高中數(shù)學 對數(shù)函數(shù) 知識點精講及重點題型訓練

專題4.4對數(shù)函數(shù)

?知識導圖

/-------------------------O對數(shù)的性質(zhì)及其運算一一

------------------------------------------I

產(chǎn)的E

、3對數(shù)話數(shù)的圖像與性庾-rl的fit曲散的990

“對效中后臺的故

@知遲點精講

考點一對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

⑴概念：函數(shù)>=108/(°>(),且存1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+oo).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<(7<1

y

I71尸log/%=1

圖象［乜,0)

opi,o)o

1)=iog/

定義域：(0,+oo)

值域：R

當x=l時，j=0,即過定點(1,0)

性質(zhì)

當x>l時，y>0；當%>1時，j<0；

當0<x<l時，y<0當0<x<l時，y>0

在(0,+oo)上是增函數(shù)在(0,+co)上是減函數(shù)

重點題型

（一）對數(shù)函數(shù)的概念與圖像

例1、（1）、（2023秋?浙江?高二長興縣華盛高級中學校聯(lián)考階段練習）（多選題）對數(shù)函數(shù)y=log“X（a>0

且awl）與二次函數(shù)V=（aT）x2-x在同一坐標系內(nèi)的圖象不可能是（）

【答案】BCD

【分析】AB選項，從對數(shù)函數(shù)出發(fā)，推出。>1,再判斷二次函數(shù)，從開口方向和其中一根與1的比較，得

到A可能，B不可能；CD選項，從對數(shù)函數(shù)出發(fā)，得到再判斷二次函數(shù)，也是從開口方向和其中

一根與1的比較，得到CD均不可能.

【詳解】選項A,B中，由對數(shù)函數(shù)圖象得。>1,則二次函數(shù)中二次項系數(shù)其對應方程的兩個根

為0,----7,選項A中，由圖象得---->1,從而l<a<2,選項A可能；

tz—1a-\

選項B中，由圖象得一二<0,與。>1相矛盾，選項B不可能.

a-\

選項C,D中，由對數(shù)函數(shù)的圖象得0<a<l,則二次函數(shù)圖象開口向下，D不可能；

選項C中，由圖象與X軸的交點的位置得一［>1,與0<a<l相矛盾，選項C不可能.

a-1

故選：BCD.

（2）、（2022?全國?高一課時練習）如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)y=l0gzix,y=log0x,

N=logdX的圖象，則a,b,c,d,1的大小關(guān)系為（）

A.b>a>l>c>dB.a>b>l>c>dC.b>a>l>d>cD.a>b>l>d>c

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求解.

【詳解】由圖可知a>Lb>l,0<c<l,0<d<l.過點（0,1）作平行于x軸的直線，則直線與四條曲線交點的橫

坐標從左到右依次為c,d,a,b,顯然b>a>l>d>c.

故選：C.

【變式訓練1-1】、（2023?全國?高三專題練習）已知Iog2a+log26=0（。>0且。片1,方>0且bwl）,則函

數(shù)=與g（x）=lo&x的圖像可能是（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)可得。6=1,討論。，6的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像的單調(diào)性，即

可得到答案.

【詳解】log2a+log2b=0,gp^jlog,ab=Q,即有"=1.

當時，0<6<1，

函數(shù)=(1)A與g(x)=log〃X均為減函數(shù)，四個圖像均不滿足

當0＜aVl時，b＞l,

函數(shù)數(shù)=與g(x)=logx均為增函數(shù)，排除ACD

在同一坐標系中的圖像可能是B,

故選：B.

【變式訓練1-2】、(2023?全國?高一專題練習)函數(shù)了=(1-與歹=log“X(其中。＞1)的圖象只可能是

【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合各選項中圖象，即可判斷出答案.

【詳解】對于A,因為。＞1,故了=(l-")x為R上的減函數(shù)，其圖象應下降，A錯誤;

對于B,。＞1時，y=(l-a)x為R上的減函數(shù)，y=k)gaX為(0,+8)上增函數(shù)，圖象符合題意;

對于c,。＞1時，y=log“x為(0,+◎上增函數(shù)，圖象錯誤；

對于D,。＞1時，y=logaX為(0,+s)上增函數(shù)，圖象錯誤；

故選：B

(二卜比較大小

例2.⑴、(2023?全國?高一專題練習)設a=327,b=log050.2,c=log424,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】C

【分析】先利用對數(shù)的運算法則把。,6,c化成同底的對數(shù)，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

2727103b=lo2,0524lo24=10

【詳解】a=log8=Jl°g2=§2>go.50-2=-l°g20-=§2>c=log4=§2§2>

因為V=log2尤在定義域上是增函數(shù)，且3<宿<5，故a<c<b.

