三角函數(shù)一輪復(fù)習(xí)教案

\o"1-3"\h\z\u第三章三角函數(shù) 402597157\h1第一節(jié)角的概念及任意角的三角函數(shù) 402597158\h2第二節(jié)同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式 402597159\h9第三節(jié)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì) 402597160\h16第四節(jié)函數(shù)y＝(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的應(yīng)用 402597161\h24第五節(jié)和角公式 402597162\h37第六節(jié)倍角公式及半角公式 402597163\h45第七節(jié)正弦定理和余弦定理 402597164\h53第八節(jié)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例 402597165\h61第三章三角函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：學(xué)習(xí)重點(diǎn)：三角函數(shù)是高考命題的重點(diǎn)，分值約占10%～15%，一般是一個(gè)小題和一個(gè)大題，以中低檔題為主．1．主要考察三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，簡(jiǎn)單的三角恒等變換，正、余弦定理及其應(yīng)用，且題目?？汲Ｐ拢?．客觀題主要涉及三角函數(shù)的求值，函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解答題主要以三角變換為工具，綜合考察函數(shù)的圖象及性質(zhì)；或以正、余弦定理為工具，結(jié)合三角變換考察解三角形的有關(guān)知識(shí)．3．高考命題中，本章常及平面向量相結(jié)合，既可以考察平面向量的運(yùn)算，又可以考察三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和三角函數(shù)的性質(zhì)，符合高考命題“要在知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題〞的要求.學(xué)法指導(dǎo)：1.立足根底，著眼于提高．立足課本，結(jié)實(shí)掌握三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；弄清每個(gè)公式成立的條件，公式間的內(nèi)在聯(lián)系及公式的變形、逆用等．要在靈、活、巧上下功夫，切不可死記硬背．2．突出數(shù)學(xué)思想方法．應(yīng)深刻理解數(shù)及形的內(nèi)在聯(lián)系，理解眾多三角公式的應(yīng)用無(wú)一不表達(dá)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．在解決三角函數(shù)的問(wèn)題時(shí)仔細(xì)體會(huì)拆角、切化弦、三角函數(shù)歸一的方法技能．3．抓住關(guān)鍵，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值中，要熟練掌握三角變換公式的應(yīng)用，其中角的變換是解題的關(guān)鍵，注意及待求中角的關(guān)系，力爭(zhēng)整體處理．4．注意三角函數(shù)及向量等內(nèi)容的交匯滲透，這也是命題的熱點(diǎn)之一.第一節(jié)角的概念及任意角的三角函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念．2．能進(jìn)展弧度及角度的互化．3．理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義考點(diǎn)梳理：1．角的有關(guān)概念(1)從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角．(2)從終邊位置來(lái)看，可分為象限角及軸線角．(3)假設(shè)β及α是終邊一樣的角，則β用α表示為β＝2kπ＋α(k∈Z)．2．弧度及角度的互化(1)1弧度的角長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．(2)角α的弧度數(shù)在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)圓心角為α，則α＝\f().(3)角度及弧度的換算①n°＝\f(π,180)；②α＝(\f(180α,π))°.(4)弧長(zhǎng)、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角大小為α()，半徑為r，則l＝rα，扇形的面積為S＝\f(1,2)＝\f(1,2)r2α.3．任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊及單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則α＝y(tǒng)，α＝x，α＝\f().(2)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)一全正，二正弦，三正切，四余弦．4．單位圓及三角函數(shù)線(1)單位圓：半徑為1的圓叫做單位圓．(2)三角函數(shù)線．(3)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)．思考：1．“角α為銳角〞是“角α為第一象限角〞的什么條件？【提示】充分不必要條件．2．終邊在直線y＝x上的角的正弦值相等嗎？【提示】當(dāng)角的終邊一個(gè)在第一象限，一個(gè)在第三象限時(shí)，正弦值不相等．學(xué)情自測(cè)：1．銳角α終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2\f(π,3)，2\f(π,3))，則α弧度數(shù)是()A．2\f(π,3)\f(π,6)\f(2π,3)【解析】點(diǎn)A的坐標(biāo)為(\r(3)，1)．∴α＝\f(1,\r(\r(3)2＋1))＝\f(1,2)，又α為銳角，∴α＝\f(π,6).【答案】C2．(2021·江西高考)以下函數(shù)中，及函數(shù)y＝\f(1,\r(3))定義域一樣的函數(shù)為()A．y＝\f(1x)B．y＝\f()C．y＝D．y＝\f()【解析】函數(shù)y＝\f(1,\r(3))的定義域?yàn)閧≠0}，選項(xiàng)A中由x≠0?x≠kπ，k∈Z，故A不對(duì)；選項(xiàng)B中x>0，故B不對(duì)；選項(xiàng)C中，x∈R，故C不對(duì)；選項(xiàng)D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域?yàn)閧≠0}，應(yīng)選D.【答案】D3．假設(shè)α＜0且α＞0，則α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】由α＜0，得α在第三、四象限或y軸非正半軸上，又α＞0，∴α在第三象限．【答案】C4．弧長(zhǎng)為3π，圓心角為135°的扇形半徑為，面積為．【解析】∵l＝3π，α＝135°＝\f(3π,4)，∴r＝\f(l,α)＝4，S＝\f(1,2)＝\f(1,2)×3π×4＝6π.【答案】46π5．角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸．假設(shè)P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且θ＝－\f(2\r(5),5)，則y＝.【解析】由三角函數(shù)的定義，θ＝\f(y,\r(16＋y2))，又θ＝－\f(2\r(5),5)＜0，∴y＜0且\f(y,\r(16＋y2))＝－\f(2\r(5),5)，解之得y＝－8.【答案】－8典例探究：例1〔角的集合表示〕(1)寫出終邊在直線y＝\r(3)x上的角的集合；(2)α是第三象限角，求\f(α,2)所在的象限．【思路】(1)角的終邊是射線，應(yīng)分兩種情況求解．(2)把α寫成集合的形式，從而\f(α,2)的集合形式也確定．【解答】(1)當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，角的集合為{α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z}，當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，角的集合為{α|α＝2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z}，故所求角的集合為{α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z}．(2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋\f(3,2)π(k∈Z)，∴kπ＋\f(π,2)＜\f(α,2)＜kπ＋\f(3,4)π(k∈Z)．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ＋\f(π,2)＜\f(α,2)＜2nπ＋\f(3,4)π，\f(α,2)是第二象限角，當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋\f(3π,2)＜\f(α,2)＜2nπ＋\f(7,4)π，\f(α,2)是第四象限角，綜上知，當(dāng)α是第三象限角時(shí)，\f(α,2)是第二或第四象限角,變式訓(xùn)練1：假設(shè)角θ的終邊及\f(π,3)角的終邊一樣，則在[0,2π)內(nèi)終邊及角\f(θ,3)的終邊一樣的角為．