第一章 集合與常用邏輯用語章末檢測-2024年高考數(shù)學高頻考點（新高考通用）解析版

第一章集合與常用邏輯用語章末檢測

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。

如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。

寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求.

1.設(shè)集合S={xdN[0<x<6},T={4,5,6},則SCT=

A.{1,2,3,4,5,6}B.{1,2,3}

C.{4,5}D.{4,5,6）

【答案】C

【詳解】試題分析：因為S={xeN[0<x<6}={l,2,3,4,5}

所以,5門7={1,2,3,4,5小{4,5,6}={4,5},故選（3.

考點：集合的運算.

2.設(shè)xeR,則是";<2、<2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】首先分別解絕對值和指數(shù)不等式，從而得到（。，1）￥（-1，1）,即可得到答案.

111

【詳解】由|x—得?！?V1,由5<2><2得—1VXV1,

因為（。，1）M（T1），所以“IX-；|<；”是“g<年<2"的充分不必要條件，

故選：A

【點睛】本題主要考查充分不必要條件的判斷，同時考查指數(shù)不等式和絕對值不等式的解

法，屬于簡單題.

3.已知集合4={-1,0,1},B=[y\y^x+l\,x^A],則AB=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1）

【答案】B

【分析】根據(jù)集合A,可求出集合B中的具體元素，即可得AcB.

【詳解】解：A={-L0,l},，5={0,1,2},

A8-{0,1}

故選B

【點睛】本題考查集合的交集運算，是基礎(chǔ)題.

4.下列命題中正確的是（）

A.命題“*eR,使得x?+x+l<0"的否定是"VxeR都有f+x+l>?！?/p>

B.命題“VxeR,Y+x+lwO”的否定是“VxeR,d+x+l=O”

C.而>1是a>l,匕>1的必要條件

D.4-6=0的充要條件是：=1

b

【答案】C

【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定判斷A、B,根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷

C、D；

【詳解】解：對于A：命題“HXER,使得了2+工+1<0”的否定是“VxcR都有爐+%+120”,

故A錯誤；

對于B：命題“V%cR,V+x+iwo”的否定是“X2+X+1=09\故B錯誤；

對于C由a>l,b>l,則必〉1,故ab〉l是a>l,b〉l的必要條件，

由〃推不出a>l,b>l,如1=10,b=3,顯然滿足。8>1,故不是a>l,b>l

的充分條件，故C正確；

對于D：由匕=0推不出f=1,如。=6=0,顯然滿足匕=0,但是:沒意義，故D錯

誤；

故選：C

5.若p:、。目1,5],十一"一4>0是真命題，則實數(shù)。的取值范圍是（）

91

A.a>—B.-----C.。>5D.

2516

【答案】C

【分析】利用參變量分離法可得出。>士+工，當xe[l,5]時，求出士+工的取值范圍，即

XXXX

可得出實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】對任意的％且1，5],ax1——4>0,則。>一■—,

XX

114]「9一

因為無目1,5],則工4―41,則不+一￡—,5,：,a>5.

故選：C.

6.已知￡心給出下列條件：①/>人②1<1③—則使得心匕成立

cib

的充分而不必要條件是

A.①B.②C.③D.①②③

【答案】C

【分析】由題意逐一考查所給的三個條件是否是a>6成立的充分而不必要條件即可.

【詳解】由①/>/,得：\a\>\b\,不一定有成立，不符；

對于②，當時，有!</，但。"不成立，所以不符；

對于③，由a，〉/?/,知c#0,所以，有。>。成立，

當成立時，不一定有改2>歷2,因為?？梢詾?,符合題意；

本題選擇C選項.

