-2m?-(1+。)，

設(shè)g(x)=7'(x)，則g'(x)=e(2+sinx)

f

所以當(dāng)HO時(shí)，g(x)>0f函數(shù)y=g(x)在R上單調(diào)遞增，

即函數(shù)y=/'(x)在R上單調(diào)遞增，

又由/'(0)=0,所以當(dāng)x<0時(shí)，r(x)<0；當(dāng)x>0B寸，r(x)>0,

所以當(dāng)"VO時(shí)，/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)解：令/z(x)=e*-x-l,可得=

當(dāng)x>0時(shí)，〃(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x<0時(shí)，〃(x)<0,妝x)單調(diào)遞減，

又由"0)=0,所以/1(切之。0)=0,即e--1*0,

所以e*2x+l,所以e-*21—x；

令夕(x)=x-sinx,可得”(x)=l-cosxNO,所以函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

因?yàn)橄?0)=0,

當(dāng)x20,可得e(x)2：e(O)=O,即x-sinxNO,即xNsinx；

當(dāng)x40,可彳導(dǎo)e(x)49(0)=0,HPx-sinx<0.即xWsinx,

(2.1)當(dāng)aVO時(shí)，由(1)知不合題意；

(2.2)當(dāng)0<°<3時(shí)，若xw(ro,0),

r(x)=e"+acosx-2or-(l+a)<—^—+acosx-2ax-(1+a)

<---+a-2ax-l-a=

\-x

當(dāng)時(shí),r(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,不合題意;

(2.3)當(dāng)。>一時(shí),若x?0,l),同理可得

2J

當(dāng)o<x<i-^時(shí)，r(x)<。，,“X)單調(diào)遞減，不合題意；

11141a

(2.4)當(dāng)〃=—時(shí)，/(x)=ex+—sinx——f一二不，可得/'(x)=e，+—cosx-x——,

設(shè)g(x)=7'(x),則g〈x)=e*-gsinx-l,

①當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)=e'——sinx-1>x+l——sinx-l>x--.V>0,

2

所以g(“在(0,+8)上單調(diào)遞增，尸(力在(0,+8)上單調(diào)遞增,

②當(dāng)x>0時(shí),

gM)=e」sinl」」—=4M

若xe[—1,0),<0,

6V'21-x22(1)

若g[x)=er--sinx-1<—+-■-1<0,

2e2

所以g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，f'(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增,

由①②可知,r(x)>r(o)=o,所以f(x)在R上單調(diào)遞增,

綜上所述，“=g.

第18講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)>=/（力的導(dǎo)函數(shù)y=r（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=在

區(qū)間（4力）內(nèi)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022?福建莆田?三模）已知函數(shù)/a）=（x+l）2+cos（x+l）+。的最小值是4.則。=（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2022?廣東茂名?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)"x）=sin3+0）（o>0,帆臼的圖象關(guān)于V對(duì)稱,

=且f（x）在（0,兀）上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則。的值等于（）

A.1B.3C.5D.6

4.（2022?福建?三模）關(guān)于函數(shù)/（x）=Asin（2x+e）,有下列四個(gè)命題：

甲：f（x）在（5陽等）單調(diào)遞增；

乙:是/住）的一個(gè)極小值點(diǎn)：

6

JT

丙：三是/（X）的一個(gè)極大值點(diǎn)；

T：函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移］個(gè)單位后所得圖象關(guān)于V軸對(duì)稱.

其中只有一個(gè)是假命題，則該命題是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.（2022?福建福州?三模）已知函數(shù)八句=藝^,以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A./（x）是偶函數(shù)B.7（x）有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)

C.的最小值為D.f（x）的最大值為|

6.（2022?江蘇?徐州市第七中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)〃X）=任+2可（/+必:+沖滿足：對(duì)VxeR,都有

/（l+x）=/（l-x）,則函數(shù)〃x）的最小值為（）

A.-20B.-16C.-15D.0

7.（2022?遼寧?高三階段練習(xí)）已知了=|是函數(shù)/（x）=En（2x）-◎的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.1B.—C.2D.e

