2022-2023學(xué)年重慶市高一年級下冊聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年重慶市高一下冊聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題

(含解析)

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題列出的四個選

項中只有一項是符合題目要求的.)

5+3i

Z-

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1+i(其中i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【正確答案】D

【分析】首先化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，求對應(yīng)的點所在象限.

5+3i(5+3i)(l-i)8-2i,.,、

【詳解】z-———=4-1,對應(yīng)的點時4,-1),在第四象限.

1+1(1+1)(1-1)2'

故選：D

2.已知向量2=(-2,2),B=(x,l)(xeR)，若2工B，則|2+3|=()

A.10B.3C.372D.710

【正確答案】D

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求x,再確定"+B坐標(biāo)，應(yīng)用模長的坐標(biāo)運算求模長.

【詳解】由題設(shè)，2石=2-2》=0，可得x=l，則B=(l,1)，

所以：+力=(一1,3)，則以+B|=JiU.

故選：D

3.在ABC,其內(nèi)角4民。的對邊分別為。，“c,若4cos8+bcosZ=a,則/8C的形

狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【正確答案】A

【分析】根據(jù)正弦定理可得結(jié)合條件可得sinC=sin/,進而即得.

【詳解】因為在ABC,acosB+bcosA=a,

所以sin4cos8+sin3cosZ=sin(/+8)=sin/,

又4+8+C=TC,

所以sinC=sin/,c=af

所以48。為等腰三角形.

故選：A.

4.已知在Z8C中，點。為邊8C的中點，若而+前=丸法+〃衣，則%+〃=()

A.-1B.-2C.1D.2

【正確答案】C

【分析】利用平面向量基本定理求得4〃的值，進而求得％+〃的值.

【詳解】在/8C中，BC=AC-7B>

—?1―■1—?

又點。為邊8C的中點，則4D=-/B+—ZC,

22

‘，一"■■—1—,1,，―?*-?—■1—-3’■一

則4。+5。=一/8+—4。+/。一48=——AB-^-AC

2222

—?—?—?—?13

又仞+3C=>L45+M4C，則％=-5，4=5，

13

則4+4=-萬+5=1

故選：C

5.在正方體448—4旦G〃中，E,F,G分別為％4，4G，GA的中點，則異面

直線。E與歹G所成角的余弦值為()

A后c下D石

55105

【正確答案】B

【分析】連接60，BE,44可得N8OE即為異面直線。七與EG所成角，設(shè)正方體的

棱長為2,由余弦定理可得答案.

【詳解】連接8。，BE,BR,則BDHBQ'HGF,

則NBDE即為異面直線DE與FG所成角,

設(shè)正方體的棱長為2,則BE=DE=?，BD=2V2>

BD'DO-BE?8+5-5

則cosZ.BDE

2BDxDC_4V2xV5-5'

即異面直線DE與FG所成角的余弦值為巫

5

故選：B.

6.已知向量;=(1,2),a-b=\Q^ft+b\=5y/2,設(shè)與加方向相同的單位向量為"，則向量

W在向量B上的投影向量為().

1-_12-5-

A.—cB.2eC.—cD.—c

252

【正確答案】B

【分析】先通過［++“￡+盯求出村,再利用投影向量的定義求解即可.

1

【詳解】Q6/=(1,2),

=Vi+4=75,又???7B=io，

「Ja+,=+2、〃+片=J5+20+=5也

W=5,

u-b-c一

向量值在向量B上的投影向量為下「e=2e.

\b\

故選：B.

7.《九章算術(shù).商功》：“今有塹堵，下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，問積幾何？

答曰：四萬六千五百尺”所謂塹堵：就是兩底面為直角三角形的直棱柱：如圖所示的幾何體

是一個“塹堵”，N8=8C=4,44|=5,M是4G的中點，過8cM的平面把該“塹堵”

分為兩個幾何體，其中一個為三棱臺，則三棱臺的表面積為()

B.25+15V2+3V29

C.50D.30+20V2+3V29

【正確答案】B

【分析】首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.

