人教版數(shù)學(xué)七年級下冊第六章實數(shù)基礎(chǔ)知識點講解+典型例題講解.文檔

PAGEPAGE1【本文檔由書林工作坊整理發(fā)布，謝謝你的下載和關(guān)注！】平方根（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根．2．了解開方與乘方互為逆運算，會用開方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用計算器求平方根．【要點梳理】知識點一、平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個正數(shù)的平方等于，即,那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).要點詮釋：當(dāng)式子有意義時，一定表示一個非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.(≥0)的平方根的符號表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.知識點二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．要點詮釋：（1）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的那個叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有平方根．（2）正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.知識點三、平方根的性質(zhì)知識點四、平方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如：，，，.【典型例題】類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念 1、下列說法錯誤的是（）A.5是25的算術(shù)平方根B.l是l的一個平方根C.的平方根是－4D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算術(shù)平方根的定義判定得出正確選項．A.因為＝5，所以本說法正確；B.因為±＝±1，所以l是l的一個平方根說法正確；C.因為±＝±＝±4，所以本說法錯誤；D.因為＝0，＝0，所以本說法正確；【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根、算術(shù)平方根的定義，關(guān)鍵是明確運用好定義解決問題．舉一反三：【變式】判斷下列各題正誤，并將錯誤改正：（1）沒有平方根．（）（2）．（）（3）的平方根是．（）（4）是的算術(shù)平方根．（）【答案】√；×；√；×，提示：（2）；（4）是的算術(shù)平方根．2、填空：（1）是的負(fù)平方根．（2）表示的算術(shù)平方根，．（3）的算術(shù)平方根為．（4）若，則，若，則．【思路點撥】（3）就是的算術(shù)平方根＝，此題求的是的算術(shù)平方根.【答案與解析】(1)16；(2)(3)(4)9；±3【總結(jié)升華】要審清楚題意，不要被表面現(xiàn)象迷惑.注意數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)符號之間的轉(zhuǎn)化.舉一反三：【變式1】下列說法中正確的有（）：①3是9的平方根．②9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④是64的負(fù)的平方根．A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】B；提示：①④是正確的.【變式2】求下列各式的值：（1）3（2）（3）（4）【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）3、使代數(shù)式有意義的的取值范圍是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【總結(jié)升華】當(dāng)式子有意義時，一定表示一個非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.舉一反三：【變式】（2015春?中江縣期中）若+（3x+y﹣1）2=0，求5x+y2的平方根．【答案】解：∵+（3x+y﹣1）2=0，∴，解得，，∴5x+y2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y2的平方根為±=±3．類型二、利用平方根解方程4、（2015春?鄂州校級期中）求下列各式中的x值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路點撥】（1）移項后，根據(jù)平方根定義求解；（2）先將（x﹣2）看成一個整體，移項后，根據(jù)平方根定義求解．【答案與解析】解：（1）169x2=144，兩邊同時除以169，得開平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移項，得（x﹣2）2=36開平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【總結(jié)升華】本題考查了平方根，根據(jù)是一個正數(shù)的平方根有兩個．類型三、平方根的應(yīng)用5、要在一塊長方形的土地上做田間試驗，其長是寬的3倍，面積是1323平方米．求長和寬各是多少米？【答案與解析】解：設(shè)寬為，長為3，由題意得，·3＝13233＝1323＝－21(舍去)答：長為63米，寬為21米.【總結(jié)升華】根據(jù)面積由平方根的定義求出邊長，注意實際問題中邊長都是正數(shù).【本文檔由書林工作坊整理發(fā)布，謝謝你的下載和關(guān)注！】立方根【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解立方根的含義；2.會表示、計算一個數(shù)的立方根，會用計算器求立方根.【要點梳理】要點一、立方根的定義如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.要點詮釋：一個數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運算.要點二、立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.要點詮釋：任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)的符號相同.兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).要點三、立方根的性質(zhì)要點詮釋：第一個公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.要點四、立方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如，，，，.【典型例題】類型一、立方根的概念1、（2016春?