2022-2023學(xué)年山西省部分學(xué)校高三年級上冊期末考試數(shù)學(xué)試題

山西省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題

目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答,

超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.設(shè)全集0=11,集合A={x|3，＞9},3={x|—2WxW4},貝?0A）c3=

A.[-1,0）B.（O,5）C.[0,5]D.[-2,2]

2.在復(fù)平面內(nèi)，二生對應(yīng)的點位于

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動力來源（或使用常規(guī)的車用燃料、采用新型車載動力裝置），

綜合車輛的動力控制和驅(qū)動方面的先進技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進、具有新技術(shù)，新結(jié)構(gòu)的汽車.新能源汽車

包括混合動力電動汽車（HEV）、純電動汽車（BEV,包括太陽能汽車）燃料電池電動汽車（FCEV）、其他新

能源（如超級電容器、飛輪等高效儲能器）汽車等.非常規(guī)的車用燃料指除汽油、柴油之外的燃料.下表是2022

年我國某地區(qū)新能源汽車的前5個月銷售量與月份的統(tǒng)計表：

月份代碼X12345

銷售量y（萬輛）0.50.611.41.5

由上表可知其線性回歸方程為丁=區(qū)+0.16,則6的值是

A

A/2sina

4.已知sina——=——，則------的值為

I4)41-tan?

5.2x—上（x+y）s的展開式中，的系數(shù)是

\x/

A.5

6.己知函數(shù)/'（x）=2cos2'^+Gsin<y無一1（o>0,XGR）,若/（x）在區(qū)間（萬,2萬）內(nèi)沒有零點，則出

的最大值是

11

C.—D.-

123

7.在四棱錐P—ABCD中，底面A8CQ為正方形，且PA_L平面ABC。，PA=3AB,則直線P8與直線AC

所成角的余弦值是

C.-

5

\.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.ob>a

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知a>>>0,c>d>0,則下列不等式成立的是

A.a—c>h—aC.(a+b)'>(a+0)”

10.已知點A（—1,0）,8（1,0）均在圓。:（工一3）2+（>一3）2=產(chǎn)什〉0）外，則下列表述正確的有

A.實數(shù)r的取值范圍是（0,、/百）

B.\AB\=2

C.直線A3與圓C不可能相切

D.若圓C上存在唯一點P滿足AP1BP,則r的值是3^2-1

11.已知函數(shù)y=/（x+l）是R上的偶函數(shù)，對任意內(nèi),馬w[l,+8）,且X1都有/（“）―/（"）>0成立,

c=/（eln2）,則下列說法正確的是

a=/(log28).b

A.函數(shù)y=/（x）在區(qū)間[1,+8）上單調(diào)遞減

B.函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于直線x=l對稱

C.c<h<a

D.函數(shù)/（x）在x=l處取到最大值

12.已知過拋物線C：V=4x的焦點尸的直線/交C于A,B兩點，。為坐標(biāo)原點，若△AOB的面積為4,

則下列說法正確的是

A.弦的中點坐標(biāo)為（13,46）B.直線/的傾斜角為30°或150°

C』AB|=16D叫『=1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)〃x）=aev+x2-8x的圖象在點（0,/（0））處的切線斜率為一5,則。=.

14.已知向量a,b滿足忖=3忖=3,則sin（a,》）=.

15.在三棱錐P—ABC中，PA=BC=2后,PB=AC=y[n,A5=PC=5,則三棱錐P—ABC的外接

球的表面積是.

16.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點￡,F2,它們的離心率分別為q,e2,點P為它們的一個交點，且

公戶2=容則e；+e；的取值范圍是,

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）己知數(shù)列｛4｝的前八項和為S“，且％=3,a,用=2S,+3（〃eN*）.

