2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（北京卷）（含答案與解析）

2023年北京市高考數(shù)學試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1.(4分)己知集合”={x|尤+2..0},N={尤|x-l<0}.則N=()

A.(x|-2,,x<1}B.{x|-2<x,,1}C.{x|x..-2}D.(x\x<l}

2.(4分)在復平面內，復數(shù)z對應的點的坐標是(-1,6),則z的共朝復數(shù)2=()

A.1+石iB.1-A/3ZC.-1+A/3ZD.-1-拒i

3.(4分)己知向量d,6滿足。+6=(2,3),3-*=(-2,1),則|肝-|稈=()

A.-2B.-1C.0D.1

4.(4分)下列函數(shù)中在區(qū)間(0,+oo)上單調遞增的是()

A./(x)=-InxB./(x)=—C./(%)=--D./(%)=3日

2*x

5.(4分)(2彳-工)5的展開式中，x的系數(shù)是()

X

A.-40B.40C.-80D.80

6.(4分)已知拋物線。:丁=8元的焦點為b，點M在C上，若加到直線％=—3的距離為5,貝lJ|MF|=()

A.7B.6C.5D.4

7.(4分)在AABC中，(a+c)(sinA-sinC)=/?(sinA-sin3),貝!]NC=()

A.-B.-C.—D.—

6336

8.(4分)若孫/0,則“x+y=0”是“二+1=-2”的()

yx

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.(4分)芻曹是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造

型之美.如圖，某屋頂可視為五面體ABCDEF,四邊形M在:和CDEF是全等的等腰梯形，AADE和ABCF

是全等的等腰三角形.若AB=25根，BC=AD=10m,且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面

夾角的正切值均為理.為這個模型的輪廓安裝燈帶(不計損耗)，則所需燈帶的長度為()

A.102m

10.(4分)數(shù)列｛a/滿足4+|=：(%-6)3+6,下列說法正確的是()

A.若q=3,則｛a“｝是遞減數(shù)列，3M&R,使得"〉機時，an>M

B.若4=5,則｛%｝是遞增數(shù)歹(J,BM?6,使得〃>加時，an<M

C.若q=7,則｛%｝是遞減數(shù)列，3M>6,使得〃>機時,an>M

D.若q=9,則｛4｝是遞增數(shù)列，3M&R,使得”>機時,an<M

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.(5分)已知函數(shù)/(x)=4"+log2X,則/(1)=.

12.(5分)已知雙曲線C的焦點為(-2,0)和(2,0),離心率為后，則C的方程為.

13.(5分)已知命題?：若a,△為第一象限角，且C>尸，則tana>tan/.能說明命題p為假命題的一

組齊的值可以是a=>(i—.

14.(5分)我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就出現(xiàn)了類似于祛碼的用來測量物體質量的“環(huán)

權”.已知9枚環(huán)權的質量(單位：銖)從小到大構成項數(shù)為9的數(shù)列｛%｝,該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列,

后7項成等比數(shù)列，且q=l,%=12,a9=192,則%=，數(shù)列｛〃”｝的所有項的和為.

x+2,x<-a,

15.(5分)設a>0,函數(shù)/⑴二。—硬山凡給出下列四個結論，正確的序號為.

-y/x-l,x>a?

①/(%)在區(qū)間3-1,+00)上單調遞減；

②當a.l時，/(%)存在最大值；

③設〃(西，/(%))(%,,〃)，N(X2,/(x2))(x2>d),貝!

④設P(%3，/(%3)X%3V—a)，。(X4，/(X4))(%4…一〃)，若IPQI存在最小值，則。的取值范圍是(0,—].

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.(13分)如圖，四面體尸—ABC中，PA=AB=BC=\,PC=療，平面ABC.

(I)求證：BC_L平面E4B；

(II)求二面角A—PC—3的大小.

P

17.(14分)已知函數(shù)/(x)=sin0xcose+cos(oxsin°,a)>0,|^91<—.

