運(yùn)籌學(xué)LP第2講-例子

運(yùn)籌學(xué)lp第2講-例子目錄CONTENCT引言線性規(guī)劃問(wèn)題建模單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題對(duì)偶理論與靈敏度分析運(yùn)輸問(wèn)題及其求解方法整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題簡(jiǎn)介與求解方法01引言運(yùn)籌學(xué)定義運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域運(yùn)籌學(xué)方法運(yùn)籌學(xué)是一門(mén)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，主要研究如何在有限資源下做出最優(yōu)決策，以最大化效益或最小化成本。廣泛應(yīng)用于軍事、經(jīng)濟(jì)、工程、管理等領(lǐng)域，如物流配送、生產(chǎn)計(jì)劃、資源分配等問(wèn)題。主要包括線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃等多種方法，用于解決不同類(lèi)型的優(yōu)化問(wèn)題。運(yùn)籌學(xué)簡(jiǎn)介80%80%100%線性規(guī)劃概述線性規(guī)劃是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，用于優(yōu)化一組線性不等式約束下的線性目標(biāo)函數(shù)。包括決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件三部分，其中目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性表達(dá)式。主要有單純形法、內(nèi)點(diǎn)法等，通過(guò)迭代計(jì)算尋找最優(yōu)解。線性規(guī)劃定義線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式線性規(guī)劃求解方法講座主題講座內(nèi)容講座目標(biāo)本次講座內(nèi)容安排包括線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型、求解方法、應(yīng)用案例等。使聽(tīng)眾了解線性規(guī)劃的基本思想和方法，掌握運(yùn)用線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題的能力。介紹線性規(guī)劃的基本概念、原理和應(yīng)用，并通過(guò)實(shí)例演示如何運(yùn)用線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題。02線性規(guī)劃問(wèn)題建模線性規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)際背景線性規(guī)劃問(wèn)題的描述問(wèn)題背景與描述生產(chǎn)、運(yùn)輸、資源分配等問(wèn)題中，經(jīng)常需要在滿(mǎn)足一定約束條件下，最大化或最小化某個(gè)線性目標(biāo)函數(shù)。通常包括決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件三部分。決策變量是需要優(yōu)化的未知量；目標(biāo)函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)，表示優(yōu)化目標(biāo)；約束條件是決策變量需要滿(mǎn)足的線性等式或不等式。決策變量的確定根據(jù)問(wèn)題背景，確定需要優(yōu)化的未知量作為決策變量。目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建決策變量的線性函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)。約束條件的列出根據(jù)問(wèn)題背景和實(shí)際情況，列出決策變量需要滿(mǎn)足的線性等式或不等式作為約束條件。數(shù)學(xué)模型建立圖形解法的適用范圍01適用于只有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題。圖形解法的步驟02首先，在坐標(biāo)系中畫(huà)出約束條件所確定的可行域；然后，在可行域內(nèi)作出目標(biāo)函數(shù)的等值線；最后，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)（最大化或最小化），確定最優(yōu)解的位置。圖形解法的優(yōu)缺點(diǎn)03優(yōu)點(diǎn)是可以直觀地看出可行域和最優(yōu)解的位置；缺點(diǎn)是只適用于兩個(gè)決策變量的情況，對(duì)于多個(gè)決策變量的問(wèn)題無(wú)能為力。圖形解法示例03單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題單純形法基本原理通過(guò)比較目標(biāo)函數(shù)值，判斷當(dāng)前基本可行解是否為最優(yōu)解。若不是最優(yōu)解，則按照一定的規(guī)則進(jìn)行迭代，直到找到最優(yōu)解或確定問(wèn)題無(wú)解。