【解析】∵θ＝\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，∴\f(θ,3)＝\f(π,9)＋\f(2,3)kπ(k∈Z)，當(dāng)k＝0,1,2時(shí)，\f(θ,3)＝\f(π,9)，\f(7π,9)，\f(13π,9).【答案】\f(π,9)，\f(7π,9)，\f(13π,9)例2〔弧度制的應(yīng)用〕扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.(1)假設(shè)α＝60°，R＝10，求扇形的弧長(zhǎng)l.(2)假設(shè)扇形的周長(zhǎng)為20，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？(3)假設(shè)α＝\f(π,3)，R＝2，求扇形的弧所在的弓形的面積．【思路】(1)可直接用弧長(zhǎng)公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧長(zhǎng)或半徑表示出扇形面積，然后確定其最大值時(shí)的半徑和弧長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓心角α；(3)利用S弓＝S扇－S△，這樣就需要求扇形的面積和三角形的面積．【解答】(1)l＝10×\f(π,3)＝\f(10π,3)()．(2)由得：l＋2R＝20，所以S＝\f(1,2)＝\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l＝10，α＝2.(3)設(shè)弓形面積為S弓．由題知l＝\f(2π,3)，S弓＝S扇－S△＝\f(1,2)×\f(2π,3)×2－\f(1,2)×22×\f(π,3)＝(\f(2π,3)－\r(3))(2)變式訓(xùn)練2：半徑為10的圓O中，弦的長(zhǎng)為10，(1)求弦所對(duì)的圓心角α的大?。?2)求α所在的扇形弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.【解】(1)在△中，＝＝＝10，∴△為等邊三角形．因此弦所對(duì)的圓心角α＝\f(π,3).(2)由扇形的弧長(zhǎng)及扇形面積公式，得l＝α·R＝\f(π,3)×10＝\f(10,3)π，S扇形＝\f(1,2)R·l＝\f(1,2)α·R2＝\f(50π,3).又S△＝\f(1,2)···\f(π,3)＝25\r(3).∴弓形的面積S＝S扇形－S△＝50(\f(π,3)－\f(\r(3),2)).例3〔三角函數(shù)的定義〕(1)角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m，－3)，且α＝－\f(4,5)，則m等于()A．－\f(11,4)\f(11,4)C．－4D．4(2)角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求α，α，α的值．【思路】(1)求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．(2)在直線上設(shè)一點(diǎn)P(4t，－3t)，求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解，由于點(diǎn)P可在不同的象限內(nèi)，所以需分類討論．【解答】(1)點(diǎn)P到原點(diǎn)O距離＝\r(m2＋9)，∴α＝\f(m,\r(m2＋9))＝－\f(4,5)，∴\b\\{\\(\a\4\\1(m2＝16＜0))，∴m＝－4.【答案】C(2)在直線3x＋4y＝0上任取一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)，則x＝4t，y＝－3t，∴r＝＝\r(x2＋y2)＝\r(4t2＋－3t2)＝5，當(dāng)t＞0時(shí)，r＝5t，α＝\f()＝\f(－3t,5t)＝－\f(3,5)，α＝\f()＝\f(4t,5t)＝\f(4,5)，α＝\f()＝\f(－3t,4t)＝－\f(3,4)；當(dāng)t＜0時(shí)，r＝－5t，α＝\f()＝\f(－3t,－5t)＝\f(3,5)，α＝\f()＝\f(4t,－5t)＝－\f(4,5)，α＝\f()＝\f(－3t,4t)＝－\f(3,4).綜上可知，當(dāng)t＞0時(shí)，α＝－\f(3,5)，α＝\f(4,5)，α＝－\f(3,4).當(dāng)t＜0時(shí)，α＝\f(3,5)，α＝－\f(4,5)，α＝－\f(3,4).變式訓(xùn)練3：設(shè)90°＜α＜180°，角α的終邊上一點(diǎn)為P(x，\r(5))，且α＝\f(\r(2),4)x，求4α－3α的值．【解】∵r＝\r(x2＋5)，∴α＝\f(x,\r(x2＋5))，從而\f(\r(2),4)x＝\f(x,\r(x2＋5))，解得x＝0或x＝±\r(3).∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－\r(3).則r＝2\r(2)，∴α＝\f(\r(5),2\r(2))＝\f(\r(10),4)，α＝\f(\r(5),－\r(3))＝－\f(\r(15),3).故4α－3α＝\r(10)＋\r(15).小結(jié)：一條規(guī)律三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦．兩個(gè)技巧1.在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊及單位圓的交點(diǎn)．2．利用單位圓和三角函數(shù)線是解簡(jiǎn)單三角不等式的常用技巧．三點(diǎn)注意1.第一象限角、銳角、小于90°的角是三個(gè)不同的概念，前者是象限角，后兩者是區(qū)間角．2．角度制及弧度制可利用180°＝π進(jìn)展互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．3．注意熟記0°～360°間特殊角的弧度表示，以方便解題．課后作業(yè)(十六)角的概念及任意角的三角函數(shù)一、選擇題圖3－1－21．(2021·寧波模擬)如圖3－1－2，在直角坐標(biāo)系中，射線交單位圓O于點(diǎn)P，假設(shè)∠＝θ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(θ，θ)B．(－θ，θ)C．(θ，θ)D．(－θ，θ)【解析】設(shè)P(x，y)，由三角函數(shù)定義知θ＝y(tǒng)，θ＝x，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(θ，θ)．【答案】A2．2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A．2B．2\f(21)D．21【解析】由題設(shè)，圓弧的半徑r＝\f(11)，∴圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l＝2r＝\f(21).【答案】C3．(2021·海淀模擬)假設(shè)α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，則角α及β的終邊的位置關(guān)系是()A．重合B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于x軸對(duì)稱D．關(guān)于y軸對(duì)稱【解析】由題意知角α及角θ的終邊一樣，角β及角－θ的終邊一樣，又角θ及角－θ的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，應(yīng)選C.【答案】C4．假設(shè)角α的終邊在直線y＝－2x上，且α＞0，則α和α的值分別為()\f(\r(5),5)，－2B．－\f(\r(5),5)，－\f(1,2)C．－\f(2\r(5),5)，－2D．－\f(\r(5),5)，－2【解析】由題意知，角α的終邊在第二象限，在角α的終邊上取點(diǎn)P(－1,2)，則r＝\r(5)，從而α＝\f(－1,\r(5))＝－\f(\r(5),5)，α＝\f(2,－1)＝－2，應(yīng)選D.【答案】D5．(2021·昆明模擬)設(shè)α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且α＝\f(1,5)x，則α＝()\f(4,3)\f(3,4)C．－\f(3,4)D．－\f(4,3)【解析】由題意知x＜0，r＝\r(x2＋16)，∴α＝\f(x,\r(x2＋16))＝\f(1,5)x，∴x2＝9，∴x＝－3，∴α＝－\f(4,3).【答案】D6．點(diǎn)P(\f(3π,4)，\f(3,4)π)在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為()\f(π,4)\f(3π,4)\f(5π,4)\f(7π,4)【解析】由得P(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2))，∴θ＝－1且θ是第四象限角，∴θ＝\f(7π,4).【答案】D二、填空題7．(2021·濰坊模擬)假設(shè)角120°的終邊上有一點(diǎn)(－4，a)，則a的值是．【解析】由題意知－\f(a,4)＝120°，∴－\f(a,4)＝－\r(3)，∴a＝4\r(3).【答案】4\r(3)8．角α的終邊落在直線y＝－3x(x＜0)上，則\f(αα)－\f(αα)＝.【解析】因?yàn)榻铅恋慕K邊落在直線y＝－3x(x＜0)上，所以角α是第二象限角，因此α＞0，α＜0，故\f(αα)－\f(αα)＝\f(αα)－\f(－αα)＝1＋1＝2.【答案】29．