(I)若/(0)=-等，求夕的值；

(II)若/(x)在［-(，會］上單調遞增，且〃g)=l,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一

個作為已知，求。、°的值.

條件①：/(^-)=1;

條件②：/(-1)=-1；

條件③：/(尤)在［-9，-芻上單調遞減.

33

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.(13分)為了研究某種農產品價格變化的規(guī)律，收集到了該農產品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據，如表所

示，在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當

天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同.

時段價格變化

第1天到

-++0---++0+0--+—十00+

第20天

第21天

0++0---++0+0+--—+0—+

到第40天

用頻率估計概率.

(I)試估計該農產品“上漲”的概率；

(II)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的，在未來的日子里任取4天，試估計該農產品價格在這4

天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；

(III)假設該農產品每天的價格變化只受前一天價格的影響，判斷第41天該農產品價格“上漲”、“下跌”

和“不變”的概率估計值哪個最大.(結論不要求證明)

19.(15分)已知橢圓0二+^=1(。>8>0)的離心率為好，A、C分別為E的上、下頂點，B、。分

ab3

別為E的左、右頂點，|AC|=4.

(1)求E的方程；

(2)點尸為第一象限內E上的一個動點，直線PD與直線3c交于點M,直線上4與直線y=-2交于點N.求

證：MN//CD.

20.(15分)設函數(shù)/(幻=彳-％3浮%曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=-x+1.

(I)求a,b的值；

(II)設g(x)=f'(x),求g(x)的單調區(qū)間；

(III)求的極值點的個數(shù).

21.(15分)數(shù)列{.0},{4}的項數(shù)均為m2),且a,,bne{1,2,{2}的前〃項和分

別為A”，B”,并規(guī)定4=耳=0.對于此{0,1,2,,m],定義〃=〃y{i|4，，4，ie{0,1,2),

m}},其中，表示數(shù)集〃中最大的數(shù).

(1)若°1=2,%=1，/=3,4=1,b2=3,&=3,求“，4，r2,g的值；

(II)若0v.瓦,且2%,Ji+%，j=1,2,,m-1,求今；

(III)證明：存在噴史<4m,怎!!"<s〃?，使得A?+及=4^+瓦.

【參考答案與解析】

1.【答案】A

【解析】解：由題意，M={尤|x...-2},N={x\x<l},

]N={%]—2,,x<1}.

故選：A.

2.【答案】D

【解析】解：.?在復平面內，復數(shù)Z對應的點的坐標是(-1,括)，

Z=-1+y/3i,

貝|JZ的共軌復數(shù)Z=-1-73/1

故選：D.

3.【答案】B

【解析】解：a+b=(2,3),a=(-2,1),

a=(0,2),b=(2,l),

22

.-.|a|-|M=4-5=-l.

故選：B.

4.【答案】C

【解析】解：對A選項，>=/?%在(0,+co)上單調遞增，所以/'(x)=-/nr在(0,+oo)上單調遞減，A選項錯誤;

對B選項，y=2”在(0,y)上單調遞增，所以/⑶二,在①,依)上單調遞減，3選項錯誤；

2元

對C選項，〉=工在(0,a)上單調遞減，所以/。)=-工在(O,—)上單調遞增，C選項正確；

XX

對D選項，/(尤)=3一在(0,內)上不是單調的，。選項錯誤.

故選：C.

5.【答案】D

【解析】解：由二項式定理可知(2%-工)5展開式的第廠+1項

X

XT5r52r

Tr+l=G(2)5(-與=(-1>2-C；x-,(廠=0,1,5)

令5-2r=l,可得r=2.即含x的項為第3項,

,-,T3=80%,故X的系數(shù)為80.

故選：D.

6.【答案】D

【解析】解：如圖所示，因為點/到直線無=-3的距離|MR|=5,

.?.點M到直線x=-2的距離|MV|=4.

