2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理與題型歸納第34講等差數(shù)列及其前n項和學(xué)生版

第34講等差數(shù)列及其前n項和思維導(dǎo)圖知識梳理1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中項．2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)?當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)．(2)前n項和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(→,\s\up7(an＝a1＋n－1d))Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n?當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且沒有常數(shù)項．[常用結(jié)論]已知{an}為等差數(shù)列，d為公差，Sn為該數(shù)列的前n項和．(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m＋n＝p＋q時，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特別地，若m＋n＝2p，則2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差數(shù)列，公差為md(k，m∈N*)．(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差數(shù)列，公差為n2d.(5)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(6)若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差數(shù)列，其首項與{an}首項相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2).(7)若項數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).(8)若項數(shù)為奇數(shù)2n－1，則S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).(9)在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項數(shù)m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，則滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項數(shù)m使得Sn取得最小值Sm.題型歸納題型1等差數(shù)列的基本運算【例1-1】在等差數(shù)列中，若，，則公差A(yù)． B． C．3 D．【例1-2】若等差數(shù)列滿足，，則數(shù)列的首項A．20 B． C．22 D．【例1-3】已知等差數(shù)列中，，公差，則與的等差中項為A． B． C． D．6【跟蹤訓(xùn)練1-1】若為等差數(shù)列，是數(shù)列前項和，，，則該數(shù)列的公差為A．21 B．2 C．3 D．4【跟蹤訓(xùn)練1-2】已知等差數(shù)列的公差為，，，則A．2 B．3 C．6 D．9【跟蹤訓(xùn)練1-3】等差數(shù)列中，，，則A．14 B．17 C．20 D．23【名師指導(dǎo)】等差數(shù)列基本運算的常見類型及解題策略(1)求公差d或項數(shù)n.在求解時，一般要運用方程思想．(2)求通項．a(chǎn)1和d是等差數(shù)列的兩個基本元素．(3)求特定項．利用等差數(shù)列的通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．(4)求前n項和．利用等差數(shù)列的前n項和公式直接求解或利用等差中項間接求解．題型2等差數(shù)列的判定與證明【例2-1】已知數(shù)列，且．求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求；令，求數(shù)列的前項和．【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知等差數(shù)列的前三項依次為，4，，前項和為，且．（1）求及的值．（2）已知數(shù)列滿足，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求其前項和．【名師指導(dǎo)】等差數(shù)列的四個判定方法(1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù)．(2)等差中項法：證明對任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(3)通項公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(4)前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列．題型3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例3-1】在等差數(shù)列中，，，則A．8 B．9 C．10 D．11【例3-2】設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則A．27 B．33 C．36 D．45【例3-3】設(shè)等差數(shù)列滿足：，公差，其前項和為．若數(shù)列也是等差數(shù)列，則的最小值為A．3 B．2 C．5 D．6【跟蹤訓(xùn)練3-1】設(shè)等差數(shù)列前項和為，等差數(shù)列前項和為，若，則A． B．11 C．12 D．13【跟蹤訓(xùn)練3-2】在等差數(shù)列中，，，則A． B． C． D．0【跟蹤訓(xùn)練3-3】已知等差數(shù)列的前項和為，等差數(shù)列的前項和為，若，則A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練3-4】在數(shù)列中，若，則此數(shù)列前項和的最小值為A． B． C． D．3【跟蹤訓(xùn)練3-5】已知等差數(shù)列，其前項和為，若，，則的最大值為A．12 B．24 C．36 D．48【跟蹤訓(xùn)練3-6】等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則．【跟蹤訓(xùn)練3-7】已知和均為等差數(shù)列，若，，則的值是．【名師指導(dǎo)】1.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?eq\f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其幾何意義是點(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差．(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an；③eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是首項為a1，公差為eq\f(d,2)的等差數(shù)列．2.求等差數(shù)列前n項和Sn及最值的2種