《圓周角和圓心角的關(guān)系》第二課時

圓周角和圓心角的關(guān)系(2)知識回憶圓周角定義：頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.圓周角定理：乙甲僅從射門角度大小考慮，誰相對于球門的角度更好？ABCDO丙ABCD同弧所對圓周角之間的關(guān)系O問題：判斷圖中和的大小關(guān)系？

探究∵∠ACB=∠AOB∠ADB=∠AOB∴

∠ACB=∠ADB結(jié)論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.ABCDO12345678

找出圖中四對相等的圓周角．

找一找在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對弧一定相等嗎？為什么？因?yàn)?，在同圓或等圓中，如果圓周角相等，那么它所對的圓心角也相等，因此它所對的弧也相等．在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對弧一定相等．

思考1.如圖，AB是O的直徑，你能求的度數(shù)嗎？ABCO半圓或直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑結(jié)論：AB是直徑⊙⊙2.如圖，如果圓周角，那么弦AB是O的直徑嗎？

深入探索圓周角定理的推論：推論1

同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等.推論2半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.

歸納用心想一想觀察圖①，∠ABC，∠ADC和∠AEC各是什么角？它們有什么共同的特征？它們的大小有什么關(guān)系？為什么？BAECDO答：∠ABC，∠ADC和∠AEC都是圓周角。根據(jù)圓周角定理，∠ABC，∠ADC，∠AEC都等于圓心角∠AOC的一半。所以這三個角是相等的。由此你得到什么結(jié)論？這三個角是相等的。理由是：圖①它們的共同特征是：它們都對著ACBAECDO結(jié)論是：在同圓中，同弧所對的圓周角相等。如果把上面的同弧改成等弧，結(jié)論成立嗎？答：成立。因?yàn)榈然∷鶎Φ膱A心角相等，而一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半，所以這些圓周角也相等。對于等圓,情況也一樣.因此,我們可以得到：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。問題：假設(shè)將上面推論中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，結(jié)論成立嗎？請同學(xué)們互相議一議。答：結(jié)論不成立。請看圖。AB12問題解答1、圓周角定理的推論1：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。2、圓周角定理的推論2：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。用于找相等的角用于找相等的弧用于判斷某個圓周角是否是直角用于判斷某條線是否過圓心例：如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？ABCOD解：連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°

即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD

化心動為行動分析：由于AB是⊙O的直徑，故連接AD。由直徑所對的圓周角是直角，可得AD⊥BC.又因?yàn)椤鰽BC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三線合一，可證得BD=CD。

教材題變形，拓展延伸船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁。如圖，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的一個圓形區(qū)域內(nèi)，C表示一個危險臨界點(diǎn)，∠ACB就是“危險角”，當(dāng)船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時，就有可能觸礁?！?〕當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？〔2〕當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？分析：這是一個有實(shí)際背景的問題。由題意可知：“危險角∠ACB”實(shí)際上就是圓周角。船P與兩個燈塔的夾角為∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O內(nèi).當(dāng)∠α＞∠C時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)；當(dāng)∠α＜∠C時，船位于暗礁區(qū)域外。因此,我們可以分情況討論.解：〔1〕當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”∠C時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)〔即⊙O內(nèi)〕。理由是：連接BE.

假設(shè)船在⊙O上，那么有∠α=∠C，這與∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假設(shè)船在⊙O外，那么有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，這與∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。因此，船只能位于⊙O內(nèi)。〔1〕當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？〔2〕當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？解：〔2〕當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”∠C時，船位于暗礁區(qū)域外〔即⊙O外〕。理由是：假設(shè)船在⊙O上，那么有∠α=∠C，這與∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假設(shè)船在⊙O內(nèi)，那么有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C，這與∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O內(nèi)。因此，船只能位于⊙O外。大膽嘗試，練一練1.為什么有些電影院的坐位排列〔橫排〕呈圓弧形？說一說這種設(shè)計的合理性。答：有些電影院的坐位排列呈圓弧形，這樣設(shè)計的理由是盡量保證同排的觀眾視角相等。2.如圖，哪個角與∠BAC相等？ABCD答：∠BDC=∠BAC。3.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A的直線交⊙O于點(diǎn)P，交BC的延長線于點(diǎn)D,且AB2=AP·AD.〔1〕求證：AB=AC;〔2〕如果∠ABC=60°，⊙O的半徑為1，且P為AC的中點(diǎn)，求AD的長？〔1〕證明：連接BP∵AB2=AP·AD∵∠BAP=∠DAB∴△BAP～△DAB∴∠APB=∠ABD∵∠APB=∠ACB∴AB=AC∵∠ABD=∠ACB〔2〕解：∵AB=AC又∵∠ABC=60°∴△ABC是等邊三角形∵∠BAC=60°∵P為AC的中點(diǎn)∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°∴BP是直徑∴BP=2，AP=1∴AB2=BP2-AP2=3∵AB2=AP·AD∴32=1×AD∴AD=3.1.判斷題：〔1〕同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等.〔〕〔2〕90°的角所對的弦是直徑.〔〕〔3〕同弦所對的圓周角相等.〔〕√XXOABC

課堂練習(xí)D2.填空題:(1)如下圖,∠BAC=,∠DAC=.DABC∠DBC∠BDC●OACB(2)如下圖,⊙O的直徑AB=10cm,C為⊙O上一點(diǎn),∠BAC=30°,那么BC=cm5

課堂練習(xí)1、足球賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進(jìn)攻。當(dāng)甲帶球到A點(diǎn)時，乙隨后沖到B點(diǎn)，如圖,此時甲是自己射門好，還是將球回傳給乙，讓乙射門好呢？為什么？(不考慮其他因素)甲乙ABMN

