挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘(全國通用)專題04二次根式(12個高頻考點)(舉一反三)(全國版)(原卷版+解析)

專題04二次根式（12個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1二次根式的定義】 1【考點2二次根式有意義的條件】 2【考點3二次根式的性質與化簡】 2【考點4最簡二次根式】 2【考點5二次根式的乘除】 3【考點6分母有理化】 3【考點7同類二次根式】 4【考點8二次根式的加減法】 5【考點9二次根式的混合運算】 5【考點10二次根式的化簡求值】 6【考點11比較二次根式的大小】 6【考點12二次根式的應用】 6【要點1二次根式的定義】一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式?！究键c1二次根式的定義】【例1】（2023·河南·靈寶市實驗中學三模）下列式子：①13；②1?2；③x2+1；④327；⑤?4A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤【變式1-1】（2023·廣東·江門市新會東方紅中學模擬預測）若最簡二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，則a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【變式1-2】（2023·廣東·東莞市萬江第三中學三模）下列各式中是二次根式的為（

）A．a+b B．st C．?x3【變式1-3】（2023·河南省淮濱縣第一中學三模）已知x=6?25為一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，且a，b為有理數(shù)，則【考點2二次根式有意義的條件】【例2】（2023·四川·綿陽市桑棗中學一模）若等式(x?1)(x+2)=x?1?x+2成立，則字母A．x≥0 B．x≥?2 C．?2≤x≤1 D．x≥1【變式2-1】（2023·四川師范大學附屬中學模擬預測）已知x，y均為實數(shù)，y=x?2+4?2x【變式2-2】（2023·遼寧丹東·中考真題）在函數(shù)y＝x+3x中，自變量x的取值范圍是（

A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0【變式2-3】（2023·湖北黃石·中考真題）函數(shù)y=xx+3+1x?1A．x≠?3且x≠1 B．x>?3且x≠1 C．x>?3 D．x≥?3且x≠1【要點2二次根式的基本性質】①(a)2=a(a≥0)；②【考點3二次根式的性質與化簡】【例3】（2023·四川宜賓·二模）下列計算正確的是（

）A．721=3 B．3?8=?2 【變式3-1】（2023·內蒙古內蒙古·中考真題）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應位置如圖所示，則a2+1+|a?1|的化簡結果是（A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【變式3-2】（2023·福建·莆田第十五中學八年級階段練習）若12a是整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3-3】（2023·四川南充·中考真題）若8?x為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是_______________．【要點3最簡二次根式】最簡二次根式滿足的條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。【考點4最簡二次根式】【例4】（2023·江蘇·射陽縣第四中學一模）下列二次根式中是最簡二次根式的是（

）A．30 B．12 C．8 D．1【變式4-1】（2023·湖北襄陽·二模）若最簡二次根式a+1與8是可以合并的二次根式，則a＝______．【變式4-2】（2023·重慶文德中學校二模）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A．8 B．13 C．ab2【變式4-3】（2023·廣東·江門市新會東方紅中學模擬預測）若最簡二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，則a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【要點4二次根式的乘除】二次根式的乘法：；(a≥0，b≥0)二次根式的除法：；(a≥0，b＞0)【考點5二次根式的乘除】【例5】（2023·湖北恩施·中考真題）從2，?3，?2這三個實數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有（A．0 B．1 C．2 D．3【變式5-1】（2023·廣東番禺中學三模）計算：abA．1|a|b2ab B．1abab【變式5-2】（2023·廣東佛山·一模）下列整數(shù)中，與(424A．5 B．6 C．7 D．8【變式5-3】（2023·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學三模）能與3÷A．1÷2 B．2÷6 C．6【考點6分母有理化】【例6】（2023·福建·漳州三中八年級階段練習）觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：12+1=2?1

(1)求110(2)請你用含n（n為正整數(shù)）的關系式表示上述各式子的變形規(guī)律：______________；(3)利用這一規(guī)律計算：1【變式6-1】（2023·安徽·二模）-23的倒數(shù)是（A．-232 B．-23 【變式6-2】（2023·河北保定·一模）已知x=12+3（1）x2（2）(x?y)2【變式6-3】（2023·重慶·西南大學附中三模）某數(shù)學興趣小組在學習二次根式的時候發(fā)現(xiàn)：有時候兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，例如，(5?2)(5+2)=1，甲：13?乙：設有理數(shù)a，b滿足：a2+1+丙：12022?。阂阎?3?x?11?x=4戊：13+以上結論正確的有（）A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁【考點7同類二次根式】【例7】（2023·上海普陀·二模）下列二次根式中，與3x是同類二次根式的是（

