環(huán)境流體力學(xué) 課件 3.4 量綱分析

量綱分析與流體模型量綱分析物理量通常是用數(shù)字和單位聯(lián)合表達(dá)的。目前世界上最普遍采用的標(biāo)準(zhǔn)度量系統(tǒng)(國際單位制SI)中的直接物理量(基本量)有長度(米，m)，質(zhì)量(千克，kg)，時間(秒，s)，電流(安，A)，溫度(開，K)，發(fā)光強(qiáng)度(坎，cd)，物質(zhì)的量(摩爾，mol)，其單位稱為基本單位。其他的物理量(間接物理量)，如速度、加速度等，它們的單位則根據(jù)其本身的物理意義，由有關(guān)基本單位組合構(gòu)成，這種單位稱為導(dǎo)出單位。例如：，速度的單位則由位移的單位(m)除以時間的單位(s)得出，即為力學(xué)中的物理量主要有時間(T)、長度(L)、質(zhì)量(M)，熱力學(xué)物理量有溫度(K)。力學(xué)中，一切導(dǎo)出量的量綱都是這些基本量的冪組合，即為,其中α，β，γ，n為量綱指數(shù)。量綱分析與流體模型量綱分析是在一定物理過程中，尋求某些物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的一種方法量綱理論的基本出發(fā)點是在一定物理過程中，表達(dá)物理規(guī)律的函數(shù)關(guān)系式或方程式，必定是“量綱齊次”的，即式中各項的量綱指數(shù)都分別相同。它包括以下兩點內(nèi)容：(1)所有單位制在描述客觀物理規(guī)律時具有同等的效力；(2)任何表示客觀物理規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系式，經(jīng)過測量單位制的變換后，其數(shù)學(xué)形式不變。例如，牛頓第二定律【例3-5】通過能量方程，推導(dǎo)和k

的單位。解：等式左側(cè)單位為，右側(cè)第一項單位為右式第二項單位量綱分析與流體模型量綱分析【例3-6】已知聲速c

是壓強(qiáng)和密度的函數(shù)，試通過量綱齊次理論分析聲速的表達(dá)式。因為壓強(qiáng)單位，密度單位，兩者單位不一致，因此聲速不能是兩者的線性加減。定義聲速單位因為聲速是聲音的速度，它的單位一定是速度的單位，于是有因為是相互獨立的量，所以只有等式兩邊的冪次都相同，等式才成立，即于是，有。記為。量綱分析與流體模型量綱分析實際上，根據(jù)聲速是小擾動在可壓縮物質(zhì)中的傳播速度，我們定義其表達(dá)式為對于理想絕熱過程，有于是，由，得即量綱分析與流體模型量綱分析?Π定理（高代）某一物理過程：有m個物理量存在著確定的函數(shù)關(guān)系經(jīng)過任何單位制的變換，上述關(guān)系的數(shù)學(xué)形式都保持不變則表示m個變量關(guān)聯(lián)的函數(shù)式一定可以簡化為m-k個無量綱變量其中

