備考2024年中考數(shù)學(xué)專題突破（全國通用）專題1-3“12345”模型·選填壓軸必備大招（共3種類型）（原卷版）

專題1-3“12345”模型·選填壓軸必備大招（共3種類型）目錄知識(shí)點(diǎn)梳理 1例題演練 4【例1·性質(zhì)一】 42022黔東南州 5【例2·性質(zhì)二】：“345”三角形與倍半角 7【例3·其它角的配湊】 9【壓軸題實(shí)戰(zhàn)篇】一題多解 9重點(diǎn)題型·歸類精練 12題型一：【性質(zhì)一】·專練 122022樂山 122021宜賓 122022黔東南州中考數(shù)學(xué)真題 13題型二【性質(zhì)二】解題：“345”三角形與倍半角 232023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題 242022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題 292022北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū) 302023·四川廣元·統(tǒng)考中考真題 382023·呼和浩特·中考真題 38題型三：其它特殊角的配湊與正切和角公式的運(yùn)用 402023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題 40深圳中考真題 43知識(shí)點(diǎn)梳理導(dǎo)語：在眾多幾何模型中，“12345”模型就像夜空中的木星一樣明亮而璀璨，是中考解題的頂級(jí)神器，需要我們不斷鉆研、錘煉。初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無論是一次函數(shù)、平行四邊形、特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開直角三角形。而在直角二角形中，345的三角形比含有30°的直角二角形的1：：2以及含有45°的直角三角形的1：1：更加特殊更加重要。因?yàn)?45不僅僅是自己特殊，更是可以在變化中隱藏更加特殊的變化(1：2：及1：3：)，綜合性非常大，深受命題老師的喜愛。12345模型介紹：若，，【性質(zhì)一】； 【性質(zhì)二】； 【性質(zhì)三】；【簡證】如圖，在3×3的網(wǎng)格中標(biāo)出了∠1和∠2，則∠1＋∠2＝ 【圖解】如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，BD＝3，DC＝2，AD的長為 . 第2題 第3題A（0,6）B（3,0）在x軸上有一點(diǎn)P，若∠PAB=45°，則P點(diǎn)坐標(biāo)為.【“123”+“45”的來源】——構(gòu)造倍半角（一）基本模型AABCDE已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D在CA的延長線上，點(diǎn)E在CB的延長線上，且AD＝BE＝AB．結(jié)論1：∠D＋∠E＝45°．結(jié)論2：tan2∠D＝，tan2∠E＝．結(jié)論3：tan∠D＝，tan∠E＝．因?yàn)樵?，?5°中出現(xiàn)數(shù)字12345，所以這種模型叫做12345模型．（二）結(jié)論推導(dǎo)結(jié)論1：∠D＋∠E＝45°證明：∵AD＝BE＝AB，∴∠ABD＝∠D，∠BAE＝∠E，∴∠BAC＝2∠D，∠ABC＝2∠E．∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∴2∠D＋2∠E＝90°，∴∠D＋∠E＝45°．結(jié)論2：tan2∠D＝，tan2∠E＝．證明：∵∠ACB＝90°，∴tan2∠D＝tan∠BAC＝＝，tan2∠E＝tan∠ABC＝＝．結(jié)論3：tan∠D＝，tan∠E＝．證明：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴AD＝BE＝AB＝5，∴CD＝8，CE＝9，∴tan∠D＝＝＝，tan∠E＝＝＝．（三）解題技巧如果題目中出現(xiàn)角的正切值或直角三角形的兩條直角邊的比為，，，，或45°配，時(shí)（對(duì)于角α和β，若滿足α＋β＝45°，tanα＝，則一定有，tanβ＝，并且這三個(gè)式子，只要滿足其中任意兩個(gè)，都可以推出第三個(gè)），則考慮使用12345模型，將45°，90°，135°這幾個(gè)特殊的角度聯(lián)系起來，簡化此類選擇題或填空題的運(yùn)算．12345模型在中考題中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)除此之外，還能得出，你看出來了嗎？【補(bǔ)充】其它角度配湊與正切和差公式“”＋45°＝“”和“”＋45°＝“” 正切和差公式：例題演練【例1·性質(zhì)一】如圖,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中點(diǎn),將△ABG沿AG對(duì)折至△AFG,延長GF交DC于點(diǎn)E,則DE長是()A．1

