兩個(gè)計(jì)數(shù)原理-2021年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

基礎(chǔ)知識(shí)要夯實(shí)

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

完成一件事的策略完成這件事共有的方法

分類加法有兩類不同方案?,在第1類方案中有m種不同

N—m+n種不同的方法

計(jì)數(shù)原理的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法

分步乘法需要兩個(gè)步驟?,做第1步有m種不同的方法，

N=mxn種不同的方法

計(jì)數(shù)原理做第2步有〃種不同的方法

。(1)每類方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一

種方法就可完成這件事.

(2)各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的.

?(1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了才

能完成這件事.

(2)各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏.

［熟記常用結(jié)論］

1.完成一件事可以有〃類不同方案，各類方案相互獨(dú)立，在第1類方案中有加種不同的方法,

在第2類方案中有他種不同的方法……在第”類方案中有血,種不同的方法.那么，完成這件事共有

N=/"i+/"2+種不同的方法.

2.完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有im種不同的方法，做第2步有他種不

同的方法……做第n步有g(shù)種不同的方法.那么，完成這件事共有N=〃zixm2x…xm”種不同的方法.

基本技能要落實(shí)

一、判斷題(對(duì)的打“，錯(cuò)的打“X”)

(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.()

(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.()

(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.()

(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件

事.()

答案：⑴X(2)V(3)V(4)X

二、選填題

1.已知某公園有4個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，則不同的走法共有()

A.16種.B.13種

C.12種D.10種

答案：C

2.小王有70元錢，現(xiàn)有面值分別為20元和30元的兩種IC電話卡.若他至少買一張，則不同的

買法共有（）

A.7種B.8種

C.6種D.9種

解析：選A要完成的“一件事”是“至少買一張IC電話卡”，分3類完成：買1張IC電話

卡、買2張IC電話卡、買3張IC電話卡，而每一類都能獨(dú)立完成“至少買一張IC電話卡”這件事.

買1張IC電話卡有2種方法，買2張IC電話卡有3種方法，買3張IC電話卡有2種方法.不同的

買法共有2+3+2=7（種）.

3.將3張不同的奧運(yùn)會(huì)門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是（）

A.2160B.720

C.240D.120

解析：選B分步來(lái)完成此事.第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法，

共有10X9X8=720（種）分法.

4.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)是

解析：從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，

共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有及=3+3=

6（種.）.

答案：6

5.書(shū)架的第1層放有4本不同的語(yǔ)文書(shū)，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，第3層放有6本不同

的體育書(shū).從第1,2,3層分別各取1本書(shū)，則不同的取法種數(shù)為.

解析：由分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1,2,3層分別各取1本書(shū)不同的取法共有4X5X6=120（種）.

答案：120

典型例題剖析

考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理［基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)］

［題組練透］

1.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為.

解析：按十位數(shù)字分類，十位可為123,4,5,6,7,8,共分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)

分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，貝拱有8+7+6+5+4+3+2+1=36個(gè)

兩位數(shù).

答案：36

2.如圖，從A到。有種不同的走法（不重復(fù)過(guò)一點(diǎn)）.

解析：分3類：第一類，直接由A到0,有1種走法；

第二類，中間過(guò)一個(gè)點(diǎn)，有A—B—O和2種不同的走法；

第三類，中間過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，有A—BTC—O和A—C—BTO2種不同的走法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有1+2+2=5種不同的走法.

答案：5

3.若橢圓三+匕=1的焦點(diǎn)在y軸上，且加e{1,2,3,4,5},”?{123,4,5,6,7},則這樣的橢圓的

mn

個(gè)數(shù)為.

解析：當(dāng)機(jī)=1時(shí)，〃=2,3,4,5,6,7,共6個(gè);

當(dāng)m=2時(shí)，”=3,4,5,6,7,共5個(gè)；

當(dāng)m=3時(shí)，”=4,5,6,7,共4個(gè);

當(dāng)m=4時(shí),〃=5,6,7,共3個(gè)；

當(dāng)〃?=5時(shí)，n=6,7,共2個(gè).

故共有6+5+4+3+2=20個(gè)滿足條件的橢圓.

答案：20

4.如果一個(gè)三位正整數(shù)如滿足處＜。2且。2＞俏，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120,343,275

等），那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為.

