2021年中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)《圓的證明與計算》專項檢測

專題二圓的證明與計算

類型一圓基本性質(zhì)的證明與計算

1.如圖，。。的半徑為5,點Q在。0夕卜，交。。于A、6兩點,

QC交。。于。、C兩點.

(1)求證：PAPB=PDPC；

4519

(2)若%=彳，AB=^~,PD^DC+2,求點。到PC的距離.

第1題圖

2.如圖，△A6C是。。的內(nèi)接三角形，A6=AC,點尸是?的中點,

連接％,PB,PC.

(1)如圖①，若NBQCuGO。，求證：AC=yj3AP；

(2)如圖②，若sin/^^。二方，求tanNB46的值.

第2題圖

3

3.已知。。中弦A6_L弦。。于石，tanZACD=T

(1)如圖①，若A6為。。的直徑，BE=8,求AC的長；

(2)如圖②，若A4不為。0的直徑，BE=4,尸為比上一點，前=薊),

且。廣=7,求AC的長.

圖①

第3題圖

4.如圖，△A6C中，AB=AC,以A6為直徑作。。，交6c于點

交CA的延長線于點石，連接A。、DE.

(1)求證：。是的中點;

(2)若￡>￡=3,BD~AD=2,求。。的半徑;

(3)在(2)的條件下，求弦A石的長.

第4題圖

5.如圖，。。的半徑為1,A,P,B,。是。。上的四個點，ZAPC

=ZCPB=6G°.

⑴判斷△A8C的形狀：；

(2)試探究線段力，PB,尸。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)當(dāng)點？位于血的什么位置時，四邊形APHC的面積最大？求出最

大面積.

類型二與切線有關(guān)的證明與計算

(|一、與三角函數(shù)結(jié)合I

1.已知：如圖，在"BC中，AB=BC,。是AC中點，BE^^ZABD

交AC于點石，點。是A6上一點，。。過8、石兩點，交6。于點G,

交于點E

(1)求證：AC與。。相切；

3

(2)當(dāng)60=6,sinC：^時，求。。的半徑.

第1題圖

2.如圖，AB為。0的直徑，A是延長線上一點，QC切。。于點C,

CG是。。的弦，CG1AB,垂足為D

(1)求證：ZPCA=ZABC；

(2)過點A作A石〃尸C,交。。于點石，交CO于點孔連接8E若

3

sinN尸=亍CF=5,求6月的長.

第2題圖

3.如圖①，在。。中，直徑于點石，點尸在氏4的延長線上,

且滿足NAOC

⑴判斷直線尸。與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

DF

(2)延長。。交。。于"(如圖②)，當(dāng)"恰為比的中點時，試求詼的

值；

(3)若以=2,tanNQOA：;，求。。的半徑.

|二、與相似三角形結(jié)合|

1.如圖，在Rt^A6C中，ZACS=90°,石是6C的中點，以AC為直

徑的。。與A6邊交于點。，連接。E

(1)求證：AABCS^CBD；

(2)求證：直線。石是。。的切線.

第1題圖

2.如圖，。0的圓心在RtAASC的直角邊AC上，QO經(jīng)過C、D

兩點，與斜邊A6交于點石，連接60、即，BO//ED,作弦或LLAC

于G,連接。E

(1)求證：COCD=DEBO；

3

(2)若。。的半徑為5,sinZDFE=^求跖的長.

第2題圖

3.如圖，在△ABC中，A6=AC,以AB為直徑作半圓。0,交BC于

點D,連接AD,過點D作DELAC,垂足為點E,交AB的延長線

于點F.

(1)求證：即是。。的切線；

4

(2)若。。的半徑為5,sinNA。石=亍求6方的長.

0BF

第3題圖

4.如圖，在△ABC中，ZC=90°,以A6上一點。為圓心，QA長為

半徑的圓恰好與相切于點。，分別交AC、A6于點石、F.

(1)若N6=30。，求證：以A、0、D、石為頂點的四邊形是菱形；

(2)若AC=6,AB=10,連接A。，求。。的半徑和AO的長.

第4題圖

5.已知中，A6是。0的弦，斜邊AC交。。于點。，且AO

=DC,延長直交。。于點石.

