極坐標及參數(shù)方程

坐標系與參數(shù)方程.直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，X軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位.如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(p，0),貝ijx=pcos0y=psin0x=pcos0y=psin0<ytan0=Xxw°.直線的極坐標方程若直線過點M(P0,00),且極軸到此直線的角為a,則它的方程為psin(0-a)=PQsin(0Q-a).幾個特殊位置的直線的極坐標方程⑴直線過極點：0=a；⑵直線過點M(a，0)且垂直于極軸：pcos0=。;⑶直線過點M(b,；)且平行于極軸：Psin0=b..圓的極坐標方程若圓心為乂90,00),半徑為r的圓的方程為p2-2Popcos(0-00)+p2-r2=0.幾個特殊位置的圓的極坐標方程⑴圓心位于極點，半徑為r：P=r；(2)圓心位于M(r,0),半徑為r：p=2rcos0;⑶圓心位于M(r,2),半徑為r：p=2rsin0..直線的參數(shù)方程過定點M(xn,y)，傾斜角為a的直線l的參數(shù)方程為1X—Xo+tcosa， (t為參數(shù)).0 0 [y=y0+tsina.圓的參數(shù)方程圓心在點M(x,y),半徑為r的圓的參數(shù)方程為1x—Xo+rcos：， (0為參數(shù)，0 0 1y-y0+rsin00<0<2n)..圓錐曲線的參數(shù)方程X2 yX2 y(1)橢圓。2+萬2=1的參數(shù)方程為x—acos0,y—bsin0 （0為參數(shù)）.（x=2pt2⑵拋物線y2=2px（p>0）的參數(shù)方程為〈C+.[y=2pt真題感悟.（2013”已知曲線C的極坐標方程為p=2cos0,以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，則曲線C的參數(shù)方程為.1x=t.（2013」設(shè)曲線C的參數(shù)方程為1 .（t為參數(shù)），若以直角坐標系的原點為極點，x[y=t2軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為3.（2013”在直角坐標系xOy3.（2013”在直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為x=acos9y=bsin9坤為參數(shù)，a>b>0）,在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半n%：攵，, ,、軸為極軸）中，直線l與圓O的極坐標方程分別為Psm（0+4）=方m（m為非零常數(shù)）與P=b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓O相切，貝IJ橢圓C的離心率為..（2011”在直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)fx=3+cos0,點A,B分別在曲線C1:jy=4+sin0 （0為參數(shù)）和曲線C2：p=1上，則AB的最小值為 .fx=t+1,.（2012」在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：Jy=1_2t（t為參數(shù)）與曲線C2：x=x=asin0,y=3cos0（0為參數(shù)，。>0）有一個公共點在x軸上，則。二6.[2014-XX卷]（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，曲線C1與C2的方程分別為2pcos20=sin0與pcos0=1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，則曲線C1與C2交點的直角坐標為.x=2+乎t,.[2014-XX卷]在平面直角坐標系中，曲線C:j「（t為參數(shù)）的普通方1+,程為 ..[2014-XX卷]