最優(yōu)性檢驗(yàn)與迭代過(guò)程將線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即目標(biāo)函數(shù)為最大化或最小化一個(gè)線性表達(dá)式，約束條件為一系列線性不等式或等式。線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式滿(mǎn)足所有約束條件的解稱(chēng)為可行解，其中一組線性無(wú)關(guān)的約束條件所確定的解稱(chēng)為基本可行解?？尚薪馀c基本可行解01020304初始基可行解的確定最優(yōu)性檢驗(yàn)進(jìn)基與出基操作迭代過(guò)程單純形法計(jì)算步驟根據(jù)一定的規(guī)則選擇一個(gè)非基變量進(jìn)入基，同時(shí)選擇一個(gè)基變量退出基，使得新的基可行解更優(yōu)。計(jì)算目標(biāo)函數(shù)在初始基可行解處的值，若已達(dá)到最優(yōu)，則停止計(jì)算；否則，進(jìn)入下一步。從約束條件中選取一組線性無(wú)關(guān)的等式作為初始基，通過(guò)求解這組等式得到初始基可行解。重復(fù)進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)、進(jìn)基與出基操作，直到找到最優(yōu)解或確定問(wèn)題無(wú)解。實(shí)例描述以一個(gè)具體的線性規(guī)劃問(wèn)題為例，展示單純形法的計(jì)算過(guò)程。將實(shí)際問(wèn)題抽象為線性規(guī)劃模型，包括目標(biāo)函數(shù)和約束條件。從約束條件中選取一組線性無(wú)關(guān)的等式作為初始基，求解得到初始基可行解。計(jì)算目標(biāo)函數(shù)在初始基可行解處的值，進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)。若不滿(mǎn)足最優(yōu)性條件，則進(jìn)行進(jìn)基與出基操作，得到新的基可行解，并繼續(xù)迭代。展示單純形法求解該實(shí)例的詳細(xì)計(jì)算過(guò)程及最終結(jié)果。建立數(shù)學(xué)模型最優(yōu)性檢驗(yàn)與迭代過(guò)程計(jì)算結(jié)果展示初始基可行解的確定實(shí)例分析與計(jì)算過(guò)程展示04對(duì)偶理論與靈敏度分析對(duì)偶問(wèn)題定義及性質(zhì)對(duì)于一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，可以構(gòu)造另一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃問(wèn)題，使得兩者的最優(yōu)解存在某種關(guān)系。這個(gè)對(duì)應(yīng)的問(wèn)題就稱(chēng)為原問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題。弱對(duì)偶性對(duì)于任意可行解，其對(duì)偶問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值總是不大于原問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值。強(qiáng)對(duì)偶性當(dāng)原問(wèn)題存在最優(yōu)解時(shí)，其對(duì)偶問(wèn)題也存在最優(yōu)解，且兩者目標(biāo)函數(shù)值相等。對(duì)偶問(wèn)題定義123根據(jù)原問(wèn)題的約束條件，構(gòu)造一個(gè)初始的對(duì)偶可行解。初始對(duì)偶可行解通過(guò)不斷更新對(duì)偶變量和原變量，使得目標(biāo)函數(shù)值不斷減小，直到找到最優(yōu)解。迭代過(guò)程當(dāng)所有檢驗(yàn)數(shù)均非正時(shí)，算法終止，當(dāng)前解即為最優(yōu)解。終止條件對(duì)偶單純形法求解過(guò)程靈敏度分析概念靈敏度分析是研究線性規(guī)劃問(wèn)題中參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解影響的一種方法。通過(guò)靈敏度分析，可以了解參數(shù)在多大范圍內(nèi)變化時(shí)，最優(yōu)解保持不變。應(yīng)用舉例假設(shè)一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題中某個(gè)資源的可用量發(fā)生了變化，通過(guò)靈敏度分析可以確定這個(gè)變化對(duì)最優(yōu)解的影響程度。如果影響較小，可以不必重新求解；如果影響較大，則需要重新求解以獲取新的最優(yōu)解。靈敏度分析概念及應(yīng)用舉例05運(yùn)輸問(wèn)題及其求解方法運(yùn)輸問(wèn)題是一類(lèi)特殊的線性規(guī)劃問(wèn)題，主要研究如何將有限資源從供應(yīng)地運(yùn)送到需求地，以最小化總運(yùn)輸成本或最大化總收益。運(yùn)輸問(wèn)題背景運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型通常包括決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件三部分。