(1)圖①的A、B、C、D、石五個點中，是否存在某兩點間的距離等于

線段的長？請說明理由；

(2)如圖②，過點石作。。的切線，交AC的延長線于點E

①若=C￡>時，求sinNCA6的值；

②若。尸=“。。3>0)時，試猜想sinNCAg的值.(用含Q的代數(shù)式表

示，直接寫出結(jié)果)

圖①

第5題圖

6.已知：如圖，A6是。0的直徑，點。為。。上一點，于

點凡0廠延長線交。。于點石，與6C交于點〃，點。為。石的

延長線上一點，^ZODB=ZAEC.

(1)求證：是。。的切線；

(2)求證：CEi=EHEA；

3

⑶若。。的半徑為5,sinA=5，求6”的長.

第6題圖

7.如圖①，△ABC內(nèi)接于。O,N6AC的平分線交。。于點。，交BC

于點E(BE>EC),且.過點D作DF//BC,交AB的延長線

于點F.

(1)求證：為。。的切線；

(2)若N6AC=60。，DE=5,求圖中陰影部分的面積；

(3)若罷=?,DF-\-BF=S,如圖②，求B尸的長.

第7題圖

I三、與全等三角形結(jié)合I

1.如圖，已知QC平分NM/W,點。是QC上任意一點，PM與00

相切于點石，交尸。于A、6兩點.

(1)求證：/W與。。相切；

(2)如果N"QC=30。，PE=2yP，求劣弧皿的長.

第1題圖

2.如圖，已知6C是。。的弦，A是。。外一點，

△ABC為正三角形，。為的中點，"是。。上一點，并且NRWC

=60°.

(1)求證：A6是。。的切線；

(2)若石、尸分別是邊A8、AC上的兩個動點，且N&5戶=120。，。。

的半徑為2.試問B石+。方的值是否為定值，若是，求出這個定值；若

不是，請說明理由.

第2題圖

3.已知：如圖，A6是。。的直徑，。是。。上一點，Q3LAC于點

D,過點C作。。的切線，交。。的延長線于點石，連接AE

(1)求證：與。。相切；

(2)連接60,若即：。。=3：1,OA=9,求A石的長和tanfi的值.

第3題圖

4.如圖，為。。的切線，6為切點，直線R9交。。于點石、F,

過點B作P0的垂線BA,垂足為點D,交。。于點A,延長A0與。0

交于點C,連接BC,AF.

(1)求證：直線勿為。。的切線；

(2)試探究線段石方、0D、。尸之間的等量關(guān)系，并加以證明；

(3)若6C=6,tanZF=求cos/ACB的值和線段的長.

第4題圖

5.如圖，△A6C內(nèi)接于。O,AB為。。的直徑，ZACB的平分線CD

交。。于點。，過點。作。。的切線？￡>,交CA的延長線于點尸，

過點A作AELCD于點E,過點B作BF±CD于點F.

(1)求證：PD//AB-,

(2)求證：DE=BF；

4

(3)若AC=6,tanZCAB=2，求線段QC的長.

第5題圖

6.如圖，點？是。。外一點，B4切。。于點A,A6是。。的直徑，

連接。尸，過點6作6?！?。〃交。。于點C,連接AC交0Q于點D

(1)求證：QC是。。的切線；

(2)若尸。=芋，AC=8,求圖中陰影部分的面積；

(3)在(2)的條件下，若點石是血的中點，連接。石，求。石的長.

第6題圖

7.如圖①，A6是。。的直徑，OCLAB,弦CO與半徑。6相交于點

F,連接6。，過圓心。作0G〃6。，過點A作。。的切線，與0G

相交于點G,連接GD,并延長與的延長線交于點￡.

(1)求證：GD=GA；

(2)求證：△。跖是等腰三角形；

(3)如圖②，連接BC,過點6作BHLGE,垂足為點“，若BH=9,

。。的直徑是25,求ACg廠的周長.