B．1.5

C．2

D．2.5【變式1-1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，則DF的長為_________．AADBCEF2022黔東南州【變式1-2】如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分別延長ME，DE交AB于點(diǎn)F，G，若點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，則FG＝_________cm．DDCABFMEG【變式1-3】在正方形ABCD中，邊長為6，BE=2AE，連接DE，在AD、BC上分別存在點(diǎn)G、F，連接GF交DE于H點(diǎn)，且∠GHD=45°，求線段FG=_________．【例2·性質(zhì)二】：“345”三角形與倍半角（廣東省中考）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，則FG的長是________． 【變式2-1】如圖，將矩形ABCD沿BE折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，若DE=1，CE=2，BC=6，則AF的長為 ． 【變式2-2】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線AB與點(diǎn)F，若AB=4，BE=3，則BF的長為 ． 【變式2-3】如圖，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D為BC中點(diǎn)，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，若EF為折痕，則sin∠BED的值為． 【例3·其它角的配湊】在如圖的正方形方格紙上，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于__________． 【壓軸題實(shí)戰(zhàn)篇】一題多解如圖，在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，BA=BC，D為BC上一點(diǎn)，且，為AD上點(diǎn)，連接CE，∠CED=45°，，則的長________. 題型一：【性質(zhì)一】·專練2022樂山如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長為（）．A．B．3C．D．2CCDAB2021宜賓如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，將矩形紙片沿CE，CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處，點(diǎn)C，H，G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（）．A．2B．C．D．3CCDBAEFGH如圖，將已知矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對(duì)折，使點(diǎn)B落在AD上，記為點(diǎn)B'，折痕為CE，再將CD邊斜向下對(duì)折，使點(diǎn)D落在B'C上，記為點(diǎn)D'，折痕為CF，若B'D'＝2，BE＝，則矩形紙片ABCD的面積為_________．AADBCEFD′B′2022黔東南州中考數(shù)學(xué)真題如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點(diǎn)落在點(diǎn)處，分別延長、交于點(diǎn)、，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則cm．如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,若AE=，∠EAF=45°,則AF的長為. （麗水·中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x－1的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是_______________如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一點(diǎn)，∠ABE＝45°，則tan∠AEB的值等于（ ）A． B．2 C． D．3如圖,三角形OEF的頂點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD邊AB,CD上,O為正方形ABCD的中心,若∠EOF=135°,DF=1,CF=2,則EF的長度為 如圖，已知正方形ABCD的邊長為，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC上，且CE=2BE,過B點(diǎn)作BF⊥AE于點(diǎn)F，連接OF，則線段OF的長度為 。 （四川省成都市中考模擬）如圖，正方形，，點(diǎn)E為上一動(dòng)點(diǎn)，將三角形沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接并延長，與邊交于點(diǎn)G，若點(diǎn)G為中點(diǎn)，則．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，tan∠BAD＝，∠DAE＝45°，將△ABD沿AD翻折得到△AB'D，AB'交BC于點(diǎn)F，若DF＝3，則EF的長為_________．AABEDCB′F如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OB上一點(diǎn)，且OB=3OE，連接AE，過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)F，交AB邊于點(diǎn)G，連接GE。若AD=，則GE的長是___________.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E是邊BC上一點(diǎn)，BE＝1，將△ABE，△ADF分別沿折痕AE，AF向內(nèi)折疊，點(diǎn)B，D在點(diǎn)G處重合，過點(diǎn)E作EH⊥AE，交AF的延長線于H，則線段FH的長為．四點(diǎn)共圓型相似+12345模型如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，過點(diǎn)C作CD⊥BC，CD＝2，連接BD，過點(diǎn)C作CE⊥BD，垂足為E，連接AE，則AE長為．題型二【性質(zhì)二】解題：“345”三角形與倍半角2024屆·深圳·九年級(jí)南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)南海中學(xué)?？计谥腥鐖D，在正方形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，其中．線段的垂直平分線分別交于點(diǎn)F，G，H，則的值為．2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題如圖，矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于長為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線，過點(diǎn)C作的垂線分別交于點(diǎn)M，N，則的長為（

）

A． B． C． D．4（2023·深圳市高級(jí)中學(xué)聯(lián)考）如圖，正方形中，是中點(diǎn)，連接，，作交于，交于，交于，延長交延長線于，則的值為（

）

A． B． C． D．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是AB邊延長線上一點(diǎn)，BE＝2，F(xiàn)是AB邊上一點(diǎn)，將△CEF沿CF翻折，使點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在AD邊上，連接EG交折痕CF于點(diǎn)H，則FH的長是（

）A． B． C．1 D．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∠EAF＝45°，連接AE與BF交于點(diǎn)G，連接AF與DG交于點(diǎn)H，則的值為_________．AADBCEFGH2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題如圖，在邊長為3的正方形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作的垂線交正方形外角的平分線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，則的長為（

）A． B． C． D．12022北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)如圖，在正方形ABCD中，AB＝，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BE，分別交CD，BD于點(diǎn)F，G，連接BF交AC于點(diǎn)H，將△EFH沿EF翻折，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則△EGH′的周長是_________．AADEH′FGHOBC（2022泰州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，O為△ABC的內(nèi)心，過點(diǎn)O的直線分別與邊AC，AB相交于點(diǎn)D，E，若DE＝CD＋BE，則線段CD的長為_________．CCABO如圖，已知正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)．將正方形折疊起來，使點(diǎn)A和點(diǎn)E重合，折痕為MN．若tan∠AEN，DC＋CE＝10．(1)求△ANE的面積； ⑵求sin∠ENB的值． 如圖．內(nèi)接于，為直徑，，，是的中點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，則等于．如圖，是圓的直徑，點(diǎn)為左半圓上一點(diǎn)，的平分線與圓交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若時(shí)，則的值為A． B． C． D．如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，，則的長為A．8 B．10 C．12 D．16如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，過A作OP的垂線AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)B，延長BO與⊙O交于點(diǎn)D，與PA的延長線交于點(diǎn)E．⑴求證：PB為⊙O的切線；⑵若tan∠ABE=，求sin∠E． 如圖，已知點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則．

2023·四川廣元·統(tǒng)考中考真題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在點(diǎn)右方，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

2023·呼和浩特·中考真題如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)，，且