2024年新高考數(shù)學一輪復習知識梳理與題型歸納第32講復數(shù)教師版

第32講復數(shù)思維導圖知識梳理1．復數(shù)的有關概念(1)復數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2．復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)z＝a＋bi復平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up7(→)).3．復數(shù)的運算(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復數(shù)加法的運算定律設z1，z2，z3∈C，則復數(shù)加法滿足以下運算律：①交換律：z1＋z2＝z2＋z1；②結合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．題型歸納題型1復數(shù)的有關概念【例1-1】復數(shù)的虛部是A． B． C． D．【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：，復數(shù)的虛部是．故選：．【例1-2】已知復數(shù)滿足，且為純虛數(shù)，則A． B． C． D．【分析】由已知可得，，求得，則答案可求．【解答】解：由，且滿足，得，①又為純虛數(shù)，，代入①，得．．故選：．【例1-3】已知復數(shù)，則的共軛復數(shù)等于A．0 B． C． D．【分析】直接根據(jù)共軛復數(shù)的定義求解即可．【解答】解：因為復數(shù)，則的共軛復數(shù)；故選：．【跟蹤訓練1-1】若的實部為，的虛部為，則A．6 B．8 C．7 D．4【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由題意求得與的值，則答案可求．【解答】解：，，，，則．故選：．【跟蹤訓練1-2】已知復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)A． B． C．0 D．1【分析】把復數(shù)化為的形式，再由實部為0且虛部不為0列式求得值．【解答】解：是純虛數(shù)，，解得．故選：．【跟蹤訓練1-3】已知復數(shù)為虛數(shù)單位），則的虛部為A． B． C． D．【分析】利用虛部的定義即可得出．【解答】解：由復數(shù)為虛數(shù)單位），則的虛部為．故選：．【跟蹤訓練1-4】若復數(shù)是純虛數(shù)，其中是實數(shù)，則．【分析】由復數(shù)是純虛數(shù)，列出方程組，求解可得的值，然后代入求出，進而求得答案．【解答】解：因為復數(shù)是純虛數(shù)，其中是實數(shù)，所以：且；故；故；所以：；故答案為：．【名師指導】解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)求一個復數(shù)的實部與虛部，只需將已知的復數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復數(shù)的實部為a，虛部為b.(2)求一個復數(shù)的共軛復數(shù)，只需將此復數(shù)整理成標準的代數(shù)形式，實部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復數(shù)的共軛復數(shù)．復數(shù)z1＝a＋bi與z2＝c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．題型2復數(shù)的幾何意義【例2-1】已知復數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出的坐標得答案．【解答】解：由，得，，在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，，所在的象限為第四象限．故選：．【例2-2】在復平面內(nèi)，是坐標原點，向量對應的復數(shù)是，若點關于實軸的對稱點為點，則向量對應的復數(shù)的模為．【分析】由已知求得的坐標，得到的坐標，進一步求出向量對應的復數(shù)，再由復數(shù)模的計算公式求解．【解答】解：向量對應的復數(shù)是，，又點關于實軸的對稱點為點，．向量對應的復數(shù)為，該復數(shù)的模為．故答案為：．【跟蹤訓練2-1】若復數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義先求出對應點的坐標，然后進行判斷即可．【解答】解：復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，位于第四象限，故選：．【跟蹤訓練2-2】復數(shù)，則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由已知求得，進一步得到的坐標得答案．【解答】解：，，則在復平面內(nèi)所對應的點的坐標為，位于第一象限．故選：．【跟蹤訓練2-3】復數(shù)滿足，則在復平面表示的點所在的象限為A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：由，得；復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，，所在的象限為第一象限．故選：．【跟蹤訓練2-4】已知復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出在復平面內(nèi)對應點的坐標得答案．【解答】解：；在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，，在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，，位于第四象限．故選：．【跟蹤訓練2-5】已知復數(shù)是虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，則答案可求．【解答】解：，，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，位于第四象限．故選：．【跟蹤訓練2-6】已知復數(shù)，則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第象限．【分析】利用虛數(shù)單位的運算性質(zhì)變形，再由共軛復數(shù)的概念求得，則答案可求．【解答】解：，，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，位于第一象限．故答案為：一．【名師指導】1．準確理解復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up7(→)).(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題的解決更加直觀．2．與復數(shù)的幾何意義相關問題的一般步驟(1)進行簡單的復數(shù)運算，將復數(shù)化為標準的代數(shù)形式；(2)把復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復平面內(nèi)的點之間的關系，依據(jù)是復數(shù)a＋bi(a，b∈R)與復平面上的點(a，b)一一對應．題型3復數(shù)的運算【例3-1】若，則A．0 B．1 C． D．2【分析】由復數(shù)的乘方和加減運算，化簡，再由復數(shù)的模的定義，計算可得所求值．【解答】解：若，則，則，故選：．【例3-2】若，則A． B． C． D．【分析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后利用共軛復數(shù)的概念得答案．【解答】解：由，得，．故選：．【例3-3】A． B．4 C． D．【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：．故選：．【跟蹤訓練3-1】A．1 B． C． D．【分析】運用復數(shù)的除法運算法則，化簡可得所求值．【解答】解：，故選：．【跟蹤訓練3-2】A． B． C． D．【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法公式計算．【解答】解：，故選：．【跟蹤訓練3-3】已知復數(shù)，則A．2 B．5 C．10 D．18【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由求解．【解答】解：由，得．故選：．【跟蹤訓練3-4】已知，則A． B． C． D．【分析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：，．故選：．【名師