吐魯番市校級期中）下列語句正確的是（）A．如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是0B．一個數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)C．負(fù)數(shù)沒有立方根D．一個不為零的數(shù)的立方根和這個數(shù)同號，0的立方根是0【思路點撥】根據(jù)立方根的定義判斷即可.【答案】D；【解析】A．如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是0或1或-1，故錯誤；B．一個數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)，錯誤，還有0；C．負(fù)數(shù)有立方根，故錯誤；D．正確.【總結(jié)升華】本題考查了立方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記立方根的定義.舉一反三：【變式】下列結(jié)論正確的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的數(shù)只有0和1 D．【答案】D.類型二、立方根的計算 2、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）【答案與解析】解：（1）（2）（3）（4）（5）【總結(jié)升華】立方根的計算，注意符號和運算順序，帶分?jǐn)?shù)要轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù)再開立方.舉一反三：【變式】計算：（1）______；（2）______；（3）______．（4）______.【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.類型三、利用立方根解方程3、（2015春?北京校級期中）（x﹣2）3=﹣125．【思路點撥】利用立方根的定義開立方解答即可．【答案與解析】解：（x﹣2）3=﹣125，可得：x﹣2=﹣5，解得：x=﹣3．【總結(jié)升華】此題考查立方根問題，關(guān)鍵是先將x﹣2看成一個整體．舉一反三：【變式】求出下列各式中的：（1）若＝0.343，則＝______；（2）若－3＝213，則＝______；（3）若＋125＝0，則＝______；（4）若＝8，則＝______．【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．類型四、立方根實際應(yīng)用4、在做物理實驗時，小明用一根細(xì)線將一個正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱體燒杯中，并用一量筒量得鐵塊排出的水的體積為64，小明又將鐵塊從水中提起，量得燒杯中的水位下降了．請問燒杯內(nèi)部的底面半徑和鐵塊的棱長各是多少？【思路點撥】鐵塊排出的64水的體積，是鐵塊的體積，也是高為燒杯的體積.【答案與解析】解：鐵塊排出的64的水的體積，是鐵塊的體積．設(shè)鐵塊的棱長為，可列方程解得設(shè)燒杯內(nèi)部的底面半徑為，可列方程,解得6.答：燒杯內(nèi)部的底面半徑為6，鐵塊的棱長4.【總結(jié)升華】應(yīng)該熟悉體積公式，依題意建立相等關(guān)系（方程），解方程時，常常用到求平方根、立方根，要結(jié)合實際意義進(jìn)行取舍.本題體現(xiàn)與物理學(xué)科的綜合.舉一反三：【變式】將棱長分別為和的兩個正方體鋁塊熔化，制成一個大正方體鋁塊，這個大正方體的棱長為____________.(不計損耗)【答案】.【本文檔由書林工作坊整理發(fā)布，謝謝你的下載和關(guān)注！】實數(shù)（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解無理數(shù)和實數(shù)的意義；2.了解有理數(shù)的概念、運算法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用.【要點梳理】要點一、有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).要點詮釋：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.（2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.要點二、實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).要點三、實數(shù)大小的比較對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總是比左邊的點表示的實數(shù)大.正實數(shù)大于0，負(fù)實數(shù)小于0，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.要點四、實數(shù)的運算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進(jìn)行開立方運算.在進(jìn)行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用.【典型例題】類型一、實數(shù)概念 1、指出下列各數(shù)中的有理數(shù)和無理數(shù)：【思路點撥】對實數(shù)進(jìn)行分類時，應(yīng)先對某些數(shù)進(jìn)行計算或化簡，然后根據(jù)它的最后結(jié)果進(jìn)行分類，不能僅看到根號表示的數(shù)就認(rèn)為是無理數(shù).π是無理數(shù)，化簡后含π的代數(shù)式也是無理數(shù).【答案與解析】有理數(shù)有無理數(shù)有……【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.1010010001…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如，，，.舉一反三：【變式】（2015春?聊城校級月考）在下列語句中：①無理數(shù)的相反數(shù)是無理數(shù)；②一個數(shù)的絕對值一定是非負(fù)數(shù)；③有理數(shù)比無理數(shù)??；④無限小數(shù)不一定是無理數(shù)．其中正確的是（）A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④【答案】C；解：①因為實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)不可能式有理數(shù)，故本選項正確；②一個數(shù)的絕對值一定≥0，故本選項正確；③數(shù)的大小，和它是有理數(shù)還是無理數(shù)無關(guān)，故本選項是錯誤的；④無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故本選項正確．類型二、實數(shù)大小的比較2、比較和0.5的大?。敬鸢概c解析】解：作商，得．因為，即，所以．