2021屆高三數學（文理通用）一輪復習題型訓練：對數函數（五）（含解析）

《對數函數》（五）

考查內容：主要涉及對數函數值域（最值）、對數函數的圖像

選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.函數y=lnx,xe（l,e3]的值域是（)

A.(0,+co)B.(0,3]C.(-0),3]D.[3,+<?)

2.函數/（%）=1幅（2*+9）的值域為（）

A.[2,+CO)B.(2,+GO)C.(3,+8)D.[3,+00)

3.函數yT°gi（%2—6x+17）的值域是（）

2

A.RB.(—8,-3]C.[8,-H?)D.[3,+a))

4.函數/（x）=log2（3工+1）的值域為（)

A.(0,+oo)B.[0,+oo)C.(l,+oo)D.[1,+oo)

21rlr—1

5.函數y=——的值域為().

lnx+1

A.{引0<,<2}B.{y|y>0,y/2}C.{y"2}D.{y\y>2

6.函數，（力=1082亍1084（4必）的最小值為（）

93

A.——B.-2C.——D.0

42

7.已知函數/（x）=lg（奴？+x+a）值域為R,則實數。的取值范圍是（）

/11、11

A.(——,-)B.r

2222

C.[0,1]/1、l、

D.（-0o,一寸口r與什00）

8.函數/（x）=/Qg〃（尤2—ax+2）在區(qū)間（1,+oo）上恒為正值，則實數。的取值范

圍（）

A.（1,2）B.（1,2]C.（0,1）0（1,2）D.?

9.在同一直角坐標系中，函數＞=優(yōu)+6,y=log“（x+b）（。＞0且awl）的圖

象可能是（）

10.函數/（x）=loga（2x—3）—4（a>o且awl）的圖象恒過定點（）

A.（1,0）B.（1,M）C.（2,0）D.（2,-4）

11.圖中曲線分別表示y=log“x,y=log/,y=logcX,y=log/X的圖象，則

a,b,c,d的關系是（）.

fi,

J“

A.0<a<b<l<d<cB.0<b<a<l<c<d

C.0<d<c<l<a<bD.0<c<d<l<a<b

12.方程sinx=lgx的實數根的個數是（）

A.1B.2C.3D.無窮多

二.填空題

13.若函數/（%）=k）g,（九+2）—2（其中〃>0且awl）,則/（x）的圖像恒過定點

14.函數y=的值域為.

15.己知函數/（%）=1。82（?2+%+幻的值域為凡則實數。的取值范圍是

3-x,x<2

16.已知a>0且awl,若函數/（尤）=〈"的值域為口,內），則。的取值

logfl^,x>2

范圍是一

三.解答題（解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.已知函數/（X）=log"（1-力+log”（x+3）（O<a<l）.

（1）求函數〃X）的定義域;

(2)求函數/(x)的零點；

(3)若函數/(%)的最小值為T,求。的值.

2

18.已知函數/(%)=log

1-alogix+2,XG8

2)2r-

⑴若a=l,求函數/(X)的值域;

(2)若關于x的方程/("+a=0有解，求實數。的取值范圍.

19.已知函數/(x)=(log2x-2)j^log4x+g)?

(1)當xe［l,4］時，求該函數的值域；

(2)若不等式/(x)</〃log4X對于xe［4,16］恒成立，求實數加的取值范圍.

20.已知1x)是定義在［—4,4］上的奇函數，當尤6(0,4］時，函數的解析式為

/(x)=log2x+log4x+a(aeR),且/(4)=2/(-2).

⑴試求a的值；

(2)求犬x)在［-4,4］上的解析式；

(3)求犬x)在［-4,0)上的最值(最大值和最小值).

21.已知累函數〃％)=/汴+，”+3(%62)是奇函數，且/⑴</(2).

(1)求冽的值，并確定“X)的解析式；

(2)求？=log；/(x)+log/2/(切,“J)21的值域.

22.已知函數/(x)=a——--是定義域為R的奇函數.

T+1

(1)求實數a的值并判斷函數/'(x)的單調性；

(2)當xe[3,9]時，不等式/(logs?x)+“2-根logs%)20恒成立，求實數加的取

值范圍.

《對數函數》(五)解析

1.【解析】由于對數函數y=lnx在其定義域上是增函數，當xe(l,e3]時，

lnl<lnx<lne3>即0<lnxW3,因此，函數y=lnx,xe(l,e1的值域是(0,3].

故選：B.

