數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題(講義及答案)及答案

數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題(講義及答案)及答案一、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題1．對于函數(shù)，其中，下列個命題中正確命題有（）A．該函數(shù)定有個極值 B．該函數(shù)的極小值一定不大于C．該函數(shù)一定存在零點 D．存在實數(shù)，使得該函數(shù)有個零點【答案】BD【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定極值，結(jié)合零點存在定理確定零點個數(shù)．【詳解】函數(shù)定義域是，由已知，，有兩個不等實根，但，一正一負(fù)．由于定義域是，因此只有一個實根，只有一個極值，A錯；不妨設(shè)，則時，，遞減，時，，遞增．所以是函數(shù)的極小值．，，＝，設(shè)，則，時，，遞增，時，，遞減，所以極大值＝，即，所以，B正確；由上可知當(dāng)?shù)臉O小值為正時，無零點．C錯；的極小值也是最小值為，例如當(dāng)時，，，時，，又（，所以在和上各有一個零點，D正確．故選：BD．【點睛】思路點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，零點，解題方法是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，極值，但要注意在函數(shù)定義域內(nèi)求解，對零點個數(shù)問題，注意結(jié)合零點存在定理，否則不能確定零點的存在性．2．對于函數(shù)，下列說法正確的有（）A．在處取得極大值 B．有兩個不同的零點C． D．若在上有解，則【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進一步求出函數(shù)的極值可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的范圍判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性比較出函數(shù)值的大小關(guān)系判斷C；利用不等式有解問題的應(yīng)用判斷D．【詳解】函數(shù)，所以，令，即，解得，當(dāng)時，，故在上為單調(diào)遞增函數(shù)．當(dāng)時，，故在上為單調(diào)遞減函數(shù)．所以在時取得極大值，故正確；當(dāng)時，，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以函數(shù)在上有唯一零點，當(dāng)時，恒成立，即函數(shù)在上沒有零點，綜上，有唯一零點，故錯誤．由于當(dāng)時，，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以，故正確；由于在上有解，故有解，所以，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時，，故在上為單調(diào)遞減函數(shù)．當(dāng)時，，故在上為單調(diào)遞增函數(shù)．所以．故，故正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學(xué)們往往因為某一處知識點掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.3．已知：是奇函數(shù)，當(dāng)時，，，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由已知構(gòu)造得，令，判斷出函數(shù)在時單調(diào)遞增，由此得，化簡可判斷A；，化簡并利用是奇函數(shù)，可判斷B；，化簡可判斷C；由C選項的分析得，可判斷D.【詳解】因為當(dāng)時，，所以，即，所以，令，則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，化簡得，故A正確；，即，化簡得，所以，又是奇函數(shù)，所以，故B不正確；，即，又，化簡得，故C正確；由C選項的分析得，所以，又是奇函數(shù)，所以，故D正確,故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題中令有導(dǎo)函數(shù)的不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造出某個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，從而可比較函數(shù)值的大小關(guān)系.4．設(shè)函數(shù)，則（）A． B．的最大值為C．在單調(diào)遞增 D．在單調(diào)遞減【答案】AD【分析】先證明為周期函數(shù)，周期為，從而A正確，再利用輔助角公式可判斷B的正誤，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號可判斷CD的正誤．【詳解】的定義域為，且，，故A正確．又，令，則，其中，故即，故，當(dāng)時，有，此時即，故，故B錯誤．，當(dāng)時，，故在為減函數(shù)，故D正確．當(dāng)時，，故，因為為增函數(shù)且，而在為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故在有唯一解，故當(dāng)時，即，故在為減函數(shù)，故C不正確．故選：AD【點睛】方法點睛：與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而單調(diào)性的研究需看函數(shù)解析式的形式，比如正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)可利用整體法來研究，而分式形式則可利用導(dǎo)數(shù)來研究，注意輔助角公式在求最值中的應(yīng)用．5．設(shè)函數(shù)，，給定下列命題，其中正確的是（）A．若方程有兩個不同的實數(shù)根，則；B．若方程恰好只有一個實數(shù)根，則；C．若，總有恒成立，則；D．若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)．【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，且將題意轉(zhuǎn)化為與有兩個不同的交點，即可判斷A選項；易知不是該方程的根，當(dāng)時，將條件等價于和只有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可推出結(jié)果，即可判斷B選項；當(dāng)時，將條件等價于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，通過構(gòu)造新函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出的范圍，即可判斷C選項；有兩個不同極值點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號列出不等式并求解，即可判斷D選項.【詳解】解：對于A，的定義域，，令，有，即，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以極小值等于最小值，，且當(dāng)時，又，從而要使得方程有兩個不同的實根，即與有兩個不同的交點，所以，故A正確；對于B，易知不是該方程的根，當(dāng)時，，方程有且只有一個實數(shù)根，等價于和只有一個交點，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為,由大致圖像可知或，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，恒成立，等價于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，于是，故C正確；對于D，有兩個不同極值點，等價于有兩個不同的正根，即方程有兩個不同的正根，由C可知，，即，則D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題和恒成立問題從而求參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵在于將零點問題轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點問題，解題時注意利用數(shù)形結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力．6．