【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，充分條件和必要條件的判定等知識，意在

考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

7.下列判斷正確的是（）

A.設(shè)x是實數(shù)，則“犬>1”是“國>1”的充分而不必要條件

B.〃：“天（）eR,2與<0''則有力:不存在不€r，2'。>0

C.命題“若x2=1,則尤=1”的否命題為:“若x2=1則xw1”

D.”Vxe（0,+co）,「]>log[X”為真命題

【答案】A

【分析】對于A中，根據(jù)不等式的性質(zhì)和充分不必要條件判定，可得A正確；對于B中，

根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，即可判定；對于C中，否命題的定義，即可判定；對于

D中，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可判定，得到答案.

【詳解】對于A中，當x>l時，國>1一定成立,但當國>1時，x>l或x<-l,故x>l是國>1

成立的充分不必要條件，所以A正確；

對于B中，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，可得命題%°eR,2*Y0”的否定為

rp:"VxeR2x>0"，所以不正確；

對于C中，命題“若丁=1,貝！|x=l”的否命題應(yīng)為:“若貝！JxHl”，所以不正確；

對于D中，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)y=（；『與y=l°g；x在第一象限有

一個交點，所以“Vxe（O,y）d>log：尤”為假命題命題，故選A.

【點睛】本題主要考查了命題的真假判定問題，其中解答中涉及到充分不必要條件的判定,

全稱命題與特稱命題的關(guān)系，以及指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用等知識的綜合考查,

著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.用C（A）表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義4*2=:黑貨廣]!，若人={1,2,3},

2={xI（2/+依）（尤2+依+2）}=0,且A*3=3,則實數(shù)。的取值范圍是

A.卜|^2A/2,+oojB.2A/^）（2A/^,+CO）

C.卜20,2夜]D.（-272,272）

【答案】B

【解析】要使A*3=3,則C（8）..3,分類討論利用判別式來確定集合B中方程根的情況，

進而可得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】解：要使4*3=3,則C（B）..3,

,,,fa2-4x2x0>0?ftz2-4x2x0=0?fa2-4x2x0>0

所以2或2或2，

[a2-4xlx2=0[a2-4xlx2>0[a2-4xlx2>0

解得他,-2*\/2或ci..2A/2-，

又當a=±2應(yīng)時，C（B）=2,不合題意，

綜上，實數(shù)。的取值范圍是（—00,—2忘）（2忘,+8）,

故選：B.

【點睛】本題考查集合新定義，考查學生理解能力和計算能力，是中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題是真命題的是（）

A.VxeR,|x|>XB.3.xeR,|x|<-X

C.VxeR,X2-3^-5>0D.HreR,^2-3x-5>0

【答案】ABD

【分析】利用絕對值的性質(zhì)可判斷A選項的正誤；取x=0,可判斷B選項的正誤；取x=0,

可判斷C選項的正誤；取x=5,可判斷D選項的正誤.

【詳解】對于A：當xNO時，N=x；當尤<0時，|x|=-x>0>x；

綜上所述：WxeR,W。，故A正確;

對于B：當x=0時，滿足,故B正確；

對于C：當x=0時，尤2-3無一5=-5<0,故C錯誤；

對于D：當x=5時,尤2-3尤一5=5>0,故D正確；

故選：ABD.

10.定義集合運算：A0B={z\z=(x+y)x(x-y),xeAyeB),設(shè)A={0,g},

B={1,3},貝I()

A.當x=-s/2,y=>/2時，z=1

B.x可取兩個值，y可取兩個值，z=(x+y)x(x-y)有4個式子

C.A83中有4個元素

D.的真子集有7個

【答案】BD

【分析】根據(jù)集合的定義可求出從而可判斷各項的正誤.

【詳解】A0B={Z|z=^-y\x^A,y^B\={l,^2},

故A83中有3個元素，其真子集的個數(shù)為23-1=7,故C錯誤，D正確.

當x=近,y=&時，z=0,故A錯誤.

X可取兩個值，y可取兩個值，z=(x+y)x(x-y)共有4個算式，

分別為：

(72+1)(72-1),(^+1)(V3-1),(若+應(yīng))(有-應(yīng)),(應(yīng)+應(yīng))(應(yīng)-應(yīng)),

故B正確.

故選：BD.