應(yīng)用拓展〔2006?山西〕如圖，在“世界杯”足球比賽中，甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進(jìn)攻．當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時，同伴乙已經(jīng)助攻沖到B點(diǎn)．有兩種射門方式：第一種是甲直接射門；第二種是甲將球傳給乙，由乙射門．僅從射門角度考慮，應(yīng)選擇第二種射門方式．考點(diǎn)：圓周角定理．分析：此題實(shí)際是求∠A和∠B度數(shù)的大小；可設(shè)AP與⊙O的交點(diǎn)為C，連接QC，由圓周角定理可得∠PCQ=∠B；由于∠PCQ是△ACQ的外角，顯然∠PCQ即∠B的度數(shù)要大于∠A；因此從射門角度考慮，在B點(diǎn)射門時，射門的角度更大，更有利于進(jìn)球．解答：解：設(shè)AP與圓的交點(diǎn)是C，連接CQ；

那么∠PCQ＞∠A；

由圓周角定理知：∠PCQ=∠B；

所以∠B＞∠A；

因此選擇第二種射門方式更好．點(diǎn)評：此題實(shí)際上是比較兩個角的大小，角度越大，射中率越高．綜合考查了圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)．1、足球賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進(jìn)攻。當(dāng)甲帶球到A點(diǎn)時，乙隨后沖到B點(diǎn)，如圖,此時甲是自己射門好，還是將球傳給乙，讓乙射門好呢？為什么？(不考慮其他因素)MNABC解：連接NC，由圓周角性質(zhì)∠MBN＝∠MCN因此，讓乙射門好.又由三角形外角性質(zhì)∠MCN＞∠A∴∠MBN＞∠AMN甲C乙D2.當(dāng)甲帶球到C點(diǎn)時，乙沖到了D點(diǎn)，如下圖,此時甲是自己直接射門好，還是將球傳給乙，讓乙射門好呢？為什么？(不考慮其他因素)

應(yīng)用拓展MNCDOE2.當(dāng)甲帶球到C點(diǎn)時，乙沖到了D點(diǎn)，如圖,此時甲是自己射門好，還是將球傳給乙，讓乙射門好呢？為什么？(不考慮其他因素)延長NC交圓O于點(diǎn)E，連接ME，由圓周角性質(zhì)∠MDN＝∠MEN因此，讓甲射門好.解：又由三角形外角性質(zhì)∠MCN＞∠MEN∴∠MCN＞∠MDN3.請你幫助用直角曲尺檢查半圓形的工件，哪個是合格的？為什么？不合格合格不合格

生活中的數(shù)學(xué)答：圖〔2〕是半圓形。理由是：90°的圓周角所對的弦是直徑。1.如圖，以⊙O的半徑OA為直徑作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,那么(1)OC與AD的位置關(guān)系是;

(2)OC與BD的位置關(guān)系是;(3)假設(shè)OC=2cm,那么BD=cmOC垂直平分AD平行4CDO1ABO

知識深化2.如圖,△ABC的頂點(diǎn)均在⊙O上,AB=4,∠C=30°,求⊙O的直徑.

●OACBE

能力提高∵BF是⊙O的直徑∴∠BAF=90°在Rt△ABF中，∠F=30°∴BF=2AB又∵AB=4∴BF=8即⊙O直徑為8解:過B作直徑BF交⊙O于點(diǎn)F,連接AFF●ODABCNME3.如圖⊙O中,D、E分別是AB和AC的中點(diǎn),DE分別交AB和AC于點(diǎn)M、N.求證:△AMN是等腰三角形.⌒⌒

能力提高證明:∵D,E分別是AB和AC的中點(diǎn)⌒⌒∴AD=BD，AE=CE∴∠DAB=∠AED,∠ADE=∠EAC∵∠AMN=∠DAB+∠ADM∴∠AMN=∠ANM即△AMN是等腰三角形⌒⌒⌒⌒∠ANM=∠AED+∠EAC知識總結(jié)1.【圓周角的定義】頂點(diǎn)在圓上，兩邊都與圓相交，這樣的角叫圓周角。2.【圓周角的性質(zhì)】

〔3〕在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半；相等的圓周角所對的弧相等；〔2〕一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半；〔1〕半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°〔直角〕．90°的圓周角所對的弦是圓的直徑目標(biāo)回憶〔你完成了嗎？〕1.要理解圓周角定理的推論。2.構(gòu)造直徑所對的圓周角是圓中的常用方法。3.要多觀察圖形，善于識別圓周角與圓心角，構(gòu)造同弧所對的圓周角也是常用方法之一。4.圓周角定理建立了圓心角與圓周角的關(guān)系，而同圓或等圓中圓心角、弧、弦之間又存在等量關(guān)系，因此，圓中的角〔圓周角和圓心角〕、弦、弧等的相等關(guān)系可以互相轉(zhuǎn)化。但轉(zhuǎn)化過程中要注意以圓心角、弧為橋梁。如由弦相等只能得弧或圓心角相等，不能直接得圓周角相等。1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？本課小結(jié)圓周角定理的兩個推論引輔助線的方法：〔1〕構(gòu)造直徑上的圓周角.〔2〕構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角.2、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些方法？

作業(yè):1.〔2001?常州〕：如圖，⊙O的弦AD、BC互相垂直，垂足為E，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且siaα=3/5，cosβ=1/3，AC=2．求〔1〕EC的長；

〔2〕AD的長。提示：連接DC，△ABE△EDC〔可利用相交弦定理〕

S2.我們知道：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，一條弧所