線性代數(shù)n維向量

線性代數(shù)n維向量n維向量基本概念n維向量空間矩陣與n維向量運(yùn)算線性方程組求解及應(yīng)用相似矩陣與對(duì)角化二次型與正定矩陣目錄CONTENTS01n維向量基本概念定義n維向量是n個(gè)實(shí)數(shù)的有序數(shù)組，通常表示為$a=(a_1,a_2,ldots,a_n)$，其中$a_i$是向量的第i個(gè)分量。兩個(gè)n維向量相加，對(duì)應(yīng)分量相加，即$(a_1,a_2,ldots,a_n)+(b_1,b_2,ldots,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,ldots,a_n+b_n)$。一個(gè)實(shí)數(shù)k與n維向量相乘，每個(gè)分量都與k相乘，即$k(a_1,a_2,ldots,a_n)=(ka_1,ka_2,ldots,ka_n)$。向量的加法滿足交換律和結(jié)合律。存在零向量$(0,0,ldots,0)$，使得與任何向量相加結(jié)果不變；對(duì)于任意向量$a$，存在負(fù)向量$-a$，使得$a+(-a)=0$。加法性質(zhì)交換律與結(jié)合律零向量與負(fù)向量數(shù)乘性質(zhì)定義與性質(zhì)幾何意義坐標(biāo)表示法矩陣表示法圖形表示法幾何意義與表示方法在n維空間中，一個(gè)n維向量可以表示為一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的有向線段，其長(zhǎng)度和方向由向量的分量確定。將n維向量表示為1×n或n×1的矩陣。使用n個(gè)實(shí)數(shù)作為坐標(biāo)，表示n維空間中的一個(gè)點(diǎn)或向量。在二維或三維空間中，可以使用箭頭或點(diǎn)來(lái)表示向量。線性組合：對(duì)于一組n維向量$a_1,a_2,\ldots,a_m$和一組實(shí)數(shù)$k_1,k_2,\ldots,k_m$，稱向量$k_1a_1+k_2a_2+\ldots+k_ma_m$為這組向量的一個(gè)線性組合。線性組合與線性相關(guān)線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)如果一組向量中沒有任何一個(gè)向量可以由其余向量的線性組合表示出來(lái)，則稱這組向量是線性無(wú)關(guān)的。如果一組向量中至少有一個(gè)向量可以由其余向量的線性組合表示出來(lái)，則稱這組向量是線性相關(guān)的。線性組合與線性相關(guān)性質(zhì)與判定如果一組向量中某個(gè)向量可以由其余向量的線性組合表示出來(lái)，并且表示方式是唯一的，則這組向量是線性無(wú)關(guān)的。對(duì)于n維空間中的n個(gè)向量，如果它們是線性無(wú)關(guān)的，則它們可以構(gòu)成該空間的一個(gè)基。如果一組向量中包含零向量，則這組向量一定是線性相關(guān)的。線性組合與線性相關(guān)02n維向量空間向量空間定義一個(gè)n維向量空間是一個(gè)由n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量所張成的空間，這些向量稱為該空間的基。向量空間中的元素稱為向量，它們可以表示為基的線性組合。向量空間性質(zhì)向量空間滿足加法封閉性、數(shù)乘封閉性、加法交換律、加法結(jié)合律、數(shù)乘分配律等性質(zhì)。向量空間定義及性質(zhì)向量空間的一個(gè)子集，如果它本身也構(gòu)成一個(gè)向量空間，則稱該子集為原向量空間的一個(gè)子空間。子空間基維數(shù)向量空間的一個(gè)線性無(wú)關(guān)子集，如果它能張成整個(gè)向量空間，則稱該子集為向量空間的一個(gè)基。向量空間的基中向量的個(gè)數(shù)稱為該向量空間的維數(shù)。030201子空間與基、維數(shù)正交性01在n維向量空間中，如果兩個(gè)非零向量的內(nèi)積為零，則稱這兩個(gè)向量正交。內(nèi)積02在n維向量空間中，兩個(gè)向量的內(nèi)積是一個(gè)標(biāo)量，它等于這兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量相乘后求和。內(nèi)積具有對(duì)稱性、正定性和線性性等性質(zhì)。正交基與正交矩陣03如果一個(gè)n維向量空間的基中任意兩個(gè)不同的向量都正交，并且每個(gè)向量的模都為1，則稱該基為正交基。由正交基構(gòu)成的矩陣稱為正交矩陣。正交性與內(nèi)積03矩陣與n維向量運(yùn)算0102矩陣乘法定義設(shè)$A=(a_{ij})$是一個(gè)$mtimesn$矩陣，$B=(b_{ij})$是一個(gè)$ntimesp$矩陣，則$A$與$B$的乘積是一個(gè)$mtimesp$矩陣$C=(c_{ij})$，其中$c_{ij}=sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$。結(jié)合律$(AB)C=A(BC)$。分配律$A(B+C)=AB+AC$，$(B+C)A=BA+CA$。數(shù)乘的結(jié)合性$k(AB)=(kA)B=A(kB)$，其中$k$是常數(shù)。單位矩陣的性質(zhì)對(duì)于任意$n$階方陣$A$，有$AI=IA=A$，其中$I$是$n$階單位矩陣。030405矩陣乘法及性質(zhì)矩陣轉(zhuǎn)置與逆矩陣矩陣轉(zhuǎn)置：把矩陣$A$的行和列互換得到的矩陣稱為$A$的轉(zhuǎn)置矩陣，記作$A^T$。逆矩陣：對(duì)于$n$階方陣$A$，如果存在一個(gè)$n$階方陣$B$，使得$AB=BA=I$，則稱$B$是$A$的逆矩陣，記作$A^{-1}$。逆矩陣的性質(zhì)$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。若$A^T=A$，則$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}=A^{-1}$。$(A^{-1})^{-1}=A$。特征值與特征向量的定義：設(shè)$A$是$n$階方陣，如果數(shù)$\lambda$和$n$維非零列向量$\alpha$滿足關(guān)系式$A\alpha=\lambda\alpha$，則稱$\lambda$是方陣$A$的一個(gè)特征值，$\alpha$是方陣$A$對(duì)應(yīng)于特征值$\lambda$的一個(gè)特征向量。