切割線定理-北京習(xí)題集-教師版

切割線定理（北京習(xí)題集）（教師版）一.選擇題（共8小題）（2010秋?平谷區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。、O在線段A5上，^AC=CO=OB=5,過(guò)點(diǎn)A作以為直徑的。O切線,TOC\o"1-5"\h\zA.5 B.6 C.5/ D.10（2008?朝陽(yáng)區(qū)二模）如圖，從點(diǎn)P向。0引兩條切線PA,PB，切點(diǎn)為A,B,BC為。0的直徑，若ZP=60。,PA=3，則。0的直徑BC的長(zhǎng)為（ ）A.2於 B.233 C.3 D.4<3（2003?西城區(qū)模擬）如圖，PA切。0于點(diǎn)A,PBC是。0的一條割線，且PA=2<3,BC=2PB，那么PB的長(zhǎng)為（）A.2 B.<6 C.4 D.2K（2003?海淀區(qū)模擬）如圖，割線PAB交。0于A、B兩點(diǎn)，且PA:AB=2:1,PO交。0于C,PC=3,OC=2,則PA的長(zhǎng)為（ ）

A.273 B.714 C.2n D.100（ ）（2002?朝陽(yáng)區(qū)）已知：如圖，OO半徑為5,PC切OO于點(diǎn)C,PO交OO于點(diǎn)A,PA=4，那么PC的長(zhǎng)等于（ ）A.6 B.2%，5 C.2<10 D.2<14（2000?西城區(qū)）如圖，PA切。0于點(diǎn)A,PBC是OO的割線，如果PB=2,PC=8，那么PA的長(zhǎng)為（ ）PD的長(zhǎng)為（PD的長(zhǎng)為（ ）A.2 B.4 C.6 D.2<3（2000?朝陽(yáng)區(qū)）如圖，P是OO外一點(diǎn)，PAB、PCD都是OO的割線.如果PA=4,AB=2,PC=CD，那么BC的長(zhǎng)為（ ）BC的長(zhǎng)為（ ）ayA.3<2 B.3 C.、3 D.2<3二.填空題（共1小題）9.（2004?北京）如圖，AB為OO的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切OO于C,若PB=2,AB=6，貝UPC= A.<3 B.2v3 C.3<3 D.4d3（1999?北京）如圖，PA切OO于點(diǎn)A，PBC是。0的割線，且PB=BC,如果PA=3<2，那么

三.解答題（共4小題）（2010秋?昌平區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知：筋是。。的直徑，AC是切線，A為切點(diǎn)，5。交。。于點(diǎn)。，切線/無(wú)交AC于點(diǎn)石.求證：AE=EC.（2003?北京）已知：在AABC中，4。為NB4C的平分線，以。為圓心，CD為半徑的半圓交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)石,交AD于點(diǎn)尸，交AE于點(diǎn)M,MZB=ZCAE,FE:FD=4:3.（1）求證：AF=DF；（2）求/AEZ）的余弦值；（3）如果5。=10,求AABC的面積.- DC￡（2000?海淀區(qū)）如圖，PC為。。的切線，。為切點(diǎn)，RW是過(guò)。點(diǎn)的割線，CDLAB于點(diǎn)。，若tanB=-,PC=10cmPC=10cm，求NBCD的面積.（1998?東城區(qū)）如圖，設(shè)。。的半徑為8,過(guò)圓外一點(diǎn)P引切線PA，切點(diǎn)為A,PA=6,C為圓周上一動(dòng)點(diǎn)，PC交圓于另一點(diǎn)B，設(shè)PC=x,PB=y，且x〉y.（1）試求：y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出自變量x的取值范圍；（2）若cosZOPC=4時(shí)，求x的值.切割線定理（北京習(xí)題集）（教師版）參考答案與試題解析一.選擇題（共8小題）)A.5B.6（2010秋?平谷區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。、O在線段池上，AAC=CO=OB=5,過(guò)點(diǎn)A作以為直徑的。O)A.5B.6D.10【分析】利用切割線定理得到AD2=AC-AB，而AC=5,AD=AC+CO+CB=15，代入計(jì)算可以求出AD的長(zhǎng).【解答】解：:AD是。0的切線，ACB是0O的割線，...AD2=ACAB,又AC=5,AB=AC+CO+OB=15,AD2=5x15=75,AD=5V3.(AD=-5<3不合題意舍去).故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切割線定理，利用切割線定理列出等式，然后把AC,AB的長(zhǎng)代人計(jì)算求出線段AD的長(zhǎng).（2008?朝陽(yáng)區(qū)二模）如圖，從點(diǎn)P向OO引兩條切線PA,PB，切點(diǎn)為A,B,BC為OO的直徑，若ZP=60。,A.2<3PA=3，則。。的直徑BC的長(zhǎng)為A.2<3C.C.3B.—3【分析】連接OP，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得PB=PA=3,ZOPB=30。.在直角"OB中根據(jù)三角函數(shù)可求得OB的長(zhǎng)，從而得到圓的直徑.【解答】解：連接OP.