由方程y2=8x可知，彳=一2是拋物線的準線,

又拋物線上點M到準線彳=-2的距離和到焦點F的距離相等,

故|MF|=|AW|=4.

故選：D.

7.【答案】B

【解析】解：由正弦定理，=上=二=27?(我為三角形外接圓半徑)可得:

sinAsinBsinC

sinA=，sin5=，sinC=，

2R2R2R

所以(a+c)(sinA-sinC)=&(sinA-sin3)可化為(a+c)(a-c)=b(a-b)，

即a2+b2-c2=ab,

/+Z?2-C2ab1

，cosC=

lab2ab~2

TT

又Cc。l),:,C=~.

3

故選：B.

8.【答案】C

【解析】解：由孫w。，x+y=0,

二.y=rw0,

-—2,

反之，若孫W0,—+—=-2,

y%

令土=t,則

y尤

于是f+1=-2,

化為〃+2r+1=0,解得t=~l,

y

.?.個=0，則"x+y=O”是"±+)=一2”的充要條件.

y尤

故選：C.

9.【答案】C

【解析】解：根據題意及對稱性可知底面四邊形MCD為矩形,

設E,尸在底面矩形的射影點分別為"，N,

設AD與3c的中點分別為P,Q,則M,N在線段尸。上，如圖,

過V,

則根據題意及三垂線定理易得tan/EPM=tanNEGM=tanNFHN=tanZFQN=^,

又MG=NH=5,EM=FN=y/l4,:.PM=QN=5,EP=FQ=714+25=739,

：.MN=PQ-PM-QN=AB-PM-QN=25-5-5=15,:.EF=MN=15,

又易知3C_LQN,FN_L底面矩形ABCD,

,根據三垂線定理可知又8。=5,FQ=y/39,

FB=A/39+25=8,:.ED=EA=FC=FB=8,

,該多面體的所有棱長和為8x4+(25+10)x2+15=117.

故所需燈帶的長度為117m.

故選：c.

10.【答案】B

【解析】解：法⑴對原式進行變形，得%(%一6)2-1](%-6),

當4=3,則％-4v0,%<3,

設歿<3(此Z次..2),則%+「％v-3,所以｛%｝是遞減數(shù)列,

當〃->+8,%——8,A錯誤，同理可證明￡)錯誤，

當囚=5,則4—q>0，即%>5,又因為:(％—6)3<0,所以5<出<6，

假設5<%<6(左cZ,左..2),貝!]火+1—%>0,即』+i>5,又因為：(%—6了<0,所以5<歿+1<6,

所以當>十°°,6,B正確，

對于C,當％=7,可得〃2=工+6,〃=±~+6,可得｛〃〃｝是遞減數(shù)列，lim4=6,

4甲n->oo

故不存在Af>6,使得〃〉機時，恒成立，。錯誤.

法—6)3+6,可得。用_6=；(?！ā??,neN+,

333332

所以出一6=；(4-6),a3_6=；(出-6)=；[：(4-6)]=；x*x(q-6),

a4~6=~X^'X^'X(ai-6)33,

歸納猜想：%―6=41+3+：..3"-2X_6)31T?(〃1一6)3,

333

當4=3時，an-6=-(-3)=-2x(―),即%=3r.(-3)3=-2x(―)+6,所以｛〃〃｝是遞減數(shù)列，

2222

無邊界；

33

%=5時，an-6=^-(-1)'=-2x(1)",即%=_2x(?i+6=2[3—(g)3],由復合函數(shù)的單調性，可

得｛?｝是遞增，有邊界，所以3正確；

%=7時，an-6=^-r'=2x(1F',所以｛%｝是遞減數(shù)列，有邊界；所以C不正確；

%=9時，an-6=-^-3^=2x(|r',所｛以凡｝是遞增數(shù)列，無邊界；所以。不正確；

故選：B.

n.【答案】1

【解析】解：,函數(shù)f(x)=4"+log2尤,

2

?■?/(1)=4+/og21=2-l=l,

故答案為：1.

