高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點考法（10年高考真題）：不等式及其解法

不等式

2.1不等式及其解法

考點一不等式的概念和性質(zhì)

1.（2022全國甲理，12,5分）已知a=||,人=cos1,c=4sin?貝（）

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

答案A解法一：當(dāng)（0,2）時,sinx<rvtanx,又工€（0；）,所以taiJ>士由J=4tanL>4x2=1,可得c>b.

當(dāng)R時，|x|>|sinx|,即x2>sin2x,所以>sin2p所以］>2sin2^=l-cosx,即cosx>l-y,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時

等號成立,所以cos；>1-,=1一5=裂，即人>口綜上可知,c>b>a,故選A.

423232

解法二：當(dāng)工￡時，sinx<r<tanx.

①比較a與b.

b=cos：=cos（2x1）=1—2sin21,故b-a=-^-2sin21=2偌—sin20=2-Q）-sin21>0,b>a.

②比較B與c.

.1

當(dāng)工￡（。,5）時，由xvtanx可知:<tan^=—今,

C°S4

...cos-1<4.s.m1Q即|-|b,<c.

44

綜上可知,c泌>a.故選A.

2.（2019課標(biāo)I理,4,5分）

古希臘時期,人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是年（早yo.618,稱為

黃金分割比例人著名的"斷臂維納斯”便是如此.止矽卜,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度

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之比也是三一.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其

身高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

答案B本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、抽象概括能力、運算求解能力，以及方程思想;考查的核心素

養(yǎng)為數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運算.

由人體特征可知，頭頂至咽喉的長度應(yīng)小于頭頂至脖子下端的長度,故咽喉至肚臍的長度應(yīng)小于42

U.O1O

,26+42

cm,可得到此人的身高應(yīng)小于26+421^178cm;

U.olo

同理,肚臍至足底的長度應(yīng)大于腿長105cm,故此人的身高應(yīng)大于105+105x0.618^170cm,結(jié)合選項可知,

只有B選項符合題意，故選B.

一題多解用線段代替人，如圖.

（單位：cm）

acV5—1、1_,...._、,I,（b>105,

已知市不丁618,c<26,b>105,c+d=a,以此人身局為hcm,則a+b=h,由?00.618^a>64.89,

c<26,

由od<42.07,

c?0.618d

所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,

a<68.07,

由=>b<110.15,

aa0.618b

整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,

即169.89<h<178.22（單位:cm）.故選B.

3.（2015浙江文,6,5分）有三個房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個房間只用一種顏色,且三個房間顏色各不

相同.已知三個房間的粉刷面積（單位加）分別為x,y,z,且x<y<z,三種顏色涂料的粉刷費用（單位:元/W）分

別為a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的總費用（單位:元）是（）

A.ax+by+czB.az+by+cx

C.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

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答案B用粉刷費用最低的涂料粉刷面積最大的房間，且用粉刷費用最高的涂料粉刷面積最小的房間，這

樣所需總費用最低,最低總費用為(az+by+cx)元,故選B.

1

4.(2015北京文,10,5分)2132,log25三個數(shù)中最大的數(shù)是.

答案log25

11

解析1<32<2,log5>2,

O2

??.這三個數(shù)中最大的數(shù)為log25.

考點二不等式的解法

1.(2014大綱全國文,3,5分)不等式組{；；；：)>。'的解集為()

A.{x|-2<x<-l}B.{x|-l<x<0}

C.{x10<x<l}D.{x|x>l}

答案C由x(x+2)>0得x>0或x<-2;

由|x|〈l得-

所以不等式組的解集為{x10<x<l},

故選C.

2.(2014浙江文,7,5分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(T)(-2)(-3)W3,貝！J()

A.cW3B.3<cW6

C.6<cW9D.c>9

答案C由0代(-1)寸(-2)寸(-3)?3,得

0<-l+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+cW3,

由T+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①，

由-l+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-bT3=0②，

由①②,解得a=6,b=ll,

6W3,即6<cW9,故選C.

22

3.(2013重慶,7,5分)關(guān)于x的不等式x-2ax-8a<0(a>0)的解集為(xbx2),且X2-XF15,則()

57八1515

AA.-B.二C.—D.—

2242

2222

答案A解法一:?「不等式x-2ax-8a<0的解集為(xbx2),/.Xi,X2是方程x-2ax-8a=0的兩根.

占+%?=2a,

Q2

(%i%2=—8。，

第3頁共4頁

2—22

.■.x2-xi=^/+x2)4X1X2=T/(2a)-4(—8a)=15,

X'-'a>0,/.a=-,故選A.

解法二:由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,,.,a>0,

「?不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(_2a,4a),

22

又?.?不等式x-2ax-8a<0的解集為(xbx2),

2a,X2=4a.

,

,/X2-XI=15,..4a-(-2a)=15,

5

螂

曰

守a

2故選A.

4.（2015江蘇,7,5分）不等式2工r〈4的解集為.

答案｛x|-Kx<2｝

22

解析不等式本-x<4可轉(zhuǎn)化為2'利用指數(shù)函數(shù)y=2'的性質(zhì)可得,X2-X<2,解得T〈X〈2,故所求解集為

{xHl<x<2}.

5.（2015廣東,11,5分）不等式-xJ3x+4>0的解集為.（用區(qū)間表示）

答案（-4,1）

解析不等式-xJ3x+4>0等價于X2+3X-4<0,解得-4<X<1.

6.（2014湖南文,13,5分）若關(guān)于x的不等式|ax-21<3的解集為IxI-<x<-I，則a=.

答案-3

解析依題意,知aWO.|ax-2|<3=-3〈ax-2〈3OT〈ax<5,當(dāng)a>0時,不等式的解集為（-工,9），

\aaJ

從而有，。13'$此方程組無解.當(dāng)a<0時,不等式的解集為（|從而有｛。；'解得a=-3.

\