（1）求｛a“｝的通項公式；

（2）若數(shù)歹（]｛2｝滿足力=■%,記數(shù)列｛%｝的前〃項和為北，求證：

18.（本小題滿分12分）某大型工廠有6臺大型機器，在1個月中，1臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器

是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修.每臺機器出現(xiàn)故障的概率為已知1名工人每

2

月只有維修2臺機器的能力（若有2臺機器同時出現(xiàn)故障，工廠只有1名維修工人，則該工人只能逐臺維修,

對工廠的正常運行沒有任何影響），每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時能及時得到維修，就能使該廠每月獲得

10萬元的利潤，否則將虧損2萬元.該工廠每月需支付給每名維修工人1萬元的工資.

（1）若每臺機器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人進行維修（例如：3臺大型機器出現(xiàn)故障，則至少需

要2名維修工人），則稱工廠能正常運行.若該廠只有1名維修工人，求工廠每月能正常運行的概率；

（2）已知該廠現(xiàn)有2名維修工人.

（i）記該廠每月獲利為X萬元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ii）以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應(yīng)再招聘1名維修工人？

19.（本小題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知點。在邊AC上（不含

端點），AB=BD=CD.

(1)證明：hc=a2-c2；

9

(2)若cosNABC=—，c=l,求△ABC的面積.

16

20.(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，ABA.AC,D,E分別為AA-的中點.

(1)求證：〃平面A3C；

(2)若DE上BC,二面角A-BD—C的大小為一，求直線8c與平面68所成角的大小.

3

22

21.(本小題滿分12分)已知橢圓c：3■+方=1(?！怠?gt;0)的左、右頂點分別為4，&,|A4|=4,且過

點［"當(dāng))

(1)求C的方程；

(2)若直線/:y=Z(x—4)(ZwO)與。交于A/,N兩點，直線4加與4N相交于點G,證明：點G在

定直線上，并求出此定直線的方程.

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=〃lnx+，(4￡R).

(1)若函數(shù)/(%)的最小值為。2,求。的值；

(2)若存在0<%<%，且須+/=2,使得/(不)=/(馬)，求。的取值范圍.

高三數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則

1.D

2.C

3.A

4.A

5.B

6.C

7.D

8.B

9.BD

10.ABD

11.BC

I2.BCD

13.3

2A/2

14.----

3

15.29%

16.(2,+oo)

17.(1)解：當(dāng)〃=1時、a2=25j+3,即%=2。］+3=9；

當(dāng)〃22時,由=2S.+3(〃eN*),得勺=2S“_1+3,兩式相減得。，出=3%.

又4=3q,所以a,用=34(〃eN*),所以｛q｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.

所以a“=3x3"T=3".

（2）證明：由（1）知）“二1（唱3”“n

a.3"

2

所以7；=lx-+2x—+…十幾?

3(3

兩式相減得一(=17^A

3332333』

3

32〃+3p2〃+3八3

所以北=4------.又------>0所以Z,<j.

4x3"4x3"

18.解：（1）因為該廠只有1名維修工人，

所以要使工廠正常運行，最多只能出現(xiàn)2臺大型機器出現(xiàn)故障,

故該工廠能正常運行的概率為（1—￡|+C；x；x（l—[+《x[￡|x[l-=^.

(2)(i)X的可能取值為34,46,58,

234)=?$

P(X=46)=C：

則X的分布列為

X344658

1357

p

643264

1357113

故EX=34x——+46x—+58x——=——.

6432642

(ii)若該廠有3名維修工人，則該廠獲利的數(shù)學(xué)期望為6x10-3=57萬元.

113

因為——<57,所以該廠應(yīng)再招聘1名維修工人.