C.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，點12,C.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，點12,Vm 以i.6)到直線psinQ-Z6)的距離是題型與方法題型一極坐標與直角坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化「x=t,【例1】已知直線l的參數(shù)方程：（ （t為參數(shù)）和圓C的極坐標方程：P=2，F(xiàn)[y=i+2t ”sinQ+44）（。為參數(shù)）.⑴將直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）判斷直線l和圓C的位置關(guān)系.變式訓(xùn)練1已知直線l的參數(shù)方程變式訓(xùn)練1已知直線l的參數(shù)方程x=2t,y=4t+a（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為P=4cos（1）將圓C的極坐標方程化為直角坐標方程;⑵若圓上有且僅有三個點到直線l的距離為％;2XX數(shù)a的值.題型二曲線的極坐標方程【例2】在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C的極坐標方程為pcos缸北=1,M,N分別為曲線C與x軸，y軸的交點.V3⑴寫出曲線C的直角坐標方程，并求M,N的極坐標；⑵設(shè)M,N的中點為P,求直線OP的極坐標方程.變式訓(xùn)練2(2012」在直角坐標系xOy中，圓C1：X2+y2=4,圓C2:(x—2)2+y2=4.(1)在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C1,C2的極坐標方程，并求出圓C1,C2的交點坐標(用極坐標表示)；(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程.題型三曲線的參數(shù)方程及應(yīng)用【例3】(2012」在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l上兩點M,N的極坐標分別為(2,0),(攣，,，圓C的參數(shù)方程V3 2)fx=2+2cos9,為《 (9為參數(shù)).[y=_\：13+2sin9(1)設(shè)P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.變式訓(xùn)練3已知直線變式訓(xùn)練3已知直線l的參數(shù)方程是j[y=l （t是參數(shù)），圓C的極坐標方程為爭+守cnp=2cos(6+4).⑴求圓心。的直角坐標；⑵由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值.【典例]（10分）在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐，一 一 ，一 一 m標系，已知點M的極坐標為[442,4，曲線C的參數(shù)方程為x=l+2cosa,(ay=....②ina為參數(shù)）.⑴求直線OM的直角坐標方程；⑵求點M到曲線C上的點的距離的最小值.規(guī)X解答[x=cosa,1.已知圓C的參數(shù)方程為j 1 . （。為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建[y=1+sina立極坐標系，直線l的極坐標方程為Psin6=1,則直線l與圓C的交點的直角坐標為2.在直角坐標系xOy中，曲線C12.在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為y=1+sina(a為參數(shù)).在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線

C2的方程為P（cose-sin。）+1=0,則。的C2的交點個數(shù)為[X=—2+COSe y.點P（X，y）在曲線[y=sine 但為參數(shù)，e叫上，則X的取值X圍是——[x=l-2t, ]x=s,.若直線l"y=2+kt（t為參數(shù)）與直線l2：|y=i-2s（s為參數(shù)）垂直，則k二一儼二t,.（2012?）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為jy_y（t為參[x=一.作cose,數(shù)）和[丫_；2sine （e為參數(shù)），則曲線C1與C2的交點坐標為專題限時規(guī)X訓(xùn)練一、填空題[x=-2+2cosa.曲線C：|c. （。為參數(shù)），若以點0（0,0）為極點，x軸正半軸為極軸建立[y=2sina極坐標系,則該曲線的極坐標方程是 ．2．[x=*/5cos2．[x=*/5cose,已知兩曲線參數(shù)方程分別為《 飛c （Owevn幃K〔y=sine“Mt2， （t€R）,它們的交y=t坐標為（x=acos93．已知曲線C的參數(shù)方程是[y=十，『9（9為參數(shù)，a>0），直線1的參數(shù)方程是