點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)\f(2π,3)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為．【解析】由題意知點(diǎn)Q是角\f(2π,3)的終邊及單位圓的交點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則y＝\f(2π,3)＝\f(\r(3),2)，x＝\f(2π,3)＝－\f(1,2)，故Q(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))．【答案】(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))三、解答題10．角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x，－1)(x≠0)，且θ＝－x，求θ＋θ的值．【解】∵θ的終邊過(guò)點(diǎn)(x，－1)(x≠0)，∴θ＝－\f(1)，又θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.當(dāng)x＝1時(shí)，θ＝－\f(\r(2),2)，θ＝\f(\r(2),2)，因此θ＋θ＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，θ＝－\f(\r(2),2)，θ＝－\f(\r(2),2)，因此θ＋θ＝－\r(2).11．扇形的圓心角α為120°，半徑長(zhǎng)為6，(1)求\x\()的長(zhǎng)；(2)求\x\()所在弓形的面積．【解】(1)∵α＝120°＝\f(2π,3)，r＝6，∴\x\()的長(zhǎng)l＝\f(2π,3)×6＝4π.(2)∵S扇形＝\f(1,2)＝\f(1,2)×4π×6＝12π，S△＝\f(1,2)r2·\f(2π,3)＝\f(1,2)×62×\f(\r(3),2)＝9\r(3)，∴S弓形＝S扇形－S△＝12π－9\r(3).12．角α終邊上的點(diǎn)P及A(a,2a)關(guān)于x軸對(duì)稱(a＞0)，角β終邊上的點(diǎn)Q及A關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，求α·α＋β·β＋α·β的值．【解】由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，－2a)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2a，a)．所以，α＝\f(－2a,\r(a2＋－2a2))＝－\f(2,\r(5))，α＝\f(a,\r(a2＋－2a2))＝\f(1,\r(5))，α＝\f(－2)＝－2，β＝\f(a,\r(2a2＋a2))＝\f(1,\r(5))，β＝\f(2a,\r(2a2＋a2))＝\f(2,\r(5))，β＝\f(a,2a)＝\f(1,2)，故有α·α＋β·β＋α·β＝\f(－2,\r(5))·\f(1,\r(5))＋\f(1,\r(5))·\f(2,\r(5))＋(－2)×\f(1,2)＝－1.第二節(jié)同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：2x＋2x＝1，\f(x)＝x.2．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.考點(diǎn)梳理：1．同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：2α＋2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：α＝\f(αα)(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．2．誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五角α＋2kπ(k∈Z)－αα＋(2k＋1)π(k∈Z)α＋\f(π,2)－α＋\f(π,2)正弦α－α－ααα余弦αα－α－αα正切α－αα口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限思考：1．有人說(shuō)(kπ－α)＝(π－α)＝α(k∈Z)，你認(rèn)為正確嗎？【提示】不正確．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，(kπ－α)＝(2nπ－α)＝－α；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，(kπ－α)＝(2nπ＋π－α)＝(π－α)＝α.2．(－π－α)如何使用誘導(dǎo)公式變形？【提示】(－π－α)＝－(π＋α)＝α.學(xué)情自測(cè)：1．(α－π)＝－\f(5,13)，且α是第四象限角，則α＝()A．－\f(12,13)\f(12,13)\f(5,12)D．±\f(12,13)【解析】∵(α－π)＝(π－α)＝－α＝－\f(5,13)，∴α＝\f(5,13)，又α是第四象限角，∴α＜0，則α＝－\r(1－2α)＝－\f(12,13).【答案】A2．(π＋θ)＝－\r(3)(2π－θ)，|θ|＜\f(π,2)，則θ等于()A．－\f(π,6)B．－\f(π,3)\f(π,6)\f(π,3)【解析】由(π＋θ)＝－\r(3)(2π－θ)得－θ＝－\r(3)θ，∴θ＝\r(3)，又|θ|＜\f(π,2)，∴θ＝\f(π,3)，應(yīng)選D.【答案】D3．585°的值為()A．－\f(\r(2),2)\f(\r(2),2)C．－\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)【解析】585°＝(360°＋225°)＝225°＝(180°＋45°)＝－45°＝－\f(\r(2),2).【答案】A4．假設(shè)α＝－\f(3,5)且α∈(π，\f(3π,2))，則α＝()\f(3,4)\f(4,3)C．－\f(3,4)D．－\f(4,3)【解析】∵α＝－\f(3,5)，且α∈(π，\f(3π,2))，∴α＝－\r(1－2α)＝－\r(1－－\f(3,5)2)＝－\f(4,5)，∴α＝\f(αα)＝\f(4,3).【答案】B5．(2021·遼寧高考)α－α＝\r(2)，α∈(0，π)，則2α＝()A．－1B．－\f(\r(2),2)\f(\r(2),2)D．1【解析】因?yàn)棣粒粒絓r(2)，所以1－2αα＝2，即2α＝－1.【答案】A典例探究：例1〔同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用〕(1)(2021·濰坊模擬)\f(α＋3α,3α－α)＝5，則2α－αα的值是()\f(2,5)B．－\f(2,5)C．－2D．2(2)(2021·銀川模擬)α∈(π，\f(3π,2))，α＝2，則α＝.【思路】(1)先根據(jù)條件求得α，再把所求式變?yōu)橛忙帘硎镜氖阶忧蠼猓?2)切化弦，結(jié)合2α＋2α＝1求解．【解答】(1)由\f(α＋3α,3α－α)＝5，得\f(α＋3,3－α)＝5，即α＝2.所以2α－αα＝\f(2α－αα2α＋2α)＝\f(2α－α2α＋1)＝\f(2,5).(2)依題意得\b\\{\\(\a\4\\1(α＝\f(αα)＝2，2α＋2α＝1，))由此解得2α＝\f(1,5)；又α∈(π，\f(3π,2))，因此α＝－\f(\r(5),5).【答案】(1)A(2)－\f(\r(5),5),變式訓(xùn)練1：(2021·大綱全國(guó)卷)α為第二象限角，α＝\f(3,5)，則2α＝()A．－\f(24,25)B．－\f(12,25)\f(12,25)\f(24,25)【解析】∵α為第二象限角且α＝\f(3,5)，∴α＝－\r(1－2α)＝－\f(4,5)，∴2α＝2α·α＝2×\f(3,5)×(－\f(4,5))＝－\f(24,25).【答案】A例2〔誘導(dǎo)公式的應(yīng)用〕(1)α＝2，α＋α＜0，則\f(2π－α·π＋α·π＋α3π－α·π＋α)＝.(2)α為第三象限角，f(α)＝\f(α－\f(π,2)·\f(3π,2)＋α·π－α－α－π·－α－π)，①化簡(jiǎn)f(α)；②假設(shè)(α－\f(3π,2))＝\f(1,5)，求f(α)的值．【思路】(1)先利用誘導(dǎo)公式對(duì)原式進(jìn)展化簡(jiǎn)，再根據(jù)α＝2，結(jié)合α的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系式求解；(2)①直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)約分．②利用α在第三象限及同角三角函數(shù)關(guān)系的變形式得f(α)．【解答】(1)原式＝\f(－α·－α·－α,－α·α)＝α，∵α＝2＞0，∴α為第一象限角或第三象限角．又α＋α＜0，∴α為第三象限角，由α＝\f(αα)＝2，得α＝2α代入2α＋2α＝1，解得α＝－\f(2\r(5),5).【答案】－\f(2\r(5),5)(2)①f(α)＝\f(α－\f(π,2)·\f(3π,2)＋α·π－α－α－π·－α－π)＝\f(－α·α·－α,－α·α)＝－α.②∵(α－\f(3π,2))＝\f(1,5)，∴－α＝\f(1,5)，從而α＝－\f(1,5).又α為第三象限角，∴α＝－\r(1－2α)＝－\f(2\r(6),5)，∴f(α)＝\f(2\r(6),5).變式訓(xùn)練2：(1)(2021·煙臺(tái)模擬)600°＋240°的值等于()A．－\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)\r(3)－\f(1,2)\r(3)＋\f(1,2)(2)(2021·臺(tái)州模擬)f(x)＝(πx＋α)＋(πx＋β)＋4(a，b，α，β為非零實(shí)數(shù))，假設(shè)f(2012)＝5，則f(2013)＝()A．