人教版高中數(shù)學必修二 直線與平面垂直的判定 教學設(shè)計

《2?3直線與平面垂直的判定》教學設(shè)計

一'教學內(nèi)容和內(nèi)容解析

《直線與平面垂直的判定》是高中新教材人教A版必修2第2章2.3.1的內(nèi)

容，本節(jié)課主要學習線面垂直的定義、判定定理及定理的初步運用。其中，線面

垂直的定義是線面垂直最基本的判定方法和性質(zhì)，它是探究線面垂直判定定理的

基礎(chǔ)；線面垂直的判定定理充分體現(xiàn)了線線垂直與線面垂直之間的轉(zhuǎn)化，它既是

后面學習面面垂直的基礎(chǔ)，又是連接線線垂直和面面垂直的紐帶！學好這部分內(nèi)

容，對于學生建立空間觀念，實現(xiàn)從認識平面圖形到認識立體圖形的飛躍，是非

常重要的。

直線與平面垂直的判定定理本節(jié)是通過折紙試驗來感悟的，它把原來定義

中要求與任意一條（無限）垂直轉(zhuǎn)化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，

概言之，線不在多，相交就行。直線與平面垂直的判定方法除了定義法、判定定

理外，還有如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也

垂直于這個平面，這是直線與平面垂直判定的一種間接方法，也是十分重要的。

二、教學重點、難點，以及期望目標和目標解析

根據(jù)《課程標準》，線面垂直判定定理的嚴格證明在本節(jié)課中不做要求，這

樣降低了難度。

教學重點：操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

教學難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。

期望目標：理解直線與平面垂直的定義，掌握直線與平面垂直的判定定理.

目標解析：1.利用已有知識與生活經(jīng)驗，抽象概括出直線與平面垂直的定義；

2.通過概括、辨析與應用，正確理解直線與平面垂直的定義；

3.通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理；

4.運用直線與平面垂直的判定定理，證明和直線與平面垂直有關(guān)的簡單命題.

5.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發(fā)展合情推理能力，同時感悟和體

驗”空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、“無限轉(zhuǎn)

化為有限”等數(shù)學思想.

三'教學問題診斷分析

學生已有的認知基礎(chǔ)是熟悉的日常生活中的具體直線與平面垂直的直觀

形象（學生的客觀現(xiàn)實）和直線與直線垂直的定義、直線與平面平行的判定定理

等數(shù)學知識結(jié)構(gòu)（學生的數(shù)學現(xiàn)實），這為學生學習直線與平面垂直定義和判定

定理等新知識奠定基礎(chǔ)。學生學習的困難在于如何從直線與平面垂直的直觀形象

中提煉出直線與平面垂直的定義，感悟直線與平面垂直的意義；以及如何從折紙

試驗中探究出直線與平面垂直的判定定理。

四'學習行為分析

本節(jié)課安排在立體幾何的初始階段，是學生空間觀念形成的關(guān)鍵時期，課

堂上學生通過感知、觀察、提煉直線與平面垂直的定義，進而通過辨析討論，深

化對定義的理解。進一步，在一個具體的數(shù)學問題情境中猜想直線與平面垂直的

定義及判定定理，并在教師的指導下，通過動手操作、觀察分析、自主探索等活

動，切身感受直線與平面垂直及定義判定定理的形成過程,體會蘊涵在其中的思

想方法。繼而，通過課本例1的學習概括直線與平面垂直的幾種常用判定方法。

再通過練習與課后小結(jié)，使學生進一步加深對直線與平面垂直的判定定理的理

解。

五'教學支持條件分析

為了有效實現(xiàn)教學目標，教師準備：多媒體課件（以PowerPoint為平臺）、

三角板、大三角形紙片等教具；學生自備：三角形紙片（任意形狀）、筆（表直

線）、課本（表平面）等學具。

六、教學過程設(shè)計

（一）直觀感知直線與平面垂直的位置關(guān)系

復習：直線和平面的位置關(guān)系是什么？

（在直線與平面的位置關(guān)系中，直線在平面內(nèi)、直線與平面平行我們已經(jīng)系

統(tǒng)研究過了，接下來要研究直線與平面相交的情形.）

問題1.日常生活中有哪些現(xiàn)象給人以直線與平面相交的感覺？你認為哪種直

線與平面相交的位置關(guān)系比較特殊？

問題2.在已學過的空間幾何體中，說一說你心目中哪些是直線與平面垂直的？

問題3.你覺得畫怎樣的直觀圖最能反映直線與平面垂直的情形？

【意圖】基于學生的客觀現(xiàn)實，通過對生活事例的觀察以及以前學過的知識

內(nèi)容為基礎(chǔ)，讓學生直觀感知直線與平面相交中的特例一一直線與平面垂直的

位置關(guān)系，由此引出課題.

問題4.究竟直線與平面垂直的意義是什么？

（-）抽象概括直線與平面垂直的定義

探究一：直線與平面垂直的含義？

情景創(chuàng)設(shè)1：一個人走在燈火通明的大街上，會在地面上形成影子，隨著人

不停的走動，這個影子忽前忽后、忽左忽右，但是無論怎樣，人始終與影子相交

于一點，并始終保持垂直.