3．x=3+t,x（t為參數(shù)），曲線C與直線l有一個公共點在x軸上，則曲線C的普通方程為 .（2013?）在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.[X=t2,若極坐標方程為pcos6=4的直線與曲線＜ .（t為參數(shù)）相交于A,B兩點，則[y=t3AB二、解答題[x=1+t,.設(shè)直線11的參數(shù)方程為Jy=i+3t（t為參數(shù)），直線12的方程為y=3x+4,求11與12間的距離．fx=5cos9,（9為參數(shù)）的右焦點,且與直線.在平面直角坐標系（9為參數(shù)）的右焦點,且與直線x=4－2x=4－2t,y=3－t（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程..（2012?）在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點P[?4J，圓心為直線Psin[e-3極軸的交點，求圓C的極坐標方程.（n\、[2 [x=2cos6,.已知直線的極坐標方程為psin6+4二%，圓M的參數(shù)方程1 0o.Q（其中6V42 [y=-2+2sin6為參數(shù)），極點在直角坐標原點，極軸與x軸正半軸重合.（1）將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；⑵求圓M上的點到直線的距離的最小值..在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，已知曲線C:psinzQx=—2+=2ccos0（a>0）,已知過點P（-2,-4）的直線l的參數(shù)方程為jy=-4+線l與曲線C分別交于M,N兩點.⑴寫出曲線C和直線l的普通方程；⑵若PM,MN,PN成等比數(shù)列，求a的值..（2013?）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標n n.,系，已知點A的極坐標為（、；24）,直線l的極坐標方程為pcos（e-4）=a,且點A在直線l上.（1）求a的值及直線l的直角坐標方程；1x=i+cosa,（2）圓C的參數(shù)方程為j . （a為參數(shù)），試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.[y=sina2013、2014年全國高考理科數(shù)學試題分類匯編：坐標系與參數(shù)方程一、選擇題1.（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試XX數(shù)學（理）試題（純WORD版））在極坐標系中，圓p=2cos6的垂直于極軸的兩條切線方程分別為 （ ）A.。=0（PeR）ffpcos=2 B,0=ZL（pGr）和pcos=2兀C.0=一（peR^Dpc0s=1 d0=0（peR^Dpcos=12二、填空題.（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試XX數(shù)學（理）試題（含答案））已知圓的極坐標方程為p=4cos0,圓心為。，點P的極坐標為f4,囚），貝IJ|CP|=.3.（2013年高考XX卷（理））在極坐標系中，曲線p=cos0+1與pcos0=1的公共點到極點的距離為 .（2013年高考卷（理））在極坐標系中，點（2/）到直線Psin6=2的距離等于.6.（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試XX數(shù)學（理）試題（含答案））在直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.若極坐標方程為pcos0=4的直{X=12.（為參數(shù)）相交于AB兩點，則IAB\= .（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試XX省數(shù)學（理）卷（純WORD版））（坐標系與參數(shù)X二版cost方程選講選做題）已知曲線c的參數(shù)方程為〔y二J2smt（為參數(shù)）,c在點（1'1）處的切線為，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則的極坐標方程為 ..（2013年高考XX卷（理））C.（坐標系與參數(shù)方程選做題）如圖，以過原點的直線的傾斜角0為參數(shù)，則圓x2+y2-x=0的參數(shù)方程為.Ix=t.（2013年高考XX卷（理））（坐標系與參數(shù)方程選做題）設(shè)曲線c的參數(shù)方程為〈 （為〔y=t2參數(shù)），若以直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,則曲線。的極坐標方程為

9.（2013年高考XX卷（理））在平面直角坐標系皿V中,若fx—t, fx—■3cos（p,l:\ （t為參數(shù)）過橢圓C：\ .[V=t-a [y—2smp（p為參數(shù)）的右頂點，則常數(shù)a的值為.10.（2013年高考XX卷（理））在直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為bcoso（p為參數(shù)，bcoso（p為參數(shù)，a>b0）.在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單y—位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線與圓O的極坐標方程分別為psin[o+?]=2mm（m為非零常數(shù)）與p=b.若直線經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓1 47 2O相切,則橢圓C的離心率為.三、解答題（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標II卷數(shù)學（理）（純WORD版含答案））選修4—4;坐標系與參數(shù)方程已知動點P，Q都在曲線C:fx=jco?（P為參數(shù)上，對應(yīng)參數(shù)分別為P=a與[y=2sin（3P=2a（0<a<2兀）,M為PQ的中點.（I）求M的軌跡的參數(shù)方程；（11）將M到坐標原點的距離d表示為a的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點.（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試XX數(shù)學（理）試題（WORD版））選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xoy中以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立坐標系.圓C，直線C的極坐12一，.一二五、-…標方程分別為p=4s1n0,p—cos0———2J2..147（I）求C與C交點的極坐標；12（II）設(shè)P為C的圓心,Q為C與C交點連線的中點.已知直線PQ的參數(shù)方程為1 12b （teR為參數(shù)），求a,b的值.y=—t3+12（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試XX數(shù)學（理）試題（純WORD版））坐標系與參數(shù)方程:在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立坐標系.已知冗 冗、點A的極坐標為（＜2,-4），直線的極坐標方程為Pc0ss--4）=a，且點A在直線上.⑴求a的值及直線的直角坐標方程；Ix=1+cosa⑵圓c的參數(shù)方程為1 ,（a為參數(shù)），試判斷直線與圓的位置關(guān)系.Iy=sina（2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試XX卷（數(shù)學）（已校對純WORD版含附加題））C.［選修4-4:坐標系與參數(shù)方程］本小題滿分10分.Ix=t+1在平面直角坐標系xoy中，直線的參數(shù)方程為1 （為參數(shù)），曲線c的參數(shù)方程為Iy=2tx=2tan：0（0為參數(shù)），試求直線與曲線c的普通方程，并求出它們的公共點的坐