第7題圖

專題二圓的證明與計算(答案)

類型一圓基本性質(zhì)的證明與計算

1.(1)證明：如解圖，連接A。，BC,

二?四邊形A6CO內(nèi)接于。0,

：.ZFAD=ZPCB,ZPDA=ZPBC,

:.△PADS^PCB,

.PAPC

，"PD^PB,

：.PA?PB=PDPC；

(2)解：如解圖，連接。。，過。點作于點石,

4519

'：PA=^-,AB=^-,PD=DC+2,

：.PB^PA-\-AB=16,PC=PD+DC=2DC+2,

'：PA?PB=PDPC,

二.?X16=(DC+2)(2DC+2),

解得DC=8或DC=-11(舍去)，

：.DE=^DC=4,

?：0D=5,

：.在RtAODE中，OE=yjOD2-DE2=3,

即點。到R?的距離為3.

2.(1)證明：:NBAC與是同弧所對的圓周角,

ZBAC=ZBPC=60°,

XVAB=AC,

.'.△ABC為等邊三角形,

，ZACfi=60°,

???點Q是窈的中點,

...中=看,

Z.ZACP=ZBCP=^ZACB=30°,

而ZAPC=ZABC=60°,

...△AQC為直角三角形，

AC

/.tanZAPC=^p,

.,.AC=APtan60°=y/3AP；

(2)解：連接AO并延長交PC于點石，交于點H過點石作

石GJ_AC于點G,連接OC,BO,如解圖，

"：AB=AC,

：.AF±BC,

：.BF=CF,

???點〃是?中點，

ZACP=ZPCB,第2題解圖

：.EG=EF.

ZBPC=ZBAC=^ZBOC=ZFOC,

24

sinZFOC=sinZJBPC=2^>

設(shè)尸。=24a,則。。=OA=25a,

?*OF=OC2FC2=7Q,AF=25Q+7Q=32a,

在RtAAFC中，'：AC2=AF2-\-FC2,

：.AC=yj(32a)2+(24a)2=40a,

'：ZEAG=ZCAF,

.'.△A石Gs△AC/，

.EGAE

又,：EG=EF,AE=AF-EF,

.EG32a—EG

,?勾=40a，

解得石G=12a,

EF1_2Q1

在石尸中，

RtZkCtanNECTF=Ck=%24a-=32,

ZPAB=ZPCB,

tanZMS=tanZPCS=tanZ￡CF=^.

3.解：(1)如解圖①，連接B。，

?.?直徑A3,弦CO于點石，

：.CE=DE,

'：ZACD與ZABD是同弧所對的圓周角，

ZACD=ZABD,R

3第3題解圖①

，tanNABD=tanNACD=2,

.EDAE3ED_3

??餅=盛=爹m即甘=]'

：.ED=12,

：.CE=ED=12,

3

又石=]C￡=18,

：.AC=yjAE2+CE2=6y[T3；

(2)連接C8,過B作b于G,如解圖②,

,:斯=皿,

：.ZBCE=ZBCG,

在△。防和△CG6中

ZBCE=ZBCG

<ZBEC=ZBGC,

BC=BC

第3題解圖②

：.△CEB且△CGB(AAS),

：.BE=BG=4,

丁四邊形AC網(wǎng)內(nèi)接于。O,

ZA+ZCFS=180°,

又ZCFB+ZBFG=180°,

ZBFG=ZA,

'：ZFGB=ZAEC=9Q0,

，ABFGsXCAE,

.FGAE3

，'BG^CET1,

3

?.FG=T^G=6,

：.CE=CG=13,

：.AC=y]AE2+CE2=^-^T3.

4.(1)證明：是。。的直徑,

ZADB=90°,

即AD.LBC,

"：AB^AC,

，等腰△ABC,AO為BC邊上的垂線，

：.BD=DC,

工。是6C的中點；

(2)解：'：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

,/ZABC和ZAED是同弧所對的圓周角,

ZABC=ZAED,

：.ZAED=ZC,

：.CD=DE=3,

：.BD=CD=3,

'：BD-AD=2,

：.AD=1,

在Rt^ABD中，由勾股定理得A32=BD2+AD2=32+12=10,

...AB=yJ10,

/.GO的半徑=%6=作；

(3)解：如解圖，連接5E,

:AB=W，

.?.AC=^T0,

VZADC=ZBEA=90°,ZC=ZC,

:.△CDAs^CEB,

.ACCD第4題解圖

由(2)知6。=26。=6,CD=3,

9

.'Q="TO,

.*.A￡=C￡-AC=|^TO-^TO=^TO.

