高考數學二輪復習 仿真測1（含解析）試題

第三部分高考模擬考場

仿真測1

時間120分鐘，滿分150分。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的）

1.（文）（2015?上饒市三模）已知i是虛數單位，若（—1—2i）z=l—i,則［在復平面

上所代表的點在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［答案］1）

［解析］由（―1-2i）z=l-i得，

1-i_______1-i-l+2i

z=一］-2i=-］—2i-l+2i

l+3i.-13

=-;-,..z

5=75—751,

_1Q

???5在復平面內對應點為（‘一P'在第四象限.

（理）當|〈水1時，復數z=（3m—2）+（而—1），在復平面上對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［答案］D

［解析］取3皿,21、）/=-1--17,

.,.選D.

J［JI

2.（文）將函數y=sin（x+k）（xWR）的圖象上所有的點向左平移7個單位長度，再把

O4

圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍，則所得的圖象的解析式為（）

5冗x5元

A.y=sin（2x+jy）（x￡R）B.y=sin（^+~^-）（%eR）

x5兀

C.y=sinD.y=sin(-+—)(-v^R)

考一書（D/乙a

［答案］B

n左鱷

./上5口、各點橫坐標.5冗

［解析］y=sin(jr+—)------?y=sin(x+五)擴.倍y=sin

6個單位127,

(理)(2015?太原市一模)已知函數/"(x)=sin(ox+|的最小正周期

是“，若將其圖象向右平移T■個單位后得到的圖象關于原點對稱，則函數的圖象()

O

A.關于直線k三對稱B.關于直線x=號對稱

C.關于點0卜j稱D.關于點(-運,0卜寸稱

［答案］B

［解析］由已知得，3=2,平移后其解析式為f(*)=sin2(x―1)+。=

sin(2x—%-+。)，由題意得：一?■+。=—31，。=-結合選項知，/'(x)=sin(2x——j

的圖象關于直線戶方頁對稱，選B.

3.(2015?昆明市調研)給出下列四個命題：

①三/6R,使/'(x)=(ot—1)x0?-4/+3是幕函數；

②VxGR,使e*T〉0；

③ma,pSR,使cos(。+￡)=cosa+cos￡；

?V</>eR,函數/'(x)=cos(x+O)都不是奇函數.

其中真命題的個數是()

A.0B.1

C.2D.3

［答案］D

［解析］當皿=2時，f(x)=/'是基函數，①正確；由指數函數的性質知②正確；當a

=彳，￡=—'彳時，cos(a+￡)=l=cosa+cos￡,③正確；當時，f(x)為奇函

數，④不正確，故選D.

4.(文)(2015?廣州市測試)已知函數f(x)=-*+2x+3,若在［-4,4］上任取一個實

數施，則使〃加>0成立的概率為()

A--4-R1—

252

2

C."D.1

?j

［答案］B

［解析］由一北+2而+3-0得一1W揚W3,所以在［—4,4］上任取一個實數崗，使

3——11

f（%）20的概率為^------「=5,故選B.

4——4Z

（理）（2015?鄭州市質量監(jiān)測）某校開設｛類選修課2門，6類選修課3H，一位同學從

中選3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有（）

A.3種B.6種

C.9種D.18種

［答案］C

［解析］共有兩類選法，4選1門、8選2門和力選2門、8選1H,因此共有C代+技

C；=9種不同選法.

22

5.（文）若方程￡4—￡=1表示雙曲線，則它的焦點坐標為（）

K—4A■十4

A.（r\［2k,0）,（—y［2/（,0）B.（0,yj—2k,）（0,—*\］—2/r）

C.（何奸，0）,（一取后，0）D.由左值確定

［答案］D

［解析］由（4一4）（A+4）>0得K-4或k〉4,

當旅一4時，焦點在y軸上；當上4時，焦點在x軸上.

故選D.