2.【解析】u(x)=2*+9〉9,則函數〃x)=log3(2x+9)=log3”>log39=2,

所以/(%)值域為(2,十》),故選B

3.【解析】爐―6x+17=(x—3y+8>0恒成立，

二函數y=logi(d-6%+17)的定義域為尺

2

設。=爐_6%+17=(x-3)2+8>8

由復合函數的單調性可知函數y=i°gi(二一6%+17)在定義域R上先增后減，函數取

2

到最大值即：=log,(%2-6x+17)<log]8=-3

22

函數的值域為(-8,-3],故選3

4.【解析】3*>0，;3+1>1，，log2(3"+l)>0,

函數的值域為(0,+s).故選：A

5.【解析】函數的定義域為+8：

..2Inx—12t—13,

令，=lnx,貝Uy=-；--------=-------=2-------,其中，。一1,

Inx+1%+1。+1

故y=2-5的值域為S，2),(2,y),

故。=lnx+]的值域為(T22)_(2,+8).故選：C.

6.【解析】由題意知/(九)的定義域為(0,+8).

22

所以,/(x)=log21-log4(4x)=(log2x-log24).(1+log4x),

/(x)=(-2+logx)(l+logx)=(logx)2-log2〉_2

22224~~4

故選：A.

7.【解析】當a=0時，f(x)=lgx,顯然值域為R,滿足題意;

當aW0時，為使函數/(x)=lg(ax2+x+a)值域為R,

只需y=以2+x+a取盡大于0的所有實數，

a>0I1

因此只需《.，“，C，解得：0<aW：，綜上，OWaW；.故選：C.

A=l-4a->022

8.【解析】?.?函數/(xhlogE*上恒為正值，

當0<a<l時，［og，s+2)>0=/ogj,0<%2一公+2<1在區(qū)間(1,+co)上恒成

立，此不等式顯然不恒成立；

當a>l時，iog，s+2)>o=/og/，/一依+2>i在區(qū)間(l,+oo)上恒成立，

1/、f。>1

即a<x+—在區(qū)間(l,+oo)上恒成立，<<2，解得l<aW2.故選：B.

9.【解析】因為y=y=logfl(x+Z?)

對于B,兩函數單調性不一致；

對于C,函數y=ax+b中6<o,函數y=log?(x+，)中〃>0；

對于D,函數丁=優(yōu)+6中/?>0,函數y=k?ga(x+5)中6<。.故選：A

10.【解析】令2x-3=l得x=2,.."(2)=logJ-4=-4,

故/(%)過點(2,—4),故選D.

11.【解析】如題目圖所示，由于在第一象限中，隨著底數的增大，函數的圖象越向x

軸靠近，所以0<c<d<l<a<〃.故選D.

12.【解析】在同一直角坐標系中作出函數y=5由才與y=lgx的圖像，由圖可以看出兩

函數圖像有3個交點，即sinx=1gx有3個實數根.

］，''、：.

故選：c.

13.【解析】/(x)=logfl(x+2)-2,令彳+2=1,得x=-L,

/(―1)=log/—2=0—2=—2..?.函數/(%)的圖象過定點(-1,-2).

(Y—Y—1

14.【解析】由題意，函數y=lg--,則——>0,解得九<—2或%>1,

U+2；x+2

、“x~lx+2—3.3__.八ry

設/=----二--------二1---------，可r得z/>0且，wl,

x+2x+2x+2

由對數函數的性質，則函數)=坨］?>0且％。1)滿足)￡尺且丁。0

即函數y=坨［巖］的值域為(—8,0).(0,+8).

15.【解析】設“(%)=辦？+%+〃值域為A,

2

函數/(%)=log2((2%+%+〃)的值域為R,(0,+oo)=A,

當〃=0時，/(%)=1。82%值域為尺，滿足題意;

a>0

當〃。0時,解得0<a<—,

A=l-W>0

綜上，實數a的取值范圍是0,)

3-x<2

16?【解析】〃>0且QW1,若函數/(%)=<的值域為［1,+8),

log^x,x>2

x>2

當％<2時，y=3-x>l,所以]，，可得1<。<2

[log〃x21

1-x>0,

17.【解析】⑴由已知得x+3>。,，解得一3<，<1，

所以函數〃尤)的定義域為(—3,1).

(2)/(%)=log”(1一%)+log。(%+3)=log。(1一%)(%+3)=log.(-%2-2%+3),

令/(尤)=0,得-x2-2x+3=1,即_?+2x—2=0,

解得x=-1土行1土艮(-3,1),

.??函數”X)的零點是—1±6

(3)由2知,/(x)=log"(—x2—2x+3)=log“-(X+1)2+4,

—3<x<1,0<-(x+1)+4<4.，/0<a<l,

???logJ-(X+1)2+42log.4,/0n=log。4=-4,a=4%=也.