5.解：⑴等邊三角形.

【解法提示】VZAPC=ZCPB=60°,

又ZBAC和ZCPB是同弧所對的圓周角，ZABC和ZAPC是

同弧所對的圓周角，

，ZBAC=ZCPB^60°,/ABC=ZAPC=6Q°,

：.ZBAC=ZABC=60°,

：.AC=BC,

又???有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形，

...△A6C是等邊三角形.

Q)PA+PB=PC.

證明如下：如解圖①，在QC上截??？￡>=%,連接AO,

ZAPC=60°,

/.AMD是等邊三角形，

：.PA=AD=PD,ZPAD=60°,

又NR4c=60。，

Z.ZPAB=ZDAC,

在和△D4C中，

AP=AD第5題解圖①

APAB=ADAC,

AB=AC

：.AB4fi^ADAC(SAS),

:.PB=DC,

'：PD+DC=PC,

：.PA^PB=PC,

(3)當(dāng)點P為?的中點時，四邊形A尸8C的面積最大.

理由如下：如解圖②，過點尸作垂足為石,

第5題解圖②

過點。作垂足為尸,

??羯小=3刀?在，S?c=38?〃，

二?

,?S四邊形APBC?(PE+CF).

當(dāng)點尸為?的中點時，PE+CF=PC,QC為。。的直徑,

此時四邊形APBC的面積最大，

又：。。的半徑為1,

???其內(nèi)接正三角形的邊長,

，四邊形AP8C的最大面積為:X2X^3=^.

類型二與切線有關(guān)的證明與計算

|一、與三角函數(shù)結(jié)合|

針對演練

1.(1)證明：連接?！?如解圖，

'：AB=BC^D^AC中點，

：.BD±AC,

二'g石平分NA6。，

ZABE=ZDBE,

第1題解圖

\'OB=OE,

：.ZOBE=ZOEB,

：.ZOEB=ZDBE,

：.OE//BD,

"：BD±AC,

：.OELAC,

月為。。半徑,

...AC與。。相切;

3

(2)解：?:BD=6,sinC=5，BDLAC,

BD

=10,

sinC

：.AB^BC=10.

設(shè)。。的半徑為r,則AO=10—r,

■:AB=BC,

：.ZC=ZA,

??sinA——sinC=5,

?「AC與。。相切于點石，

Z.OE±AC,

_0石_r_3

..sinA-9-5，

._15

,,r一"不,

即。。的半徑是排

2.(1)證明：連接OC,如解圖,

?.?尸。切。。于點C,

：.OC±PC,

：.ZPCO=90°,

Z.ZPCA+ZOCA=90°,

?「AB為。。的直徑，

，ZACS=90°,

二.ZABC-\-ZOAC=90°,

"：OC=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

：.ZPCA=ZABC；

(2W：'.,AE//PC,

：.ZPCA=ZCAF,

"：AB.LCG,

.?.At=Q

Z.ZACF=ZABC,

ZPCA=ZABC,

：.ZACF=ZCAF,

：.CF=AF,

"：CF=5,

：.AF=5,

,:AE〃PC,

；.NFAD=NP,

3

VsinZP^^,

3

/.sinNELD=5，

3

在Rt^A尸。中，AF=5,sinNE!O=5,

:.FD=3,AD=4,

：.CD=CF+FD=8,

在RtZkOCO中，設(shè)OC=r,

/.r2=(r—4)2+82,

.*.r=10,

A6=2r=20,

?「AB為。。的直徑，

NAEB=90°,

3

在中，sinZEAD=

.BE_3

,,麗=s

VAfi=20,

：.BE=12.