3B．5C．1D．不能確定【解析】(1)600°＋240°＝(360°＋240°)＋(180°＋60°)＝(180°＋60°)＋60°＝－60°＋60°＝－\f(\r(3),2)＋\r(3)＝\f(\r(3),2).(2)∵f(2012)＝(2012π＋α)＋(2012π＋β)＋4＝α＋β＋4＝5，∴α＋β＝1，∴f(2013)＝(2013π＋α)＋(2013π＋β)＋4＝－α－β＋4＝－(α＋β)＋4＝－1＋4＝3.【答案】(1)B(2)A例3〔α±α及α·α的關(guān)系〕(2021·揚(yáng)州模擬)－π＜x＜0，x＋x＝\f(1,5).(1)求x－x的值；(2)求\f(2x＋22x,1－x)的值．【思路】(1)利用平方關(guān)系，設(shè)法溝通x－x及x＋x的關(guān)系；(2)先利用倍角公式、商數(shù)關(guān)系式化為角x的弦函數(shù)，再設(shè)法將所求式子用表示出來(lái)．【解答】(1)由x＋x＝\f(1,5)，平方得2x＋2x＋2x＝\f(1,25)，整理得2x＝－\f(24,25).∵(x－x)2＝1－2x＝\f(49,25).又∵－π＜x＜0，∴x＜0，又x＋x＞0，∴x＞0，x－x＜0，故x－x＝－\f(7,5).(2)\f(2x＋22x,1－x)＝\f(2xx＋x,1－\f(x))＝\f(2xx＋xx－x)＝\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－\f(24,175).變式訓(xùn)練3：－\f(π,2)＜x＜0，x＋x＝\f(1,5).(1)求x－x的值；(2)求x的值．【解】(1)由x＋x＝\f(1,5)，平方得2x＋2x＋2x＝\f(1,25)，即2x＝－\f(24,25)，∵(x－x)2＝1－2x＝\f(49,25).又∵－\f(π,2)＜x＜0，∴x＜0，x＞0，x－x＜0，故x－x＝－\f(7,5).(2)由(1)得x－x＝－\f(7,5)，故由\b\\{\\(\a\4\\1(x＋x＝\f(1,5)x－x＝－\f(7,5)))，得x＝－\f(3,5)，x＝\f(4,5)，∴x＝\f(x)＝\f(－\f(3,5),\f(4,5))＝－\f(3,4).小結(jié)：一個(gè)口訣誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號(hào)看象限．兩個(gè)防范1.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)展化簡(jiǎn)求值時(shí)，要注意函數(shù)名稱和符號(hào)確實(shí)定．2．在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，假設(shè)開(kāi)方，要注意判斷三角函數(shù)值的符號(hào)．三種方法在求值及化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式α＝\f(αα)進(jìn)展弦、切互化．(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(θ±θ)2＝1±2θθ的關(guān)系進(jìn)展變形、轉(zhuǎn)化．(3)巧用“1〞的變換：1＝2θ＋2θ＝2θ(1＋2θ)＝\f(π,4)等．課后作業(yè)(十七)同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式一、選擇題1．(2021·鄭州模擬)記(－80°)＝k，則100°＝()\f(\r(1－k2))B．－\f(\r(1－k2))\f(k,\r(1－k2))D．－\f(k,\r(1－k2))【解析】由(－80°)＝k，得80°＝k，∴80°＝\r(1－k2)，∴100°＝(180°－80°)＝－80°＝－\f(\r(1－k2)).【答案】B2．(2021·溫州模擬)假設(shè)(\f(π,2)＋θ)＝\f(\r(3),2)，且|θ|＜\f(π,2)，則θ＝()A．－\r(3)\f(\r(3),3)C．－\f(\r(3),3)\r(3)【解析】∵(\f(π,2)＋θ)＝\f(\r(3),2)，∴－θ＝\f(\r(3),2)，即θ＝－\f(\r(3),2)，∵|θ|＜\f(π,2)，∴θ＝－\f(π,3)，∴θ＝(－\f(π,3))＝－\r(3).【答案】A3．(2021·濟(jì)南模擬)α∈(－\f(π,2)，0)，(－α－\f(3π,2))＝\f(\r(5),5)則(－π－α)＝()\f(\r(5),5)\f(2\r(5),5)C．－\f(\r(5),5)D．－\f(2\r(5),5)【解析】∵(－α－\f(3π,2))＝－(\f(3π,2)＋α)＝α＝\f(\r(5),5)，且α∈(－\f(π,2)，0)，∴α＝－\r(1－2α)＝－\r(1－\f(5,25))＝－\f(2\r(5),5)，∴(－π－α)＝－(π＋α)＝α＝－\f(2\r(5),5).【答案】D4．(2021·保定模擬)θ＝2，則2θ＋θθ－22θ＝()A．－\f(4,3)\f(5,4)C．－\f(3,4)\f(4,5)【解析】2θ＋θθ－22θ＝\f(2θ＋θθ－22θ2θ＋2θ)＝\f(2θ＋θ－22θ＋1)＝\f(4＋2－2,4＋1)＝\f(4,5).【答案】D5．(2021·普寧模擬)假設(shè)\f(θ＋θθ－θ)＝2，則\f(θ3θ)＋\f(θ3θ)的值為()A．－\f(817,27)\f(817,27)\f(820,27)D．－\f(820,27)【解析】∵\(yùn)f(θ＋θθ－θ)＝2，∴θ＝3θ，∴\f(θ3θ)＋\f(θ3θ)＝\f(32θ)＋\f(1,272θ)＝\f(82,272θ)由\b\\{\\(\a\4\\1(θ＝3θ，2θ＋2θ＝1))得2θ＝\f(1,10)，∴\f(θ3θ)＋\f(θ3θ)＝\f(820,27).【答案】C6．假設(shè)α是5x2－7x－6＝0的根，則\f(－α－\f(3π,2)\f(3π,2)－α22π－α\f(π,2)－α\f(π,2)＋απ＋α)＝()\f(3,5)\f(5,3)\f(4,5)\f(5,4)【解析】方程5x2－7x－6＝0的兩根為x1＝－\f(3,5)，x2＝2，則α＝－\f(3,5).原式＝\f(α－α2αα－α－α)＝－\f(1α)＝\f(5,3).【答案】B二、填空題7．(\f(π,4)＋α)＝\f(\r(3),2)，則(\f(3π,4)－α)的值為．【解析】(\f(3π,4)－α)＝[π－(\f(π,4)＋α)]＝(\f(π,4)＋α)＝\f(\r(3),2).【答案】\f(\r(3),2)8．(2021·青島模擬)α＝2，則72α＋32α＝.【解析】72α＋32α＝\f(72α＋32α2α＋2α)＝\f(72α＋32α＋1)＝\f(7×22＋3,22＋1)＝\f(31,5).【答案】\f(31,5)9．(x＋\f(π,6))＝\f(1,4)，則(\f(7π,6)＋x)＋2(\f(5π,6)－x)＝.【解析】原式＝－(\f(π,6)＋x)＋2(\f(π,6)＋x)＝－\f(1,4)＋(1－\f(1,42))＝\f(11,16).【答案】\f(11,16)三、解答題10．函數(shù)f(x)＝\f(1－x－\f(3π,2)＋x＋\f(π,2)＋\f(3,4)πx).(1)求函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)設(shè)α＝－\f(4,3)，求f(α)的值．【解】(1)由x≠0，得x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)的定義域是{≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z}．(2)∵α＝－\f(4,3)，∴f(α)＝\f(1－α－\f(3π,2)＋α＋\f(π,2)＋\f(3,4)πα)＝\f(1－α－α－1α)＝\f(－α－αα)＝－1－α＝\f(1,3).11．(α＋\f(8,7)π)＝a.求證：\f(\f(15,7)π＋α＋3α－\f(13,7)π\(zhòng)f(20,7)π－α－α＋\f(22,7)π)＝\f(a＋3＋1).【證明】由得左邊＝\f([π＋α＋\f(8,7)π]＋3[α＋\f(8π,7)－3π][4π－α＋\f(8,7)π]－[2π＋α＋\f(8,7)π])＝\f(－α＋\f(8,7)π－3α＋\f(8,7)π,－α＋\f(8,7)π－α＋\f(8,7)π)＝\f(α＋\f(8,7)π＋3α＋\f(8,7)π＋1)＝\f(a＋3＋1)＝右邊，所以原等式成立．12．在△中，假設(shè)(2π－A)＝－\r(2)(π－B)，\r(3)A＝－\r(2)(π－B)，求△的三個(gè)內(nèi)角．【解】由得\b\\{\\(\a\4\\1(A＝\r(2)B，①,\r(3)A＝\r(2)B，②))①2＋②2得22A＝1，即A＝\f(\r(2),2)或A＝－\f(\r(2),2).(1)當(dāng)A＝\f(\r(2),2)時(shí)，B＝\f(\r(3),2)，又A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝\f(π,4)，B＝\f(π,6)，∴C＝π－(A＋B)＝\f(7,12)π.(2)當(dāng)A＝－\f(\r(2),2)時(shí)，B＝－\f(\r(3),2).又A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝\f(3,4)π，B＝\f(5,6)π，不合題意．綜上知，A＝\f(π,4)，B＝\f(π,6)，C＝\f(7,12)π.第三節(jié)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能畫出y＝x，y＝x，y＝x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性．2．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及及x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間(－\f(π,2)，\f(π,2))內(nèi)的單調(diào)性.