解析：若z=2,則百位數(shù)字只能選1,個(gè)位數(shù)字可選1或0,“凸數(shù)”為120與121,共2個(gè).若

奧=3,則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，貝1］“凸數(shù)”有2x3=6（個(gè)）.若念=4,滿足條件

的“凸數(shù)，，有3x4=12（個(gè)），…，若z=9,滿足條件的“凸數(shù)”有8x9=72（個(gè)）.所以所有凸數(shù)有2+6+

12+20+30+42+56+72=240（個(gè)）.

答案：240

［名師微點(diǎn)］

應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題的步驟

（1）審題：認(rèn)真閱讀題設(shè)條件，理清題目要求.

（2）分類：依據(jù)題設(shè)條件選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏.

（3）整合：整合各類情況得出結(jié)論.

考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理［師生共研過(guò)關(guān)］

［典例精析］

（1）已知集合M={—3,-2,-1,0,1,2},P（a,b）（a,bGM）表示平面上的點(diǎn)，則尸可表示坐標(biāo)

平面上第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.12

C.24D.36

(2)有6名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有

種不同的報(bào)名方法.

［解析］(1)確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：

第一步確定a,由于a<0,所以有3種方法；

第二步確定b，由于%>0,所以有2種方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3x2=6.

(2)每項(xiàng)限報(bào)一個(gè)，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)

項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有6x5x4

=120(種).

［答案］(1)A(2)120

［解題技法］

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的策略

(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí)要注意按事件發(fā)生的過(guò)程來(lái)合理分步，即分步是有先后順

序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完

成這件事.

(2)分步必須滿足的兩個(gè)條件：一是各步驟相互獨(dú)立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐

步完成.

［過(guò)關(guān)訓(xùn)練］

1.如圖，某電子器件由3個(gè)電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個(gè)焊接點(diǎn)

A,B,C,D,E,F,如果焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通，

那么焊接點(diǎn)脫落的可能情況共有種.

解析：因?yàn)槊總€(gè)焊接點(diǎn)都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個(gè)焊接點(diǎn)

脫落，則電路就不通，故共有26—1=63種可能情況.

答案：63

2.從一1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)人功=辦2+法+。的系數(shù)，則可組成

個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有個(gè)(用數(shù)字作答).

解析：一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a,b,c(aWO)的一組取值，。的取法有3種，b的取法有3種，c的

取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3x3x2=18(個(gè))二次函數(shù).若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b=0,

同上可知共有3義2=6(個(gè))偶函數(shù).

答案：186

考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用［師生共研過(guò)關(guān)］

［典例精析］

(1)如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個(gè)區(qū)域只涂

一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()

A.24B.48

C.72D.96

(2)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中,

由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是()

A.48B.18

C.24D.36

(3)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”.在一個(gè)長(zhǎng)方體中,

由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()

A.60B.48

C.36D.24

［解析］(1)分兩種情況：

①4,C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B,Q各有1種，有4x3x2=24種涂法.

②4,C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B,。各有2種，有4x3x2x2=48種涂法.

故共有24+48=72種涂色方法.

(2)第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2x12

=24(個(gè))；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)“，這樣的“正交線

面對(duì)”有12個(gè).所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24+12=36(個(gè)).

(3).長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6x6=36,另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)

構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6x2=12,故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36+12=48.

［答案］(1)C(2)D(3)B

［解題技法］

1.利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思路

(1)弄清完成一件事是做什么.

(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類.

(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么.

(4)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.

2.涂色、種植問(wèn)題的解題關(guān)注點(diǎn)和關(guān)鍵

(1)關(guān)注點(diǎn)：首先分清元素的數(shù)目，其次分清在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素.

(2)關(guān)鍵：是對(duì)每個(gè)區(qū)域逐一進(jìn)行，選擇下手點(diǎn)，分步處理.

［過(guò)關(guān)訓(xùn)練］

1.如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A,B,C,。中，要求相鄰

的矩形涂色不同，則不同的涂法有種.

解析：按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時(shí)

A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，。有1種涂法，共有4x3x2xl=24(種)涂法；二是用

3種顏色，這時(shí)A,B,C的涂法有4x3x2=24（種），。只要不與C同色即可，故。有2種涂法，所

以不同的涂法共有24+24x2=72（種）.

答案：72

2.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共

邊的三角形有個(gè)（用數(shù)字作答）.