故選：C.

（2）、（2021?江西高三月考（文））已知a=2"5,Z）=log2V3,c=0S3則。，b,c的大小關(guān)系為

（）.

A.c<b<aB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】C

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到.

【詳解】

-1

"1<a=V2<2，/?=log2V3<|log24=l,c=（2）>2,

--c>a>b.

故選：C.

【變式訓練22］、（2022?江蘇?泗洪縣洪翔中學高三階段練習）若。=0.4°3,6=0.5°4,c=bg324,則a,b,c

的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和基函數(shù)的單調(diào)性比較大小可得答案.

2

【詳解】c=log324=-=0.4,

因為y=0.4"在R上為減函數(shù)，所以c=0.4i<a=0.4°5<0.4°4,

因為歹=工。4在%￡（0,+8）上為增函數(shù)，所以b=0.5°4>0.4°4,所以。

所以,

故選：D.

【變式訓練2-2】、（2023?全國?高一專題練習）設。=log,0.3,%=峭0-4,c=0.4°\則。,6,c的大小關(guān)系

2

為.

【答案】a<c<b

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分別限定出。，4c的取值范圍即可得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知4=log20.3<log21=0,即可得”0；

ffnfe=logi0.4>log]|=l,即b>l；

252

由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及值域可得。<c=O.403<0.4°=1,即可得0<c<1；

所以可得a<c<b.

故答案為：a<c<b

（三）、對數(shù)函數(shù)過定點問題

例3.（1）、（2022?全國?高一課時練習）函數(shù)/'OOud+logoa-lMa〉。且“21）的圖象恒過定點

【答案】（2,4）

【分析】令對數(shù)的真數(shù)為1,即可求出定點的橫坐標，再代入求值即可；

【詳解】解：因為函數(shù)/（x）=4+log0（x—l）（“>0且。工1）,

令=解得x=2,所以〃2）=4+10&1=4,即函數(shù)/（X）恒過點（2,4）；

故答案為：（2,4）

（2）、（2021?鎮(zhèn)遠縣文德民族中學校高一月考）函數(shù)>=1。8.（3X-1）（a>0,。*1）的圖象過定點（）

A.[I1）B.（-1,0）C.go）D.（0,-1）

【答案】C

【分析】

利用真數(shù)為1可求得定點的坐標.

【詳解】

2

對于函數(shù)V=loga（3x-l）（a>0,awl）,令3x-l=l,可得尤=§,則y=log“l(fā)=0,

因此，函數(shù)〉=1嗎6-1）（0>0/1）的圖象過定點已0）.

故選：C.

【變式訓練3-1】.（2021?福建廈門市?廈門外國語學校）已知函數(shù)〉=優(yōu)-2+108“（》一1）+3（。>0且。*1）的圖

像恒過定點尸，點尸在嘉函數(shù)了=/（x）的圖像上，則〃2）=（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】

先求得函數(shù)〉="一2+1。8“。-1）+3（。＞0且。*1）的定點，再根據(jù)點P在幕函數(shù)的圖象上，求得幕函數(shù)的解

析式即可.

【詳解】

令x=2,得y=4,

所以函數(shù)＞=優(yōu)-2+1。8“（》-1）+3（。＞0且。/1）的圖像恒過定點*2,4）,

設幕函數(shù)為/（x）=x。,

因為點尸在幕函數(shù)/的圖象上,

所以2"=4，解得。=2,

所以/⑵=22=4,

故選：B

【變式訓練3-2】、（2023秋?高一課時練習）函數(shù)了=f（x）的反函數(shù)了=優(yōu)過點（2,9）,則"27）=.

【答案】3

【分析】代入計算求出。，根據(jù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)的關(guān)系則得到“刈=1。&》，則求出了（27）的值.

【詳解】???尸優(yōu)過點（2,9）,."=9,

.?.?=3（負舍），則根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)為一對反函數(shù)知/（x）=log,x.

???”27）=3.

故答案為：3.

（四）、有關(guān)對數(shù)函數(shù)定義域問題

1

例4.（1）、（2023?全國?高一專題練習）函數(shù)二=八“丁的定義域為（）

，logo5（4x-3）

j+oo|ju(l,+8)

A.B.C.(1,+⑹D.

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，建立不等式求解即可.

1,、

【詳解】要使函數(shù)^=七一八有意義,需滿足1。&-5（--3）＞0,

短。80.5（鈕”

3

即1。80,5（4X-3）＞唾0,51,得0＜4x-3＜l,解得彳＜無＜1,

則函數(shù)了=hI■的定義域為R,l1

Vlog05(4x-3)14J

故選：A.