考點(diǎn)梳理：1．周期函數(shù)和最小正周期對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f(x＋T)＝f(x)，則函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．假設(shè)在所有周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則這個(gè)最小的正數(shù)叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝xy＝xy＝x圖象定義域RR{≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R單調(diào)性遞增區(qū)間是[2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)](k∈Z)；遞減區(qū)間是[2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)](k∈Z)遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)遞增區(qū)間是(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2))(k∈Z)最大值和最小值＝1；＝－1＝1；y＝－1無(wú)最大值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心(kπ，0)，k∈Z(kπ＋\f(π,2)，0)，k∈Z(\f(kπ,2)，0)，k∈Z對(duì)稱軸x＝kπ＋\f(π,2)，k∈Zx＝kπ，k∈Z無(wú)對(duì)稱軸最小正周期2π2ππ思考：1．是否每一個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期？【提示】不一定．如常數(shù)函數(shù)f(x)＝a，每一個(gè)非零數(shù)都是它的周期．2．正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心及函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)是什么關(guān)系？【提示】y＝x及y＝x的對(duì)稱軸方程中的x都是它們?nèi)〉米畲笾祷蜃钚≈禃r(shí)相應(yīng)的x.對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)都是它們的零點(diǎn)．學(xué)情自測(cè)：1．函數(shù)y＝3x的定義域?yàn)?)A．{≠\f(3,2)π＋3kπ，k∈Z}B．{≠\f(π,6)＋kπ，k∈Z}C．{≠－\f(π,6)＋kπ，k∈Z}D．{≠\f(π,6)＋\f(kπ,3)，k∈Z}【解析】由3x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z得x≠\f(π,6)＋\f(kπ,3)，k∈Z，應(yīng)選D.【答案】D2．函數(shù)f(x)＝2(x＋\f(5π,2))是()A．最小正周期為2π的奇函數(shù)B．最小正周期為2π的偶函數(shù)C．最小正周期為2π的非奇非偶函數(shù)D．最小正周期為π的偶函數(shù)【解析】f(x)＝2(x＋\f(5,2)π)＝2(x＋\f(π,2))＝－2x，故f(x)是最小正周期為2π的奇函數(shù)．【答案】A3．(2021·福建高考)函數(shù)f(x)＝(x－\f(π,4))的圖象的一條對(duì)稱軸是()A．x＝\f(π,4)B．x＝\f(π,2)C．x＝－\f(π,4)D．x＝－\f(π,2)【解析】法一∵正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，故令x－\f(π,4)＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z，∴x＝kπ＋\f(3π,4)，k∈Z.取k＝－1，則x＝－\f(π,4).法二x＝\f(π,4)時(shí)，y＝(\f(π,4)－\f(π,4))＝0，不合題意，排除A；x＝\f(π,2)時(shí)，y＝(\f(π,2)－\f(π,4))＝\f(\r(2),2)，不合題意，排除B；x＝－\f(π,4)時(shí)，y＝(－\f(π,4)－\f(π,4))＝－1，符合題意，C項(xiàng)正確；而x＝－\f(π,2)時(shí)，y＝(－\f(π,2)－\f(π,4))＝－\f(\r(2),2)，不合題意，故D項(xiàng)也不正確．【答案】C4．比擬大?。?－\f(π,18))(－\f(π,10))．【解析】∵－\f(π,2)＜－\f(π,10)＜－\f(π,18)＜0，∴(－\f(π,18))＞(－\f(π,10))．【答案】＞5．函數(shù)y＝2－3(x＋\f(π,4))的最大值為，此時(shí)x＝.【解析】當(dāng)(x＋\f(π,4))＝－1時(shí)，函數(shù)有最大值5，此時(shí)，x＋\f(π,4)＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z.【答案】5\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z典例探究：例1〔三角函數(shù)的定義域和值域〕(1)(2021·山東高考)函數(shù)y＝2(\f(πx,6)－\f(π,3))(0≤x≤9)的最大值及最小值之和為()A．2－\r(3)B．0C．－1D．－1－\r(3)(2)函數(shù)y＝\f(1x－1)的定義域?yàn)椋舅悸贰?1)先確定\f(πx,6)－\f(π,3)的范圍，再數(shù)形結(jié)合求最值；(2)由x－1≠0且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z求解．【解答】(1)∵0≤x≤9，∴－\f(π,3)≤\f(π,6)x－\f(π,3)≤\f(7π,6)，∴(\f(π,6)x－\f(π,3))∈[－\f(\r(3),2)，1]．∴y∈[－\r(3)，2]，∴＋＝2－\r(3).(2)要使函數(shù)有意義，必須有\(zhòng)b\\{\\(\a\4\\1(x－1≠0，≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))即\b\\{\\(\a\4\\1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z，≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))故函數(shù)的定義域?yàn)閧≠\f(π,4)＋kπ且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z}．【答案】(1)A(2){≠\f(π,4)＋kπ且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z},變式訓(xùn)練1：(1)函數(shù)y＝\r(2x－1)的定義域?yàn)椋?2)當(dāng)x∈[\f(π,6)，\f(7π,6)]時(shí)，函數(shù)y＝3－x－22x的最小值是，最大值是．【解析】(1)由2x－1≥0得x≥\f(1,2)，∴2kπ＋\f(π,6)≤x≤2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z，故函數(shù)的定義域?yàn)閇2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π](k∈Z)．(2)∵x∈[\f(π,6)，\f(7,6)π]∴－\f(1,2)≤x≤1，又y＝3－x－22x＝22x－x＋1＝2(x－\f(1,4))2＋\f(7,8)，∴當(dāng)x＝\f(1,4)時(shí)，＝\f(7,8)，當(dāng)x＝1或－\f(1,2)時(shí)，＝2.【答案】(1)[2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)](k∈Z)(2)\f(7,8)2例2〔三角函數(shù)的單調(diào)性〕(2021·北京高考)函數(shù)f(x)＝\f(x－x2x).(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．【思路】(1)求定義域時(shí)考慮分母不為零，然后對(duì)f(x)解析式進(jìn)展化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化成正弦型函數(shù)的形式，再求周期；(2)求單調(diào)遞減區(qū)間時(shí)利用整體代換，把ωx＋φ當(dāng)作一個(gè)整體放入正弦的減區(qū)間內(nèi)解出x即為減區(qū)間，不要忽略對(duì)定義域的考慮．【解答】(1)由x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定義域?yàn)閧x∈≠kπ，k∈Z}．因?yàn)閒(x)＝\f(x－x2x)＝2x(x－x)＝2x－2x－1＝\r(2)(2x－\f(π,4))－1，所以f(x)的最小正周期T＝\f(2π,2)＝π.(2)函數(shù)y＝x的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)](k∈Z)．由2kπ＋\f(π,2)≤2x－\f(π,4)≤2kπ＋\f(3π,2)，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋\f(3π,8)≤x≤kπ＋\f(7π,8)(k∈Z)．所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8)](k∈Z)．