_ … OB\-PB=PA=3,NOPB=30°,tanZOPB=——，PBOB=3,，圓的直徑是2y3.那么PB的那么PB的長(zhǎng)為（）【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，比較簡(jiǎn)單.（2003?西城區(qū)模擬）如圖，PA切。0于點(diǎn)A，PBC是。0的一條割線，且PA=2石，BC=2PB，A.2 B.%6 C.4 D.2V6【分析】設(shè)PB=x，則PC=3x，根據(jù)切割線定理得PA2二PB.PC，從而可求得PB的長(zhǎng).【解答】解：設(shè)PB=x，則PC=3x,PA2A2=PB?PC,PA=2<3,BC=2PB,二.x?3x=12,/.x—2.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】此題考查切割線定理的運(yùn)用.（2003?海淀區(qū)模擬）如圖，割線PAB交OO于A、B兩點(diǎn)，且PA:AB—2:1,PO交OO于C,PC—3則PA的長(zhǎng)為（ ）c.2J6A.143c.2J6A.143 B.^14【分析】延長(zhǎng)PO交圓于D，根據(jù)割線定理列方程求解即可.【解答】解：設(shè)AB=x，則PB=3x，延長(zhǎng)PO交圓于D.PPPBB=PCPD,PC=3,OC=2,2x?3x=21,v14「.x— ,2PA―2x—14..D.J10故選：B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要通過(guò)作輔助線構(gòu)造割線，再根據(jù)割線定理進(jìn)行計(jì)算.（2002?朝陽(yáng)區(qū)）已知：如圖，OO半徑為5,PC切。0于點(diǎn)C,PO交OO于點(diǎn)A,PA―4，那么PC的長(zhǎng)等于2<52V102<142<52V102<14PC―2v14PC―2v14；解得:【分析】延長(zhǎng)AO交。0于B，由切割線定理可得PC2—PAPB，進(jìn)而求出PC的長(zhǎng).【解答】解：延長(zhǎng)AO交OO于B，則UAB―2OA―10；由切割線定理得：PC2—PA?PB；則有:PC2―4x(10+4)—56,則有:【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是切割線定理的應(yīng)用.（2000?西城區(qū)）如圖，K4切。。于點(diǎn)A,尸5。是OO的割線，如果PS=2,PC=8,那么K4的長(zhǎng)為（ ）A.2 B.3 C.3 D.2,3【分析】已知了PB、PC的長(zhǎng)，由切割線定理可得PA2=PB?PC，進(jìn)而可求出PA的長(zhǎng).【解答】解：???PA切。。于點(diǎn)A,PBC是。。的割線，PA2=PB-PC=16，即PA=4；故選：B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是切割線定理.（2000?朝陽(yáng)區(qū)）如圖，P是OO外一點(diǎn)，PAB、PCD都是。0的割線.如果PA=4,AB=2,PC=CD，那么PD的長(zhǎng)為（ ）A.<3 B.2<3 C.3<3 D.4<3【分析】先設(shè)PC二x，再根據(jù)切割線定理的推論，可得關(guān)于x的方程，解出x，又由于PC二DC，所以再求PD=2x即可.【解答】解：設(shè)PC=x，那么PD=PC+DC=2x,根據(jù)推論可知，PCPD=PA*PB,「.x?2x=4?(4+2),x=2<3,PD=4v3.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】切割線定理的推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.8.（1999?北京）如圖，PA切OO于點(diǎn)A,PBC是。0的割線，且PB=BC,如果PA=3<2，那么BC的長(zhǎng)為（ ）