3.解：(1)直線PO與。O相切，

理由如下：如解圖①，連接。。,

ZPDA=ZADC,

：.ZPDC=2ZADC,

ZAOC=2ZADC,

：.ZPDC=ZAOC,

?.?直徑ABLCO于點石，

ZAOD=ZAOC,第3題解圖①

：.ZPDC=ZAOD,

ZAOD+ZODE=9Q0,

：.ZPDC+ZODE^90°,

：.OD±PD,

?.,。。是。。的半徑，

...直線PO與。。相切;

(2)如解圖②，連接6。,

?.."恰為比的中點，

：.ZCDM=ZBDM,

,/OD=OB,

：.ZBDM=ZDBA,

：.ZCDM=ZDBA,

?.?直線PO與。。相切，

二.ZPDA+ZADO=90°,第3題解圖②

又是。。的直徑，

Z.ZADB=90°,即/4。。+/3。出=90°,

，ZPDA=ZBDM,

：.ZPDA=ZDBA=ZCDM,

又,:ZPDA=ZADC,

：.ZPDM=3ZCDM=90°,

：.ZCDM=30°,

：.ZDBA=30°,

.DE

.?庭一tan30=*；

(3)如解圖③,

VtanZPDA=1,ZPDA=ZADC,

???烈即DE=2AE,

DE2

在中，設(shè)。。的半徑為r,

DE2+EO2=DO2,

第3題解圖③

(2AE)2+(r-AE)2=n,

解得r=^AE,

在石中，DE2+PE2=PD2,

：.(2A?2+(2+AE)2=PD2,

)?直線P￡＞與。。相切，連接BO,

由(2)知N/VMu/OgA,ZP=ZP,

△PM)SXPDB,

.PDPA

??麗=PD'

：.PDi=PAPB,BPPD2=2X(2+2r),

(2AE)2+(2+AE)2=2X(2+2r),

化簡得5AE2-\-4AE=4r,

r=2^E}

解得r=3.

即。。的半徑為3.

|二、與相似三角形結(jié)合|

針對演練

1.證明：（1）：AC為。。的直徑,

二.ZADC=90°,

：.ZCDB=90°,

又丁ZACB=90°,

Z.ZACB=ZCDB,

又,:NB=NB,

:AABCSACBD：

(2)連接。0,如解圖,

第1題解圖

VZBDC=90°,E為的中點,

：.DE=CE=BE,

，ZEDC=ZECD,

又「。。二0。,

：.ZODC=ZOCD,

而NOCO+ZDCE=ZACB=90°,

：.ZEDC-\-ZODC=90°,即NE。。=90°,

C.DELOD,

?：OD為OO的半徑,

石與。。相切.

2.(1)證明：連接C石，如解圖,

?「CO為。。的直徑,

：.ZCED=90°,

,/ZBCA=9Q°,

：.ZCED=ZBCO,

":BO〃DE,第2題解圖

：.ZBOC=ZCDE,

:.△CBOS^ECD,

.COBO

''DFTCD,

：.CO?CD=DEBO；

(2)解：VZDFE=ZECO,CD=2OC=10,

：.在RtACDE中，ED=CD-sinZECO=CD-sinZDFE=

10*5=6,

：.CE=yjCD2-ED2=,102—62=8,

EG3

在RtZXCEG中，E=sin/￡CG=w，

CJDJ

324

.?.￡6=5X8=5,

根據(jù)垂徑定理得：EF=2EG=5

3.(1)證明：如解圖，連接0。，

是。。的直徑，

Z.ZADB=90°,

\"AB^AC,

二.AD垂直平分BC,BPDC^DB,

...0。為AR4c的中位線，第3題解圖

：.0D//AC.

而DELAC,

：.0DLDE,

:。。是。。的半徑，

...跖是。。的切線；

(2)解：VZDAC=ZDAB,且NAM=NA36=90°,

ZADE=ZABD,

AD4

在Rt^A￡>6中，sinZADE=sinZABD=-r5=^,而A6=10,

AJDJ

：.AD=8,

AE4

在RtAADE中，sinZADE==^,

ZT1JrLXiD

32

'：0D//AE,

：.AFDOs4FEA,

.ODFO日口5_BF+5

??荏=M'即可=一方+10'

T

90

.BF=T

4.(1)證明：如解圖①，連接?！辏?、OE、ED.