變式訓(xùn)練2:(2021·武漢模擬)函數(shù)y＝(\f(π,3)－2x)，求：(1)函數(shù)的周期；(2)求函數(shù)在[－π，0]上的單調(diào)遞減區(qū)間．【解】由y＝(\f(π,3)－2x)可化為y＝－(2x－\f(π,3))．(1)周期T＝\f(2π,ω)＝\f(2π,2)＝π.(2)令2kπ－\f(π,2)≤2x－\f(π,3)≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z，得kπ－\f(π,12)≤x≤kπ＋\f(5π,12)，k∈Z.所以x∈R時(shí)，y＝(\f(π,3)－2x)的減區(qū)間為[kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)]，k∈Z.取k＝－1,0可得函數(shù)在[－π，0]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[－π，－\f(7π,12)]和[－\f(π,12)，0].例3〔三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性〕設(shè)函數(shù)f(x)＝(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜\f(π,2))，給出以下四個(gè)論斷：①它的最小正周期為π；②它的圖象關(guān)于直線x＝\f(π,12)成軸對(duì)稱圖形；③它的圖象關(guān)于點(diǎn)(\f(π,3)，0)成中心對(duì)稱圖形；④在區(qū)間[－\f(π,6)，0)上是增函數(shù)．以其中兩個(gè)論斷作為條件，另兩個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題(用序號(hào)表示即可)．【思路】此題是一個(gè)開(kāi)放性題目，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象及單調(diào)性、周期性以及對(duì)稱性逐一判斷．【解答】假設(shè)①、②成立，則ω＝\f(2π,π)＝2；令2·\f(π,12)＋φ＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z，且|φ|＜\f(π,2)，故k＝0，∴φ＝\f(π,3).此時(shí)f(x)＝(2x＋\f(π,3))，當(dāng)x＝\f(π,3)時(shí)，(2x＋\f(π,3))＝π＝0，∴f(x)的圖象關(guān)于(\f(π,3)，0)成中心對(duì)稱；又f(x)在[－\f(5π,12)，\f(π,12)]上是增函數(shù)，∴在[－\f(π,6)，0)上也是增函數(shù)，因此①②?③④，用類似的分析可得①③?②④.因此填①②?③④或①③?②④.【答案】①②?③④或①③?②④,變式訓(xùn)練3：函數(shù)f(x)＝(πx－\f(π,2))－1，則以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A．f(x)是周期為1的奇函數(shù)B．f(x)是周期為2的偶函數(shù)C．f(x)是周期為1的非奇非偶函數(shù)D．f(x)是周期為2的非奇非偶函數(shù)【解析】周期T＝\f(2π,π)＝2，f(x)＝(πx－\f(π,2))－1＝－πx－1，因此函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，應(yīng)選B.【答案】B小結(jié)：兩條性質(zhì)1.假設(shè)f(x)＝(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝\f(π,2)＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．2．對(duì)稱性：正、余弦函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形且最值點(diǎn)在對(duì)稱軸上，正切函數(shù)的圖象只是中心對(duì)稱圖形．三種方法求三角函數(shù)值域(最值)的方法：(1)利用x、x的有界性；(2)化為y＝(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域；(3)換元法：把x或x看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題．課后作業(yè)(十八)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)一、選擇題1．(2021·銀川模擬)以下函數(shù)中，最小正周期為π，且圖象關(guān)于直線x＝\f(π,3)對(duì)稱的函數(shù)是()A．y＝2(2x＋\f(π,3))B．y＝2(2x－\f(π,6))C．y＝2(\f(x,2)＋\f(π,3))D．y＝2(2x－\f(π,3))【解析】根據(jù)函數(shù)的最小正周期為π，排除C，又圖象關(guān)于直線x＝\f(π,3)對(duì)稱，則f(\f(π,3))＝2或f(\f(π,3))＝－2，代入檢驗(yàn)知選B.【答案】B2．函數(shù)y＝(\f(π,4)－x)的定義域是()A．{≠\f(π,4)}B．{≠－\f(π,4)}C．{≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z}D．{≠kπ＋\f(3π,4)，k∈Z}【解析】y＝(\f(π,4)－x)＝－(x－\f(π,4))，由x－\f(π,4)≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠nπ＋\f(3π,4)，k∈Z，應(yīng)選D.【答案】D3．函數(shù)y＝2x＋x－1的值域?yàn)?)A．[－1,1]B．[－\f(5,4)，－1]C．[－\f(5,4)，1]D．[－1，\f(5,4)]【解析】f(x)＝(x＋\f(1,2))2－\f(5,4)，∵x∈[－1,1]，∴－\f(5,4)≤f(x)≤1，∴f(x)的值域?yàn)閇－\f(5,4)，1]．【答案】C4．(2021·日照質(zhì)檢)函數(shù)y＝2x的圖象向右平移φ(φ＞0)個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于直線x＝\f(π,6)對(duì)稱，則φ的最小值為()\f(5π,12)\f(11π,6)\f(11π,12)D．以上都不對(duì)【解析】函數(shù)y＝2x的圖象平移后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝2(x－φ)＝(2x－2φ)，其圖象關(guān)于x＝\f(π,6)對(duì)稱，所以2·\f(π,6)－2φ＝kπ＋\f(π,2)(k∈Z)，解得φ＝－\f(k,2)π－\f(π,12)(k∈Z)，故當(dāng)k＝－1時(shí)，φ的最小值為\f(5π,12).【答案】A5．(2021·北京模擬)函數(shù)f(x)＝x＋\r(3)x，設(shè)a＝f(\f(π,7))，b＝f(\f(π,6))，c＝f(\f(π,3))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a【解析】∵f(x)＝x＋\r(3)x＝2(x＋\f(π,3))，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝\f(π,6)對(duì)稱，從而f(\f(π,3))＝f(0)，又f(x)在[0，\f(π,6)]上是增函數(shù)，∴f(0)＜f(\f(π,7))＜f(\f(π,6))，即c＜a＜b.【答案】B6．函數(shù)f(x)＝2(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.假設(shè)f(x)的最小正周期為6π，，且當(dāng)x＝\f(π,2)時(shí)，f(x)取得最大值，則()A．f(x)在區(qū)間[－2π，0]上是增函數(shù)B．f(x)在區(qū)間[－3π，－π]上是增函數(shù)C．f(x)在區(qū)間[3π，5π]上是減函數(shù)D．f(x)在區(qū)間[4π，6π]上是減函數(shù)【解析】∵T＝6π，∴ω＝\f(2π)＝\f(2π,6π)＝\f(1,3)，∴\f(1,3)×\f(π,2)＋φ＝2kπ＋\f(π,2)，∴φ＝2kπ＋\f(π,3)(k∈Z)．∵－π＜φ≤π，∴令k＝0得φ＝\f(π,3).∴f(x)＝2(\f(x,3)＋\f(π,3))．令2kπ－\f(π,2)≤\f(x,3)＋\f(π,3)≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z，則6kπ－\f(5π,2)≤x≤6kπ＋\f(π,2)，k∈Z.易知f(x)在區(qū)間[－2π，0]上是增函數(shù)．【答案】A二、填空題7．(2021·延吉模擬)f(x)＝(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值為\f(π,3)，則正數(shù)ω＝.【解析】由|α－β|的最小值為\f(π,3)知函數(shù)f(x)的周期T＝\f(4,3)π，∴ω＝\f(2π)＝\f(3,2).【答案】\f(3,2)8．函數(shù)f(x)＝3(ωx－\f(π,6))(ω＞0)和g(x)＝2(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全一樣，假設(shè)x∈[0，\f(π,2)]，則f(x)的取值范圍是．【解析】依題意得ω＝2，所以f(x)＝3(2x－\f(π,6))．因?yàn)閤∈[0，\f(π,2)]，所以2x－\f(π,6)∈[－\f(π,6)，\f(5,6)π]，所以(2x－\f(π,6))∈[－\f(1,2)，1]，所以f(x)∈[－\f(3,2)，3]．