22

（理）（2014?大綱全國理，6）已知橢圓G當+卷=l（a>6>0）的左、右焦點為四、F”離

ab

心率為半，過用的直線，交C于4、6兩點，若△<￡8的周長為4小，則，的方程為（）

O

A.^-+y=lB.y+y=1

xyxy

C?=lD.逐+i=l

［答案］A

［解析］根據條件可知5=凈，且4a=44，???a=4ic=l,6=2,橢圓的方程為

y

~21.

x+2p22

6.(2014?烏魯木齊地區(qū)5月診斷)已知實數旌y滿足約束條件，2x+K4,若

、4x——1

a=(x,y),b=(3,-1),設/表示向量a在b方向上的投影，則z的取值范圍是()

3

A.6］B.［-1,6］

C［-金君D?［鼎'君

［答案］C

［分析］a在b方向上的投影z是關于x、y的表達式，故脫去向量外衣后本題轉化為

線性規(guī)劃問題，關鍵是準確應用概念“a在6方向上的投影”.

［解析］畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示.

a,bZx-y

a在6方向上的投影為|a|cos〈a,b)

一5一Vio'

作直線A：3x-y=0,平移直線/o,當直線1。經過點(2,0)時，3%—/取最大值6,當

1。經過點§3)時,3x-y取最小值一看，a在6方向上的投影的取值范圍為［一其希，才尋.

［方法點撥］使用概念要準確、運用定理要規(guī)范

數學中有大量的概念、公理、定理，只有準確地把握理解和運用，才能高效準確的解答

數學問題.

7.(文)已知數列｛a｝中&=〃2—A〃(〃CN*),且｛a｝單調遞增，則A的取值范圍是()

A.(-8,2］B.(-8,3)

C.(-8,2)D.(-8,3］

［答案］B

［分析］｛a｝單調遞增的含義是，對有a+0&成立，這是恒成立問題，本題

k

易錯之處是忽視的限制條件，用二次函數對稱軸求解誤為

［解析］a?+\—a?—（/7+1）'—A（Z7+1）—n+kn—2n+l—k,由于｛a“｝單調遞增，故應有

a,+1-a?>0,即2〃+1—4>0恒成立，分離變量得-2〃+1,故只需K3即可.

（理）（2014?烏魯木齊市診斷）在的展開式中f的系數等于一5,則該展開式各項

的系數中最大值為（）

A.5B.10

C.15D.20

［答案］B

［分析］運用二項展開式的通項公式，易錯點有二：一是項數和C的對應關系，二是項

數與d6的指數的對應關系，7；田=（：h’廣啰為展開式的第r+1項而不是第r項.

［解析］7；+i=Cgr（-1）'￡「'=（一D'aCfi,令5—2r=3,...r=l,...x：'的系數為

5,??3=1,

（^-l）^c^5+c^（--）+d/（--）2+ck2（--）3+d%（--）'+d（--）5,

XXXXXX

各項的系數中最大值為Cs=10.

［方法點撥］考慮問題要全面，思考過程要嚴謹

在審題過程中，要邊讀題邊翻譯，同時把特殊情形、細節(jié)問題、注意事項等記錄下來,

在解題過程中要予以關注，例如研究函數就要注意函數的定義域.

8.（文）（2014?唐山市二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

俯視圖

A?乎

B.

6而

C也D.歲

J3

［答案］B

［解析］由三視圖知該幾何體是一個四棱錐，其直觀圖如圖所示，設后為的中點，

則施工/〃，血平面△為〃為正三角形，四棱錐的底面是直角梯形，上底1,下底2,

高2；棱錐的高為小，，體積，=Jx［；X（l+2）X2］xd^=，5,故選B.

J乙

（理）（2014?吉林市質檢）已知。、￡為兩個平面，且a_L￡,/為直線.則?￡是

/〃。的（）

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］D

［解析］如圖①所示，①。，出八￡,但Ju。；如圖②所示，C

a±j3,1//a,但/u￡,故是/〃。的既不充分也不必要條件.

9.（2015?福州市質檢）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的有序實數對為（）

A.(8,2)B.(8,3)

C.(16,3)D.(16,4)

［答案］D

［解析］開始一x=l,y=0,判斷工3成立，第一次循環(huán)，x—2,y—1；再次判斷yW3

仍然成立，第二次循環(huán)，x=4,y=2；第三次循環(huán)，x=8,y=3；第四次循環(huán)，x=16,y

=4,此時j<3不成立，輸出有序實數對（16,4）后結束，故選D.