）A．x3 B．3x C．3x【變式7-1】（2023·上海崇明·二模）如果最簡二次根式3x?5與x+3是同類二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-2】（2023·上?！つM預測）二次根式5x+8與7是同類二次根式，則x的最小正整數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．?【變式7-3】（2023·湖北·孝感市孝南區(qū)教學研究室模擬預測）如果二次根式x+5與2可以合并，那么x的值可以是_________（只需寫出一個）【考點8二次根式的加減法】【例8】（2023·河北·模擬預測）如果a+1與12的和等于33，那么a的值是___________．【變式8-1】（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）計算3+3【變式8-2】（2023·河北省保定市第二中學分校一模）18?【變式8-3】（2022·河北唐山·二模）已知：?50+12=a【考點9二次根式的混合運算】【例9】（2023·江蘇·南京師范大學附屬中學樹人學校二模）計算23【變式9-1】（2023·山東泰安·中考真題）計算：8?【變式9-2】（2023·江蘇泰州·中考真題）計算:(1)計算：18?(2)按要求填空：小王計算2xx解：2xx==小王計算的第一步是(填“整式乘法”或“因式分解”)，計算過程的第步出現(xiàn)錯誤.直接寫出正確的計算結果是.【變式9-3】（2023·江蘇·九年級二模）如圖，一次函數(shù)y=x+2的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，把直線AB繞點B順時針旋轉30°交x軸于點C，則線段AC長為（

A．6+2 B．32 C．2+【考點10二次根式的化簡求值】【例10】（2023·廣東番禺中學三模）已知x2＝2x+15，則代數(shù)式(x+2【變式10-1】（2023·四川·隆昌市藍天育才學校一模）已知a+b=3，ab=2，則ab【變式10-2】（2023·浙江·舟山市定海區(qū)第七中學一模）已知x?1x【變式10-3】（2023·湖北·荊門市?；壑袑W八年級階段練習）已知xy=3，則yx【考點11比較二次根式的大小】【例11】（2023·四川瀘州·中考真題）與2+15最接近的整數(shù)是（

A．4 B．5 C．6 D．7【變式11-1】（2023·陜西延安·二模）比較大?。?3_____3【變式11-2】（2023·湖南懷化·中考真題）比較大?。?2__________1【變式11-3】（2023·貴州安順·中考真題）估計(25+52A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【考點12二次根式的應用】【例12】（2023·四川眉山·中考真題）將一組數(shù)2，2，6，22，…，42，2，6，2210，23，14…若2的位置記為(1,2)，14的位置記為(2,3)，則27【變式12-1】（2023·江蘇無錫·一模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：3，82，153，244，……其中第5個數(shù)為______，第n【變式12-2】（2023·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學研究室三模）閱讀與應用：同學們，你們已經知道(a?b)2≥0，即a2?2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取等號)閱讀1：若a、b為實數(shù)，且a>0，b>0，∵(a?b)2≥0，∴a?2閱讀2：若函數(shù)y=x+mx(m>0，x>0，m為常數(shù))．由閱讀1結論可知：x+mx≥2x?m閱讀理解上述內容，解答下列問題：問題1：已知一個矩形的面積為4，其中一邊長為x，則另一邊長為4x，周長為2x+4問題2：若函數(shù)y=a+9a?1(a>1)，則a=問題3：建造一個容積為8立方米，深2米的長方體無蓋水池，池底和池壁的造價分別為每平方米120元和80元，設池長為x米，水池總造價為y元，求當x為多少時，水池總造價y最低？最低是多少？【變式12-3】（2023·貴州銅仁·三模）已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？古希臘的幾何學家海倫解決了這個問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計算公式—海倫公式S=pp?ap?bp?c（其中a，b，c是三角形的三邊長，p例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面積可以這樣計算：∵a＝3，b＝4，c＝5∴p=a+b+c∴S=p事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時期數(shù)學家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決．根據上述材料，解答下列問題：如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9（1）用海倫公式求△ABC的面積；（2）求△ABC的內切圓半徑r．專題04二次根式（12個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1二次根式的定義】 1【考點2二次根式有意義的條件】 3【考點3二次根式的性質與化簡】 5【考點4最簡二次根式】 6【考點5二次根式的乘除】 8【考點6分母有理化】 10【考點7同類二次根式】 13【考點8二次根式的加減法】 15【考點9二次根式的混合運算】 16【考點10二次根式的化簡求值】 19【考點11比較二次根式的大小】 21【考點12二次根式的應用】 23【要點1二次根式的定義】一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。【考點1二次根式的定義】【例1】（2023·河南·靈寶市實驗中學三模）下列式子：①13；②1?2；③x2+1；④327；⑤A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤【答案】A【分析】由二次根式的性質和定義進行判斷，即可得到答案【詳解】解：13、x2+11?2=?1無意義，故選：A【點睛】本題考查了二次根式的定義和性質，解題的關鍵是掌握二次根式的定義進行判斷【變式1-1】（2023·廣東·江門市新會東方紅中學模擬預測）若最簡二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，則a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D【分析】由二次根式的定義可知3a?b=2，由最簡二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，可得4a+3b=2a?b+6【詳解】解：∵最簡二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6∴3a?b=24a+3b=2a?b+6∴3a?b=2a+2b=3解得a=1b=1故選D．【點睛】本題主要考查了二次根式的定義和最簡二次根式的定義，熟知定義是解題的關鍵．【變式1-2】（2023·廣東·東莞市萬江第三中學三模）下列各式中是二次根式的為（