【答案】[－\f(3,2)，3]9．函數(shù)f(x)＝x(x∈R)，給出以下四個(gè)命題：①假設(shè)f(x1)＝－f(x2)，則x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在區(qū)間[－\f(π,4)，\f(π,4)]上是增函數(shù)；④f(x)的圖象關(guān)于直線x＝\f(3π,4)對(duì)稱．其中真命題是．【解析】f(x)＝\f(1,2)2x，當(dāng)x1＝0，x2＝\f(π,2)時(shí)，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命題；f(x)的最小正周期為π，故②是假命題；當(dāng)x∈[－\f(π,4)，\f(π,4)]時(shí)，2x∈[－\f(π,2)，\f(π,2)]，故③是真命題；因?yàn)閒(\f(3π,4))＝\f(1,2)\f(3,2)π＝－\f(1,2)，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝\f(3,4)π對(duì)稱，故④是真命題．【答案】③④三、解答題10．函數(shù)f(x)＝x＋2x，(1)求f(\f(π,4))的值；(2)假設(shè)x∈[0，\f(π,2)]，求f(x)的最大值及相應(yīng)的x值．【解】(1)∵f(x)＝x＋2x，∴f(\f(π,4))＝\f(π,4)\f(π,4)＋2\f(π,4)＝(\f(\r(2),2))2＋(\f(\r(2),2))2＝1.(2)f(x)＝x＋2x＝\f(1,2)2x＋\f(1－2x,2)＝\f(1,2)(2x－2x)＋\f(1,2)＝\f(\r(2),2)(2x－\f(π,4))＋\f(1,2)，由x∈[0，\f(π,2)]得2x－\f(π,4)∈[－\f(π,4)，\f(3π,4)]，所以，當(dāng)2x－\f(π,4)＝\f(π,2)，即x＝\f(3,8)π時(shí)，f(x)取到最大值為\f(\r(2)＋1,2).11．設(shè)函數(shù)f(x)＝(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x＝\f(π,8)，(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．【解】(1)∵直線x＝\f(π,8)是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，∴2×\f(π,8)＋φ＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z，即φ＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，∴φ＝－\f(3,4)π.(2)由(1)知f(x)＝(2x－\f(3,4)π)，令－\f(π,2)＋2kπ≤2x－\f(3,4)π≤\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得\f(π,8)＋kπ≤x≤\f(5π,8)＋kπ，k∈Z.因此y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[\f(π,8)＋kπ，\f(5,8)π＋kπ]，k∈Z.12．(2021·濰坊模擬)向量a＝(ωx，ωx)，b＝(θ，θ)，f(x)＝a·b＋1，其中A＞0，ω＞0，θ為銳角．f(x)的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心的距離為\f(π,2)，且當(dāng)x＝\f(π,12)時(shí)，f(x)取得最大值3.(1)求f(x)的解析式；(2)將f(x)的圖象先向下平移1個(gè)單位，再向左平移φ(φ＞0)個(gè)單位得g(x)的圖象，假設(shè)g(x)為奇函數(shù)，求φ的最小值．【解】(1)f(x)＝a·b＋1＝ωx·θ＋ωx·θ＋1＝(\a\4\(ωx)＋θ)＋1，∵f(x)的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心的距離為\f(π,2)，∴T＝π＝\f(2π,ω)，∴ω＝2.∵當(dāng)x＝\f(π,12)時(shí)，f(x)的最大值為3，∴A＝3－1＝2，且有2·\f(π,12)＋θ＝2kπ＋\f(π,2)(k∈Z)．∴θ＝2kπ＋\f(π,3)，∵θ為銳角，∴θ＝\f(π,3).∴f(x)＝2(2x＋\f(π,3))＋1.(2)由題意可得g(x)的解析式為g(x)＝2[2(x＋φ)＋\f(π,3)]，∵g(x)為奇函數(shù)，∴2φ＋\f(π,3)＝kπ，φ＝\f(kπ,2)－\f(π,6)(k∈Z)，∵φ＞0，∴當(dāng)k＝1時(shí)，φ取最小值\f(π,3).第四節(jié)函數(shù)y＝(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解函數(shù)y＝(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響．2．了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.考點(diǎn)梳理：1．y＝(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相AT＝\f(2π,ω)f＝\f(1)＝\f(ω,2π)ωx＋φφ2.用五點(diǎn)法畫y＝(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫y＝(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示x－\f(φ,ω)\f(\f(π,2)－φ,ω)\f(π－φ,ω)\f(\f(3,2)π－φ,ω)\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0\f(π,2)π\(zhòng)f(3π,2)2πy＝(ωx＋φ)0A0－A03.由y＝x的圖象變換得到y(tǒng)＝(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的圖象(1)先平移后伸縮(2)先伸縮后平移思考：1．五點(diǎn)作法作y＝(ωx＋φ)的圖象，首先確定哪些數(shù)據(jù)？【提示】先確定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，\f(π,2)，π，\f(3π,2)，2π，然后求出x的值．2．在圖象變換時(shí)運(yùn)用“先平移后伸縮〞及“先伸縮后平移〞兩種途徑，向左或向右平移的單位個(gè)數(shù)為什么不一樣？【提示】可以看出，前者平移|φ|個(gè)單位，后者平移\f(φ,ω)|個(gè)單位，原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)變量x而言的，因此在用這樣的變換法作圖象時(shí)一定要注意平移及伸縮的先后順序，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．學(xué)情自測(cè)：1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)f(x)＝2(\f(π,3)x＋φ)(|φ|＜\f(π,2))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相φ分別為()A．T＝6，φ＝\f(π,6)B．T＝6，φ＝\f(π,3)C．T＝6π，φ＝\f(π,6)D．T＝6π，φ＝\f(π,3)【解析】由題意知f(0)＝2φ＝1，∴φ＝\f(1,2)，又|φ|＜\f(π,2)，∴φ＝\f(π,6)，又T＝6，應(yīng)選A.【答案】A2．把y＝\f(1,2)x的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到y(tǒng)＝ωx的圖象，則ω的值為()A．1B．4\f(1,4)D．2【解析】橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則x變?yōu)閈f(1,2)x，故得到的函數(shù)解析式為y＝\f(1,4)x，應(yīng)選C.【答案】C3．將函數(shù)y＝x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把所得圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)\f(π,10)個(gè)單位，得到圖象的函數(shù)解析式為()A．y＝(2x－\f(π,10))B．y＝(2x－\f(π,20))C．y＝(\f(1,2)x－\f(π,10))D．y＝(\f(1,2)x－\f(π,20))【解析】將y＝x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到的圖象解析式為y＝\f(1,2)x，再把所得圖象上所有點(diǎn)向右平移\f(π,10)個(gè)單位，得到的圖象解析式為y＝\f(1,2)(x－\f(π,10))＝(\f(1,2)x－\f(π,20))．【答案】D4．函數(shù)y＝(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜\f(π,2))的局部圖象如圖3－4－1所示，則()圖3－4－1A．ω＝1，φ＝\f(π,6)B．ω＝1，φ＝－\f(π,6)C．ω＝2，φ＝\f(π,6)D．ω＝2，φ＝－\f(π,6)【解析】由圖象知A＝1，T＝4(\f(7,12)π－\f(π,3))＝π，∴\f(2π,ω)＝π，ω＝2，排除A，B，再由2×\f(π,3)＋φ＝\f(π,2)，得φ＝－\f(π,6).【答案】D5．(2021·安徽高考)要得到函數(shù)y＝(2x＋1)的圖象，只要將函數(shù)y＝2x的圖象()A．向左平移1個(gè)單位B．向右平移1個(gè)單位C．