【點睛】本題考查新定義背景下集合的計算、集合子集個數(shù)的計算，注意不同的算式可以

有相同的計算結(jié)果，另外，注意集合中元素的互異性對于集合表示的影響，本題屬于基礎(chǔ)

題.

11.下列命題正確的是()

A.“關(guān)于X的不等式如2+X+7〃>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是m>\

B.設(shè)則“工.2且。2”是“％2+y2..4，，的必要不充分條件

C.是<1”的充分不必要條件

D.命題“入40』/+@0”是假命題的實數(shù)。的取值范圍為{同。>0}

【答案】ACD

【分析】利用一元二次不等式的恒成立問題結(jié)合必要不充分條件的定義判斷A；由"2且

y..2時，/+//判斷B；解不等式工<1結(jié)合充分不必要條件的定義判斷C；由命題

a

“V%w[0,l],%+a>0”是真命題，再由〃>(一%)耐=0判斷D.

fm>01

【詳解】對于A,當機=0時，顯然不成立；當機H0時，有A?彳2八，解得機>￡，

[△=1-4"<02

故A正確；

對于B,當乂.2且，.2時,x2+y2..4,則“"2且y..2”是“/+片⑷，的充分條件,故B錯

誤；

對于C,由,<1可得。>1或a<0,即是“工<1”的充分不必要條件，故C正確；

aa

對于D,命題“*e[0,l],x+w,0”是假命題，則命題”心目0,1],工+4>0”是真命題，即a>-x

在工目0』上恒成立，即。>(f)1mx=0,故D正確；

故選：ACD

12.已知集合M={x|x=療-"之一,〃€％卜,則()

A.22eMB.24eM

C.Vx=2^—1,eZ,xeA/D.Vx,yGGM

【答案】BCD

【分析】由x=(m+")(%"),則可得到x為奇數(shù)或4的倍數(shù)，從而可以判斷A,B；根據(jù)

2k-l=k2-(k-l^,即可判斷C；討論M中元素的情況，進而可判斷D.

[詳解]^x=m2-n2=(/M+n)(m-n),

則加+〃，〃同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，所以x為奇數(shù)或4的倍數(shù)，故A錯誤；B正確；

因為2左一1=左2_(左一ip,且左一1,左?Z,所以x=2左一leAf,

故Vx=2左-1,左成立，故C正確；

又2左+1=(左+1)2—42,所以Vx=2左+1,左,

由則羽>為奇數(shù)或4的倍數(shù)，

當x,y中至少有一個為4的倍數(shù)時，則孫為4的倍數(shù)，所以個eM,

當x,y都為奇數(shù)時,則可令x=2左+l,y=2&+1,勺,左2eZ,

所以孫=(2勺+1乂2&+1)=2(2發(fā)自+K+自)+1湛，左2eZ,所以移wM,

故eM,孫eA7,故D正確.

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及蘇-74m,7”2）數(shù)的特性的探討，利用奇數(shù)偶數(shù)的性質(zhì)進行分類

討論是解題的關(guān)鍵.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.“一元二次方程*2+次+0=0有兩個相等的實數(shù)根”是22=a”的條件.

【答案】充分不必要

w0

【分析】根據(jù)二次方程根的個數(shù)能得到二,然后用充分條件和必要條件的定義進行求

[b=ac

解即可

【詳解】因為一元二次方程OX?+2bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根，

所以::/八，即’故能推出"=*’充分性成立,

[（26）-4ac=0[b=ac

[a^O

因為從=這不能推出，，，必要性不成立.故答案為：充分不必要

[b=ac

14.已知集合4=卜|m2_2X+I=O,XCR｝有且僅有兩個子集，則實數(shù)加=

【答案】0或1

【分析】由集合A有且僅有兩個子集可得集合A只有1個元素，再對俄分類討論即可得出

答案.