【詳解】如圖所示，取44的中點M連結(jié)BN,MN,易知平面8cMN為過8CA/的平

面，

則所得的三棱臺為4MN-其中上下底面均為等腰直角三角形，三個側(cè)面均為梯形,

各個面的面積：

SABC2x4x48,SA、MN=；x2x2=2,=1x（2+4）x5=15,

^C=1X（2V2+4V2）X5=15V2,5^C=1X（2+4）XV29=3V29，

據(jù)此可知三棱臺的表面積為25+15&+3

本題選擇B選項.

本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，三棱臺表面積的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能

力和計算求解能力.

8.在ZBC中，角4B,C的對邊分別為b,c,若/一/二八？，且

2hsin224+sin5=0,則2=()

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】D

【分析】由2bsin2/+asin8=°及正弦定理得3/二1,由余弦定理及/一/二帶求

【詳解】V2ftsin224+asinB=0,

2b?2sin4cosZ+asin8=0,

由正弦定理得2sin6?2sinAcosZ+sin4sin8=0,

VsinJsin50，「?4cos/+l=0,

百正/曰.1b2+c2-a2

由余弦定理得cosA=——=---------------,

42bc

又???/—〃=402.代入可得2=6.

c

故選：D

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）

9.已知a,4是兩個不重合的平面，/,機是兩條不同的直線，在下列說法正確的是（）

A.若/〃a,a〃尸，則/6B.若?！?,mua，則加p

C.若/〃a,加ua,則/mD.若:aC0=l,m〃I,則至少與

a,月中一個平行

【正確答案】BD

【分析】畫出一個正方體,借助正方體的平行，垂直關(guān)系，進行驗證即可.

【詳解】A.如圖所示:,可得結(jié)果/〃尸或/u尸，故A

錯誤;

B.如圖所示:，可得結(jié)果加//尸，故B正確:

D正確.

故選：BD.

10.已知z=a+bi(a,beR)為復(fù)數(shù)，彳是z的共軌復(fù)數(shù),則下列命題一定正確的是()

B.若1￡R,則z￡R

A.若z2為純虛數(shù)，則。=力聲0

Z

C.若|z—i|=l,則目的最大值為2D.Z-Z=\zf

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模的三角不等式及共輒復(fù)數(shù)的定義，計算求解

后判斷即得.

、/oo\ab—0

【詳解】對于A,z2=(a+bi)2=(/—/)+24加為純虛數(shù)，所以《，即

2abw0

。=±6。0,所以A錯誤；

1_1_a-bi_ab

對于B,z〃+bi(a+bi)(a-Ai)a2+b2a2+b2'

因為，eR,所以b=0,從而zwR,所以B正確；

z

對于C,由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得|W=|(z-i)+i|M|z-i|+|i|=2,所以c正確；

對于D,z-z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=\z\^,所以D正確.

故選：BCD.

11.在48c中，角46,C的對邊分別是a,b,c,b2+c2=bc+a2,b=S,a=2y/n,則

下列說法正確的是()

A.Z8C為銳角三角形B./8C面積為4百或12百

524

C.45長度為6D.48c外接圓的面積為——

3

【正確答案】BD

【分析】利用余弦定理求出A,從而求出邊c,再利用面積公式及正弦定理求出外接圓的半

徑，即可得解；

【詳解】解：由〃+。2=兒+/，所以cos/="+：；一"=!，因為Ne(O,%),所以

2be2

A=—,又6=8,Q=2JTJ,所以8?+，=8c+(2ji5),解得。=2或c=6,故C錯

誤；

22121

當(dāng)c=2時，cosB="十°-’=-一<0,所以8為鈍角，故A錯誤；

lacV13

當(dāng)c=2時，，S=—bcsmA=—X8X2X^-=4A/3;

222

當(dāng)c=6時，5=—Z>csin?l=—x8x6x-12^/3>故B正確；

222

2火=」=半=4心

sin/V3V3>y,所以外接圓的面積

2

52

71R2=71—7t,故D正確:

3

故選：BD

?！?—?4

12.在46c中，NA=—,BABC=9,且cosC=—,P是Z8C所在平面內(nèi)的一點,

25

設(shè)方?定=加，則以下說法正確的是（）

A.Sa08C=12

B.若加=14,則的最小值為2

11___9

C.若旭=一，設(shè)麗=x7^+yZ，則X+V的最大值為一

44

D.若尸在Z6C內(nèi)部（不含邊界），且5^=2,則加的取值范圍是（一6,—2]