2

8.（2022?廣東深圳?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/。）=/+收2一乂+。有兩個(gè)極值點(diǎn)不士，且

歸一引=竽，則/⑶的極大值為（）

A.3B.空C.巫D.73

993

9.（多選）（2022?湖北?襄陽五中模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,為1*0）是“X）的極大值點(diǎn)，以

下結(jié)論一定正確的是（）

A.VxeR,/（x）＜/（x0）B.f,是〃-x）的極大值點(diǎn)

C.f是-〃x）的極小值點(diǎn)D.F是-〃-x）的極小值點(diǎn)

In1*

10.（多選）（2022?遼寧?大連二十四中模擬預(yù)測）對(duì)于函數(shù)/（x）=W，下列說法正確的是（）

A./（＞/2）＜/（^）＜/（V3）B.〃》）在》=人處取得極大值！

1e

C.“X）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)D.若在（0,+8）上恒成立，貝麟

11.（2022?湖南?長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)〃x）=B+ln|x|的極值點(diǎn)為.

12.（2022?湖北?模擬預(yù)測）/（x）=|ln（ax）-2|+ax,的最小值為.

13.（2022?天津河西?二模）若函數(shù)f（x）=x3+or2—x-9在x=-l處取得極值，貝ij〃2）=.

14.（2022?江蘇?南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測）若函數(shù)”司=2丁—奴2_［g€R）在（y。內(nèi)有且只有一

個(gè)零點(diǎn)，則/（M在［T,1］上的最大值與最小值的和為.

15.(2022?天津?二模)已知函數(shù)/(x)=-2/111犬+；/+or(aeR).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=/(x)在(1J⑴)處的切線方程；

(2)求函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當(dāng)。＜0時(shí),求函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,e］上的最小值.

16.(2022?北京市第十二中學(xué)三模)已知函數(shù)〃x)=lnx+g,aeR.

X

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)"X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/乎口，若g(x)在［l,e［上存在極值，求a的取值范圍.

【素養(yǎng)提升】

1.（2022?浙江?模擬預(yù)測）已知x-2y=2,貝U（r-4'0-?。┑淖畲笾凳牵ǎ?/p>

95

A.—B.-C.4D.6

42

2.（多選）（2022?海南?？?二模）已知函數(shù)”力及其導(dǎo)函數(shù)尸（力滿足H（x）-/（x）=￡（inx+i）,且

〃1）=。，則（）

A./（x）在（1收）上單調(diào)遞增B.7（x）在加上有極小值

C.卓的最小值為-1D./（力_與1的最小值為0

?一.―/、[x-lnx,x>0

3.（2022?浙江?杭州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=,若存在占VO/?>0,使得

I-A-IIt-,人—

/（%）=/（A）,則不/（々）的最小值為.

4.（2022?北京?人大附中模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=e*（x-a）2.

⑴若/（X）在x=-l處的切線與x軸平行，求〃的值；

⑵“X）有兩個(gè)極值點(diǎn)知X2,比較/（土產(chǎn)）與“”.㈤的大小;

（3）若f（x）在[-1』上的最大值為4e,求。的值.

5.(2022?天津?耀華中學(xué)二模)已知函數(shù)〃x)=E+lnx-x(a>0).

x

(1)若4=1,求函數(shù)八尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(X)存在兩個(gè)極小值點(diǎn)不，三，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

第18講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象如圖所示，則

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(4力)內(nèi)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

【答案】A

【解析】函數(shù)的極小值點(diǎn)占需滿足左減右增，即(不)=0且左側(cè)f(x)<0,右側(cè)

/(x)>0,

由圖可知，一共有1個(gè)點(diǎn)符合.

故選：A

2.(2022?福建莆田?三模)已知函數(shù)/。)=(》+1)2+8$*+1)+。的最小值是4.則。=

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】由題，r(x)=2(x+l)-sin(x+l),/"(x)=2-cos(x+l)>0,所以/'(x)單調(diào)遞

增，

又(-1)=0,所以(x)<0,x>-l,/(x)>0,

故x=-l為了⑴最小值點(diǎn),即/(-1)=