【詳解】解：?.?集合A=｛尤|加-2x+l=0,xeR｝有且僅有兩個子集，

???集合A只有1個元素，

???方程祖/_2%+1=0只有1個實數(shù)根，

當機=0時，方程化為-2%+1=0,得％=符合題意；

當相。0時，由根的判別式有A=4-4m=0,得m=1,

故答案為：0或L

【點睛】本題主要考查方程集合的子集個數(shù)，考查方程解的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知條件21＜》＜左+1,。：=22,p是q的充分條件，則實數(shù)上的取值范圍是

X+1

【答案】H-2]

【分析】先根據(jù)分式不等式求出4,設(shè)條件P對應(yīng)的集合為A,條件4對應(yīng)的集合為B,由

p是q的充分條件，可得Au8,進而可得出答案.

【詳解】由二、2,得注4。，解得一5Vx＜—1,

X+lX+1

設(shè)24={犬上一1<%〈人+1},5=1x|—5<x<—1},

因為p是q的充分條件，所以

(k-l>-5

所以《71-「解得-44左4一2,

所以實數(shù)k的取值范圍是[-4,-2].

故答案為：[T—2].

16.已知集合A=[/+1/+2]D，+5/+10],。eA,如果存在正數(shù)丸，使得對任意都

滿足4eA,則實數(shù)r=.

a

【答案】一4或0

【分析】根據(jù)集合元素屬性特征，通過解方程分類討論求解即可.

【詳解】當/>-1時,當“中+1J+2]時，貝與牛+5J+10],

當a￡,+5/+10]時，則一￡[/+1,/+2],

夕)

即當a=/+l時，一W/+10；當〃=/+10時，一之/+1；所以X=(?+10)。+1),

當a=%+2時,—21+5；當〃=」+5時,—Wt+2,所以4=(/+5)(力+2),

aa

因此有4=。+10)(，+1)=(，+5)”+2)=>/=0；

當.+2<0<%+5時，當〃￡[/+1,r+2]時，貝1]—G+1,/+2],

當〃￡,+5/+10]時，則一￡[/+5/+10],

即當〃=1+1時，-WJ+2；當a=￡+10時,—>t+l*所以4=。+2乂/+1),

當〃=/+5時，—</+10；當L+10時，—W/+5,所以X=(/+5)?+10),

因此有4=(+2)?+l)=(+5)?+10)=>方=T,

當,+10<0時，同理可得無解，

綜上所述：實數(shù)t的值為-4或0,

故答案為：-4或0

【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)區(qū)間取特殊值分類討論進行求解是解題的關(guān)鍵.

四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫出

文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知集合A={H-2<x<5},B={Hm+1<%<2機一1}.

7

(1)當根=]時，求Ac3和AuB；

(2)若AB=B,求實數(shù)次的取值范圍.

【答案】(1)AC5={X|[WX<5},A^JB={X\-2<X<6}

(2)m<3

7

【分析】(1)當時求出集合8,再與A進行交集和并集運算即可求解；

(2)由題意可得3qA,討論3=0和3X0,根據(jù)包含關(guān)系列不等式組即可求解.

(1)當根■時，A={x|-2〈xW5},B=jx|-|<x<6|,

所以Ac8=]x|[〈xW5},AuB={x|-2<x<6}

(2)

若AB=B,則

當B=0時，m+l>2m-l,可得m<2,此時符合題意，

m+1<2m-1

當3W0時，若B=A則”+1之一2,解得：24切〈3,

2m-1<5

綜上所述：實數(shù)加的取值范圍為：m<3.

18.已知集合4=32<%<4}

⑴求AcB；

(2)若集合C={H"x<o+l},在①AuC=A；②xeC是xeA的充分條件，這兩個條件中

任選一個作為條件，求實數(shù)。的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】⑴AC3={X[3WX<4}

(2)[2,3]

【分析】(1)根據(jù)分母不為零且偶次方根的被開方數(shù)非負得到不等式組，即可求出集合3,

再根據(jù)交集的定義計算可得；

(2)根據(jù)所選條件得到C=A,即可得到不等式組，從而求出參數(shù)的取值范圍.