決策變量表示各供應(yīng)地到需求地的運(yùn)輸量；目標(biāo)函數(shù)是總運(yùn)輸成本或總收益的函數(shù)；約束條件包括供應(yīng)能力限制、需求滿(mǎn)足限制以及非負(fù)限制等。數(shù)學(xué)模型建立運(yùn)輸問(wèn)題背景及數(shù)學(xué)模型初始基可行解確定在表上作業(yè)法中，首先需要找到一個(gè)初始基可行解。這可以通過(guò)最小元素法或伏格爾法等方法實(shí)現(xiàn)。最優(yōu)性檢驗(yàn)與調(diào)整得到初始基可行解后，需要進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)。如果檢驗(yàn)通過(guò)，則該解即為最優(yōu)解；否則，需要進(jìn)行調(diào)整。調(diào)整方法包括閉回路法和位勢(shì)法等。迭代求解過(guò)程如果初始基可行解不是最優(yōu)解，則需要通過(guò)迭代求解過(guò)程不斷改進(jìn)解的質(zhì)量。每次迭代中，需要選擇一個(gè)非基變量進(jìn)入基，并同時(shí)讓一個(gè)基變量離開(kāi)基，以保證解的可行性。表上作業(yè)法求解步驟假設(shè)有三個(gè)供應(yīng)地和四個(gè)需求地，各供應(yīng)地的供應(yīng)量、各需求地的需求量以及單位運(yùn)輸成本已知。目標(biāo)是找到一種運(yùn)輸方案，使得在滿(mǎn)足所有需求和供應(yīng)限制的前提下，總運(yùn)輸成本最小。實(shí)例描述首先，根據(jù)已知條件建立運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。然后，利用表上作業(yè)法求解該模型。具體步驟包括確定初始基可行解、進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)與調(diào)整以及迭代求解過(guò)程等。最終得到最優(yōu)運(yùn)輸方案，并計(jì)算出最小總運(yùn)輸成本。計(jì)算過(guò)程講解實(shí)例演示與計(jì)算過(guò)程講解06整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題簡(jiǎn)介與求解方法整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題背景及數(shù)學(xué)模型整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題背景在實(shí)際問(wèn)題中，很多決策變量的取值必須是整數(shù)，如生產(chǎn)設(shè)備的數(shù)量、運(yùn)輸車(chē)輛的數(shù)量等。這類(lèi)問(wèn)題被稱(chēng)為整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。整數(shù)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型與線性規(guī)劃相似，但需要增加整數(shù)約束條件。即，部分或全部決策變量必須取整數(shù)值。分支將原問(wèn)題分解為若干個(gè)子問(wèn)題，每個(gè)子問(wèn)題對(duì)應(yīng)原問(wèn)題的一個(gè)子集。通過(guò)不斷分支，可以逐步縮小問(wèn)題的范圍。定界對(duì)每個(gè)子問(wèn)題計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的上界或下界，用于評(píng)估該子問(wèn)題的優(yōu)劣。通過(guò)比較不同子問(wèn)題的界，可以逐步排除不可能得到最優(yōu)解的子問(wèn)題。剪枝在分支過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)某個(gè)子問(wèn)題的界已經(jīng)不可能優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)解，則可以提前終止該子問(wèn)題的分支過(guò)程，從而節(jié)省計(jì)算資源。分支定界法求解思路實(shí)例描述：假設(shè)有一個(gè)簡(jiǎn)單的整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)為最大化z=2x1+3x2，約束條件為x1+x2<=5,x1,x2>=0且為整數(shù)。實(shí)例演示與計(jì)算過(guò)程講解123計(jì)算過(guò)程1.首先將問(wèn)題松弛為線性規(guī)劃問(wèn)題，求解得到最優(yōu)解為(x1,x2)=(3,2)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值為z=12。2.由于x1和x2必須為整數(shù)，因此考慮分支。以x1=3為界，將問(wèn)題分為兩個(gè)子問(wèn)題：x1<=2和x1>=4。實(shí)例演示與計(jì)算過(guò)程講解010203043.對(duì)于子問(wèn)題x1<=2，求解得到最優(yōu)解為(x1,x2)=(2,3)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值為z=13。實(shí)例演示與計(jì)算過(guò)程講解3.對(duì)于子問(wèn)題x1<=2，