）A．a+b B．st C．?x3【答案】D【分析】根據二次根式的定義判定即可．【詳解】解：A、a+b是整式不是二次根式，故此選項不符合題意；B、stC、?xD、aa≥0故選：D．【點睛】本題考查二次根式，熟練掌握二次根式的定義“形如aa≥0【變式1-3】（2023·河南省淮濱縣第一中學三模）已知x=6?25為一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，且a，b為有理數(shù)，則【答案】

2；

?4；【分析】將x=6?25因式分解求得x=5?1，則x2+ax+b=0可化簡得5a?2+b?a+6=0，根據a，b為有理數(shù)，可得【詳解】解：∵x=====∴x∴5∴6?2∴5∴5∵a，b為有理數(shù)，∴a?2，b?a+6也為有理數(shù)，故當5a?2+b?a+6=0時候，只有∴a=2，b=?4，故答案是：2，?4；【點睛】本題考查了二次根式的化簡，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理數(shù)，無理數(shù)的概念的理解，熟悉相關性質是解題的關鍵．【考點2二次根式有意義的條件】【例2】（2023·四川·綿陽市桑棗中學一模）若等式(x?1)(x+2)=x?1?x+2成立，則字母A．x≥0 B．x≥?2 C．?2≤x≤1 D．x≥1【答案】D【分析】根據二次根式的意義可以得知x?1≥0，x+2≥0構成不等式組就可以求出其x的取值范圍．【詳解】解：∵x?1∴x?1≥0解得x≥1．故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的乘除法，二次根式有意義的條件及不等式組的解法，根據二次根式有意義的條件列出不等式組是解答關鍵.【變式2-1】（2023·四川師范大學附屬中學模擬預測）已知x，y均為實數(shù)，y=x?2+4?2x【答案】8【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x的值，進而得出y的值，進而得出答案．【詳解】解：∵y=x?2∴x?2?04?2x?0∴x=2，∴y=3，∴x故答案為：8【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關鍵.【變式2-2】（2023·遼寧丹東·中考真題）在函數(shù)y＝x+3x中，自變量x的取值范圍是（

A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0【答案】D【分析】根據二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為0列出不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】解：由題意得：x+3≥0且x≠0，解得：x≥﹣3且x≠0，故選：D．【點睛】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為0是解題的關鍵．【變式2-3】（2023·湖北黃石·中考真題）函數(shù)y=xx+3+1x?1A．x≠?3且x≠1 B．x>?3且x≠1 C．x>?3 D．x≥?3且x≠1【答案】B【分析】直接利用二次根式有意義的條件、分式有意義的條件分析得出答案．【詳解】解：依題意，x+3>0∴x>?3且x≠1故選B【點睛】此題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍，正確掌握二次根式與分式有意義的條件是解題關鍵．【要點2二次根式的基本性質】①(a)2=a(a≥0)；②【考點3二次根式的性質與化簡】【例3】（2023·四川宜賓·二模）下列計算正確的是（