【正確答案】BC

4

【分析】A選項，根據(jù)向量數(shù)量積公式和cosC=一得到三角形三邊長，求出三角形面積；

5

?——IQ9

B選項，利用極化恒等式得到尸點在以“為圓心，萬為半徑的圓上，數(shù)形結(jié)合

得到|/尸|的最小值；c選項，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸。,〃），得到尸點軌跡，可設(shè)

3

f=2+3cosa〃=—+3sin6,表達(dá)出xj,利用三角恒等變換求出最大值；D選項，先

2

由面積得到尸點軌跡，得到|尸,從而得到〃?的取值范圍.

【詳解】A選項，因為/幺=5，所以或?芯=|瓦^?Bgcos8=|現(xiàn)（=9,

解得AB=3,

又cosC=±,故sinC=J1一cos?C=3,

55

所以8c=5,由勾股定理得NC=4,所以S^BC=；Z5-NC=6,故A錯誤；

B選項，取8C1中點因為而+斤=2兩，而一定=2礪，

兩式平方后相減得到則PB-7C=\PM-\MB|2=|PM|2--,

____、si?____19Q

當(dāng)加=14時，|RW|2=W，即『”|=5,所以尸點在以歷為圓心，/為半徑的圓上，因

為卜g,所以?尸|的最小值為g—g=2,故B正確；

C選項，以A為坐標(biāo)原點，所在直線為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則3（0,3）,C（4,0）,設(shè)尸&〃），則而?正=（乜3—〃）-（4T,f）=/一4/+〃2-3〃

當(dāng)加=?時、t1-4t+n2-3n=,整理（f-2/+（〃-［）=9，

所以尸點在以A/J，）為圓心，3為半徑的圓上，可設(shè)/=2+3cos6,〃=|?+3sine,

由AP=xAB+yAC^,（/,”）=x（0,3）+y（4,0）=（4y,3x）,

E〃1.八/13八

則x=—=—+sm/y=—=一+—cos0,

32’424

對于D選項，在4B取點、D,使得/。=1,過。作。交5C于E,

由S4c=2可得，P在線段DE上（不含。,￡），

故|尸g‘乎’故m=1兩『-胃，所以加的取值范圍是［F-2）,故D錯誤.

故選：BC

方法點睛：

平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：

①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根

據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；

②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解

集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.已知在復(fù)平面內(nèi)，向量而對應(yīng)的復(fù)數(shù)是3+2i,而對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一2+4i，則向量而對

應(yīng)的復(fù)數(shù)是.

【正確答案】-5+2i##2i-5

［分析］根據(jù)向量的減法計算和復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系即可求解.

【詳解】CB=C4+JS=G4-a4=（-2+4i）-（3+2i）=-5+2i.

故答案為.-5+2i

14.如圖所示的是用斜二測畫法畫出的ZO6的直觀圖V?05'（圖中虛線分別與x'軸,

了軸平行），則原圖形/。8的面積是.

【正確答案】40

【分析】根據(jù)斜二測畫法還原原圖形，求出其面積.

【詳解】根據(jù)題意，原圖形如下圖：

的底邊AB的長為5,高為16,

其面積為S='x5xl6=40.

2

故40

15.已知某圓臺的上底面和下底面的半徑分別是1和2,側(cè)面積是30兀，則該圓臺的體積

為.

7無7

【正確答案】##—71

33

【分析】根據(jù)題意求得母線長/及高〃，代入圓臺的體積公式求解.

【詳解】圓臺的上底面和下底面的半徑分別是尸=1和R=2,設(shè)母線長為/,高為〃，側(cè)面

積是3后兀，

故兀（火+/）/=兀（2+1）/=3/兀,

所以/=y/2，

圓臺的高為〃=J/2_（Rf）2T2_（2_1）2=1,

1

所以圓臺體積為憶=：兀（火2+/）〃=：兀（4+2+1）x1.