解析：把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三

角形共有8義4=32（個(gè)）.第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原

理知，共有32+8=40（個(gè)）.

答案：40

達(dá)標(biāo)檢測(cè)要扎實(shí)

一、單選題

1.（2020?湖南省高二月考）用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域A、B、C、

。、E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有共公邊的區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法（）

C.840種D.960種

【答案】D

【解析】法一：A有5種顏色可選，3有4種顏色可選，。有3種顏色可選，

若C4同色，E有4種顏色可選；

若CB同色，E有4種顏色可選；

若。與4、3都不同色，則C有2種顏色可選，此時(shí)E有4種顏色可選，故共有

5x4x3x（4+4+2x4）=960#.

法二：當(dāng)使用5種顏色時(shí)，有團(tuán)=120種涂色方法;

當(dāng)使用4種顏色時(shí)，必有兩塊區(qū)域同色，可以是AC,BC,AE,BE,CE,共有5M=600種

涂色方法；當(dāng)使用3種顏色時(shí)，只能是AC同色且破同色，AE同色且同色，ACE同色，BCE

同色，共有4M=240種涂色方法,

，共有120+600+240=960種涂色方法.

故選：D.

2.（2020?湖南省高三三模（理））洛書(shū)，古稱龜書(shū)，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說(shuō)中有神龜出

于洛水，其甲殼上有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方

白圈皆陽(yáng)數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖，若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中各隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，則選取的兩數(shù)

之和能被5整除的概率（）

>

1(^XOCXXXXXz

z

<

O

O

O

O

O

O

tXO

【答案】C

【解析】由題意可知，陰數(shù)為2,4,6,8,陽(yáng)數(shù)為1,3,5,7,9.

各選一個(gè)數(shù)，共有4x5=20種選法.

其和能被5整除的分別為：2,3；4,1；6,9；8,7,共4種選法，

41

???選取的兩數(shù)之和能被5整除的概率P=-=-.故選：C.

3.（2020?全國(guó)高三其他（理））從1,3,5,7中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字,

一共可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（）.

A.360B.396C.432D.756

【答案】B

【解析】從1，3,5,7中任取2個(gè)數(shù)字有C：種方法,

從2,4,6,0中任取2個(gè)數(shù)字不含0時(shí)，有C；種方法,

可以組成=216個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù);

含有。時(shí)，。不能在千位位置，其它任意排列，共有+丹）=180個(gè),

，共有216+180=396個(gè).故選：B

4.（2020?浙江省高一課時(shí)練習(xí)）已知力U{0,1,2,3},且A中至少有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合A共有

（）

A.11個(gè)B.12個(gè)C.15個(gè)D.16個(gè)

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，分A中有1個(gè)奇數(shù)或2個(gè)奇數(shù)兩種情況討論，由排列組合知識(shí)易得每種情況下

的集合A數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案解：根據(jù)題意，A中至少有一個(gè)奇數(shù)，包含兩種情況，

22

A中有1個(gè)奇數(shù)或2個(gè)奇數(shù)，若A中含1個(gè)奇數(shù)，有Czix22=8,A中含2個(gè)奇數(shù)：C2x2=4,由分

類計(jì)數(shù)原理可得.共有8+4=12種情況；故選B.

5.（2020?山東省高三其他）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)

物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一

個(gè)，已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡，讓甲乙丙

三位同學(xué)依次從中選一個(gè)作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有

（）

A.50種B.60種C.80種D.90種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論：

若甲選擇牛，此時(shí)乙的選擇有2種，丙的選擇有10種，

此時(shí)有2x10=20種不同的選法；

若甲選擇馬或猴，此時(shí)甲的選法有2種，乙的選擇有3種，丙的選擇有10種，

此時(shí)有2x3x10=60種不同的選法；

則一共有20+60=80種選法.故選：C.

6.（2020?江蘇省高二期中）從0,1,2,3,…，9中選出三個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，其中能被

3整除的三位數(shù)個(gè)數(shù)為（）

A.252B.216C.162D.228

【答案】D

【解析】將10個(gè)數(shù)字分成三組，即被3除余1的有{1,4,7},被3除余2的有{2,5,8},被3整除的

有{3,6,9,0}.