?."C與。。相切于點。,

：.ODLBC,

：.ZODB=90°=ZC,

：.OD//AC,

"：ZB=30°,

：.NA=60°,第4題解圖①

：OA=OE,

...△AO￡是等邊三角形，

：.AE^AO=OD,

四邊形AO。石是平行四邊行,

"：OA=OD,

???平行四邊形AO。石是菱形；

(2)解:設(shè)。。的半徑為r.

^OD/ZAC,

.'.^OBD^AABC,

ODOB

??~Ac=-rD^n即n10=6(10—r).

/UI\.JD

解得r=^-,

的半徑為爭

如解圖②，連接OD、DF、AD.

C

"：OD//AC,

ZDAC=ZADO,

\"OA=OD,

：.ZADO=ZDAO,

：.ZDAC=ZDAO,

?「A尸是。。的直徑，

ZADF=900=ZC,

.,.AADC^AAFD,

.ADAF

?，AC=AD,

：.ADi=ACAF,

"."AC=6,AF=^X2=^-,

.*.AD2=?X6=45,

AAD=^45=3^5.（9分）

5.解：⑴存在，AE=CE.

理由如下：

如解圖①，連接ED,

,「AC是△ABC的斜邊，

ZABC=90°,

石為。0的直徑，

，ZADE=90°,

又?。是AC的中點，

助為AC的中垂線，

：.AE=CE；

(2)①如解圖②，是。。的切線,

ZAEF=90°.

由⑴可知NAO石=90°,

ZAED+ZEAD=9G°,

ZAED+ZDEF=90°,

：.ZEAD=ZDEF.

又,/ZADE=ZEDF=9G°

△AEDS^EFD,

第5題解圖②

.ADED

?旬=河’

：.ED2=ADFD.

又?.?A3=r>C=CR

...EDI=2ADAD=2ADi,

在Rt^A￡Z>中，

AE2=AD2+EDi=3AD2,

由(1)知=N,

又,：NCED=/CAB,

：.ZAED=ZCAB,

AD

sinZCAB=sin/AED=

②sinNCA6=W^.

一。十2

【解法提示】由(2)中的①知互>2=AD">,

?；CF=aCD(a>0),

CF=ciCD—ciAD,

：.ED2=AD-DF=AD(CD+CF)=AD(AD+aAD)=(a+1)A￡)2,

在RtAA￡D中,AE2=AD2+EDi=(a+2)AD2,

AD~~i__業(yè)+2

..sinNCA6=smNAED=在=

Q+2Q+2-

6.(1)證明：ZODB=ZAEC,ZAEC=ZABC,

：.ZODB=ZABC,

"：OFLBC,

，NBFD=9Q0,

：.ZODB+ZDBF=90°,

：.ZABC+ZDBF=9Q0,

即N06。=90°,

：.BD.LOB,

?「OB為。。的半徑,

.,.BO是。。的切線;

(2)證明：連接AC,如解圖①所示:

'：OFLBC,

:.葩=往,

二.ZECH=ZCAE,

'：ZHEC=ZCEA,

：.△CEHs^AEC,

.CEEA第6題解圖①

??麗=w

:.CE2=EHEA；

(3)解：連接6石，如解圖②所示：

,：AB是。。的直徑，

NAEB=90°,

3

GO的半徑為5,sin/BA石=5,

第6題解圖②

3

：.AB=1Q,BE=AB-sinZBAE=10X6,

在RtAAEB中，EA=^ABi-BEi=7102—62=8,

,:陸二也

：.BE=CE=6,

；CE2=EHEA,

.eCE2629

,________/9-15

在中，BH=邵&+￡^2=762+(Z)2=^-.

7.(1)證明：連接03,如解圖①，

,：AD平分N8AC交。。于D,

ZBAD=ZCAD,

:.^b=Cb,

：.OD±BC,

'.'BC//DF,

：.OD.LDF,

第7題解圖①

；.DF為。O的切線;

(2)解：連接08,連接0。交6C于P,作BHLDF于H,如解

圖①，

VZBAC^60°,AO平分N3AC,

ZBAD=30°,

：.ZBOD=2ZBAD=60°,

又?：0B=0D,

...△08。為等邊三角形，

：.ZODB=6G°,0B=BD=2yP，

ZBDF=30°,

"：BC//DF,

：.ZDBP=3Q°,

在中，PD=；BD=0PB=yj3PD=3,

在Rt△。石尸中，

"：PD=yP，DE=yp,

:.PE=yj~~~2~~2=2■>

'：OPLBC,

：.BP=CP=3,

：.CE=CP-PE=3-2=1,

易證得△3。石s△AC石，

.BE-DE叩5Z

,?衣—W'AE~1,

：.AE=￥.

