題目二幾何綜合型

題目二幾何綜合型課標要求解讀特征分析幾何型綜合題考查的知識點多，條件隱蔽，要有較強的理解能力、分析能力、解決問題的能力，對數學基礎知識、基本方法有較強的駕馭能力，并有較強的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力；常以全等和相似與三角形、四邊形、圓的有關知識作為考查重點，并貫穿幾何、代數、三角函數等知識，以證明、計算等題型出現；(1)幾何計算是以幾何推理為基礎的計算，主要有線段和弧的長度的計算，三角函數值的計算，以及各種圖形面積的計算等；(2)幾何論證綜合題主要考查學生綜合運用幾何知識的能力.類型思路1.幾何論證型綜合題，常以相似形、圓的知識為背景，串聯其它幾何知識．順利解決幾何型綜合問題取決于下列因素：(1)熟悉各種常見問題的基本證明；(2)能準確添加基本輔助線；(3)對復雜圖形能進行恰當的分解與組合；(4)善于選擇證明的起點并善于轉化問題.2.幾何計算型綜合題，其中以線段的計算最為常見，線段的計算通常是通過勾股定理、相似三角形的對應邊的比相等所提供的等式進行，這些等式可以根據不同的已知條件轉化為方程或方程組；三角函數值的計算，一般在直角三角形中進行.核心要點突破 一、三角形與四邊形綜合型三角形，特別是等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質，特殊四邊形的性質，三角形的全等與相似，往往將上述知識綜合在一起，產生綜合性較強的壓軸題．【典例1】(2014·浙江紹興)如圖，在平面直角坐標系中，直線l平行于x軸，交y軸于點A，第一象限內的點B在l上，連接OB，動點P滿足∠APQ＝90°，PQ交x軸于點C. (1)當動點P與點B重合時，若點B的坐標是(2，1)，求PA的長． (2)當動點P在線段OB的延長線上時，若點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，求PA∶PC的值． (3)當動點P在直線OB上時，點D是直線OB與直線CA的交點，點E是直線CP與y軸的交點，若∠ACE＝∠AEC，PD＝2OD，求PA∶PC的值．解(1)∵點P與點B重合，點B的坐標是(2，1)，∴點P的坐標是(2，1)．∴PA的長為2.(2)過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，如圖1所示．∵點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，∴OA＝AB.∵∠OAB＝90°，∴∠AOB＝∠ABO＝45°.∵∠AOC＝90°，∴∠POC＝45°.∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，∴PM＝PN，∠ANP＝∠CMP＝90°.∴∠NPM＝90°.∵∠APC＝90°.∴∠APN＝90°－∠APM＝∠CPM.在△ANP和△CMP中，∵∠APN＝∠CPM，PN＝PM，∠ANP＝∠CMP，∴△ANP≌△CMP.∴PA＝PC.∴PA∶PC的值為1∶1.(3)①若點P在線段OB的延長線上，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，PM與直線AC的交點為F，如圖2所示．②若點P在線段OB的反向延長線上，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，PM與直線AC的交點為F，如圖3所示．[類題通法]1．綜合運用角平分線的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、平行線等分線段定理、勾股定理等知識，綜合性非常強；2．點運動過程中要注意發(fā)現不變的規(guī)律，思考要全面，動點問題往往要分類討論． 二、圓的綜合型圓的綜合題往往離不開圓的切線、直徑、圓周角，易產生直角三角形、等腰三角形和等邊三角形，形成全等三角形和相似三角形，從而產生綜合性較強的壓軸題．解①連接CD，如圖1所示．∵點E與點D關于AC對稱，∴CE＝CD.∴∠E＝∠CDE.∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°.∴∠E＋∠F＝90°，∠CDE＋∠CDF＝90°.∴∠F＝∠CDF.∴CD＝CF.∴CE＝CD＝CF.∴結論“CE＝CF”正確．②當CD⊥AB時，如圖2所示．∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB＝90°.∵AB＝8，∠CBA＝30°，(3)當AD＝2時，連接OC，如圖3所示．∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等邊三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°.∵AO＝4，AD＝2，∴DO＝2.∴AD＝DO.∴∠ACD＝∠OCD＝30°.∵點E與點D關于AC對稱，∴∠ECA＝∠DCA.∴∠ECA＝30°.∴∠ECO＝90°.∴OC⊥EF.∵EF經過半徑OC的外端，且OC⊥EF，∴EF與半圓相切．∴結論“EF與半圓相切”正確．∵點E與點D關于AC對稱，∴ED⊥AC.∴∠AGD＝90°.∴∠AGD＝∠ACB.∴ED∥BC.∴FH＝DH.∵DE∥BC，∴∠FHC＝∠FDE＝90°.∴BF＝BD.∴∠FBH＝∠DBH＝30°.∴∠FBD＝60°.∵AB是半圓的直徑，∴∠AFB＝90°.∴∠FAB＝30°.⑤∵點D與點E關于AC對稱，點D與點F關于BC對稱，∴當點D從點A運動到點B時，點E的運動路徑AM與AB關于AC對稱，點F的運動路徑NB與AB關于BC對稱．∴EF掃過的圖形就是圖5中陰影部分．答案①、③、⑤[類題通法]1．理解圓的切線的性質、圓周角定理、垂徑定理，會根據這些定理做出輔助線，構造直角三角形；2．由于圓中較多相等的角，所以易產生全等三角形和相似三角形． 三、幾何應用綜合型幾何應用綜合型問題往往題干較長、信息量大、設問多、計算量大．【典例3】(2014·陜西)問題探究 (1)如圖①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果BC邊上存在點P，使△APD為等腰三角形，那么請畫出滿足條件的一個等腰三角形△APD，并求出此時BP的長；(2)如圖②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點，當AD＝6時，BC邊上存在一點Q，使∠EQF＝90°，求此時BQ的長；問題解決(3)有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點M安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB，現只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達到最佳，已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270m，AE＝400m，ED＝285m，CD＝340m，問在線段CD上是否存在點M，使∠AMB＝60°？若存在，請求出符合條件的DM的長，若不存在，請說明理由．解(1)①作AD的垂直平分線交BC于點P，如圖①，則PA＝PD.∴△PAD是等腰三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°.又∵PA＝PD，∴△ABP≌△DCP(HL)．∴BP＝CP.∵BC＝4，∴BP＝CP＝2.②以點D為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點P′，如圖①.則DA＝DP′.∴△P′AD是等腰三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝DC，∠C＝90°.∵AB＝3，BC＝4，∴DC＝3，DP′＝4.綜上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA＝PD，則BP＝2；以EF為直徑作⊙O，過點O作OQ⊥BC，垂足為Q，連接EQ、FQ，如圖②.∵AD⊥BC，AD＝6，∴EF與BC之間的距離為3.∴OQ＝3，∴OQ＝OE＝3.∴⊙O與BC相切，切點為Q.∵EF為⊙O的直徑，∴∠EQF＝90°.過點E作EG⊥BC，垂足為G，如圖②.∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ.∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ＝90°，OE＝OQ，∴四邊形OEGQ是正方形．∴GQ＝EO＝3，EG＝OQ＝3.∵∠B＝60°，∠EGB＝90°，EG＝3，(3)在線段CD上存在點M，使∠AMB＝60°.理由如下：以AB為邊，在AB的右側作等邊三角形ABG，作GP⊥AB，垂足為P，作AK⊥BG，垂足為K.設GP與AK交于點O，以點O為圓心，OA為半徑作⊙O，過點O作OH⊥CD，垂足為H