復(fù)變函數(shù)試題及答案

大學(xué)考試題

成績

課程_復(fù)變函數(shù)(A)

系別—___________________考試日期2007年7月5日

專業(yè)班號____________________

___________________學(xué)號_____________期中匚期末

姓名—

一.填空(每題3分，共30分)

1.3，=________________________

2.2。=0是函數(shù)/(乃=半口的

Z

(說出類型，如果是極點(diǎn)，那么要說明階數(shù))

3./(z)=+3%2)7/-3孫2-y3i,刃口么廣(z)=

里Res[#sinz，5=________________________

TT

5.函數(shù)w=sinz在z=—處的轉(zhuǎn)動角為

4------------------------

00

6.幕級數(shù)￡(cosin)z"的收斂半徑為R=

n=0

7.[zsinzdz=

Jo------------------------

i

8.設(shè)C為包圍原點(diǎn)在內(nèi)的任一條簡單正向封閉曲線，那么，0dz二

CZ

9.函數(shù)/(z)=二看在復(fù)平面上的所有有限奇點(diǎn)處留數(shù)的和為

10.(~^二

J2

392+1)(Z+4)

，Z，=2

二.判斷題(每題3分，共30分)

1./(2)=分〃在2=0解析?！尽?/p>

2.，(z)在Z。點(diǎn)可微,那么/(z)在z0解析?！?/p>

3.7（z）="是周期函數(shù)?！尽?/p>

4.每一個(gè)幕函數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂?！尽?/p>

0088

5.設(shè)級數(shù)“收斂，而￡|%|發(fā)散，那么的收斂半徑為1?！綸

〃=0〃=0n=0

6.1血（與能在圓環(huán)域0<|2]<R（0<尺<+00）展開成洛朗級數(shù)?！尽?/p>

Z

7.〃為大于1的正整數(shù)，Lnz"=〃Lnz成立。[）

8.如果函數(shù)刃=/（z）在z0解析，那末映射G=/（Z）在z0具有保角性?！尽?/p>

a[力

9.如果〃是。內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，那么f=--—i—是。內(nèi)的解析函數(shù)?！?/p>

dxdy

1

TT1

—：--------dz——dz=2Tli—|z=1=2Tlio[

z2(z—1)z—1z

三.（8分）v="%siny為調(diào)和函數(shù)，求p的值，并求出解析函數(shù)/（z）=〃+iv。

四.（8分）求/(z)=------------在圓環(huán)域]<目<2和1<|z-2|<+8內(nèi)的洛朗展開式。

(z-D(z-2)

五.18分）計(jì)算積分「“『cos"dx。

j-8%~+4x+5

設(shè)/（z）=g四,其中C為圓周|z|=3的正向，求r（1+i）。

六.18分)1

七.18分）求將帶形區(qū)域{2|0<11110）<研映射成單位圓的共形映射。

復(fù)變函數(shù)與積分變換（A）的參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)（2007.7.5）

一.填空（各3分）

[A2o

]e-2*in3；2.三級極點(diǎn)；3.3z?；4.0；5.0；6.-；7.：一③；8.0；

9.0;10.—[―-------1—；-------F7lS（G—2）+7lS（69+2）]o

2j（①—2）j{co+2）

二.判斷1.錯；2.錯；3.正確；4.錯；5.正確；6.錯；7.錯；8.錯；9.正確；10.錯。

三（8分）解：1）在1V|NIV2

1118718]8n+\1

/(Z)="KF=z(-或(于二亞)')=?(k+式)—4分

2)在1<|z-21<8

1111]co1

于⑶=（i+—-一）=」一（1+----------------------）二」一+y--一7-4分

n+

z-2z-2+1z-2（Z2）（]?1）z-2n=0（z-2）

z-2

四.（8分）解:被積函數(shù)分母最高次數(shù)比分子最高次數(shù)高二次，且在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面有一個(gè)一級極點(diǎn)

-2+i,故

p+OO。P

[—7------------dx=2mRes[--------------2+z]--------3分

J-%+4%+5z+4z+5

e'zjr

=2力lim(z-(-2+z))-.................=—(cos2-zsin2)--------6分

z->-2+iz'+4z+5e

產(chǎn)2cosx/GDf+8寸42〃

故--------(ir=2Re--------------dx-——cos2---------8分

j-8x+4x+5J+4x+5e

五.(8分)解：尸(z)=『；二一—―3分

由于1+i在|z|=3所圍的圓域內(nèi)，故

，，八?、f3^2+7^+l.“二”i、，i

/(l+o=j———卡茲=2加(3U+7^+1)"=2^(-6+13z)?8分

c-U十i))

六.（8分）解:利用指數(shù)函數(shù)映射的特點(diǎn)以及上半平面到單位圓的分式線性映射，可以得到

n

—z

/（z）=e/———（映射不唯一，寫出任何一個(gè)都算對）

ca-A

七.（8分）解:對方程兩端做拉氏變換：

代入初始條件，得y（s）=年」————4分

s+2s—3

351

故，XO=--e-（+-er+-e-3z---------8分（用留數(shù)做也可以）

488

復(fù)變函數(shù)（A）的參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)（2007.7.5）

一.填空（各3分）1.12加+加3；2.三級極點(diǎn)；3.3Z2；4.0；5.0；6.-；7.sinl-cosl；8.0

e

9.0；10.0o

二.判斷1.錯；2.錯；3.正確；4.錯；5.正確；6.錯；7.錯；8.錯；9.正確；10.錯。

三.(8分)解:因?yàn)檠?""siny是調(diào)和函數(shù),那么有

22

PVPVc

—-+—-=0，即p2epxsiny—epxsiny=(p2-l)epxsiny=0故p=±1---------2分

dxdy

1)當(dāng)夕=1時(shí)，v=exsiny,由C-R方程，

c)v

—=—=excosy,i/(x,y)=excosy+g(y),又由

dxdy

-=-exsmy+gXy)=--=-exsiny,故g，(y)=0,所以g(y)=c。

oyox

那么/(z)=片+c----------3分

2)當(dāng)p=—l時(shí)，v=e~xsmy,由C-R方程,

dudv_w//、-x/、d4

-=--=-excosy,那么〃(羽y)=_ecosy+g(y),又由

oxoy

a

du_x.，/、x

k=esmy+g(y)=-^-=esinyf故婷(y)=0,所以g(y)=。

oyox

那么f(z)=-e-z^-c

四(8分)解：1)在1<|N|v2

11[81CO18n+\1

于⑶=z(?)=z(-wE(w)"_7X(；)")=(訶+>)--4分

z-22-1乙n=0乙Z〃=。Zn=0乙Z

2)在1<|z-21<oo

/(z)='(l+—1—)=’(1+1

z—2z—2+1z-2

(z-2)(l+士),

4分

100]

=+(-1)

IZiSn+2

/乙n=0(z-2)

五.（8分）解:被積函數(shù)分母最高次數(shù)比分子最高次數(shù)高二次，且在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面有一個(gè)一級極點(diǎn)

-2+i,故

?+oop