'：BE//DF,

：.AABE^AAFD,

5/

.BEAEnr,57

,,訴=河即加=亙7觸傳DF=12,

在中，BH=；BD=yP，

「?S=s—s

??陰影ABDF弓形3D

?S^BDF（S扇形30?！瓵BO）

1L60F?（2、乃）2,.nL

=2?12?yj3-360+4,（2^3）2

=9/—2冗；(7分)

(3)解：連接CD,如解圖②,

由黑=：可設(shè)A6=4x,AC—3x,BF=y,

'：^b=Cb,

：.CD=BD=2y[3,

\'DF//BC,

：.ZF=ZABC=ZADC,

：.ZFDB=ZDBC=ADAC,

：.ABFDsACDA,第7題解圖②

.BD=BF加2走=上

，"AC~CD,q3x—鄧，

.".xy=4,

?Z/FDB=ZDBC=ZDAC=/FAD,

而NDF3=NA尸0,

:AFDBs&FAD,

.DFBF

?R=用'

"：DF+BF=S,

：.DF=8-BF=8-y,

.8—y_y

??y+4x8—y，

整理得：16—4y=xy,

/.16—4y=4,解得y=3,

即BF的長為3.（10分）

三、與全等三角形結(jié)合

針對演練

1.(1)證明：連接。石，過點。作ObJ_PN,如解圖所示,

與。。相切，

，OELPM,

：.ZOEP=ZOFP=90°,

?:PC平分/MPN,

：.ZEPO=ZFPO,

在△PR9和△尸廠O中，

第1題解圖

ZEPO=ZFPO

<ZOEP=ZOFP,

OP=OP

二.△尸石OZ△PFO(AAS),

：.OF=OE,

.?.0分為圓O的半徑且OFUN,

則7W與。。相切；

(2)解：在RtZkEPO中，ZMPC=30°,PE=2yj3,

：.ZEOP=60°,OE=PEt2Ln30°=2,

.?.ZEOS=120°,

則劣弧_屏的長為1-2:0n。八X2?=4—JI

2.(1)證明：如解圖①，連接60并延長交。。于點N,連接CN,

ZBMC=60°,

：.ZBNC=60°,

'：ZBNC+ZNBC=90°,

：.ZNBC=30°,

又???△A5C為等邊三角形,

第2題解圖①

Z.ZBAC=ZABC=NACB=60°,

ZABN=30°+60°=90°,

：.AB±BO,

即AB為。。的切線.

(2)解：BE+CF=yp,是定值.

理由如下：

如解圖②，連接。與AC的中點P,

?.?。為6C中點，

：.AD±BC,

：.PD=PC=^AC,

又ZACB=60°,

：.PD=PC=CD=BD^AC,

第2題解圖②

：.ZDPF=ZPDC=60°,

：.ZPDF+ZFDC=6G°,

又,:ZEDF=120°,

ZBDE+ZFDC=60°,

ZPDF=ZBDE,

在△3。石和△?￡>尸中，

ZEBD=ZDPF

<BD=PD,

ZBDE=ZPDF

：.ABDE”APDF(ASA),

：.BE=PF,

：.BE-\-CF=PF+CF=CP=BD,

VOBLAB,ZABC=60°,

：.ZOBC=30°,

又,：0B=2,

：.BD=OB-cos30°=2X^=0

即BE+CF=0

3.(1)證明：連接OC,如解圖①,

E

VOD±AC,OC=OA,

：.ZAOD=ZCOD.

在△A。石和△CO石中，

OA=OC

<ZAOE=ZCOE,

OE=OE

第3題解圖①

：.△AQ￡ZZ\CO￡(SAS),

：.ZEAO=ZECO.

又「石。是。。的切線，

：.ZECO=90°,

：.ZEAO^90°.

