隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

關(guān)于隨機(jī)變量的函數(shù)的分布12問題的提出

在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣.求截面面積A=

的分布.比如，已知圓軸截面直徑d

的分布，第2頁,共19頁，2024年2月25日，星期天3設(shè)隨機(jī)變量X

的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由X

的分布求出

Y

的分布？下面進(jìn)行討論.

這個(gè)問題無論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的.第3頁,共19頁，2024年2月25日，星期天4

定義設(shè)有函數(shù)，與是兩個(gè)隨機(jī)變量，如果當(dāng)隨機(jī)變量取值時(shí)，隨機(jī)變量取值為，則稱隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函數(shù)，記作．則稱Y的概率分布為隨機(jī)變量X函數(shù)的分布．第4頁,共19頁，2024年2月25日，星期天5一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解：當(dāng)X

取值

1，2，5時(shí)，

Y取對(duì)應(yīng)值

5，7，13，例1求

Y=2X+3的概率分布.而且X取某值與Y取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.故第5頁,共19頁，2024年2月25日，星期天6練習(xí)1第6頁,共19頁，2024年2月25日，星期天7第7頁,共19頁，2024年2月25日，星期天8如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可.一般地，若X是離散型r.v，X的分布律為X～則Y=g(X)～第8頁,共19頁，2024年2月25日，星期天9

設(shè)隨機(jī)變量

X

具有以下的分布律，試求

Y=(X-1)2

的分布律.pkX-10120.20.30.10.4

解:Y有可能取的值為0，1，4.

且Y=0對(duì)應(yīng)于(X-1)2=0，解得X=1，所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,例2第9頁,共19頁，2024年2月25日，星期天10同理,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,pkY0140.10.70.2所以，Y=(X-1)2的分布律為：pkX-10120.20.30.10.4Y=(X-1)2例2（續(xù)）第10頁,共19頁，2024年2月25日，星期天11練習(xí)２已知

X

的概率分布為Xpk-1012求：Y2=X

2

的分布律．解Y2pi1014Y2pi014第11頁,共19頁，2024年2月25日，星期天12二.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解題思路第12頁,共19頁，2024年2月25日，星期天13設(shè)隨機(jī)變量X

具有概率密度：試求Y=2X+8

的概率密度.解：(1)先求Y=2X+8

的分布函數(shù)

FY(y)：例3第13頁,共19頁，2024年2月25日，星期天14例３（續(xù)）第14頁,共19頁，2024年2月25日，星期天15

整理得Y=2X+8

的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導(dǎo)公式例３（續(xù)）第15頁,共19頁，2024年2月25日，星期天16設(shè)隨機(jī)變量

X

具有概率密度求

Y=X2

的概率密度.解：(1)

先求Y=X2

的分布函數(shù)

FY(y)：例４第16頁,共19頁，2024年2月25日，星期天17例４（續(xù)）第17頁,共19頁，2024年2月25日，星期天18

定理

設(shè)隨機(jī)變量X

具有概率密度則Y=g(X)

是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量Y，其概率密度