2

12.【答案】土尤2-乙V=1

22

22

【解析】解：根據題意可設所求方程為二-與=1,(a>0*>0),

ab

c=2

又<上=叵，解得〃=C=2,b2=2,

a

b2=c2-a2

22

所求方程為x士-v乙=1.

22

13.【答案】—(答案不唯一)；工(答案不唯一).

44

【解析】解：取。=%+2萬，/7=—,

44

則a>/,但tana=tan/?,不滿足tana>tan/7,

.??命題"為假命題，

.??能說明命題p為假命題的一組a,￡的值可以是a=也，(3=-

44

14.【答案】48；384；

【解析】解:數(shù)列｛4｝的后7項成等比數(shù)列，巴>0,

%=[a5a9=J12x192=48,

..Clo———J9

3%48

/.公比4=

「.%=3x2=6,

又該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，

數(shù)列｛a｝的所有項的和為她普+6x：J)=3x(；+3)+

n378384.

15.【答案】②③；

【解析】解：a>0,當工<一〃時，/(x)=x+2,圖像為一次函數(shù)；

當-那先a時，/(x)=G-x2,圖像為以(0,0)為圓心，。為半徑的圓的上半弧;

當時，f{x}=-4x-1,圖像為單調遞減的曲線；

其函數(shù)圖象大致如下：

選項①，取。=2,/(X)在區(qū)間(-1,+oo)上先單調遞增，后單調遞減，選項①錯誤；

選項②，當a.l時，

x<-a,f(x)=x+2<2-a<2-l=l；

一流作a,/(x)=y/a2-x2,最大值為a..1；

x〉a,f(x)——y[x—1<-y[u.-1<-2;

所以/(%)存在最大值。，選項②正確；

選項③，由圖可知，當點M位于點5,點N無限接近于點。時，MN的長度最短，

當N無限接近于點。時，xD無限接近于x=a,

所以|阿|〉'〃-+選項③正確；

選項④，如上圖，若|PQ|存在最小值，則P、。應該是直線y=—x分別于f(x)=x+2,/(x)=的

交點，

直線y=r與/(x)=Ja2-3一定存在交點,而直線y=-x與/(x)=x+2不一定存在交點，

當直線y=-x與/(x)=x+2沒有交點時，-@-1,即a..l,此時由于P點取不到，|PQ|不存在最小值，

所以選項④錯誤.

16?【答案】

證明：（I）fi4_L平面ABC,4Cu平面ABC,BCu平面ABC,

:.PALAC,PA±BC,

PA=1,PC=6,

AC=y/PC2-PA1=A/3^1=收，

又AB=BC=\,AC2=AB2+BC2,

:.BCYAB,又PA^\AB=A,

.?.3C_L平面R4B；

解：（II）以點B為坐標原點，分別以區(qū)4,8c所在直線為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標系，如

圖所示：

則A(0,1,0),2(0,0,0),C(l,0,0),尸(0,1,1),

AP=(0,0,1),AC=(1,-1,0),BP=(0,1,1),BC=(1,0,0),

設平面APC的一個法向量為〃=(x,y,z),

r.AP?H=Z=0口

則｛,取尤=1,得〃=(1,1,0),

AC-n=x-y=0

設平面5PC的一個法向量為加=（a,b,c）,

r」BP?m=b+c=0口,日

則<,取〃=1,得加=（0,1,-1）,

BC?m=a=0

m-n11

..cosvin9">=-,

\m\\n\V2xA/22

由圖可知二面角A—PC—/為銳角，設二面角A—PC—3的大小為6,

E1

貝Ucos。=|cos<m,n>\=—，

2

e=-,

3

即二面角A-PC—3的大小為2.