o*AA.3^2C.33 o*AA.3^2C.33 D.2V3【分析】設(shè)BC=x.根據(jù)切割線定理PA2=PB.PC，可得列方程求解.【解答】解：設(shè)BC=x.pA^A切。0于點(diǎn)A,PBC是。0的割線，...PA2=PB.PC.即x?2x=18,x=±3（負(fù)值舍去），即BC=3.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要是考查了切割線定理.二.填空題（共1小題）9.（2004?北京）如圖，AB為。0的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切OO于C，若PB=2,AB=6，則PC=4.【分析】由已知可求得PA的長(zhǎng)，再根據(jù)切割線定理得PC2=PB*PA，即可求得PC的長(zhǎng).【解答】解：PPB=2,AB=6,PA=PB+AB=8；AAB為OO的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切OO于C,則PC2=PB?PA:.可得PC=4.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切割線定理的運(yùn)用.三.解答題（共4小題）（2010秋?昌平區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知：AB是。0的直徑，AC是切線，A為切點(diǎn)，BC交。0于點(diǎn)D,切線DE交AC于點(diǎn)E.求證：AE=EC.【分析】連接AD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可證得AADC是直角三角形，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可證得AE=DE,只要再證得=即可.【解答】解：如圖，連接AD,?.?M是圓的直徑.:.ZADB=90°,貝UZADC=90°.-.ZZMC+ZC=90°?/AE,是圓的切線.:.AE=DE:.ZDAE=ZADE又NDAE+NC=NADE+NEDC=90°:./EDC=ZC/.DE=ECAE=EC【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理以及等腰三角形的判定定理，正確求證?！?￡。是解決本題的關(guān)鍵.（2003?北京）已知：在AABC中，4。為NB4C的平分線，以。為圓心，CD為半徑的半圓交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)石,交AD于點(diǎn)尸，交AE于點(diǎn)M,MZB=ZCAE,FE:FD=4:3.（1）求證：AF=DF；（2）求/AEZ）的余弦值；(2)求ZAED的余弦值，即求ME:DM，由已知條件，勾股定理，切割線定理的推論可以求出;(3)根據(jù)AABC的面積公式求出BC，AN的長(zhǎng)是關(guān)鍵，根據(jù)題意由三角函數(shù)及相似比即可求出.【解答】(1)證明：???AD平分ZBAC:.乙BAD=ZDAC???NB=ZCAE:.ZBAD+ZB=ZDAC+ZCAE=ZBAD+ZB:.ZADE:ZDAE.EA=EDDDE是半圓C的直徑:.ZDFE=90o.AF=DF(2分)(2)解：連接DM???DE是半圓C的直徑.ZDME=90o,.，F(xiàn)E:FD=4:3可設(shè)FE=4x，貝UFD=3xDE=5xAE=DE=5x,AF=FD=3x-AF?AD=AM^AE.3x(3x+3x)=AM^x18「.AM=——x518 7...ME=AE—AM=5x——x=-x557-x—在RtADME中，cosZAED=——="=一(5分)DE5x25(3)解：過(guò)A點(diǎn)作AN1BE于N7丁cosNAED二一25. 24「.sinZAED--25, 24, 24AN=—AE=—x25 5在ACAE和AABE中ZCCAE=ZB,ZAEC=ZBEA/.ACAEsAABEAECEBEAE/AE2=BE?CE二(5x)2=(10+5x)?-x/^2/AN=24x=48/BC=BD+DC=10+5x2=152/S225=-BC/S225=-BC?AN=-x15x48=72(8分).AABC，勾股定理，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.（2000?海淀區(qū)）如圖，PC為。0的切線，C為切點(diǎn)，PAB是過(guò)O點(diǎn)的割線，CD1AB于點(diǎn)D，若tanB=1,2PC=10cm，求ABCD的面積.【分析】連接AC，由弦切角定理知ZPCA=ZB，易證得APCAsAPBC，得PC:PB=AC:AB，而AC:AB正好是tanB,由此可求出PB的長(zhǎng)，進(jìn)而可由切割線定理求出PA的長(zhǎng)，也就得到了AB的長(zhǎng)；在RtAACB中，易證得ZACD=ZB，那么tanB=tanZACD，由此可得CD=2AD,BD=2CD，即BD=4AD，聯(lián)立AD+BD=AB(AB的長(zhǎng)已求得），即可得到AD、BD、CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可由三角形的面積公式求出ABCD的面積.【解答】解法一：連接AC,AAB是。0的直徑，點(diǎn)C在。0上，.?./ACB=90。-CD于BB于點(diǎn)D,:'乙ADC=ZBCA=90°,/ACD=90°-ZBAC=ZB.tanB=—,2.?.tan^ACD=1,2ADCD1AC,-——―.. — —— ?CDDB2CB設(shè)AD—x(x>0)，貝UCD—2x,DB—4x,AB—5x.?；PC切OO于點(diǎn)C,點(diǎn)B在。0上，:,乙PCA—ZB,/P=Z.P,/.APACs\pcb.PAAC1/ — —.PCCB2yPC=10,/PA—5,pPC切。0于點(diǎn)C,PAB是。0的割線，/根據(jù)切割線定理：PC2—PA?PB,./102—5(5+5x),解得x—3,.AD—3,CD—6,DB—12....s —1CD?DB—-x6x12—36,ABCD2 2即ABCD的面積為36cm2,PCAC1解法二：同解法一，由APACsAPCB得P——————PBCB2pPC—10，/PB—20,由切割線定理，得PC2—PAP,/PA—P—2—史—5,PB20/AB—PB-PA—15,?.?AD+DB=x+4x=15,解得x=3;（x同證法一）CD=2x=6,DB=4x=12,S ==CD?DB=-x6x12=36.ABCD2 2即ABCD的面積為36cm2.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理、切割線定理、弦切角定理及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，能夠正確的構(gòu)建出相似三角形，并發(fā)現(xiàn)PA、PB與tanB的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.（1998?東城區(qū)）如圖，設(shè)OO的半徑為8,過(guò)圓外一點(diǎn)P引切線PA，切點(diǎn)為A,PA=6,C為圓周上一動(dòng)點(diǎn),PC交圓于另一點(diǎn)B，設(shè)PC=x,PB=y，且x〉