[詳解】(1)?.?了=?^+」fx-3>0

7[%-5w0?二工23且工。5,

x-5

：.B=y/x—3H---=--{-%-|兀23且％。5},

卜卜=x-5

又4=卜|2<尤<4},

/.AnB=1x|3<x<41；

(2)若選①AuC=A,則CqA,

V。={%|4<%<々+1}且〃+1>4,,Cw0,

\a>2

???〈…，：.2<a<3

Lz+1<49

工實數(shù)，的取值范圍為[2,3]；

若選②x￡C是xeA的充分條件,則

■:C=v%va+l}且〃+1>。,???Cw0,

a>2

一，：.2<a<3,

kz+l<4

???實數(shù)〃的取值范圍為[2,3].

19.已知集合4={%|—2<%<5},B=|x|m+l<x<2m-l},且5/0.

(1)若命題p：“VX￡5,xeA”是真命題，求相的取值范圍;

(2)若命題/“玄￡A,是真命題，求相的取值范圍.

【答案】⑴[2,3]

(2)[2,4]

【分析】(1)根據(jù)命題p為真命題，得到8a48力0,從而得到不等式組，求出m的取值

范圍；

(2)根據(jù)命題q為真命題，得到AC3關(guān)0,從而得到不等式組，求出m的取值范圍.

【詳解】(1)命題p："VxwB,xeA”是真命題，故8=48/0,

m+1<2m-1

所以“+12-2,解得24〃?43,

2m-1<5

故m的取值范圍是[2,3].

(2)由于命題q為真命題，則Ac5w0,

因為8/0,所以m+142m一1,所以用22,

當機22時，一定有相+123,

要想滿足Ac5/0,則要滿足根+145,解得加W4,

故Ac5w0時，2W機44,

故m的取值范圍為[2,4].

20.已知/(x)=ax2+(2〃+3)%+1—。.

(1)求證：4=0是關(guān)于X的方程/(x)=0有解的一個充分條件；

⑵當4>0時，求關(guān)于X的方程/(X)=0有一個正根和一個負根的充要條件.

【答案】⑴證明見解析

⑵4>1

【分析】(1)將。=0代入函數(shù)，求解/(x)=0即可.

fA>0

(2)由一元二次方程有一正一負根，即八列式求解可得a的范圍，再檢驗必要性即

I%%<0

可.

【詳解】⑴證明：當。=0時，〃x)=3x+l,

則/(x)=0,即：3x+l=0,解得：x=

所以。=0是關(guān)于x的方程/(x)=0有解的一個充分條件.

(2)當。>0時，因為方程/'(x)=0有一個正根和一個負根，

a>0?！??

2

所以｛A>0^<(2a+3)-4a(l-G)>0,解得：a>\.

—2<0-1---a<0八?門

、a

1—n

反_之，當々>1時，A=(2〃+3)2—4Q(1—Q)>0,且再/=---<0,

a

所以/'(x)=0有一個正根和一個負根，滿足條件.

所以，當。>0時，關(guān)于x的方程/'(x)=0有一個正根和一個負根的充要條件為。>1.

21.命題P：任意xeR,f>0成立；命題4：存在xeR,x2+4)wc+1<0

(1)若命題q為假命題，求實數(shù)加的取值范圍；

(2)若命題〃和4有且只有一個為真命題，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)-9睦;

(2)一工工用<0或相?—3或m〉￡

2，

【分析】(1)由q真,由判別式求得m的取值范圍，進而得到q假的條件；

(2)求得p真的條件，由。和夕有且只有一個為真命題，得到P真q假，或。假4真，然后

分別求的m的取值范圍，再取并集即得.

【詳解】⑴由q真:A=16m2-4>0,得或冽>、,

2乙

所以q假：_：4加工：；

(2)p真：/=4根2+12根<0推出一3<相<0,

由〃和4有且只有一個為真命題，

??.〃真4假，或〃假4真，

-3<m<0fm<-3或加>0

￡

.22[\2,2

2