情景創(chuàng)設(shè)2：立竿見影：太和殿丹陛上日辱

【意圖】旨在讓學生發(fā)現(xiàn)所在直線始終與地面上任意一條過點8的直線

垂直，與地面上任意一條不過點8的直線也垂直。注意強調(diào)：兩條直線垂直有相

交垂直和異面垂直兩種，從中概括出：一條直線與一個平面垂直，那么該直線與

此平面內(nèi)的任意一條直線都垂直.從而由感性認識上升到理性認？

識的過程。/---------

定義：如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們“圉"一

就說直線/與平面a互相垂直，記作：.直線/叫做平面a的垂線，平面a叫

做直線/的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點尸叫做垂足.（如圖1）

辨析1：命題“如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直

線與這個平面垂直”是否正確？為什么？

【意圖】使學生明確平面中直線的“任意性”.通過辨析討論，深化直線與

平面垂直的概念。

探究二：除定義外,如何判定一條直線與平面垂直？

（教師可提問：定義作為線面垂直判定的方法有何不足？）

思考1.能不能像判定直線與平面平行那樣，利用直線與平面內(nèi)的一條直線垂

直來判定直線與平面垂直呢？

思考2：一條直線不行，那么又能不能像判斷平面與平面平行那樣，利用直

線與平面內(nèi)兩條直線都垂直來判定直線與平面垂直呢？

【意圖】通過利用類比思想，尋找線面垂直的判定方法。也進一步讓學生體

會由無限轉(zhuǎn)有限、平面化、降維等思想。

（三）動手操作，探究直線與平面垂直的判定定理

實驗：請你拿出準備好的三角形的紙片，我們一起來做一個試驗：如圖2,

過△4回的頂點A翻折紙片，得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上,

（BD.0c與桌面接觸）

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使AD與桌面所在平面a垂直？

【意圖】通過折紙活動讓學生發(fā)現(xiàn)，當且僅當折痕AD是8C邊上的高時，AD

所在直線與桌面所在的平面a垂直

問題5：在你翻折紙片的過程中，紙片的形

狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變

的一面是什么呢？（可從線與線的關(guān)系考

慮）如果我們把折痕抽象為直線/,把B。、

抽象為直線科n,把桌面抽象為平面

。（如圖3）,那么你認為保證直線？與平面。垂直的條件是什么？

如果將圖3中的兩條相交直線冽、號的位置改變一下，仍保證？‘

（如圖4）你認為直線,還垂直于平面&嗎？

根據(jù)上面的試驗，結(jié)合兩條相交直線確定一個平面的事實，你能給出直線與

平面垂直的判定方法嗎?

定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂

直.（如圖5）

mc.a,nc.a,mr\n=O\,,

>=>/_La

用符號語言表示為：HA）

（可讓學生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號這三種

語言的相互轉(zhuǎn)化，教師注意引導。）

（四）初步應用，深化確認線面垂直的判定定理

（1）長方體ABC。-A4CQ，棱與底面ABC。垂直.你認為保證

BB]±ABCD的條件是什么？

（2）準的跨欄架，其支架必須垂直于地面，如何檢驗？

（3）該如何檢驗旗桿與地面是否垂直？

（五）理論應用（典型例題）

（練習）判斷下列命題是否正確？

（1）若一條直線與一個三角形的兩條邊垂直，則這條直線垂直于三角形所在

的平面.（）

（2）若一條直線與一個平行四邊形的兩條邊垂直，則這條直線垂直于平行四

邊形所在的平面.（）

（3）若一條直線與一個梯形的兩腰垂直,則這條直線垂

直于梯形所在的平面.（）ab

例1：如圖6,已知a〃b,a,求證：Z?±a./---------------

（分別用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面//

圖6

垂直的定義證明；并讓學生用語言敘述：如果兩條平行直

線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面）

【意圖】能分別用判定定理與定義解決問題，會用證明問題的一般思維策略:

由已知想可知（性質(zhì)），由未知想需知（判定），合理選擇輔助線.這個例題給

出了判斷直線和平面垂直的一個常用的命題，這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)

系之間的聯(lián)系。

【意圖】進一步領(lǐng)會問題解決的一般思維策略，合理選擇輔助平面，體會轉(zhuǎn)化思

想在解決問題中的作用.

例2：如圖，在三棱錐V-ABC中,VA=VC,AB=BC,K是AC的中點。

求證：AC_L平面VKB

思考：

（1）在三棱錐V-ABC中，VA=VC,AB=BC,求證：VB1AC；

（2）在⑴中，若E、F分別是AB、BC的中點，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)

系；

（3）在⑵的條件下，有人說“VB_LAC,VB±EF,...VB，平面ABC”，對嗎？

【意圖】例2重在對直線與平面垂直判定定理的應用.變式（1）在例2的基

礎(chǔ)上，應用了直線與平面垂直的意義；變式（2）是對例1判定方法的應用；變

式（3）的判斷在于進一步鞏固直線與平面垂直的判定定理。3個小題環(huán)環(huán)相扣，

匯集了本節(jié)課的學習內(nèi)容，突出了知識間內(nèi)在聯(lián)系和融會貫通。

（六）總結(jié)反思

（1）通過本節(jié)課的學習，你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？

（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)了什么數(shù)學思想？

（3）你還有什么收獲與感想？

【意圖】培養(yǎng)學生反思的習慣，鼓勵