L」2

27

18.【解析】(1)當a=1時,/(x)=(log2x)+log2x+2=H——,

4

由于xeg，8,所以log2X?T,3],所以當x=—g,x=/時，/(%)有最

7「7一

小值為:；當log2X=3,x=8時，”力有最大值為14.故〃尤)的值域為-44.

2「11

(2)原函數可化為〃x)=(k>g2xf+alog2X+2,xe-,8.所以log2X?T，3].

依題意關于％的方程/(x)+a=0有解，即(log24+alog2x+2+a=0①，

在xe1,8時有實數根.

當108，_￥=-1,兀=工時，①化為l—a+2+a=3wO,所以x=—不是①的根.

■22

當時，Iog2xe(-I,3],log2%+1G(0,4],①可化為

2

6Z(log2X+1)=-(log2x)-2,

22

(log2%)+2(log2x+1)-2(log2x+l)+3

a=------------=----------------------------

log2x+1log2x+1

3

=—(log2x+l)+--------+2②.

log2x+1

其中(log2x+l)+-~~-~->2/g2X+l).3=273,

log2x+1ylog2x+1

31

當且僅當log2》+l=^------即x=2"-e-,8時，等號成立.

log2x+1\_2

所以②式可化為a<-2A/3+2.所以。的取值范圍是+21

19.【解析】⑴/(%)=(。2%-24og4X+g]=(21og4X—2"g4X+g]

令t=log4x,則xe工4]時Je[0,1]

此時,y=(2t—2)"+g]=2/—/—1=2“—-1,

-9-

Ze[O,l],.\yG--,0,

o

9

所以x￡［l,4］時，函數/(好的值域為一大,0

o

⑵/(x)<mlog4x對于X€［4,16］恒成立，

方法一：

即2/TW3對/e口,2］恒成立，即2產-⑴+?-1V0對1e［1,2］恒成立，

設力⑺=2產一⑺+l)z-lje［l,2］,貝!|A(Omax<0,

①當空2寄，即加25時，,⑺max=飄1)=2—(加+1)—1<0n加20

所以加N5;

②當"+1<匕2，即加<5時,h(t)=/z(2)=8—2(m+l)-l<0^>m>—,

422

所以*〈加<5;

2

綜上所述,m2』.

2

方法二：

即2?-，一1?相才對，￡口,2］恒成立,.?.加22%對，￡口,2］恒成立，

t

設g⑺=2/—1一1Je工2］,g⑺=27—1—1在/e口,2］上單調遞增，

tt

20.【解析】(1)因為五x)是定義在［—4,4］上的奇函數，所以

/(4)=2/(-2)=-2/(2)^log24+log44+a=-2(log22+log42+a)^a=-2.

(2)因為加0是定義在［—4,4］上的奇函數,所以有/(O)=0.

當xe［—4,0)時，

/(x)=-f(-%)=-[log,(-x)+log4(-x)-2]=-log2(-x)-log4(-x)+2

3

=--log2(-x)+2

3

—log2x-2,0<x<4

所以負x)在［-4,4］上的解析式為：/(%)=<0,x=0

3

—

—-log2(x)+2,-4V%<0

3

⑶當九￡[—4,0)時，/(%)二—/log2(—%)+2,—X￡(O,4]因此當—x=4時，函數/(%)

有最小值，最小值為-1,函數沒有最大值.

21.【解析】(1)因為幕函數/(x)=x.2混+"+3(%eZ),/(1)</(2)

所以“X)單調遞增，所以—2/+加+3>0,即(2%—3)0+1)<0,

3

解得一1<加<一,又加￡Z,所以加=0或加=1,

2

當機=0時，/（x）=x3,滿足/（一%）=-9=_/（%）,因此〃%）=尤3是奇函數；

當機=1時，/（"=/+1+3=%2,顯然是偶函數；所以m=0,/（X）=d；

3"32

（2）因為/（x）=d,=（log2%）+log；（2x）-9（log2J;）-1-31og2,

=log2x,因為xe所以1,1],

5

所以y=9j—3/—1=9

4

所以y=9〃—3/—1在/e-1,(］上單調遞減，在上單調遞增，

因此為小—；；又當/=—1時，y=9+3-l=ll；當"1時，y=9-3-l