新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案2-1第1課時不等關(guān)系與不等式

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2．1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時不等關(guān)系與不等式[目標(biāo)]1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系；2.理解不等號的意義和不等式的概念，會用不等式和不等式組表示各種不等關(guān)系；3.理解實數(shù)大小與實數(shù)運(yùn)算的關(guān)系，會用作差比較法比較兩個實數(shù)的大?。甗重點]會用作差比較法比較兩個實數(shù)的大小．[難點]用不等式或不等式組表示各種不等關(guān)系．知識點一不等式與不等關(guān)系[填一填]1．不等式的定義所含的兩個要點：(1)不等符號<，≤，>，≥或≠.(2)所表示的關(guān)系是不等關(guān)系．2．不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換[答一答]1．不等關(guān)系通過什么樣的形式表現(xiàn)出來？提示：通過不等式來表現(xiàn)不等關(guān)系．2．在日常生活中，我們經(jīng)常看到下列標(biāo)志：(1)你知道各圖中的標(biāo)志有何作用？其含義是什么嗎？(2)你能用一個數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？如何表示？提示：(1)①最低限速：限制行駛時速v不得低于50公里；②限制質(zhì)量：裝載總質(zhì)量G不得超過10t；③限制高度：裝載高度h不得超過3.5米；④限制寬度：裝載寬度a不得超過3米；⑤時間范圍：t∈{t|7.5≤t≤10}．(2)①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.知識點二比較兩實數(shù)a，b大小的依據(jù)[填一填][答一答]3．用作差法比較兩個實數(shù)的大小時，對差式應(yīng)如何變形？提示：一般地，對差式分解因式或配方．4．比較x2＋3與3x的大小(其中x∈R)．提示：因為(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝[x2－3x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2]＋3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，所以x2＋3>3x.類型一用不等式(組)表示不等關(guān)系[例1]已知甲、乙兩種食物的維生素A，B含量如下表：食物甲乙維生素A/(單位/kg)600700維生素B/(單位/kg)800400設(shè)用甲、乙兩種食物各xkg，ykg配成混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.試用不等式組表示x，y所滿足的不等關(guān)系．[分析]根據(jù)維生素A和B分別至少為56000單位和63000單位列不等式．[解]xkg甲種食物含有維生素A600x單位，含有維生素B800x單位，ykg乙種食物含有維生素A700y單位，含有維生素B400y單位，則xkg甲種食物與ykg乙種食物配成的混合食物總共含有維生素A(600x＋700y)單位，含有維生素B(800x＋400y)單位，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(600x＋700y≥56000，,800x＋400y≥63000，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋7y≥560，,4x＋2y≥315，,x≥0，,y≥0.))1.用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟：(1)審清題意，明確條件中的不等關(guān)系的個數(shù)；(2)適當(dāng)設(shè)未知數(shù)表示變量；(3)用不等式表示每一個不等關(guān)系，并寫成不等式組的形式．2．常見的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換[變式訓(xùn)練1]《鐵路旅行常識》規(guī)定：一、隨同成人旅行，身高在1.1～1.4米的兒童享受半價客票(以下稱兒童票)，超過1.4米的應(yīng)買全價票，每一名成人旅客可免費(fèi)帶一名身高不足1.1米的兒童，超過一名時，超過的人數(shù)應(yīng)買兒童票．……十、旅客免費(fèi)攜帶物品的體積和重量是每件物品的外部長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米，桿狀物品不得超過200厘米，重量不得超過20千克……設(shè)身高為h(米)，物品外部長、寬、高尺寸之和為P(厘米)，請用不等式表示下表中的不等關(guān)系.解：由題意可獲取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物體長、寬、高尺寸之和為P(厘米)；(2)題中要求用不等式表示不等關(guān)系．解答本題應(yīng)先理解題中所提供的不等關(guān)系，再用不等式表示．身高在1.1～1.4米可表示為1.1≤h≤1.4，身高超過1.4米可表示為h>1.4，身高不足1.1米可表示為h<1.1，物體長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米可表示為P≤160.如下表所示：類型二比較大小[例2](1)設(shè)m∈R，x∈R，比較x2－x＋1與－2m2－2(2)甲、乙是同班同學(xué)，且住在同一小區(qū)，兩人同時從小區(qū)出發(fā)去學(xué)校，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，且跑步速度大于步行速度，試判斷兩人誰先到學(xué)校．[分析](1)將兩個代數(shù)式作差，判斷它們差的符號．(2)依據(jù)題意求出甲、乙所用時間，作差法進(jìn)行比較．[解](1)∵x∈R，m∈R，∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)＝x2＋(2m－1)x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m－1,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m－1,2)))2＋2m2＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2m－1,2)))2＋m2＋m＋eq\f(3,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2m－1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)>0.∴x2－x＋1>－2m2－2(2)設(shè)步行速度與跑步速度分別為v1，v2，其中0<v1<v2，總路程為2s.則甲用的時間為eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)，乙有的時間為eq\f(4s,v1＋v2).因為eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)－eq\f(4s,v1＋v2)＝eq\f(sv1＋v22－4sv1v2,v1v2v1＋v2)＝eq\f(sv1－v22,v1v2v1＋v2)>0，所以eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)>eq\f(4s,v1＋v2)，故乙同學(xué)先到學(xué)校．1.作差法比較兩個數(shù)大小的步驟及變形方法1作差法比較的步驟：作差→變形→定號→結(jié)論.2變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類討論.2.作商法比較大小的步驟,①作商變形；②與1比較大??；③得出結(jié)論.