3

【解析】（I）由R4_L平面ABC可得R4_L4C,PA±BC,由勾股定理可得3C_LAB,再利用線面垂直的

判定定理即可證得BC，平面；

（II）以點3為坐標原點，分別以54,8C所在直線為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標系，求出

相應向量的坐標，進而求出平面APC和平面3PC的法向量，再利用二面角的向量公式計算即可.

17.【答案】

解：（I）因為函數(shù)/（兀）=51口38$0+（：003包110=5111（。%+0）,

所以/（0）=sin0=一日，

又因為|勿<］，所以夕=—g.

（II）若選①：嗎）=1；

因為/嚀）=1,

所以/（x）在X=和X嚀時取得最大值1,這與/⑴在［-亭爭上單調遞增矛盾，所以。、°的值不

存在.

若選②：=

因為/（x）在g］上單調遞增，且"g）=l,

所以/（元）在％=--時取得最小值-1,》=二時取得最大值1,

33

所以/（X）的最小正周期為T=2x（g+g）=2;r,計算。=半=1,

又因為/（-^）=sin（-^+9）=l，所以,+9=2左萬+微，keZ,

■jr

解得0=24萬一一，k&Z；

6

又因為|如＜二，所以夕=一工；

26

若選③：/⑺在［-1，上單調遞減，因為/（無）在g］上單調遞增，且/（g）=l,

所以/（x）在尤=--時取得最小值-1,》=女時取得最大值1,

33

所以/⑴的最小正周期為T=2x（g+g）=2?,所以①=半=1,

又因為/（稱）=5111（與+夕）=1,所以夸+9=2左左+］,keZ,

jr

解得（p=2k兀，左￡Z；

6

又因為|勿＜工，所以0=-二.

26

【解析】（I）化簡函數(shù)/?！螈?如由〃。）=-手求出。的值.

（II）若選①：由"X）在x=（和x=g時取得最大值1,這與己知矛盾，判斷。、0不存在.

若選②：由題意求出“X）的最小正周期，即可求出。的值，再根據/（g）=1求出0的值；

若選③：由題意知/（X）在尤=-?時取得最小值，x=g時取得最大值，由此求出了（X）的最小正周期，再求

G和0的值.

18.【答案】

解：（I）由表可知，40天中“上漲”的有16天，則該農產品“上漲”的概率為更=0.4.

40

14

（II）由表可知，40天中“下跌”的有14天，則該農產品“下跌”的概率為匕=0.35,

40

40天中“不變”的有10天，則該農產品“不變”的概率為竺=0.25,

40

則該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率C；XO-42XC^X0.35xC：x0.25=0.168.

（Ill）由于第40天處于“上漲”狀態(tài)，從前39天中15次“上漲”進行分析，

“上漲”后下一次仍“上漲”的有4次，概率為士，

15

“上漲”后下一次“不變”的有9次，概率為3,

5

“上漲”后下一次“下降”的有2次，概率為工，

15

故第41天該農產品價格“不變”的概率估值最大.

【解析】(I)根據古典概型概率公式計算即可；

(II)根據相互獨立事件的乘法公式求解即可；

(III)分別求得“上漲”、“下跌”和“不變”的概率，比較大小即可得出結論.

19.【答案】解：(1)由題意可得：2b=4,e=^-=~,a2=b2+c2,

3a

解得Z?=2,4=9,

22

.?.橢圓E的方程為上+上=1.

94

(2)證明：A(0,2),B(-3,0),C(0,-2),￡)(3,0),

直線3c的方程為二+上=1,化為2x+3y+6=0.

-3-2

設直線AP的方程為：y=kx+2,a<0),-2).

k

y=kx+2

聯(lián)立2,化為：(4+9左2)Y+36依=0,

—+—=1

36k

解得x=0或―

4+9公

36k8-18左2

P(—).

4+然24+%2

18/-8

4+9公18r-8

直線PD方程為：y=(x-3),即y=(x-3),

3+i27/+36%+12

4+9左2

-6^-48-18左2

與2x+3y+6=O聯(lián)立，解得尤=y—9?