阿基米德是偉大的物理學(xué)家，更是偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)對高中教材中的拋物線做過系統(tǒng)而深入的研究，定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三角形.設(shè)拋物線：上兩個不同點橫坐標(biāo)分別為，，以為切點的切線交于點.則關(guān)于阿基米德三角形的說法正確的有（）A．若過拋物線的焦點，則點一定在拋物線的準(zhǔn)線上B．若阿基米德三角形為正三角形，則其面積為C．若阿基米德三角形為直角三角形，則其面積有最小值D．一般情況下，阿基米德三角形的面積【答案】ABC【分析】設(shè)出直線的斜截式方程、點的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程，進而求出點的坐標(biāo)，將直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，得到一元二次方程以及該方程兩根的和、積的關(guān)系.A：把拋物線焦點的坐標(biāo)代入直線的斜截式方程中，根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程進行判斷即可；B：根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合正三角形的面積公式進行判斷即可；C：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的面積公式進行判斷即可；D：根據(jù)點到直線距離公式、兩點間距離公式進行求解判斷即可..【詳解】由題意可知：直線一定存在斜率，所以設(shè)直線的方程為：，由題意可知：點，不妨設(shè)，由，所以直線切線的方程分別為：，兩方程聯(lián)立得：，解得：，所以點坐標(biāo)為：，直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得：.A：拋物線：的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因為過拋物線的焦點，所以，而，顯然點一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故本選項說法正確；B：因為阿基米德三角形為正三角形，所以有，即，因為，所以化簡得：，此時，點坐標(biāo)為：，因為阿基米德三角形為正三角形，所以有，所以，因此正三角形的邊長為，所以正三角形的面積為，故本選項說法正確；C：阿基米德三角形為直角三角形，當(dāng)時，所以，直線的方程為：所以點坐標(biāo)為：，點到直線的距離為：，，因為，所以，因此直角的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，顯然其面積有最小值，故本說法正確；D：因為，所以，點到直線的距離為：所以阿基米德三角形的面積，故本選項說法不正確.故選：ABC【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵就是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的整體代換應(yīng)用，本題重點考查了數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的應(yīng)用.7．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則對任意、，其中，則下列不等式中一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】構(gòu)造，由有，即在上單調(diào)遞減，根據(jù)各選項的不等式，結(jié)合的單調(diào)性即可判斷正誤.【詳解】由知：，令，則，∴在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時，；當(dāng)時，；A：，有，，所以；B:由上得成立，整理有；C：由，所以，整理得；D：令且時，，，，有，，所以無法確定的大小.故選：ABC【點睛】思路點睛：由形式得到，1、構(gòu)造函數(shù)：，即.2、確定單調(diào)性：由已知，即可知在上單調(diào)遞減.3、結(jié)合單調(diào)性，轉(zhuǎn)化變形選項中的函數(shù)不等式，證明是否成立.8．定義在R上的函數(shù)，若存在函數(shù)（a，b為常數(shù)），使得對一切實數(shù)x都成立，則稱為函數(shù)的一個承托函數(shù)，下列命題中正確的是（）A．函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù)B．函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù)C．若函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù)，則a的取值范圍是D．值域是R的函數(shù)不存在承托函數(shù)【答案】BC【分析】由承托函數(shù)的定義依次判斷即可.【詳解】解：對A，∵當(dāng)時，，∴對一切實數(shù)x不一定都成立，故A錯誤；對B，令，則恒成立，∴函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù)，故B正確；對C，令，則，若，由題意知，結(jié)論成立，若，令，得，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，也是最小值，為，∵是函數(shù)的一個承托函數(shù)，∴，即，∴，若，當(dāng)時，，故不成立，綜上，當(dāng)時，函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù)，故C正確；對D，不妨令，則恒成立，故是的一個承托函數(shù)，故D錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：以函數(shù)為載體的新定義問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等，這類試題中函數(shù)只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力．9．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論，其中正確的是（）A．曲線在處的切線方程為B．恰有2個零點C．既有最大值，又有最小值D．若且，則【答案】BD【分析】本題首先可根據(jù)以及判斷出A錯誤，然后根據(jù)當(dāng)時的函數(shù)單調(diào)性、當(dāng)時的函數(shù)單調(diào)性、以及判斷出B正確和C錯誤，最后根據(jù)得出，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可證得，D正確.【詳解】函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，A項：，，則曲線在處的切線方程為，即，A錯誤；B項：當(dāng)時，，函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)是減函數(shù)，因為，，所以函數(shù)恰有2個零點，B正確；C項：由函數(shù)的單調(diào)性易知，C錯誤；D項：當(dāng)、時，因為，所以，因為在上為減函數(shù)，所以，，同理可證得當(dāng)、時命題也成立，D正確，故選：BD.【點睛】本題考查函數(shù)在某點處的切線求法以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點處的切線以及函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)值即切線斜率，若導(dǎo)函數(shù)值大于，則函數(shù)是增函數(shù)，若導(dǎo)函數(shù)值小于，則函數(shù)是減函數(shù)，考查函數(shù)方程思想，考查運算能力，是難題.10．關(guān)于函數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A．當(dāng)時，在處的切線方程為B．當(dāng)時，存在惟一極小值點C．對任意，在上均存在零點D．存在，在有且只有一個零點【答案】ABD【分析】逐一驗證，選項A，通過切點求切線，再通過點斜式寫出切線方程；選項B，通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值并判斷極值范圍，選項C、D，通過構(gòu)造函數(shù)，將零點問題轉(zhuǎn)化判斷函數(shù)的交點問題.【詳解】對于A：當(dāng)時，，，所以，故切點為，，所以切線斜，故直線方程為，即切線方程為：，故選項A正確；對于B：當(dāng)時，，，，恒成立，所以單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，則在上，，單調(diào)遞減，在