）A．721=3 B．3?8=?2 【答案】B【分析】根據算術平方根、平方根、立方根的定義逐項判定即可．【詳解】解：A、721B、3?8C、a2D、25=5故選：B．【點睛】本題考查了平方根、算術平方根和立方根的定義，熟練掌握三者的概念的區(qū)別與聯(lián)系是解題的關鍵．【變式3-1】（2023·內蒙古內蒙古·中考真題）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應位置如圖所示，則a2+1+|a?1|的化簡結果是（A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【答案】B【分析】根據數(shù)軸得∶0<a<1，得到a>0，a-1<0，利用二次根式和絕對值的性質化簡求解即可．【詳解】解∶∵根據數(shù)軸得∶0<a<1，∴a>0，a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1-a=2．故選∶B．【點睛】本題考查二次根式的性質與化簡，實數(shù)與數(shù)軸，掌握a2【變式3-2】（2023·福建·莆田第十五中學八年級階段練習）若12a是整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據12=22×3，若12a是整數(shù)，則12a【詳解】解：∵12=22×3又∵能被3整除的最小平方數(shù)是9，∴a的最小正整數(shù)值是3，故選：A．【點睛】本題考查了二次根式的性質，正確理解12a=2【變式3-3】（2023·四川南充·中考真題）若8?x為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是_______________．【答案】4或7或8【分析】根據根號下的數(shù)大于等于0和x為正整數(shù)，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根據8?x為整數(shù)即可得x的值．【詳解】解：∵8?x≥0∴x≤8∵x為正整數(shù)∴x可以為1、2、3、4、5、6、7、8∵8?x為整數(shù)∴x為4或7或8故答案為：4或7或8．【點睛】本題考查了利用二次根式的性質化簡、解一元一次不等式等知識點，掌握二次根式的性質是解答本題的關鍵．【要點3最簡二次根式】最簡二次根式滿足的條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式?！究键c4最簡二次根式】【例4】（2023·江蘇·射陽縣第四中學一模）下列二次根式中是最簡二次根式的是（

）A．30 B．12 C．8 D．1【答案】A【分析】被開方數(shù)含有開不盡方的因數(shù)或因式，且不含分母，這樣的二次根式是最簡二次根式，根據此概念進行判斷即可．【詳解】A、此二次根式再也不能化簡了，故是最簡二次根式，符合題意；B、12=2C、8=2D、12故選：A．【點睛】本題考查了最簡二次根式的識別，二次根式的性質，掌握最簡二次根式的概念是關鍵．【變式4-1】（2023·湖北襄陽·二模）若最簡二次根式a+1與8是可以合并的二次根式，則a＝______．【答案】1【分析】根據同類二次根式的定義計算求值即可；【詳解】解：∵8＝22，根據題意得：a+1＝2，解得a＝1，故答案為：1．【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式；同類二次根式：把幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式；掌握相關定義是解題關鍵．【變式4-2】（2023·重慶文德中學校二模）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A．8 B．13 C．ab2【答案】D【分析】根據最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A．8=2B．13C．abD．3是最簡二次根式，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查最簡二次根式的定義，滿足以下兩個條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)或因式．理解和掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵．【變式4-3】（2023·廣東·江門市新會東方紅中學模擬預測）若最簡二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，則a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D【分析】由二次根式的定義可知3a?b=2，由最簡二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6能合并，可得4a+3b=2a?b+6【詳解】解：∵最簡二次根式3a?b4a+3b和2a?b+6∴3a?b=24a+3b=2a?b+6∴3a?b=2a+2b=3解得a=1b=1故選D．【點睛】本題主要考查了二次根式的定義和最簡二次根式的定義，熟知定義是解題的關鍵．【要點4二次根式的乘除】二次根式的乘法：；(a≥0，b≥0)二次根式的除法：；(a≥0，b＞0)【考點5二次根式的乘除】【例5】（2023·湖北恩施·中考真題）從2，?3，?2這三個實數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有（A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據題意分別求出這三個實數(shù)中任意兩數(shù)的積，進而問題可求解．【詳解】解：由題意得：?3∴所有積中小于2的有?6故選C．【點睛】本題主要考查二次根式的乘法運算，熟練掌握二次根式的乘法運算是解題的關鍵．【變式5-1】（2023·廣東番禺中學三模）計算：abA．1|a|b2ab B．1abab【答案】A【分析】根據二次根式的乘除運算法則進行計算，最后根據二次根式的性質化簡即可．【詳解】解：ab故選：A．【點睛】本題考查二次根式的乘除運算和二次根式的性質，a?b=【變式5-2】（2023·廣東佛山·一模）下列整數(shù)中，與(424A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據二次根式的混合運算法則化簡原式，再估算出5的值即可判斷．【詳解】解：(4＝4＝8﹣5，∵2.22＜5＜2.32，∴2.2<5∴5.7<8?5∴與(424故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算以及估算無理數(shù)的大小，估算無理數(shù)大小要用逼近法．【變式5-3】（2023·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學三模）能與3÷A．1÷2 B．2÷6 C．6【答案】C【分析】根據二次根式乘除混合運算逐項計算即可求解．【詳解】解：A.1÷2×B.2÷6C.6÷3×D.3÷故選C．【點睛】本題考查了二次根式乘除混合運算，正確的計算是解題的關鍵．【考點6分母有理化】【例6】（2023·福建·漳州三中八年級階段練習）觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：12+1=2?1