【總結(jié)升華】根據(jù)若，均為正數(shù)，則由“，，”分別得到結(jié)論“，，，”從而比較兩個實數(shù)的大?。容^大小的方法有作差法和作商法等，根據(jù)具體情況選用適當(dāng)?shù)姆椒?舉一反三：【變式】比較大小【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜.3、（2015?棗莊）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則下列式子中正確的是（）A．a(chǎn)c＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c【答案】D；【解析】解：∵由圖可知，a＜b＜0＜c，∴A、ac＜bc，故A選項錯誤；B、∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|=b﹣a，故B選項錯誤；C、∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b，故C選項錯誤；D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D選項正確．故選：D．【總結(jié)升華】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，熟知數(shù)軸上各點與實數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．類型三、實數(shù)的運算4、化簡：(1)(2)(3)【答案與解析】解：.【總結(jié)升華】有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用.5、若，則________．【思路點撥】由有限個非負(fù)數(shù)之和為零，則每個數(shù)都應(yīng)為零可得到方程中，b，c的值.【答案】3；【解析】解：由非負(fù)數(shù)性質(zhì)可知：，即，∴．【總結(jié)升華】初中階段所學(xué)的非負(fù)數(shù)有||，，非負(fù)數(shù)的和為0，只能每個非負(fù)數(shù)分別為0.舉一反三：【變式】已知，求的值．【答案】解：由已知得，解得．∴＝.【本文檔由書林工作坊整理發(fā)布，謝謝你的下載和關(guān)注！】實數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一：平方根和立方根類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論要點二：實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)要點詮釋：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.（4）實數(shù)和數(shù)軸上點是一一對應(yīng)的.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).3.實數(shù)的三個非負(fù)性及性質(zhì)：在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，即||≥0；（2）任何一個實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，即≥0；（3）任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即().非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）非負(fù)數(shù)有最小值零；（2）有限個非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；（3）幾個非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個非負(fù)數(shù)都等于0.4.實數(shù)的運算：數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進(jìn)行，有括號先算括號里.5.實數(shù)的大小的比較：有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而??；法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.【典型例題】類型一、有關(guān)方根的問題 1、下列命題：①負(fù)數(shù)沒有立方根；②一個實數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；③一個正數(shù)或負(fù)數(shù)的立方根與這個數(shù)同號；④如果一個數(shù)的算術(shù)平方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)是1或0；⑤如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)是1或0，其中錯誤的有（）A.2個B.3個C.4個D.5個【答案】B；【解析】①負(fù)數(shù)有立方根；②0的算術(shù)平方根是0；⑤立方根是本身的數(shù)有0，±1.【總結(jié)升華】把握平方根和立方根的定義是解題關(guān)鍵.舉一反三：【變式】下列運算正確的是（）A．B．C．D．【答案】C；2、若，則±＝若，，則【答案】±1.01；7.16；【解析】102.01的小數(shù)點向左移動2位變成1.0201，它的平方根的小數(shù)點向左移動1位，變成1.01，注意符號；0.3670的小數(shù)點向右移動3位變成367，它的立方根的小數(shù)點向右移動1位，變成7.16【總結(jié)升華】一個數(shù)的小數(shù)點向左移動2位，它的平方根的小數(shù)點向左移動1位；一個數(shù)的小數(shù)點向右移動3位，它的立方根的小數(shù)點向右移動1位.類型二、與實數(shù)有關(guān)的問題3、把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合：－1、、π、－3.14、、、、．（1）有理數(shù)集合｛｝；（2）無理數(shù)集合｛｝；（3）正實數(shù)集合｛｝；（4）負(fù)實數(shù)集合｛｝．【思路點撥】首先把能化簡的數(shù)都化簡，然后對照概念填到對應(yīng)的括號里.【答案與解析】（1）有理數(shù)集合｛－1、－3.14、、｝；（2）無理數(shù)集合｛、π、、｝；（3）正實數(shù)集合｛、π、、、｝；（4）負(fù)實數(shù)集合｛－1、－3.14、｝．【總結(jié)升華】有理數(shù)是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).總結(jié)常見的無理數(shù)形式.舉一反三：【變式】（2015?綏化）在實數(shù)0、π、、、﹣中，無理數(shù)的個數(shù)有（）A．1個B．2個 C．3個 D．4個【答案】B；4、計算（1） （2）（3）【思路點撥】先逐個化簡后，再按照計算法則進(jìn)行計算.【答