若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論:

①三個(gè)數(shù)字均取自第一組｛1,4,7｝中，或均取自第二組｛2,5,8｝中，有2禺=12個(gè)；

②若三個(gè)數(shù)字均取自第三組｛3,6,9,0｝,則要考慮取出的數(shù)字中有無(wú)數(shù)字0,共有閻-反=18個(gè);

③若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中不取0,有?制=162個(gè)，

④若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中取0,有個(gè)，

這樣能被3整除的數(shù)共有12+18+162+36=228個(gè).故選：D.

7.（2020?甘肅省蘭州一中高三三模（理））甲乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，采用7局4勝制.在一局

比賽中，先得11分的運(yùn)動(dòng)員為勝方，但打到10平以后，先多得2分者為勝方.在10平后，雙方實(shí)行

輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個(gè)球.若在某局比賽中，甲發(fā)球贏球的概率為工，甲接發(fā)球贏球的概率

2

2

為二，則在比分為10:10后甲先發(fā)球的情況下，甲以13:11贏下此局的概率為（）

2313

A.—B.—C.—D.—

25101025

【答案】C

13123

【解析】分兩種情況：①后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為《=5?］；?三=而；

12121

②后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為6=—=?一；=—.

252525

所以，所求事件概率為：《+舄='.故選：C.

8.（2020?黑龍江省高二期末（理））2020年4月30日，我國(guó)的5G信號(hào)首次覆蓋了海拔8000米的珠

穆朗瑪峰峰頂和北坡登山路線，為了保證中國(guó)登山隊(duì)珠峰高程測(cè)量的順利直播，現(xiàn)從海拔5300米、

5800米和6500米的三個(gè)大本營(yíng)中抽出了4名技術(shù)人員，派往北坡登山路線中的3個(gè)崎嶇路段進(jìn)行

信號(hào)檢測(cè)，每個(gè)路段至少安排1名技術(shù)人員，則不同的安排方法共有（）

A.72B.36C.48D.54

【答案】B

【解析】因?yàn)閷?名技術(shù)人員，派往北坡登山路線中的3個(gè)崎嶇路段進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)，每個(gè)路段至少

安排1名技術(shù)人員，

所以先從這4人中選出2人作為一個(gè)元素看成整體，再把它同另外兩人在三個(gè)位置全排列，則共有

C：S=36種不同的安排方法，

故選：B

9.（2020?陜西省高三其他（理））我省5名醫(yī)學(xué)專家馳援湖北武漢抗擊新冠肺炎疫情現(xiàn)把專家全部

分配到A,B,C三個(gè)集中醫(yī)療點(diǎn)，每個(gè)醫(yī)療點(diǎn)至少要分配1人，其中甲專家不去A醫(yī)療點(diǎn)，則不同

分配種數(shù)為（）

A.116B.100C.124D.90

【答案】B

【解析】根據(jù)已知條件，完成這件事情可分2步進(jìn)行：

第一步：將5名醫(yī)學(xué)專家分為3組

①若分為3,1,1的三組，有C：=10種分組方法；

②若分為2,2,1的三組，有=15種分組方法，

故有10+15=25種分組方法.

第二步：將分好的三組分別派到三個(gè)醫(yī)療點(diǎn)，甲專家不去A醫(yī)療點(diǎn)，

可分配到瓦C醫(yī)療點(diǎn)中的一個(gè)，有C；=2種分配方法，

再將剩余的2組分配到其余的2個(gè)醫(yī)療點(diǎn)，有&=2種分配方法，

則有2x2=4種分配方法.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有25x4=100種分配方法.故選：B.

10.（2020?四川省仁壽第二中學(xué)高二月考（理））從5名志愿者中選出4人分別到A、B、C、。四

個(gè)部門工作，其中甲、乙兩名志愿者不能到A、B二個(gè)部門工作，其他三人能到四個(gè)部門工作，則

選派方案共有（）

A.120種B.24種C.18種D.36種

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：

①、甲、乙中只有1人被選中，需要從甲、乙中選出1人，到C,。中的一個(gè)部門，其他三人到剩

余的部門，有GC?羯=24種選派方案.

②、甲、乙兩人都被選中，安排到C,。部門，從其他三人中選出2人，到剩余的部門，有6?看=12

種選派方案，

綜上可得，共有24+12=36中不同的選派方案，

故選：D.