(1)求110(2)請你用含n（n為正整數(shù)）的關系式表示上述各式子的變形規(guī)律：______________；(3)利用這一規(guī)律計算：1【答案】(1)10(2)1(3)20【分析】（1）根據題目中的例子進行分母有理化求解即可；（2）按照所給等式的變化規(guī)律寫出第n個等式即可；（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式計算即可．【詳解】（1）由題意可得：110故答案為：10?（2）由題意可得：1n+1故答案為：1n+1（3）1=(=(?1+=(=202=2019【點睛】本題考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【變式6-1】（2023·安徽·二模）-23的倒數(shù)是（A．-232 B．-23 【答案】D【分析】乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，依此即可得出答案．【詳解】解：∵-2∴-23的倒數(shù)是故選：D．【點睛】此題主要考查了倒數(shù)，分母有理化，正確掌握倒數(shù)的定義是解題關鍵．【變式6-2】（2023·河北保定·一模）已知x=12+3（1）x2（2）(x?y)2【答案】

14

11【分析】根據分母有理化得到x=2?3，將x和y【詳解】解：∵x=1∴x=1∴（1）x=2?=4?43=14，故答案為：14；（2）x?y2=2?=?2=12?1=11，故答案為：11．【點睛】本題主要考查了分母有理化、二次根式的混合運算法則，理解相關知識是解答關鍵．【變式6-3】（2023·重慶·西南大學附中三模）某數(shù)學興趣小組在學習二次根式的時候發(fā)現(xiàn)：有時候兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，例如，(5?2)(5+2)=1，甲：13?乙：設有理數(shù)a，b滿足：a2+1+丙：12022丁：已知43?x?11?x=4戊：13+以上結論正確的有（）A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁【答案】B【分析】根據分母有理化進行計算逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：甲：13?乙：設有理數(shù)a，b滿足：a2+1+丙：∵1∴12022?。骸?3?x?11?x則43?x+戊：1====33?故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，正確的計算是解題的關鍵．【考點7同類二次根式】【例7】（2023·上海普陀·二模）下列二次根式中，與3x是同類二次根式的是（