特征值與特征向量特征值與特征向量01特征值與特征向量的性質(zhì)02不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)。03對(duì)于同一特征值，其對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)（即特征多項(xiàng)式中該特征值的根的重?cái)?shù)）。04方陣的所有特征值的和等于方陣的跡（即主對(duì)角線上元素的和），所有特征值的積等于方陣的行列式值。04線性方程組求解及應(yīng)用高斯消元法通過(guò)消元將系數(shù)矩陣化為上三角矩陣，然后回代求解。克拉默法則利用行列式求解，適用于變量和方程個(gè)數(shù)相同的情況。矩陣的秩和向量空間通過(guò)判斷系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩來(lái)確定方程組的解。齊次線性方程組求解方法通過(guò)消元將系數(shù)矩陣化為對(duì)角矩陣，然后直接求解。高斯-若爾當(dāng)消元法如雅可比迭代、高斯-賽德爾迭代等，通過(guò)迭代逼近真實(shí)解。迭代法當(dāng)方程組無(wú)解或有多解時(shí)，可以通過(guò)最小二乘法求得近似解。最小二乘法非齊次線性方程組求解方法經(jīng)濟(jì)學(xué)用于解決投入產(chǎn)出、供需平衡等問題。工程學(xué)用于解決電路分析、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等問題。計(jì)算機(jī)科學(xué)用于解決圖像處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等問題。物理學(xué)用于解決力學(xué)、電磁學(xué)等問題。線性方程組在實(shí)際問題中應(yīng)用05相似矩陣與對(duì)角化設(shè)$A,B$都是$n$階矩陣，若有可逆矩陣$P$，使得$P^{-1}AP=B$，則稱$A$與$B$相似。定義反身性對(duì)稱性傳遞性任何矩陣都與自身相似。如果$A$與$B$相似，那么$B$也與$A$相似。如果$A$與$B$相似，$B$與$C$相似，那么$A$也與$C$相似。相似矩陣定義及性質(zhì)對(duì)角化條件與方法010203矩陣$A$必須有$n$個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。矩陣$A$的所有特征值都必須是實(shí)數(shù)。條件對(duì)角化條件與方法01方法021.求出矩陣$A$的特征多項(xiàng)式，并解出特征值$lambda_i$。032.對(duì)于每個(gè)特征值$lambda_i$，求出對(duì)應(yīng)的特征向量$v_i$。對(duì)角化條件與方法3.將這些特征向量組成矩陣$P=[v_1,v_2,ldots,v_n]$。4.計(jì)算$P^{-1}AP=Lambda$，其中$Lambda$是以特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析在控制理論和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析中，對(duì)角化可用于確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過(guò)將對(duì)角化應(yīng)用于系統(tǒng)矩陣，可以更容易地分析系統(tǒng)的特征值和穩(wěn)定性。量子力學(xué)在量子力學(xué)中，對(duì)角化用于找到量子力學(xué)算符的本征值和本征態(tài)。這些本征值和本征態(tài)對(duì)于描述量子系統(tǒng)的行為和性質(zhì)至關(guān)重要。圖像處理對(duì)角化在圖像處理中用于數(shù)據(jù)降維和特征提取。通過(guò)對(duì)角化圖像協(xié)方差矩陣，可以找到圖像的主要成分，從而實(shí)現(xiàn)圖像壓縮和特征提取。對(duì)角化在解決實(shí)際問題中應(yīng)用06二次型與正定矩陣二次型是n個(gè)變量的二次多項(xiàng)式，其一般形式為$f(x_1,x_2,...,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$是常數(shù)，且$a_{ij}=a_{ji}$。二次型定義二次型可以表示為矩陣形式$f(X)=X^TAX$，其中$X=[x_1,x_2,...,x_n]^T$，$A=[a_{ij}]$是對(duì)稱矩陣。二次型的矩陣表示二次型定義及性質(zhì)二次型的性質(zhì)二次型的值域是實(shí)數(shù)域。二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是$f=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+...+lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$是$A$的特征值。二次型定義及性質(zhì)二次型的秩等于對(duì)應(yīng)矩陣的秩。二次型的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)和零慣性指數(shù)分別等于對(duì)應(yīng)矩陣的正特征值個(gè)數(shù)、負(fù)特征值個(gè)數(shù)和零特征值個(gè)數(shù)。二次型定義及性質(zhì)010405060302正定矩陣定義：對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，若對(duì)于任意非零向量X，都有$X^TAX>0$，則稱A為正定矩陣。正定矩陣的性質(zhì)正定矩陣的行列式大于0。正定矩陣的特征值都大于0。正定矩陣的逆矩陣也是正定的。正定矩陣可以唯一地分解為一個(gè)正定矩陣的平方。正定矩陣定義及性質(zhì)計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，二次型被用于機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域中的優(yōu)化問題。例如，支持向量機(jī)中的核函數(shù)就是一個(gè)典型的二次型。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)