(2)、(2022?山東日照?高二開學考試)函數(shù)/(x)=ln(x+l)+K萬的定義域為.

【答案】［1,+s)

【分析】直接解不等式組求出定義域即可.

fx+1>0「、

【詳解】由題意知，尤_1>0,解得XN1,則函數(shù)的定義域為［1,+8).

故答案為：［1,+°°).

2r-l

【變式訓練4-1］.(2023秋?陜西西安高三統(tǒng)考階段練習)函數(shù)/(x)=+In(5-x)的定義域是.

【答案】(3,5)

【分析】根據(jù)題意，列出不等式，即可得到結(jié)果.

f5-x>0/、/、

【詳解】由題意可得尤_3>0,解得3<為<5,即函數(shù)〃x)的定義域是(3,5).

故答案為：(3,5)

【變式訓練4-2】.(2021?乾安縣第七中學(文))若函數(shù)/(x)=lg(辦2_x+a)的定義域為五,則實數(shù)。的

取值范圍是

【答案】

【分析】

根據(jù)函數(shù)〃x)=lg(o?一x+a)的定義域為R,轉(zhuǎn)化為/—x+a>0,對xeR恒成立求解.

【詳解】

因為函數(shù)〃x)=lg(ox2一x+a)的定義域為A,

所以"2-X+Q>。，對xeR恒成立，

當。=0時，解得x<0,不成立,

fa〉0

當QW0時，由12八，

［A=1—4Q<0

解得a>3,

綜上：實數(shù)。的取值范圍是

故答案為：［，+00］

(五)、對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性問題

例5.(2022?甘肅?武威十八中高三階段練習(文))已知函數(shù)/(x)=bgi(3-2x-x2)

2

⑴求該函數(shù)的定義域；

(2)求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域.

【答案】⑴(-3,1)

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(-1」)；單調(diào)遞減區(qū)間為值域為［-2,+co)

【分析】(1)令3-2工-/>0,解不等式即可求得定義域；

(2)根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可確定/(x)的單調(diào)區(qū)間；利用二次函數(shù)最值的求法可求得〃<4,結(jié)

合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可求得值域.

(1)

由3-2x-x2>0得：-3<x<l,,/3的定義域為(一3,1).

(2)

令〃=-》2一2》+3,?“在(-3,-1)上單調(diào)遞增；在(-U)上單調(diào)遞減；

又了(〃)=蜒工〃在(0,+功上單調(diào)遞減，

2

?■?/W的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1);單調(diào)遞減區(qū)間為(-3,-1),

2；

,.A<_(_1)_2X(-1)+3=4,?,/ogjNlog4=-2,

???/(x)的值域為［-2,+8).

【變式訓練5-1】、(2023秋?高一課時練習)已知/(x)=log.(a-a、)(a>l).

(1)求/(無)的定義域和值域；

⑵判斷并證明〃x)的單調(diào)性.

【答案】⑴定義域為(9,1),值域為(-8,1)

⑵/(X)在(-8,1)上為減函數(shù)，證明見解析

【分析】(1)由對數(shù)式的真數(shù)大于0,求一(X)的定義域，由定義域和對數(shù)式的運算求值域;

(2)結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，由定義法證明函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】(1)由a>l,a-ax>0,即a>a',得x<l.

故/(x)的定義域為(-叫1).

由0<a-a*<。，可知108,(4-/)<108/=1.

故函數(shù)〃x)的值域為(-叫1).

(2)/(x)在(-8,1)上為減函數(shù),證明如下：

任取l>xr>x2,又a>1,

xX1xX2x%2

a'>a,:.a-a'<a-a,■■loga(a-a')<loga(a-a),

即/(再)</(龍2)，故"X)在(-8,1)上為減函數(shù).

【變式訓練5-2】、(2023?全國?高一專題練習)已知函數(shù)/(x)=log2(f+ax+3)-2.

(1)若a=2,求函數(shù)的值域

(2)若函數(shù)在(1,+⑹上單調(diào)遞增，求”的取值范圍

【答案】(1)[T+⑹；

(2)a>-2.

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

(2)根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性結(jié)合條件可得-■|W1且12+lxa+320,進而即得.

【詳解】(1)由題知/@)=1。82卜2+2工+3)—2,

x~+2x+3=(x+1)+222,

f(x)=log2(x?+2x+3)-22log22-2=-1,

即函數(shù)/(X)的值域為11,+8)；

(2)因為函數(shù)/(x)在(1,+⑹上單調(diào)遞增，又函數(shù)y=log2》在定義域上單調(diào)遞增,

所以〃=/+辦+3在(1,+8)上單調(diào)遞增，且〃>0在(1,+⑹上恒成立，

所以-了且F+ixENO,

解得。2-2,即。的取值范圍為a2-2.