）A．x3 B．3x C．3x【答案】A【分析】根據同類二次根式的定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．求解即可．【詳解】解：A.原式=3x3B.不是同類二次根式，不符合題意；C.不是同類二次根式，不符合題意；D.原式=x3故選：A．【點睛】本題考查了同類二次根式，以及二次根式的性質與化簡，解題的關鍵是熟練掌握同類二次根式的概念．【變式7-1】（2023·上海崇明·二模）如果最簡二次根式3x?5與x+3是同類二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據最簡二次根式的定義：二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式．進行求解即可．【詳解】∵最簡二次根式3x?5與x+3是同類二次根式，∴3x?5=x+3，∴x=4，故選：D．【點睛】本題考查同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關鍵．【變式7-2】（2023·上海·模擬預測）二次根式5x+8與7是同類二次根式，則x的最小正整數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．?【答案】A【分析】把x=4、5、6、?15分別代入【詳解】解：A．x=4時，5x+8=28=2B．x=5時，5x+8=33，與C．x=6時，5x+8=38，與D．x=?15時，5x+8=7，與故選：A．【點睛】本題主要考查了同類二次根式的定義，化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式，理解同類二次根式的定義是解答關鍵．【變式7-3】（2023·湖北·孝感市孝南區(qū)教學研究室模擬預測）如果二次根式x+5與2可以合并，那么x的值可以是_________（只需寫出一個）【答案】?3（答案不唯一）【分析】當x+5和2可以合并，所以它們是同類二次根式時，那么可以令x+5=2，解得x即可．【詳解】當x+5和2可以合并，所以它們是同類二次根式，當x+5是最簡二次根式，令x+5=2，解得，x=-3,故答案為：-3（答案不唯一）．【點睛】本題考查了同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式，此題是開放題，只要滿足題意即可．【考點8二次根式的加減法】【例8】（2023·河北·模擬預測）如果a+1與12的和等于33，那么a的值是___________．【答案】2【分析】根據題意二次根式的加減運算即可求解．【詳解】解：∵a+1與12的和等于33，∴a+1=33?∴a+1=3∴a=2故答案為：2【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，掌握二次根式的加減運算是解題的關鍵．【變式8-1】（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）計算3+3【答案】2【分析】先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：3=3+=23故答案為：23【點睛】本題考查了二次根式的加減，把二次根式化為最簡二次根式是解題的關鍵．【變式8-2】（2023·河北省保定市第二中學分校一模）18?【答案】2+3【分析】首先化簡各二次根式，進而合并得出答案．【詳解】解：原式=3=2+故答案為：2+【點睛】本題考查了二次根式的化簡以及合并同類二次根式，正確將每個二次根式化成最簡二次根式是解題的關鍵．【變式8-3】（2022·河北唐山·二模）已知：?50+12=a【答案】-7【分析】先將原式中二次根式進行化簡，合并，則可求得a=?5，b=12，【詳解】解：?50∵?50∴a=?5，b=12，∴ab+c=?5×1故答案為：-7．【點睛】本題主要考查了二次根式的加減，掌握二次根式加減的運算方法是解題的關鍵．【考點9二次根式的混合運算】【例9】（2023·江蘇·南京師范大學附屬中學樹人學校二模）計算23【答案】12##【分析】根據二次根式混合運算法則進行計算即可．【詳解】解：2====【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則．【變式9-1】（2023·山東泰安·中考真題）計算：8?【答案】2【分析】先計算乘法，再合并，即可求解．【詳解】解：8==4=23故答案為：23【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．【變式9-2】（2023·江蘇泰州·中考真題）計算:(1)計算：18?(2)按要求填空：小王計算2xx解：2xx==小王計算的第一步是(填“整式乘法”或“因式分解”)，計算過程的第步出現(xiàn)錯誤.直接寫出正確的計算結果是.【答案】(1)2(2)因式分解；三和五；1【分析】(1)先化成最簡二次根式，然后根據二次根式的四則運算法則求解即可；(2)按照分式的加減運算法則逐步驗算即可.（1）解：原式=32（2）解：由題意可知：2x故小王的計算過程中第三步和第五步出現(xiàn)了錯誤；最終正確的計算結果為1x?2故答案為：因式分解，第三步和第五步，1【點睛】本題考查二次根式的四則運算法則及分式的加減運算法則，屬于基礎題，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.【變式9-3】（2023·江蘇·九年級二模）如圖，一次函數(shù)y=x+2的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，把直線AB繞點B順時針旋轉30°交x軸于點C，則線段AC長為（