向左平移\f(1,2)個(gè)單位D．向右平移\f(1,2)個(gè)單位【解析】∵y＝(2x＋1)＝2(x＋\f(1,2))，∴只要將函數(shù)y＝2x的圖象向左平移\f(1,2)個(gè)單位即可，應(yīng)選C.【答案】C典例探究：例1〔函數(shù)y＝(ωx＋φ)的圖象變換〕(1)(2021·浙江高考)把函數(shù)y＝2x＋1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象是()(2)(2021·大連模擬)設(shè)ω＞0，函數(shù)y＝(ωx＋\f(π,3))＋2的圖象向右平移\f(4π,3)個(gè)單位后及原圖象重合，則ω的最小值是()\f(2,3)\f(4,3)\f(3,2)D．3【思路】(1)寫出變換后的函數(shù)解析式，再根據(jù)圖象變換找圖象；(2)平移后及原圖象重合，則平移量是周期的整數(shù)倍．【解答】(1)y＝2x＋1\o(→,\s\7(橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)2倍),\s\5(縱坐標(biāo)不變))y＝x＋1\o(→,\s\7(向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度))y＝(x＋1)＋1\o(→,\s\7(向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度))y＝(x＋1)．結(jié)合選項(xiàng)可知應(yīng)選A.(2)設(shè)函數(shù)的周期為T，由題意知＝\f(4,3)π，k∈Z，∴T＝\f(4π,3k)，∴ω＝\f(3,2)k，k∈Z，又ω＞0，∴k＝1時(shí)，ω有最小值\f(3,2)，應(yīng)選C.【答案】(1)A(2)C變式訓(xùn)練1：(1)(2021·濟(jì)南模擬)要得到函數(shù)y＝(2x－\f(π,3))的圖象，只需將函數(shù)y＝2x的圖象()A．向左平移\f(π,12)個(gè)單位B．向右平移\f(π,12)個(gè)單位C．向左平移\f(π,6)個(gè)單位D．向右平移\f(π,6)個(gè)單位(2)(2021·青島質(zhì)檢)將函數(shù)y＝(x－\f(π,3))的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖象向左平移\f(π,3)個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為()A．y＝(\f(1,2)x－\f(π,3))B．y＝(2x－\f(π,6))C．y＝\f(1,2)xD．y＝(\f(1,2)x－\f(π,6))【解析】(1)∵y＝(2x－\f(π,3))＝2(x－\f(π,6))，∴只需將函數(shù)y＝2x的圖象向右平移\f(π,6)個(gè)單位即可．(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到y(tǒng)＝(\f(1,2)x－\f(π,3))的圖象，然后將所得圖象向左平移\f(π,3)個(gè)單位得到y(tǒng)＝[\f(1,2)(x＋\f(π,3))－\f(π,3)]＝(\f(1,2)x－\f(π,6))的圖象．【答案】(1)D(2)D例2〔作函數(shù)y＝(ωx＋φ)的圖象〕函數(shù)f(x)＝2x－2x－2x.圖3－4－2(1)將f(x)化為y＝(ωx＋φ)的形式；(2)用“五點(diǎn)法〞在給定的坐標(biāo)中，作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖象．【思路】(1)運(yùn)用二倍角公式及兩角和及差的余弦公式化為y＝(ωx＋φ)的形式；(2)在表中列出[0，π]上的特殊點(diǎn)及兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)，根據(jù)變化趨勢(shì)畫出圖象．【解答】(1)f(x)＝2x－2x－2x＝2x－2x＝\r(2)(\f(\r(2),2)2x－\f(\r(2),2)2x)＝\r(2)(2x＋\f(π,4))．(2)列表：2x＋\f(π,4)\f(π,4)\f(π,2)π\(zhòng)f(3,2)π2π\(zhòng)f(9,4)πx0\f(π,8)\f(3,8)π\(zhòng)f(5,8)π\(zhòng)f(7,8)ππf(x)10－\r(2)0\r(2)1圖象為：變式訓(xùn)練2：函數(shù)f(x)＝(2x＋\f(π,3))．(1)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)畫出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象．【解】(1)由2kπ－\f(π,2)≤2x＋\f(π,3)≤2kπ＋\f(π,2)(k∈Z)得kπ－\f(5π,12)≤x≤kπ＋\f(π,12)(k∈Z)，∴所求單調(diào)增區(qū)間為[kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)](k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴\f(π,3)≤2x＋\f(π,3)≤\f(7π,3).列表如下：2x＋\f(π,3)\f(π,3)\f(π,2)π\(zhòng)f(3π,2)2π\(zhòng)f(7π,3)x0\f(π,12)\f(π,3)\f(7π,12)\f(5π,6)πy\f(\r(3),2)10－10\f(\r(3),2)畫出圖象如下圖．例3〔求函數(shù)y＝(ωx＋φ)的解析式〕(1)(2021·無(wú)錫模擬)函數(shù)f(x)＝(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0)的局部圖象如圖3－4－3所示，則f(0)的值是．圖3－4－3(2)(2021·廈門模擬)函數(shù)f(x)＝(\f(π,6)x＋φ)(A＞0,0＜φ＜\f(π,2))的局部圖象如圖3－4－4所示，P、Q分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，A)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,0)．假設(shè)∠＝\f(2π,3)，則y＝f(x)的最大值及φ的值分別是()圖3－4－4A．2\r(3)，\f(π,6)\r(3)，\f(π,3)\r(3)，\f(π,6)D．2\r(3)，\f(π,3)【思路】(1)觀察函數(shù)f(x)的圖象特征，可求A、T，根據(jù)圖象過(guò)定點(diǎn)可求φ，最后求f(0)．(2)根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)P(2，A)可求φ，根據(jù)周期可求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，解直角三角形求A.【解答】(1)由題圖知A＝\r(2)，\f(T,4)＝\f(7π,12)－\f(π,3)＝\f(π,4)，T＝π，又T＝\f(2π,ω)，∴ω＝2，根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得2×\f(π,3)＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z.令k＝0，取φ＝\f(π,3)，∴函數(shù)解析式為f(x)＝\r(2)(2x＋\f(π,3))，∴f(0)＝\r(2)\f(π,3)＝\f(\r(6),2).(2)由題意知，(\f(π,6)×2＋φ)＝A，∴(\f(π,3)＋φ)＝1，又0＜φ＜\f(π,2)，∴φ＝\f(π,6)，∵∠＝\f(2,3)π，∴∠＝\f(π,6)，∵周期T＝12，∴Q(8，－A)，∴\f(π,6)＝\f(A,6)，∴A＝2\r(3)，因此函數(shù)f(x)的最大值為2\r(3)，φ＝\f(π,6)，應(yīng)選A.【答案】(1)\f(\r(6),2)(2)A變式訓(xùn)練3：如圖3－4－5是函數(shù)y＝(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的圖象的一局部，它的振幅、周期、初相各是()圖3－4－5A．A＝3，T＝\f(4π,3)，φ＝－\f(π,6)B．A＝1，T＝\f(4π,3)，φ＝\f(3π,4)C．A＝1，T＝\f(4π,3)，φ＝－\f(3π,4)D．A＝1，T＝\f(4π,3)，φ＝－\f(π,6)【解析】由圖象知，A＝\f(3－1,2)＝1，\f(T,2)＝\f(5,6)π－\f(π,6)＝\f(2,3)π，∴T＝\f(4,3)π，ω＝\f(3,2)，由\f(5,6)π×\f(3,2)＋φ＝\f(π,2)＋2kπ，得φ＝－\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z，令k＝0得φ＝－\f(3,4)π，應(yīng)選C.【答案】C例4〔三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用〕如圖3－4－6為一個(gè)纜車示意圖，該纜車半徑為m，圓上最低點(diǎn)及地面距離為m,60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中及地面垂直，以為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到，設(shè)B點(diǎn)及地面間的距離為h.(1)求h及θ間關(guān)系的函數(shù)解析式；(2)設(shè)從開(kāi)場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒后到達(dá)，求h及t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少？圖3－4－6