11.（2020?梅河口市第五中學(xué)高二月考（理））用1,2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求

數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位，數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰，則滿足條件的不同五位數(shù)的

個(gè)數(shù)是（）

A.48B.60C.72D.120

【答案】A

【解析】數(shù)字4出現(xiàn)在第2位時(shí)，數(shù)字1,3,5中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第3,4位或者4,5位，

共有C；國(guó)8=12個(gè)

數(shù)字4出現(xiàn)在第4位時(shí)，同理也有12個(gè)

數(shù)字4出現(xiàn)在第3位時(shí)，數(shù)字1,3,5中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第1,2位或者4,5位，

共有C；穹再24個(gè)

故滿足條件的不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是48個(gè)故選：A

12.（2020?開(kāi)魯縣第一中學(xué)高二期末（理））將4名志愿者分別安排到火車站、輪渡碼頭、機(jī)場(chǎng)工作，

要求每一個(gè)地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙兩名志愿者不安排在同一個(gè)地方工作，則不同的

安排方法共有

A.24種B.30種C.32種D.36種

【答案】B

【解析】先考慮安排4人到三個(gè)地方工作，先將4人分為三組，分組有田種，再將這三組安排到三個(gè)

地方工作，則安排4人到三個(gè)地方工作的安排方法數(shù)為N=C1Al=36種，

當(dāng)甲、乙兩名志愿者安排在同一個(gè)地方時(shí)，則只有一個(gè)分組情況，此時(shí)，甲、乙兩名志愿者安排在

同一個(gè)地方工作的安排方法數(shù)為律=國(guó)=6,

因此，所求的不同安排方法數(shù)為N—n=36—6=30種，故選：B。13.（2020?湖南省衡陽(yáng)市八中高

三其他（文））從2個(gè)不同的紅球，2個(gè)不同的黃球，2個(gè)不同的藍(lán)球共6個(gè)球中任取2個(gè)，放入紅、

黃、藍(lán)色的三個(gè)袋子中，每個(gè)袋子至多放入1個(gè)球，且球色與袋色不同，則不同的放法有

_____________種.

【答案】42

【解析】根據(jù)題意，分兩類情況：

①若取出2個(gè)球全是同一種顏色，有3種可能，若為紅色只需把它們放入藍(lán)?和黃即可,有用=2（種）,

此時(shí)有3x2=6（種）；

②若取出的2個(gè)球?yàn)閮煞N顏色的球，有3C；?C；=12（種），若為一紅一黃，每個(gè)袋子至多放入一個(gè)

球，且球色與袋色不同，有3種方法，此時(shí)共有12x3=36（種），

因此不同的放法有6+36=42種.

故答案為：42.

14.（2020?浙江省高二期末）在冬奧會(huì)志愿者活動(dòng)中，甲、乙等5人報(bào)名參加了4B,C三個(gè)項(xiàng)目

的志愿者工作，因工作需要，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，且甲不能參加4夕項(xiàng)目，乙不能參加8,

C項(xiàng)目，那么共有種不同的志愿者分配方案.（用數(shù)字作答）

【答案】21

【解析】若甲，乙都參加，則甲只能參加C項(xiàng)目，乙只能參見(jiàn)A項(xiàng)目，3項(xiàng)目有3種方法，

若甲參加，乙-不參加，則甲只能參加C項(xiàng)目，4，3項(xiàng)目，有&=6種方法，

若甲參加，乙不參加，則乙只能參加A項(xiàng)目，B,C項(xiàng)目，有=6種方法，

若甲不參加，乙不參加，有&=6種方法，

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有3+6+6+6=21種.

故答案為：21.

15.（2020?浙江省學(xué)軍中學(xué)高三其他）若某四位數(shù)abed滿足axbxcWd,則稱該四位數(shù)為''收斂

四位數(shù)”，則所有“收斂四位數(shù)”的個(gè)數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【答案】1886

【解析】設(shè)末尾為九時(shí)的排列數(shù)為5（"）,用心?，表示前3個(gè)數(shù)字分別為a,b,c的排列數(shù).

則S（O）=簿xC；x《+《=171,5（1）=S（O）+7；u=171+1=172,

S（2）=S（1）+7；21=172+3=175

S（3）=S（2）+7；⑶J=175+3=178,S（4）=S⑶+小」+7；21=178+3+3=184,

S（5）=5（4）+^=184+3=187,S（6）=S（5）+7；A1+^31=187+3+6=196.