［4^—4,

10.（文）函數/Xx）=2,的圖象和函數g（x）=logzx的圖象的交點個數

\x—4%+3,x>\

是()

A.4B.3

C.2I).1

［答案］B

［分析］不能準確作出兩函數在相應區(qū)間的圖象，以及分不清兩函數圖象的相應位置關

系是造成失誤的主要原因.

［解析］分別在同一坐標系內作出兩函數的圖象.如圖所示，觀察易知兩函數圖象有且

僅有3個交點.

［點評］在判斷函數圖象交點的個數或利用函數圖象判斷方程解的個數時，一定要注意

函數圖象的相對位置關系，可以取特殊值驗證一下，如取x=g時，4x-4<log2x,即此時對

應函數圖象上的點應在相應直線的上側，因此我們可以通過取特殊值的方法相對準確地確定

兩函數圖象的相對位置關系.

(理)已知函數/'(x)=|x+：|一|x—3,若關于x的方程f(x)=2/有四個不同的實根，

則實數0的取值用范圍是()

A.(0,2)B.(2,+8)

C.(1,+8)D.(0,1)

［答案］1)

2、

-后1,

X

2x0<x<l,

［解析］f{x}=Vf(x)=2加有四個不同的實數根，由數形

—2x—KXO,

_2

xW-1.

<x

結合法得0<成1.

y

2

-101

［點撥］作圖要準確，用圖要嚴密

要抓住關鍵點（最高、最低點，與坐標軸的交點、端點、兩圖象的交點、極值點、對稱

中心等），變化趨勢（增減性、增長或減少的快慢），正負值、對稱性等.

11.（文）（2015?福建質量檢查）若直線ax+by-1=0（a>0,6>0）過曲線y=1+

12

sin兀x（0<x<2）的對稱中心，則一+7的最小值為（）

ab

A.A/2+1B.4小

C.3+272D.6

［答案］C

191

［解析］,?,曲線p=l+sinnx（（KK2）的對稱中心是點（1,1）,???a+b=l,，一+7=（一

aba

+5心+6）=3+《+年》3+29，當且僅當《=與，即b=/a=M（小一1）時取等號，因

1O

此：+%的最小值是3+24，故選C.

［易錯分析］本題容易造成如下錯解：由直線ax+by—\=Q過點（1,1）可得a+b=\.

又a〉0,b〉0,所以a+b=122y［^L,則0<9?〈彳，-7^4,所以一/";24/，選擇

v

Y4abab\j3b

B.在上面的解題過程中，兩次運用了基本不等式，但兩次等號成立的條件不同，第一次是

a=b,第二次是2a=6,在a>0,6>0時不能同時滿足，所以44取不到.所以在求最值時，

如果多次運用基本不等式，一定要檢驗各次等號成立的條件是否能夠同時成立.

（理）（2015?杭州市第一次質檢）設對任意實數x>0,y>0,若不等式x+G<a（x+2y）

恒成立，則實數a的最小值為（）

A匹B泊

44

C/+/n2

43

［答案］A

［分析］本題乍一看會感到無從著手，從分離參數的角度得到往下又不知

.AI乙y

如何進行，但如果仔細觀察，就會發(fā)現不等式的兩邊對于字母X、y來說都存在二次關系（X

與,、y與3）,因此可考慮采用化歸的思想將已知不等式轉換為一元二次不等式或基本不

等式的形式求解.

［解析］原不等式可化為（aT）x—止+2"，0,兩邊同除以y得（a-15一\/+

2a20,令則（a—1）d—t+2a20,由不等式恒成立知a—1>0,從而相應二次函

數的對稱軸t=~---——>0,<*.A=1—4（a—1）?2aW0,解得回運，

La—144

故選A.

［易錯分析］二元不等式恒成立問題的處理具有很大的難度，對于由雙元到單元的轉換

大多數考生容易出現錯誤，此類問題解決的關鍵在于明確轉化目標及整體意識.