2

19.(1)證明：若J=c時，則點。與A點重合，不滿足題意，故bwc,

因為A5=3O=Cr>,所以A=2C,

2?22

所以sinA=sin2c=2sinCcosC,由正弦定理及余弦定理得。=2cx巴士-----

2ah

即a2b=a2c+b2c-c3,(b-c^=c(b2-c2)=c(Z?4-c)(/?-(?),

因為〃wc,所以萬一cwO,所以/=c(〃+c)=〃c+c2,所以

n

219

(2)解：由=。~+c—-2accosNABC及cosNA8C=—,c=l,得b~=a~+1——a,

168

2Q

由(1)知歷=4?-/,所以力二〃2一1,所以(“2=〃2+]_1〃，

整理得8。3-24。+9=0,令2。=，得：/_12/+9=0,

即(/—3乂/+3/—3)=0,解得內(nèi)=3,t=~3+^>^

2=-3^/21<0(舍去)，

由/?=/一1>0,得而a=2=3+舍去,故

242

所以S^ABC=；acsinNABC=[Jl-.

20.(1)證明：取3C的中點連結(jié)AM,EM.

則且=EM〃BB[,且硒=；34.

所以ZM〃七M,且D4=EM,所以四邊形4MEO為平行四邊形，所以?！辍ˋ〃.

又AWu平面ABC,OEa平面ABC,所以〃平面45c.

(2)解：以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-斗，

設(shè)AB=1,AC=b(b>Q),A4,=2c(c>0),

則3(1,0,0),C(O,Z?,O),0(0,0,c),旦(1,0,2c),

因為。E_LBC,所以DEBC=0,所以)=1.

又加=(-1,1,0),BD=(-l,0,c),

設(shè)平面BCD的一個法向量〃=(x,y,z,

n-BC=0一冗+y=0

則《所以4

n-BD=0-x+cz=0

I』1；

令x=l,則y=l,z=~,所以〃=

又平面ABO的一個法向量AC=(0,1,0),所以隼

3k?AC

又B,C=(-1,1,-72),設(shè)直線B,C與平面BCD所成的角為0,

|-1+1-2|_1

則sin?=cos(n,B,C)=—n----

、//?B,CJl+l+2?Jl+l+2-5

71

所以直線3c與平面5C。所成角為一.

6

21.(1)解：因為|A4|=4,所以2。=4,解得a=2.

所以C的方程為±+上=1.

43

（2）證明：設(shè)N（x2M，所以3：丁=^7（*+2），：y^^-（x-2）.

Xj+z-X?一乙

y=k（x-4）

,WW（3+4jt2）x2-32A:2x+64A:2-12=（）

由，x29

——+—=1

143

貝ij△=（—3222）2—4（3+4左2）（64%2—12）>O1132公

解得—<k<一且左wO，x}+x2=------

223+4r

64&2-12

xx=

[23+4/

---------1X+ZI——d——|-------

x,+2得__._2,+2_2%（工2-4）（X1+2）+2.&一4）（乙-2）_21馬—6%

>2（Jb______2j_Hz-4）（內(nèi)+2）--4）（乙一2）3X--8

”21）々-2%+22

c64公_12c32k2

2x------5——2x------7

2x（x2-2（x,+x2）-4X（3+4K3+4父

=1,

3（%+巧）—8—4-%）°32k2。7t

3x——4.2—8—4^|

所以點G在定直線x=l上.

22.解：（1）由題意知函數(shù)“X）的定義域為（0,4w）,/'（x）=g—』=竺?.

XXX

當(dāng)aWO時，/'（x）vO在（0,+8）上恒成立，故〃X）在（0,+8）上單調(diào)遞減，無最小值.

當(dāng)a＞0時，令/'（x）＜0,得0＜x＜：；令/'（x）＞0,得X〉：，

所以/（X）在（0,：、

上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

7

所以爪=/（[=a\n—+a=a-a\na.

所以〃一alna=",即lna+a=l.設(shè)g(a)=lno+Q,則，(〃)=—+1>0,

所以g(a)為(0,+o。)上的增函數(shù)，又g(l)=l，所以a=l.

(2)由/(玉)=/(9),得〃lnX|d—=6?In%2---,即〃In——H--------0,

%x2x1x2Xj

又%+%2=2,所以aln強+五1工土』=0,得ain上+工』=0.

Xj2X22X}X}2X22尤］

令?二五則+=0,令=+，

為''2t2'J2t2

故問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間(l,4w)上有零點.

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