,,7兀

故一

3

16.已知三棱錐P-N8C的棱長均為4,先在三棱錐尸—N8C內(nèi)放入一個內(nèi)切球。一然后

再放入一個球。2,使得球0與球。及三棱錐尸-ZBC的三個側(cè)面都相切，則球02的表面

積為.

【正確答案】;2兀##2絲4

33

【分析】由等體積法求得內(nèi)切球。|半徑，再根據(jù)比例求得球Q的半徑，則問題可解.

【詳解】如圖所示：

p

448G4G

底面ABC的外接圓半徑為2r'=/旃=二萬=亍=4=亍，

T

點P到平面48c的距離為d=「'半=半，

所以*BC=；X4&半=粵?,

所以SPBC=SPAB=SPAC=；x4x4xsin60°=46

設(shè)球。1的半徑為R，所以8c=Oy-PAB+^O,-PAC+%-P8C+匕）-ABC

貝ijl^l=g（46x4卜R，得人與

設(shè)球Q的半徑為r,則二=必二告二，又&=如得尸=邁

RR36

所以球Q的表面積為S=4n（骼）=|無

故答案為.（兀

四、解答題（本題共6小題，17題10分，剩下每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出

文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.已知復(fù)數(shù)z=/-3a+2+（a-l）i,其中i是虛數(shù)單位，aeR

（1）若Z是純虛數(shù)，求z2g;

（2）當(dāng)。=3時，求三;?

【正確答案】（1）i

272

5

【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的實部為零，虛部不為零列方程可求出復(fù)數(shù)2=3再利用/=1可

得答案:

ZZ

（2）代入4=3,然后通過復(fù)數(shù)的運算得到——7的代數(shù)形式，進而可得——7的模.

2z-i2z-i

【小問1詳解】

???z是純虛數(shù)，

cr—3。+2=0

二?〈，

Q—1W0

解得4=2,

，z=i,

7=i,=02『=（—1）2=1，

.2025：2025■4x506+1■.

..Z=1=1=1；

【小問2詳解】

當(dāng)。=3時，z=2+2i,

.z2+2i_2+2i_（2+2i）（4—3i）_14+2i

"2z-i-2（2+2i）-i-4+3i-（4+3i）（4-3i）-25'

-=眄軍T*

2z-ig25J[25j5

18.已知a=b=（0,1）,在①+②忸+B卜忸+同這兩個條

件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

（1）若,求實數(shù)/的值；

（2）若向量c=（x,y）,且。=-^4+（1—》）行，求口.

【正確答案】（1）/=1或f=一1

（2）V2

【分析】（1）根據(jù)題意求得扇+石=（T,T+1），Z+正=（一1,一1+",選①：根據(jù)向量的

共線列出方程，求得/的值；選②：由忸+同=|,+咻列出方程，即可求解；

（2）由題意求得c=（y,l—x+y）,根據(jù)題意列出方程組，求得羽y的值，結(jié)合向量的模的

計算公式，即可求解.

【小問1詳解】

解：因為4=(—1,—1),所以加+6=(―—￡+1),Q+仍=(―1,—1+1)

若選擇①：由+b)//(a+仍)，則—，(―1+/)=(T+1)?(―1),

解得r=1，所以f=l或￡=一1；

若選擇②：由忸+,=歸+磯則"產(chǎn)+(_/+1)2=++(一1+"2,

則『=1，所以/=1或/=—1.

【小問2詳解】

解：由c=-ya+(1-x)B=(y/)+(0,1-x)=(y,1-x+y),

-/、fx=y

因為C=(x,y),所以11，解得x=y=l,

[y=l-x-^y

所以2=(1,1),可得向=Ji+12

19.如圖，四邊形/BCD是圓柱0a的軸截面，EF是圓柱的母線，P是線段工。的中點,

(1)證明：鳥/,平面片尸77；

(2)若直線48與平面EP尸所成角為60。，求三棱錐B-EPF的體積.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)是定值4百

【分析】(1)根據(jù)圓的性質(zhì)得到根據(jù)圓柱的性質(zhì)得到E/_L8b，然后根據(jù)線

面垂直的判定定理證明即可；

(2)根據(jù)平面EPF得到與平面EPF所成角為NB/b,然后根據(jù)線面角得到

BF=2。AF=2,最后根據(jù)椎體的體積公式求體積即可.