(六)、對數(shù)型復合函數(shù)的最值問題

例6.(2021?云南省昆明市第十中學高一階段練習)已知函數(shù)/(x)=lg(3-4x+，)的定義域為屈

⑴求定義域跖并討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：

(2)當xeM時，求g(x)=2K2-3x4,的最值及相應的x的值.

【答案】⑴定義域卜,<1或x>3},單調(diào)遞增區(qū)間(3,+動，單調(diào)遞減區(qū)間(-鞏1)

24

(2)x=log?§時，最大值為無最小值

【分析】(1)由對數(shù)的真數(shù)大于0可得定義域，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可得單調(diào)區(qū)間；

(2)令2'=心結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

(1)

因為3-4x+/>0,所以x>3或x<l,

所以函數(shù)的定義域M=或x>3}；

2

函數(shù)/(x)=lg(3-4x+/)可看作由y=lgi/,M=3-4x+x,xe{x［x<1或x>3}復合而成，

而函數(shù)y=lg〃單調(diào)遞增，”=3-4x+/的單調(diào)遞增區(qū)間(3,+s),單調(diào)遞減區(qū)間(-叫1)

所以函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間(-8,1).

(2)

令2*=fe(0,2)。(8,+⑹，g(x)=-3x4\可以轉(zhuǎn)化為h(t)=-3t2+"=一31

當":即X=10g2§時，W)111ax=］即g(x)最大值為“無最小值.

［變式訓練6-11(2021秋?高一課時練習)已知函數(shù)/(%)=log,(1-x)+log.(x+3)(a>0且a豐1).

(1)求函數(shù)/(X)的定義域；

(2)若函數(shù)/(x)的最小值為-2,求實數(shù)。的值.

【答案】(1){x|—3<x<1}；(2)a.

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的知識列不等式組，由此求得/(X)的定義域.

(2)對。進行分類討論，求得/(x)的最值，由此列方程求得。的值.

［1—x>0,

【詳解】(1)由°:得—3。<1,

所以函數(shù)的定義域為

(2)/(x)=loga(l-x)(x+3),

設"(1-X)(X+3)=4-(X+1)2,

所以才,,4,又f>0,則0<力,4.

當a>l時，％log”4,值域為{1入log/}.

當0<a<1時,y...loga4,值域為{y\y...logfl4}.

所以當0<a<l時，函數(shù)有最小值log04=-2,解得a=g.

【變式訓練6-2】、(2021?高一單元測試)函數(shù)〃元)=lg(a4+2=l)

(1)如果xe(l,2)時，/(X)有意義，確定。的取值范圍；

(2)a<0,若/(x)值域為R,求。的值；

(3)在(2)條件下，g(x)為定義域為火的奇函數(shù)，且x>。時，g(x)=l(/°)+l.對任意的

作［-1,1］名卜2+比”苒棄恒成立，求x的取值范圍.

【答案】(1)—77，+°°］；(2)a=0；(3)(-co,0)u［3,+co).

_lo；

【分析】(1)根據(jù)xe(l,2)時，則2%(2,4),設f=2%不等式ad+f-lX),求出。的取值范圍即可；

(2)設〃(x)=a4*+2'-l,則〃(x)的值域包含(0,+co),討論“=0與"。時，旗x)的值域情況,求出。的值

即可；

(3)根據(jù)題意求出g(x)的解析式，把不等式g(x2+/x)2三"轉(zhuǎn)化為在代［-1,1］時恒成立，由

此列出不等式組求出x的取值范圍.

【詳解】(1)由題意，xe(l,2),a4+2=l>0,B|Ja>W-W,令/=［)，則;</<>產(chǎn)一才，

a"10的取值范圍為-2+④].

(2)令〃(x)=a-4*+2*-l,由題意，人(x)的值域包含(0,+co),

①。=0時，A(x)=2X-1,值域為滿足條件；

②a<0時，/z(x)=tz-4+2X-1=?(2X)2+2X-1,令看=2",

所以>=a/+/—1=]—1—L為開口向下的拋物線，

yla)4a

易知以X)的值域為(-巴不滿足條件，

綜上，a=0.

(3)%>0時，g(x)=2\若x<0,—x>O,g(—%)=2一"，又???g(x)為奇函數(shù)，2-“,綜上，

2\x>0

g(x)={0,x=0,

-2~x,x<0

f'已=g(2x),且"0,g(x2+tx)>g(2x),

IgWI

易知，>=為減函數(shù)，