12.（2014?鄭州市質檢）等差數列｛a.｝中的國、&陽是函數/'（x）=:f—4f+i2x+l的

極值點，則10g240M（）

A.2B.3

C.4D.5

［答案］A

［解析］令/（x）=f—8x+12=0則汨=2,加=6,即囪=2,a?）27=6或4=6,"儂

__a+&027_

=2,82014=2=4

.??1082/014=2,故選A.

二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上）

13.（文）若sinx+siny=［,則siny—cos'的最大值為_______.

0

_4

［答案］g

12

［分析］本題易將siny—cos—轉化為（可一sinx）—cos%usin'x—sinx一,，誤認為

sin%e［-l,l］,致使問題轉化不等價而導致解題錯誤.

［解析］由已知條件有siny=1—sinx,

12

且siny=（可一sinx）￡［―1,1］,結合sinx￡［―1,1］,得一^WsinxWl,

oJ

12

而siny—cos2^x=~-sin%—cosx=sin-2x—sinx一可,

oJ

2

設t=sinx(一鼻＜ZW1),

則原式=—一|=(z—1)2-^(—,

因為對稱軸為￡=g，

994

故當￡=—三，即sinx=一不時，原式取得最大值￡.

ooy

［點撥］1.簡單化原則：將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題.

2.直觀化原則：將較抽象的問題轉化為比較直觀具體的問題.

3.特殊化策略

對于某個在一般情況下成立的結論或恒成立問題，可運用一般與特殊相互轉化的化歸思

想，將一般性問題特殊化、具體化，使問題變得簡便.

4.換元化歸思想

形如y=f（g（*））的表達式，可通過設t=g（x）得到新的函數關系y=F（?,換元后要注

意新元的取值范圍.

5.在研究直線與圓錐曲線位置關系，公共點個數時，常常要通過消元化為一元二次方

程用根的判別式來判斷，但此時一定要注意是否為完整曲線，否則應數形結合以確定正確答

案.

6.在進行某些變形時（如不等式兩邊同乘以一個代數式，等式兩邊平方，兩等式（或不

等式）的兩邊相乘等等）一定要考慮取值范圍的變化是否影響題目結果的變化.

7.用換元法解題，換元后一定要考慮新元的取值范圍.

（理）（2015?洛陽市期末）如圖，在△/回中，sin/學=好，AB=2,點〃在線段4。

乙O

上，旦AD=2DC,做=羋，則cosC=________.

J

7

［答案］§

［解析］由已知得：（：05/4%=1-25后立誓=1-2乂停|2人

1-八*弘一/3十.'DECEDC\/X.n.--干

=可，過C作*〃46,交9的延長線于反則詬=蒜=77尸5，方/*/

8c

=1,DE=^~,BE=2#,cosABCE=~cosAABC=~~,在

oo

Bd+—B聲勿+l—121

中，由余弦定理得：cos4BCE=,）"："「，即—=一可，；.3初+26（7—33=0,

乙ZzCzl^Zz乙Zztz?J

解得比=3（負根已舍），在△/阿中，由余弦定理得：—=療+配一2四?歐os//比=4

1力尸+用~—力*g-4-Q—47

+9-2X2X3X-=9,再由余弦定理得：cosC=一/方;一=5乂片第：=a

oN力。DL7乙z\ooy

22

14.（2015?烏魯木齊地區(qū)三診）已知雙曲線勺一方=l（a>0,方0）的左、右焦點分別為

ab

R,握,過K的直線交雙曲線的右支于48兩點，若△｛即是以｛為直角頂點的等腰三角

形，e為雙曲線的離心率，則1=.

［答案］5-272

［解析］設|/&=勿，?..|2Aim=2a,.?/熊|=2a+|/&=2a+勿，又|/==|朋

=1小|+|照|=卬+|此；.I品|=2a,又|班|一|即|=2a,二郎|=4a.依題意|班|

=筐|45|,即4a=?。?4+4，:.m=2（小—Da,在Rt△咒;伍中，|J/=1|2+|^|2=4c,

即8a?+（2啦a-2a）2=41,整理得1=5才-2*a?,：.e2=5-2y/2.