【小問1詳解】

?.?四邊形Z38是圓柱的軸截面，為圓。的直徑，...

又EF是圓柱的母線，二E/工平面48F,

??,6Ru平面/8尸，:.EFLBF，

又；"CEF=F,AD//EF,/￡后尸u平面/。石尸，；.J_平面

又：P是線段4。的中點，.?.平面ADEF即為平面EPF,：.8R_L平面EPF.

【小問2詳解】

由（1）知8/J.平面EPF,/.BF為三棱錐B-EPF的高，且AF為AB在平面EPF內(nèi)的射

影，

與平面E尸尸所成角為由已知/8力尸=60°，48=4,8c=6,

???8E=Z8sin600=2G，AF=ABcos600=2,S^EPF^^EF-AF^6,

/.%D-ELPrrF=_3S△AEWPFt.EF=—3X6X2>▼/3=46".

20.為了幫助山區(qū)群眾打開脫貧致富的大門，某地計劃沿直線ZC開通一條穿山隧道.如圖

所示,48,C為山腳兩側(cè)共線的三點,在山頂尸處測得三點的俯角分別為a=30°,/=45。，

7=30。，且測得工。=加，EB=n,8C=f.用以上數(shù)據(jù)（或部分?jǐn)?shù)據(jù)）表示以下結(jié)果.

（1）求出線段尸8的長度：

（2）求出隧道。E的長度.

【正確答案】（1）在土也

2

(2)(2+y/3)t—m-n

【分析】（1）由條件求出角NBCRNBPC,在PC8中由正弦定理即可得結(jié)果;

(2)在尸48中由正弦定理求出Z8,從而求解得。E.

【小問1詳解】

由題意，夕=45°,7=30。，

所以N8CP=30°,NBPC=15°,又BC=t,

/7_B

sin15°=sin(60°-45°)=sin600cos450-cos60°sin45°=----

BCPBtPB

在PC8中，由正弦定理得,即

sinZ5PC-sinZ5CPsinl5°-sin30°

1

cc5’76+72

解得

4

【小問2詳解】

因為a=30°,4=45°,所以N/=30°,ZAPB=105°,

又由⑴知尸人學(xué)

sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos450+cos60°sin45°=近h

ARPB

在△/PB中，由正弦定理得一-----

sinZAPBsinNPAB

V6+V2

V6+V2入,如±也=(2+同,

所以AB1AB

14

sin105°sin30°

2

所以DE=AB-AD—BE=(2+C)t-m-〃.

21.如圖，在空間幾何體ZBCZJE中，ABC,BCE,/CD均為正三角形，且平面/C￡）_L

平面Z8C,平面E8C_L平面Z6C.

B

E

D

（1）求證：EO〃平面Z8C；

（2）P是棱上的一點，當(dāng)。P與平面Z8C所成角為60°時，求二面角P—/O-。的

余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）—

5

【分析】（1）分別取ZC,8C之中點〃,N,連DM,EN,MN,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明

四邊形。腦花為平行四邊形，從:而將DE〃MN,根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)

論；

（2）根據(jù)OP與平面Z8C所成角為60°，求得PA/的長，說明P為Z8的中點，作出二面

角尸-NO-C的平面角，解三角形可得答案.

【小問1詳解】

證明：分別取ZC,8C之中點M,N,連DM,EN,MN,

???/CD為正三角形，.?.DMJ./C：

又???平面NCC平面/8C,平面ZCZ）n平面Z6C=/C,DWu平面/CD,

DM1平面ZBC,

同理；8CE為正三角形，：.EN_LZC；

平面8CE_L平面Z8C,平面BCEfl平面〃8C=8C,ENu平面ACD,

故EN_L平面NBC,千是DM〃EN.

由ABC,BCE,NC。均為正三角形可知0M=EN,

四邊形為平行四邊形，從而相DE〃MN,

DEZ平面A8C,MNu平面48C,

于是〃平面Z8C.

【小問2詳解】

不妨設(shè)/3=2,連MP，則由（1）平面/8C知I,。尸與平面48c所成角就是

ZDPM,