S⑺=S（6）+7；71=196+3=199,S（8）=S（7）+小1+（小+4.2,2=199+3+6+1=209,

S（9）=S⑻+小1+4i=209+3+3=215,

所以總數(shù)為S（0）+S⑴+…5（9）=1886.

故答案為：1886.

16.（2020?福建省高三其他（理））寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動(dòng)車外出旅游，實(shí)名制購(gòu)票，每人一座,

恰在同一排A,5C,D,E五個(gè)座位(一排共五個(gè)座位)，上車后五人在這五個(gè)座位上隨意坐，則恰有

一人坐對(duì)與自己車票相符座位的坐法有種.

【答案】45

【解析】先選出坐對(duì)位置的人，即從5人中選1人，有5種可能；

剩下四人進(jìn)行錯(cuò)排，設(shè)四人座位為1,2,3,4,則四人都不坐在自己位置上有

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321這9種可能；

所以恰有一人坐對(duì)與自己車票相符座位的坐法有5x9=45種

故答案為：45

三、解答題

17.(2020?海林市朝鮮族中學(xué)高二期末(理))7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件

的選法總數(shù)有多少種.

(1)A,3必須當(dāng)選；

(2)A,3必不當(dāng)選；

(3)A,8不全當(dāng)選；

(4)至少有2名女生當(dāng)選；

(5)選取3名男生和2名女生分別擔(dān)任班長(zhǎng)、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生

擔(dān)任，班長(zhǎng)必須由女生擔(dān)任.

【答案】(1)120,(2)252,(3)672,(4)596,(5)12600

【解析】A,B,再?gòu)氖Ｏ碌?0人中選3人即可.

共有。；*=120種.

(2)根據(jù)題意，A，3都不選，只需從10人中選5人即可.

共有品=252種.

(3)根據(jù)題意分成兩類，第一類：A,8都不選，共有=252種情況.

第二類：A,3中有一人當(dāng)選，共有GGM=420種情況.

所以共有252+420=672種.

(4)根據(jù)題意12人選5人共有種情況，

沒(méi)有女生入選共有竭種，只有1名女生入選共有種情況，

所以至少有2名女生當(dāng)選共有3-C-GG=596種情況.

(5)選出一名男生擔(dān)任體育委員共有&種情況，

選出一名女生擔(dān)任班長(zhǎng)共有C*種情況.

剩下6名男生再選2人，4名女生再選1人，擔(dān)任其它3個(gè)班委，

共有用種情況.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到共有xC；xC；xC；x團(tuán)=12600種.

18.(2020?全國(guó)高三其他(文))某城市地鐵公司為鼓勵(lì)人們綠色出行，決定按照乘客經(jīng)過(guò)地鐵站的

數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過(guò)9站的地鐵票價(jià)如表：

乘坐站數(shù)0VxW33cA<66cA<9

票價(jià)(元)234

現(xiàn)有小華、小李兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過(guò)9站，且他們各

自在每個(gè)站下地鐵的可能性是相同的.

(1)若小華、小李兩人共付費(fèi)5元，則小華、小李下地鐵的方案共有多少種？

(2)若小華、小李兩人共付費(fèi)6元，求小華比小李先下地鐵的概率.

4

【答案】(1)18,(2)-

9

【解析】(1)小華、小李兩人共付費(fèi)5元，所以小華、小李一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)3元，付費(fèi)2元

的乘坐站數(shù)有1,2,3三種選擇，付費(fèi)3元的乘坐站數(shù)有4,5,6三種選擇，所以小華、小李下地

鐵的方案共有2x3x3=18種；

(2)小華、小李兩人共付費(fèi)6元，所以小華、小李一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元或兩人都付費(fèi)3元,

付費(fèi)4元的乘坐站數(shù)也有7,8,9三種選擇，因此小華、小李下地鐵的方案共有2x3x3+3x3=27

種；其中小華比小李先下地鐵的方案共有3x3+3=12種；因此小華比小李先下地鐵的概率為

12_4

27~9

19.(2020?南京市臨江高級(jí)中學(xué)高二期中)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，問(wèn)

(1)能夠組成多少個(gè)五位奇數(shù)？

(2)能夠組成多少個(gè)正整數(shù)？

(3)能夠組成多少個(gè)大