[變式訓(xùn)練2]設(shè)x∈R，且x≠－1，比較eq\f(1,1＋x)與1－x的大小．解：∵eq\f(1,1＋x)－(1－x)＝eq\f(x2,1＋x)，而x2≥0，(1)當(dāng)x＝0時，eq\f(x2,1＋x)＝0，∴eq\f(1,1＋x)＝1－x.(2)當(dāng)1＋x<0，即x<－1時，eq\f(x2,1＋x)<0，∴eq\f(1,1＋x)<1－x.(3)當(dāng)1＋x>0，且x≠0，即－1<x<0或x>0時，eq\f(x2,1＋x)>0，∴eq\f(1,1＋x)>1－x.綜上可知：當(dāng)x＝0時，eq\f(1,1＋x)＝1－x；當(dāng)x<－1時，eq\f(1,1＋x)<1－x；當(dāng)－1<x<0或x>0時，eq\f(1,1＋x)>1－x.類型三不等式的實際應(yīng)用[例3]某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)，需包車前往．甲車隊說：“如領(lǐng)隊買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠．”乙車隊說：“你們屬團(tuán)體票，按原價的8折優(yōu)惠．”這兩車隊的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)、車型都是一樣的，試根據(jù)此單位去的人數(shù)，比較兩車隊的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．[分析]依據(jù)題意表示出兩車隊的收費(fèi)，然后比較大?。甗解]設(shè)該單位職工有n人(n∈N*)，全票價為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1＝x＋eq\f(3,4)x·(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)xn，y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f(4,5)xn＝eq\f(1,4)x－eq\f(1,20)xn＝eq\f(1,4)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,5))).當(dāng)n＝5時，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)n>5時，y1<y2；當(dāng)n<5時，y1>y2.因此，當(dāng)此單位去的人數(shù)為5人時，兩車隊收費(fèi)相同；多于5人時，選甲車隊更優(yōu)惠；少于5人時，選乙車隊更優(yōu)惠．1“最優(yōu)方案”問題，首先要設(shè)出未知量，搞清楚比較的對象，然后把這個未知量用其他的已知量表示出來，通過比較即可得出結(jié)論.2這是一道與不等式有關(guān)的實際應(yīng)用問題，解答時要有設(shè)有答，步驟完整.[變式訓(xùn)練3]某蛋糕師制作A，B兩種蛋糕，原材料中面粉、黃油、牛奶的需求量如下：制作一個A種蛋糕需要面粉150g，黃油100g，牛奶50mL；制作一個B種蛋糕需要面粉200g，黃油140g，牛奶70mL.現(xiàn)有面粉1000g，黃油600g，牛奶350mL.若分別制作x個A種蛋糕，y個B種蛋糕．試列出x，y滿足的不等式組．解：①制作A，B兩種蛋糕需要的面粉不超過1000g，用不等式表示為150x＋200y≤1000；②制作A，B兩種蛋糕需要的黃油不超過600g，用不等式表示為100x＋140y≤600；③制作A，B兩種蛋糕需要的牛奶不超過350mL，用不等式表示為50x＋70y≤350；④A，B兩種蛋糕的制作量都應(yīng)不少于0，且為整數(shù)個，故x∈N，y∈N.所以x，y滿足的不等式組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(150x＋200y≤1000,100x＋140y≤600,50x＋70y≤350,x∈N，y∈N)).1．李輝準(zhǔn)備用自己節(jié)省的零花錢買一臺學(xué)習(xí)機(jī)，他現(xiàn)在已存60元．計劃從現(xiàn)在起以后每個月節(jié)省30元，直到他至少有400元，設(shè)x個月后他至少有400元，則關(guān)于月數(shù)x的不等式是(B)A．30x－60≥400B．30x＋60≥400C．30x－60≤400D．30x＋60≤400解析：x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.2．若x≠－2且y≠1，則M＝x2＋y2＋4x－2y的值與－5的大小關(guān)系是(A)A．M>－5 B．M<－5C．M≥－5 D．M≤－5解析：M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.故M>－5.3．設(shè)a≥0，b≥0，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，則A，B的大小關(guān)系是(B)A．A≤B B．A≥BC．A<B D．A>B解析：由題意得，B2－A2＝－2eq\r(ab)≤0，因為A≥0，B≥0，所以A≥B.4．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，則糖水就變甜了，試根據(jù)這個事實提煉一個不等式eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)(b>a>0，m>0)．解析：由題意eq\f(a,b)的比值越大，糖水越甜，若再添上m克糖(m>0)，則糖水就變甜了，說明eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).5．已知a，b為正實數(shù)，試比較eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))與eq\r(a)＋eq\r(b)的大?。猓悍椒?(作差法)：(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))－(eq\r(a)＋eq\r(b))＝(eq\f(a,\r(b))－eq\r(b))＋(eq\f(b,\r(a))－eq\r(a))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝eq\f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))＝eq\f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab)).∵a，b為正實數(shù)，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>0，eq\r(ab)>0，(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，∴eq\f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab))≥0，∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).方法2(作商法)：eq\f(\f(b,\r(a))＋\f(a,\r(b)),\r(a)＋\r(b))＝eq\f(\r(b)3＋\r(a)3,\r(ab)\r(a)＋\r(b))＝eq\f(\r(a)＋\r(b)a＋b－\r(ab),\r(ab)\r(a)＋\r(b))＝eq\f(a＋b－\r(ab),\r(ab))＝eq\f(\r(a)－\r(b)2＋\r(ab),\r(ab))＝1＋eq\f(\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥1.∵eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))>0，eq\r(a)＋eq\r(b)>0，∴eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))≥eq\r(a)＋eq\r(b).方法3(平方后作差)：∵(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2＝eq\f(a2,b