［方法點撥］高考對運算能力要求很高，它要求運算過程合理，計算準確，邏輯嚴密，

平時做練習題時，有些題目可以審審題、梳理一下思路即可，但一定要保證有足量的題目嚴

格規(guī)范寫出解答過程，以養(yǎng)成周密答題的良好習慣，以免手生，眼高手低.

x20,

15.（2015?河南省高考適應性測試）已知實數x,y滿足約束條件，y22x+l,(k

x+y+k^0.

為常數），若目標函數z=2x+y的最大值是:，則實數衣的值是.

O

［答案］一3

［解析］由題意可得，直線x+y+仁0經過尸2葉1與2葉尸號的交點A,解得

16.（文）（2015?長沙市模擬）已知點0（0,0）,4（1,2）,8（4,5）,屏游+t受若點P

在x軸上，則實數t的值為.

［答案］-f9

［解析］因為點0(0,0),4(1,2),5(4,5),所以游=(1,2),AB=(4,5)-(1,2)=(3,3),

2

設P(x,y),OP=OA+tAB—(1,2)+Z：(3,3)=(1+3^2+31),令y=2+31=0得t—

J

則x=-1,所以當t=一|時，點戶(-1,0)在x軸上.

(S.)(2015?河南八市質量監(jiān)測)已知卜瓜十才5的展開式中含/項的系數為12,則展

開式的常數項為.

［答案］160

［解析］由7r+i=C6??a，?x~2=a，*r,當r=l時，V的系數為a?C=

6H=12,二.a=2.所以當r=3時，常數項為2、6=8X、丫°丫1=160.

jxzX1

三、解答題（解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

3

17.（本題滿分12分）（文）（2015?河北衡水中學一模）在數列｛aj中，&=曰a〃+i=2—

□

L設bn——、，數列｛4｝的前n項和是Sn.

ar,a-1

（1）證明：數列｛4｝是等差數列，并求S；

⑵比較為與S+7的大小.

［解析］（1）證明：Vbn=-二，4+1=2—：.btl+\=-------=—二+1=4+1,bn

B.n-1ana+1-1dn-1

+1-bn=1.

...數列｛4｝是公差為1的等差數列.

315

由3\bn~得益=-

ba,-1乙

.-5n,n〃一1n八

Sn=-c+z-TT-3/7.

(2)解法1：由(1)知：bn=—1X(/7—1)=/?—L由6〃=—'■得a=1+；=1+—

22atl-1blt1

n~2

〃2]

/.一Sn—7=—5+3〃-6+~

n~2

2]

???當刀24時，一■1_+3〃-6是減函數，---y也是減函數，

n~2

.??當刀24時，an—Sn—7W&—S—7=0.

「3987

又,:品一S-7=一記<0,色—7=一§<0,7=-5<0,

Vz?eN*,an—Sn—7W0.

：.a?^Sn+7.

7

解法2：由(1)知,b?=n--f

1.2/?~5

3^.bn_-J,??3nQ?,Sn03〃.

3n1乙IIIN

當〃>3時，易知｛&｝是遞減數列，S是遞增數列.

39

又@=e，5+7=-,水S+7；

□z

S+7=3,&<￡+7；

5

aa=-1,W+7=］,.??&<S+7；

&=3,Si+7=3,二.&=Si+7.

當〃>4時,aX3,S+7>3,

從而a<S+7.

綜上對任意有，a〃WS,+7.

（理）（2014?湖南理,20）已知數列｛a｝滿足4=1,|&+L=/?",—N*.

⑴若｛4｝是遞增數列,且五2短3我成等差數列,求夕的值；

（2）若°=看且｛甌-J是遞增數列，｛的｝是遞減數列，求數列｛&｝的通項公式.

［分析］第（1）問常因忽視｛4｝是遞增數列致誤；第（2）問常因變換欠嚴密致誤.