A．6+2 B．32 C．2+【答案】A【分析】根據一次函數(shù)表達式求出點A和點B坐標，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長，過點C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設CD=AD=x，結合旋轉的度數(shù)，用兩種方法表示出BD，得到關于x的方程，解之即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=x+2的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B令x=0，則y=2，令y=0，則x=?2則A（?2，0），B（0，2則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB=22過點C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設CD=AD=x，∴AC=AD2+CD∵旋轉，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD=BC2?CD又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=3x，解得：x=3+1，∴AC=2x=2（3+1）=6+故選A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，等腰直角三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理，二次根式的混合運算，知識點較多，解題的關鍵是作出輔助線，構造特殊三角形．【考點10二次根式的化簡求值】【例10】（2023·廣東番禺中學三模）已知x2＝2x+15，則代數(shù)式(x+2【答案】202或【分析】直接將原式分解因式，再把x的值代入進而計算得出答案．【詳解】解：(x+＝(x+＝2x×2＝42∵x2∴x2（x﹣5）（x+3）＝0，∴x＝5或x＝﹣3．當x＝5時，原式＝42×5=20當x＝﹣3時，原式＝42【點睛】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確運用乘法公式是解題關鍵．【變式10-1】（2023·四川·隆昌市藍天育才學校一模）已知a+b=3，ab=2，則ab【答案】3【分析】先把二次根式進行化簡，然后把a+b=3，ab=2，代入計算，即可得到答案.【詳解】解：a=(a+b)ab∵a+b=3，ab=2，∴原式=3×2故答案為：32【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，以及二次根式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的混合運算的運算法則進行解題.【變式10-2】（2023·浙江·舟山市定海區(qū)第七中學一模）已知x?1x【答案】15【分析】通過平方或分式的性質，把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用的代數(shù)式表示，然后再進行計算．【詳解】解：由x?1x∴x+1原式=x+1x2?4?故答案為：152【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，難度不大，關鍵是把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用x+1【變式10-3】（2023·湖北·荊門市?；壑袑W八年級階段練習）已知xy=3，則yx【答案】±2【分析】根據二次根式的性質將原式進行化簡，注意要結合二次根式有意義的條件進行分情況討論【詳解】求解．解：∵xy=3，∴x與y同號，①當x>0，y>0時，原式=y?===23②當x<0，y<0時，原式=y?=?=?=?23故答案為：±23【點睛】此題考查了二次根式的性質，解題的關鍵是利用二次根式有意義的條件．【考點11比較二次根式的大小】【例11】（2023·四川瀘州·中考真題）與2+15最接近的整數(shù)是（

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】估算無理數(shù)的大小即可得出答案．【詳解】解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜15＜4，∴5.5＜2+15＜6，∴最接近的整數(shù)是6，故選：C．【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關鍵．【變式11-1】（2023·陜西延安·二模）比較大?。?3_____3【答案】＜【分析】先把根號外的因式移入根號內，再比較大小即可．【詳解】∵23=12，32=18，12＜∴23＜3故答案為：＜【點睛】本題考查了比較二次根式的大小，能選擇適當?shù)姆椒ū容^兩個實數(shù)的大小是解此題的關鍵．【變式11-2】（2023·湖南懷化·中考真題）比較大小：22__________1【答案】＞【分析】直接用22?12，結果大于0，則【詳解】解：22∴22故答案為：＞．【點睛】本題主要考查實數(shù)的大小比較，常用的比較大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正確理解和記憶方法背后的知識點是解題關鍵．【變式11-3】（2023·貴州安順·中考真題）估計(25+52A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】B【分析】根據二次根式的混合運算進行化簡，進而估算即可求解．【詳解】解：原式=2＝2+10∵3<10∴5<2+10故選B．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，無數(shù)的估算，正確的計算是解題的關鍵．【考點12二次根式的應用】【例12】（2023·四川眉山·中考真題）將一組數(shù)2，2，6，22，…，42，2，6，2210，23，14…若2的位置記為(1,2)，14的位置記為(2,3)，則27【答案】(4,2)【分析】先找出被開方數(shù)的規(guī)律，然后再求得27【詳解】數(shù)字可以化成：2，4，6，8；10，12，14，16；∴規(guī)律為：被開數(shù)為從2開始的偶數(shù)，每一行4個數(shù)，∵27=∴27的位置記為故答案為：(4,2)【點睛】本題考查了類比點的坐標解決實際問題的能力和閱讀理解能力．被開方數(shù)全部統(tǒng)一是關鍵．【變式12-1】（2023·江蘇無錫·一模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：3，82，153，244，……其中第5個數(shù)為______，第n【答案】

355，

【分析】首先將3轉換成31【詳解