31c+2k-9k2+6k

-6左一4.8-1…842

3k2+2k'9k2+6k'

8—18右

+22

9k2+6k

46左+43

無一3F+2k

2

3

;.MN//CD.

【解析】(1)由題意可得：26=4,e=@=￡,a2=b2+c2,解得6,a"即可得出橢圓E的方程.

3a

(2)利用截距式可得直線的方程，設直線"的方程為：y=丘+2,(k<0),可得N坐標，聯(lián)立

y=kx+2

2，解得P坐標，利用直線PD方程與3c方程可得M坐標“，利用斜率計算公式可得G，%,，

—+—=1

[94

進而證明結論.

20.【答案】

解：（I）因為函數(shù)/（無）=無一無3*+〃，

所以廣(龍)=1-(3尤2*+"+ax3eax+b)=1-(3+ax)x2eax+b,

因為/（元）在點（1,f（1））處的切線方程為、=-彳+1,

MM即1-ea+b=0

所以

]_(3+a)e?=T，

解得a=—1,b=l.

（II）由（I）知，f（x）^x-x3e-x+1,所以廣（無）=1一（3元2-）/用,

所以g(元)=/(尤)=1-(3X2-X3尸,

所以g'(x)=—(6x—3x2)e-l+1+(3x2—x3)e~x+1=-x(x2—6x+6)e~x+1,

令g，(x)=O,解得x=0或x=3±g,

所以g，（x）與g（x）的關系列表如下:

X(-00,0)0(0,3-73)3—A/3(3-73,3+A/3)3+73(3+y/3,+oo)

g'(x)+0—0+0-

g（尤）單調遞增單調遞減單調遞增單調遞減

所以g（x）在區(qū)間（-oo,0）和（3-G，3+6）上單調遞增，在區(qū)間（0,3-百）和（3+/，+oo）上單調遞減;

（IID由（II）知，當尤e（-ao,0）時，/'（X）單調遞增,

當了<—1時，/,(x)</,(-l)=l-4e2<0,r(0)=1>0,

所以存在國e（-8,0）,使得廣（士）=0,

又因為/（無）在（-00,占）上單調遞減，在區(qū)，0）上單調遞增,

所以尤I是/（%）的一個極小值點;

當xe（0,3-若）時，/（x）單調遞減，且廣（3-石）</'（1）=1-2<0,

所以存在馬?（。，3-右），使得了'（飛）=0,所以/（無）在（0,%）上單調遞增，在（3，3-逝）上單調遞減，

所以3是/（%）的一個極大值點；

當尤e（3-退，3）時，/⑴單調遞增，

又因為廣（3）=1>0,所以存在退?（3-百，3）,使得廣（三）=0，

所以/（元）在（3-百，三）上單調遞減，（W，3）上單調遞增，

所以當是/（%）的一個極小值點，

又因為當x>3時，r（x）>0,所以/（x）在（3,+oo）上單調遞增，無極值點；

綜上，/（%）在定義域R上有3個極值點.

【解析】（I）求函數(shù)“X）的導數(shù)，根據導數(shù)的幾何意義列方程組求出a、b的值.

（II）求/（x）的導數(shù)，利用g（x）=/（x）,求g（x）的導數(shù),令g，（x）=0,根據70）與g（尤）的關系求出g（x）

的單調區(qū)間；

（III）根據題意，判斷了'（X）的單調遞增，利用根的存在性定理，判斷廣（X）的零點個數(shù)，即可得出了（X）極

值點的個數(shù).

21.【答案】

解：（I）列表如下，對比可知“=0，4=1，馬=1,4=2.

i0123

%213

A-0236

bi133

B.0147

rk0112

（II）由題意知且5eN,

因為bn.A,an,bne{1,2,,m),

所以4..1,Bn.A,當且僅當九=1時，等號成立，

所以4=0,{=1,

又因為2。,,%+G+1，