［解析］（1）因為數列｛&｝為遞增數列,所以&+I—&20,則|&,+】一&」=4''=a+1—a

=p,分別令〃=1、2可得出一3=0，a一a=夕2=82=1+夕，a3=p+p+l,因為&,2念38

成等差數列，所以44=&+3&n4（1+2）=1+3（//+,+1）=3;/一夕=0=夕=1或0.

當0=0時，數列a“為常數數列不符合數列｛&｝是遞增數列，所以

O

⑵??,｛期是遞增數列，，出+L期7>0,

（如+1—勃）+（期一電-1）>0,①

I^2n+\―||也”一一1|,②

由①②知骸一期~1>0，

1—12,1

：.麗一H2L尸（^）2'1=2"7，③

***｛的｝是遞減數列，同理得出+1—

1—12什1

???<32/?+1—電=~（萬）~=^2n9④

_］〃+1

由③④得a+1-&>=Q，

；?a=&+（念一覆）+（a-/）H-----\~（4-品-1）

1

1

-2-41

---一

13+-3

2-

4—1

二數列｛&｝的通項公式為a?=-+—

oJ乙

［方法點撥］數學思維、證明要求嚴謹，步步有據，條理清楚，在數列、不等式、立體

幾何、解析幾何大題的解答過程中，對邏輯嚴密都有一定的要求，解題過程中要注意條件充

分，推理有據，語言準確，書寫規(guī)范.

18.（本題滿分12分）（文）（2014?安徽文，19）如圖，四棱錐產一48切的底面是邊長為

8的正方形，四條側棱長均為25.點G、E、F、〃分別是棱陽、AB、CD、"'上共面的四點,

平面面7鞏1平面ABCD,6c〃平面GEFH.

⑴證明：GH"EF：

（2）若加2,求四邊形面？力的面積.

［審題要點］（1）欲證0/〃加；因為比〃平面儂%所以由線面平行的性質定理和公

理4可獲證.

（2）由四條側棱長相等及底面是正方形可知四棱錐為正四棱錐，P在底面射影為正方形

46（勿的中心，欲求四邊形的面積，由（1）知四邊形留力為梯形，由于平面郵"L平面

交線明故過6作6必跖則成為梯形的高，豆GK〃PO,于是問題轉化為由相似關系求

缺的長度和6■〃的長度.

［解析］〃平面GEFH,BCu平面PBC,且平面月%0平面GEF4GH,

：.GH//BC.

同理可證8G：.GII//EF.

（2）連接4G加交于一點。，BD交EF于K,連接gGK.

因為必=AC,。是〃'的中點，所以如J_4C,

同理可證。0，劭，

又,：BDCAC=O,且〃'、故都在底面內，，尸。，平面4版，

又?平面的見1平面ABCD,放平面GEFH,

.?.00〃平面GEFH.

又?平面GEFHC平面PBD=GK,

：.PO//GK,且平面ABCD,；.GKLEF,

所以掰是梯形面7%的高.

：［8=8,EB=2,：.EBAB=KBDB='4,

，K金DB=?）B,即在為必的中點，

又TP0〃GK,：.GK^PO,

即G是陽的中點，且GH=；BC=4.

又由已知得必=4蛆，a7瓶一切="68—32=6.

:.GK=3.

GH+FF4+8

.?.四邊形必加的面積5=一5一?6--y-X3=18.

［易錯警示］1.應用線面平行的性質定理時交待不清，步驟不完整，不規(guī)范.

2.不能從已知條件中發(fā)現正四棱錐關系，因而找不到棱錐高陽〃平面四見打不通思

路.

3.比例關系不清，計算錯誤.

（理）（2015?柳州市模擬）已知平行四邊形"笫（圖1）中，4B=4,6c=5,對角線力仁3,

將△/或沿〃■折起至△陽。位置（圖2）,使二面角/一為60°,G,〃分別是必，PC

的中點.

(1)求證：尸CJ_平面面次

(2)求二面角尸一比一〃的余弦值.

［解析］⑴過C作6且〃=仍連BE,PE.

,：Ad+AI^=BCl,：.ACYAB,所以四邊形/應T是矩形.