...A石與。O相切;

(2)解：設(shè)。0=3則。石=3力，￡0=46

在△EA。和△ADO中，

AEOA=ZAOD

ZEAO=ZADO,

：./\EAO^AADO,

.AOEO日口9_今

即/一g，

9

?"=2，即nnEO=18.

:.AE=yEO2-AO2=y182—92=9/；

延長交于點孔過。作OG〃A石交于點G,

如解圖②，

*.?OG//AE,

：.ZFED=ZGOD

又?:ZEDF=ZODG,

：.AEFD^AOGD,

.EFED3

??中=7TH=T，nnEF=3G0.

ULJUU1

又是A6的中點，第3題解圖②

：.AF=2G0,

：.AE^AF-\-FE=5G0,

：.5GO=90

“智，

.AF、設(shè)

..tanfi=^=5-

4.(1)證明：如解圖，連接。8,

?二形是。。的切線，

ZPBO=90°,

'：OA=OB,gALPO于點。，

：.AD=BD,ZPOA=ZPOB,

又，：PO=PO,

：.△必。且△JR6Q(SAS),

ZmO=ZPBO^90°,

：.OALPA,

直線勿為。。的切線；

(2)解：線段所、OD、0P之間的等量關(guān)系為所2=4ODOP

證明：VZFAO=ZPDA=90°,

Z.ZOAD+ZAOD=90°,ZOPA+ZAOP=90°,

：.ZOAD=ZOPA,

：./\OAD^/\OPA,

ODOA口口

..sp0A2=0D0P,

X'.'EF=20A,

：.EF2=4ODOP；

(3)解：'：OA=OC,AD=BD,BC=6,

**,OD=C=3>

設(shè)A￡)=x,

,?*tanN尸=2，

：.FD=2x,OA=OF=FD—OD=2x—3,

在Rt^AOO中，由勾股定理，得(2x—3)2=%2+32,

解之得，4=4,Z=。(不合題意，舍去)，

.,.AD=4,OA=2%—3=5,

是。。直徑，

ZABC=90°,

63

又?..AC=2OA=10,6C=6,cosZAC5=

OA2=OD-OP,

，3(尸石+5)=25,

5.(1)證明：連接0。，如解圖，

為。。的直徑，

ZACS=90°,

,/ZACB的平分線交。O于點D,

：.ZACD=ZBCD=45°,

：.ZDAB=ZABD=45°,

第5題解圖

為等腰直角三角形，

：.DO±AB,

?.?尸。為。。的切線，

：.OD±PD,

J.PD//AB；

(2)證明：石，于點石，班LLC。于點尸,

J.AE//BF,

，ZFBO=ZEAO,

?.?△/MB為等腰直角三角形,

Z.ZEDA+ZFDB=90°,

ZFBD+/FDB=90°,

：.ZFBD=ZEDA,

在△FB。和中，

ZBFD=ZDEA

<ZFBD=ZEDA,

BD=DA

：.△尸瓦注△￡D4(AAS),

：.DE=BF；

(3)解:在中,

4

?AC=6,tanNCAB=4,

4

..fiC=6X5=8,

：.AB=7AC2+BC2=#2+82=10,

???ADAB為等腰直角三角形，

：.AD=^=5yP，

,：AE.LCD,

.?.△ACS為等腰直角三角形,

AC6

:.AE=CE=《=娘=3p

在RtAAED中，DE=^ADi-AEi=(5^2)2-(3^2)2=

KP，

：.CD=CE+DE=3yP+4&=7平,

'.,AB//PD,

ZPDA=ZDAB=45°,

：.ZPDA=ZPCD,

又，:ZDPA=ACPD,

二.APDAs叢PCD,

.PDPAADSyp._5

??樸=PD=DT=7；/2=7，

57

：.PA=^PD,PC=^PD,

又?.?％=%+AC,

5735

/.yPD+6=5PD,解得尸。=4,

.〃5-5、，35—25”49

?.PC=JPD~\~6=JX6=-^--l-6=-^-.

6.(1)證明：如解圖①，連接0C,

?.?力切。。于點A,

ZB46)=90°,

'.,BC//OP,

：.ZAOP