是由

構(gòu)成的m-k個獨立的無量綱乘積若該物理過程的基本單位有n個，則有k

≤n當(dāng)k=n時，問題得到最大程度的簡化。[例3-6]應(yīng)用Π定理分析可壓縮粘性流體在重力場中的流動。解：可壓縮粘性流體在重力場中流動時的物理量有：特征長度L、特征速度U、密度ρ、動力粘度μ、熱傳導(dǎo)系數(shù)κ、體力g、特征壓力p、等壓比熱Cp、特征溫度T。m=9選取LMtT系統(tǒng)，即以長度L、質(zhì)量M、時間t以及溫度T為基本單位。k=4構(gòu)造m-k=5個無量綱參數(shù)Π量綱分析與流體模型量綱分析[例3-6]應(yīng)用Π定理分析可壓縮粘性流體在重力場中的流動。(1)量綱矩陣?(2)構(gòu)造根據(jù)Π1是無量綱組合量的要求得到所以量綱分析與流體模型量綱分析類似地求出其中M為馬赫數(shù)，表征流體可壓縮程度的無量綱參數(shù)，為流場中某點的速度同該點的當(dāng)?shù)芈曀僦?，它是以奧地利科學(xué)家E.馬赫的姓氏命名的。馬赫數(shù)小于1者為亞音速，近乎等于1為跨音速，大于1為超音速。一般M<0.3的流體可視為不可壓縮流。量綱分析與流體模型作業(yè)運動物體的流動阻力存在著確定的函數(shù)關(guān)系D~ρ，μ，L，U基本量綱：L，M，t求兩個無量綱參數(shù)Π1，Π2量綱分析量綱分析N-S方程直角坐標(biāo)系取特征物理量在重力場中，，等式兩邊除以，有量綱分析量綱分析Strouhal數(shù)，比較局部慣性力和遷移慣性力的量級大小的參數(shù)流體以特征速度U流過特征長度L所需時間(L/U)與特征時間T(例如振動周期)之比。如果物體尺度很小，流速和振動周期較大，那么St就會很小，非定常效應(yīng)就可以忽略。Reynolds數(shù)，慣性力和粘性力之比Re數(shù)很大時，反映了流動的慣性效應(yīng)遠(yuǎn)大于粘性效應(yīng)，作為一種近似處理，可以在運動方程中略去粘性項，當(dāng)Re數(shù)很小時，反映了流體的粘性效應(yīng)起主導(dǎo)作用，于是可以略去慣性項Froude數(shù)Fr，比較外力和遷移慣性力局部慣性項遷移慣性力壓差粘性外力Euler數(shù)，它表示壓差力與慣性力的相對大小。量綱分析2相似性原理(1)幾何相似(2)運動相似(3)動力相似f：ρ，p，T（溫度），qi，fi，etc.量綱分析量綱分析相似性原理：假定兩個現(xiàn)象服從同一個函數(shù)關(guān)系，在兩現(xiàn)象中所有Πi都相等，則兩個現(xiàn)象相似。忽略體力，兩種流動相似的充分必要條件：分界面上的邊界條件(固體邊界條件、自由面條件)、遠(yuǎn)場邊界條件流動控制參數(shù)相等：流動初始條件流動邊界條件：量綱分析【例3-7】為確定在深水航行的潛艇所受的阻力，采用1/20縮尺的模型在水洞中進(jìn)行實驗。若潛艇速度為Up=2.572m/s，海水密度ρp=1010kg/m3，運動學(xué)粘度系數(shù)vp=1.3×10-6m2/s，水洞中水密度ρm=998kg/m3，運動粘度系數(shù)vm=0.556×10-6m2/s。試確定潛艇與模型的阻力比。解按題意，要求集合相似的模型與潛艇的流場動力相似，因問題為定常，不存在St和初始條件；因潛艇在深水中遠(yuǎn)離自由面，故不考慮Fr和Eu；因問題的攻角為零，故亦不必加以考慮。由本節(jié)導(dǎo)出的相似律，只要兩個流場的雷諾數(shù)Rep

=Rem，就有兩個流場相似

若潛艇長為Lp，則

因模型長，有由，解出模型試驗中水速量綱分析【例3-7】為確定在深水航行的潛艇所受的阻力，采用1/20縮尺的模型在水洞中進(jìn)行實驗。若潛艇速度為Up=2.572m/s，海水密度ρp=1010kg/m3，運動學(xué)粘度系數(shù)vp=1.3×10-6m2/s，水洞中水密度ρm=998kg/m3，運動粘度系數(shù)vm=0.556×10-6m2/s。試確定潛艇與模型的阻力比。

阻力D等于壓強(qiáng)和剪切應(yīng)力投影沿物面的積分，具有的量綱，于是定義阻力系數(shù)由于兩個流場相似，故其CD