又AC'CE,PCLAC,."C_L面在T,

所以方是二面角。一47—6的平面角，...NA%‘=60°.

'：PC=CE=4,...△枚為正三角形.

'：BE//AC,:.BE1面PEC,

：.BELPE,PB=^PIs+Be=5=BC.

而〃是先的中點，，用LAG

,：G.〃是△為。的中位線，:.GH1PC,

■:GHCBH=H,平面伙血

(2)以廢的中點。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(3,—2,0),尸(0,0,2小),<7(0,-2,0).

易求得面力6的法向量為〃=(24，0,3),

而平面比"的法向量為元'=(0,-2,-273),

所以|cos{n,PC)|=~^~-

故二面角尸一防一〃的余弦值是洋g.

19.(本題滿分12分)(文)(2015?洛陽市期末)如圖所示莖葉圖記錄了甲、乙兩學習小

組各4名同學在某次考試中的數學成績，乙組記錄中有一個數字模糊，無法確認，假設這個

數字具有隨機性，并在圖中用加(〃WN)表示.

甲組乙組

7985

31910m

(1)求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率；

(2)當以=3時，分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，求這兩名同學的數學成

績之差的絕對值超過2分的概率.

[解析](1)當甲、乙兩個小組的數學平均成績相等時，

由亨(87+89+91+93)=:[85+90+91+(90+0)],得0=4,

設“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件4,

加的取值有：0,1,2,9時共有10種可能.當加=4時甲、乙兩個小組的數學平均成

績相同，

...當a=5,6,7,8,9時，乙組平均成績超過甲組平均成績，共有5種可能.

51

，乙組平均成績超過甲組平均成績的概率P(力)=而=修

(2)設“這兩名同學的數學成績之差的絕對值超過2分”為事件反

當卬=3時，分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，所有可能的成績結果有16

種，分別是：(87,85),(87,90),(87,91),(87,93),(89,85),(89,90),(89,91),(89,93),

(91,85),(91,90),(91,91),(91,93),(93,85),(93,90),(93,91),(93,93).

事件8的結果有8種，它們是：(87,90),(87,91),(87,93),(89,85),(89,93),(91,85),

(93,85),(93,90).

O1

.?.兩名同學的數學成績之差的絕對值超過2分的概率P⑦=/=*

162

(理)(2015?石家莊市二模)4月23日是“世界讀書日”，某中學在此期間開展了一系

列的讀書教育活動.為了解本校學生課外閱讀情況，學校隨機抽取了100名學生對其課外閱

讀時間進行調查.下面是根據調查結果繪制的學生日均課外閱讀時間(單位：分鐘)的頻率分

布直方圖.若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學生稱為“讀書迷”，低于60分鐘的學

生稱為“非讀書迷”.

⑴根據已知條件完成下面2X2列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為“讀書迷”

的分布列，期望總（與和方差〃0）.

附?r二-----------------"be------------〃=8+c+d

a+bc+da+cb+da十。十c十。

戶（*2左）0.1000.0500.0250.0100.001

Ab2.7063.8415.0246.63510.828

［解析］（1）2X2列聯表如下

非讀書迷讀書迷合計

男401555

女202545

合計6040100

10040X25-5X202

-8.249

60X40X55X45

8.249>6.635,故有99%的把握認為“讀書迷”與性別有關.

2

⑵視頻率為概率.則從該校學生中任意抽取1名學生恰為讀書迷的概率為由題意可

□

P(X=1)=c(|)(|)"'(f=o,1,2,3)

從而分布列為

X0123

2754368

P

125125125125

6jg

￡(心=即=三，D(X)=7?p(l—p)=—

20.(本題滿分12分)(文)已知函數Ax)=f+3|x-al(a>0).

(1)當a=l時，曲線y=f(x)上尸點處的切線與直線x—3y-2=0垂直，求2點的坐標;

(2)求函數f(x)的單調區(qū)間.

［解析］⑴???直線x-3y-2=0的斜率為:，

.,.切線的斜率為-3.

由F(x)=f+3=-i|得: