2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新高考全國Ⅱ卷）數(shù)學(xué)-解析

新高考二卷參考答案

1.(2023?新高考n卷?1?★)在復(fù)平面內(nèi)，(1+3i)(3-i)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

答案：A

解析：(l+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為(6,8),位于第一象限.

2.(2023?新高考H卷?2?★)設(shè)集合A={0,-a},8={l,a-2,2a-2},若A=則。=()

2

(A)2(B)1(C)-(D)-1

3

答案：B

解析：觀察發(fā)現(xiàn)集合A中行元素()，故只需考慮8中的："().

因?yàn)镺eA,A^B,所以0e3,故。-2=0或2a-2=0,解得：a=2或1,

注意0w8不能保證AqB,故還需代回集合檢驗(yàn)，

若a=2,則A={0,—2},8={1,0,2},不滿足A=不合題意；

若。=1,則4={0,_1},B={l,-l,0},滿足AuB.故選B.

3.(2023?新高考U卷?3某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣作抽樣調(diào)查，

擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣

結(jié)果共有()

(A)爆種(B)編C強(qiáng)種(C)C*.嚼種(D)C禽.嚼種

答案：D

解析：應(yīng)先找到兩層中各抽多少人，因?yàn)槭潜壤峙涞姆謱映槿。矢鲗拥某槿÷识嫉扔诳傮w的抽取率，

設(shè)初中部抽取x人，則上=―-—,解得：x=40,所以初中部抽40人，高中部抽20人，

400400+200

故不同的抽樣結(jié)果共有c：2-c北種.

、,9_1

4.(2023?新高考II卷?4?★★)若f(x)=(x+a)ln--r-----為偶函數(shù)，則。=()

2x4-1

(A)-1(B)0(C)-(D)1

2

答案：B

解法1：偶函數(shù)可抓住定義/(-x)=/(.r)來建立方程求參.

—OV*—1Oy—1

因?yàn)?")為偶函數(shù)，所以/(—x)=/(x),即(_x+a)ln—」=(x+a)ln巴」①，

-2x+l2x+l

KI—2x—112x+12x—1?2x—1小、zrxze/、/i2x—12x—1

而In---------=In--------=ln(-------)=~ln--------,代入①得：(-x+a)(-In--------)=(x+a)In--------,

-2x+12x-12x+12x+12x+12x+1

化簡得：x-a=x-va,所以a=0.

解法2：也川一在定義域內(nèi)取個特值快速求出答案,

――->0<=>(2x+l)(2x-1)>0,所以或1

2x+l22

因?yàn)椤╔)為偶函數(shù)，所以/(—1)=/⑴，故(-l+a)ln3=(l+a)ln§①，

而In，=ln3T=-ln3,代入①得：(-l+a)ln3=-(l+a)ln3,解得：a=0.

3

5.(2023?新高考n卷?5?★★★)已知橢圓C:^+y2=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線y=x+m與C交于

A,B兩點(diǎn),若的面積是△石48面積的2倍，則〃?=()

(A)-(B)—(C)(D)--

3333

答案：C

解析：如圖，觀察發(fā)現(xiàn)兩個二角形有公共的底邊A8,故只需分析高的關(guān)系，

S-|AB|-|F；G|

作耳G,A3于點(diǎn)G,乙/lAB于點(diǎn)/,設(shè)A8與x軸交于點(diǎn)K,由題意，_^L=2---------=2,

所以用=2,由圖可知曲KGSA^K/,所以g3=禺=2,故忸K|=2優(yōu)K|,

修因K|I每

又橢圓的半焦距。=百=1=&,所以忻用=2c=2應(yīng)，從而怩K|=g忻用=言，

故|OK|=|。用一忻K|=*,所以K(1,0),代入>=犬+加可得。=當(dāng)+而，解得：機(jī)=-#.

6.(2023?新高考II卷★★★)已知函數(shù)/(x)=〃e'-lnx在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增，則。的最小值為()

(A)e2(B)e(C)e-1(D)e-2

答案：C

解析：/a)的解析式較復(fù)雜，不易m妾分析單調(diào)性，故求導(dǎo),

由題意，f\x)=ae'--,因?yàn)?(x)在(1,2)上「所以廣⑶20在(1,2)上恒成立，即ae'-’NO①，

XX

，1…「不等式①等價(jià)于42—,令g(x)=xe%l<x<2),

xe

則g'(x)=(x+l)e">0,所以g(x)在(1,2)上/,又g(l)=e,g(2)=2e2,所以g(x)w(e,2e2),

故一--=-^―e(―y?~)?因?yàn)椤?二二在(1,2)上恒成立，所以。之2=?一1故。的最小值為e，

g(x)xex2e-exee

7.(2023,新高考II卷?7?★★)己知a為銳角，cosa」+小,則sin4=()

42

(A)(B)T+"(C)(D)一""

8844

答案：D

面”U.c.?a1+5/5.a3-A/5

解析：cosa=l-2sin-—=-----=>sin~2—=------,

2428

此式要開根號，不妨上下同乘以2,將分母化為42,

所以癡20=空矩=茁二故sin4=土且二L

2164224

又a為銳角，所以4￡(03)，故所q=或二1.

2424

8.(2023?新高考H卷?8?★★★)記5“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若邑=-5,S6=21S2,則S$=()

(A)120(B)85(C)-85(D)-120

答案：C

解法1:觀察發(fā)現(xiàn)反，S「鼠，S*的下標(biāo)都是2的整數(shù)倍，故可考慮片段和性質(zhì),先考慮q是否為-1，

若｛”“｝的公比q=-l,則S[=&口二(一或=0,與題意不符，所以qw-1,

故邑，S4-52,S6-S4,S「S6成等比數(shù)列①，條件中有鼠=26,

設(shè)$2=〃?，則S6=21W,所以S4-S2=-5-W,S6-S4=21/H+5,由①可得⑸—Sj=S2a-SJ，

所以(-5-，〃)2=機(jī)(21，*+5),解得：,〃=一1或3，

4

若利=—1,則$2=-1，S4-52=-4,S6-S4=-16,所以58-§6=-64,故Sg=S6-64=21〃?-64=-85；

到此結(jié)合選項(xiàng)已可確定選C,另一種情況我也算一下，

若"7=3,則512=2>o,22

而S4=4+%+%+/=%+%+。闖2+%/=(4+%)(1+<7)=5(1+<7),

4242

所以S4與S2同號，故54>0,與題意不符；

綜上所述，〃?只能取-1,此時Sg=-85.

解法2：J州和要求的都只涉及前〃項(xiàng)和，故也可直接代公式翻許，力—行為L

若｛勺｝的公比g=l,則§6=64。2⑸=424，不合題意，所以qwl,故邑=皿二心=一5①,

i-q

又$6=2電，所以4(1一或)=21.,化簡得：l_q6=2i(i_/)②,

1-(71

又I_g6=]_(g2)3=(l_g2)(i+g2+g4),代入②可得：(1-/)([+d+g4)=21(1-d)③,

兩端有公因式可約，但需分析1-/是否可能為0,己經(jīng)有<7#1了，只需再看4是否可能等于-1,

14

若4=-1,則邑=*f三1P=0,與題意不符，所以4*-1，故式③可化為l+/+q=21,

整理得：d+d-20=0,所以勺2=4或-5(舍去)，故要求的既=幺0二心=也二支門=-255?衛(wèi)④,

1-ql-q\-q

只差衛(wèi)「，該結(jié)構(gòu)式①中也有，可由g2=4整體計(jì)算它，

1一4

將d=4代入①可得勾(1-4)=_5,所以衛(wèi)=2，代入④得S=-255XL=-85.

1-<7\-q33

9.(2023?新高考H卷?9?★★★)(多選)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，ZAPS=120°,

24=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P—AC—O為45°,則()

(A)該圓錐的體積為萬

(B)該圓錐的側(cè)面積為萬

(C)AC=26

(D)M4C的面積為G

答案：AC

解析：A項(xiàng)，因?yàn)槟?2,4PB=120",所以ZAPO=60",OP=APcosZAPO=\,

OA^AP-sinZAPO=y/3,從而圓錐的體積V=gs/z=gx;rx(百fxl=/r,故A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積5=%"=萬*6、2=2>/5萬，故B項(xiàng)錯誤；

C項(xiàng)，嬖求AC的長，條件中的：面角尸—AC—O還沒用，；/發(fā)現(xiàn)M4C和△O4C都是

點(diǎn)即可構(gòu)造棱的垂線，作出二面角的平面角，

取AC中點(diǎn)0,連接P。，OQ,因?yàn)椤?=OC,PA=PC,所以AC，。。，ACPQ,

故NPQ。即為二面角尸一AC-O的平面角，由題意，ZPQO=45°,所以O(shè)Q=O尸=1,

故AQ=JOT_OQ2=0,所以AC=24Q=2應(yīng)，故C項(xiàng)正確；

D項(xiàng)，PQ=y]OP2+OQ2=72,所以S"Ac=gAC，PQ=gx2&x夜=2,故D項(xiàng)錯誤.

10.(2023?新高考H卷?10?★★★)(多選)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-g(x—1)過拋物線(7:/=2川5>0)的

焦點(diǎn)，且與C交于M,N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，則()

Q

(A)p=2(B)|M/V|=|(C)以MN為直徑的圓與/相切(D)AOMN為等腰三角形

答案：AC

解析：A項(xiàng)，在y=-G(x-l)中令y=0可得x=l,由題意，拋物線的焦點(diǎn)為尸(1,0),所以5=1,

從而p=2,故A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，此處可以山直線MN的斜率求得N/0FO,再代角版焦點(diǎn)弦公式|MN|=

可能需要用M，N的坐標(biāo)，所以直接聯(lián)立直線與拋物線，用坐標(biāo)版焦點(diǎn)弦公式來算,

設(shè)M(Xi，y),N(w，%)，將>=-百(x-1)代入>2=4x消去y整理得：3x2-10x+3=0,解得：x=g或3,

對應(yīng)的y分另IJ為羊和一2石，所以圖中M(3,-2后)，手)，從而|MN|=玉+&+〃=g+3+2=￡,

故B項(xiàng)錯誤；

C項(xiàng)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，只需將圓心到直線的距離”和半徑比較,

七三=gnWN的中點(diǎn)Q到準(zhǔn)線/：x=—l的距離4=g=；pWN|,

從而以MN為直徑的圓與準(zhǔn)線/相切，故C項(xiàng)正確；

D項(xiàng),M,N的坐標(biāo)都有了，算出|0M|,|0N|即可判斷，

10M=由2+(-26)2=而,|0用=,$+(半)2=半,

所以|0M|,|0N|，|MV|均不相等，故D項(xiàng)錯誤.

11.(2023?新高考II卷?11?★★★)(多選)若函數(shù)f(x)=〃lnx+2+=5*0)既有極大值也有極小值，則()

XX

(A)be>0(B)ab>0(C)廿+Sac>0(D)ac<0

答案：BCD

斛析：由題后，f(x)=----7-----=----------(x>0),

XXXX

函數(shù)/(幻既有極大值，又有極小值，所以r(x)在(0,KO)上有2個變號零點(diǎn)，

故方程加-笈-2r=0在(0,笆)上有兩個不相等實(shí)根，

△=(-Z?)2-4?(-2c)>0?I

所以中,=-空>0?(由①可得從+8ac>0,故C項(xiàng)正確;

a

A

x,+x2=->0③(勺

I.a

由②可得￡<0,所以mc異號，從而ac<0,故D項(xiàng)正確；

a

由③可得a,8同號，所以‘出>0,故B項(xiàng)正確；

因?yàn)椤?，c異號，a,6同號，所以b,c異號，從而加<0,故A項(xiàng)錯誤.

12.(2023?新高考II卷?12?★★★★)(多選)在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時，收到

1的概率為a(0<a<l),收到0的概率為1-a；發(fā)送1時，收到0的概率為力(0</<1),收到1的概率為1-7?.考

慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.

收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多

的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).()

(A)采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-a)(l-02

(B)采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為夕(1-4f

(C)采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為"1-夕y+(l-4￥

(D)當(dāng)0<a<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

答案：ABD

解析：A項(xiàng)，由題意，若采用單次傳輸方案，則發(fā)送1收到1的概率為1-1，發(fā)送0收到0的概率為l-c,

所以依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1—夕)(1-。)(1-夕)=(1-0(1-夕)2,故A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則需獨(dú)立重復(fù)發(fā)送3次1,依次收到1,0,1的概率為(1-夕)夕(1-0=夕(1-夕)2,

故B項(xiàng)正確；

C項(xiàng)，采用三次傳輸方案，由B項(xiàng)的分析過程可知若發(fā)送1,則收到1的個數(shù)X~8(3,1-￡),

而譯碼為1需收2個1,或3個1,

所以譯碼為1的概率為P(X=2)+P(X=3)=C；(1-A)?￡+C；(l--門=3(1-夕)2夕+(1-夕了，故C項(xiàng)錯誤；

D項(xiàng)，若采用單次傳輸方案，則發(fā)送0譯碼為0的概率為l-a：

若采用三次傳輸方案，則發(fā)送0等同于發(fā)3個0,收到0的個數(shù)丫~8(3,1-a),

且譯碼為0的概率為/>(丫=2)+/5(丫=3)=《(1-￡)20+《(1-&)3=3(1-4)%+(1-&)3,

要比較上述兩個概率的大小，可作差來看，

3(l-a)2a+(l-a)3-(l-a)=(l-a)[3(l-a)a+(1-a)2-1]=(1-a)(l-2a)a,

因?yàn)镺ve<0.5,所以3(1-々)2a+(1-003-(1-￡)=(1-々)(1-2￡)￡>0,

從而3(1-a)~a+(1-a)，>1-tz,故D項(xiàng)正確.

13.(2023?新高考II卷?13?★★)已知向量a,占滿足|a-Z>|=G,|a+b|=|2a-@,則|“=.

答案：G

解析：條件涉及兩個模的等式，想到把它們平方來看，

由題意，|a—=a2+b2-7.a-b=3①，

X|a+A|=|2a-Z>|,所以+二儂一叱，t^a2+b2+2ab-4a2+b2-4a-b,整理得：a2-2ab=0,

代入①可得加=3,即時=3,所以同=百.

14.(2023?新高考H卷底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

答案：28

解析：如圖，四棱錐。-A4a，可尸-ABCD相似，它們的體積z比等于邊長之比的立方，故只需求四棱錐

的體積，

A^21所以％m=8%郎也，故所求四棱臺的體積v=

=2^?=(I)3=I

由題意，=-X22X3=4,所以1=7X4=28.

【反思】相似圖形的面積之比等于邊長之比的平方，體積之比等于邊長之比的立方.

15.(2023?新高考H卷?15?★★★)已知直線x-陽+1=0與。C:(x-iy+丁=4交于兩點(diǎn)，寫出滿足“A48C

的面積為g”的m的一個值____.

5

答案：2(答案不唯一，也可填-2或！或-,)

22

解析：如圖，設(shè)圓心C(l,0)到直線48的距離為"3>0),則SMBC=：|AM-4，

注意到|力用也可用d表示，故先由5.叱=：求d,再將d用〃?表示，建立關(guān)于，〃的方程,

2

又|陰=2-Jr-d=2,4-屋,所以SMBC=gx2,4-才-d=?4-寸)魯,

由題意，SMBC=1,所以J(4-T)屋=’,結(jié)合”>o解得：d唯或卡,

又d=-)l±￡=-=,所以一==二或一==2，解得：加=±2或土

+m2J1+/J1+^^5V14-m2V52

16.(2023?新高考H卷?16?★★★★)已知函數(shù)/(x)=sin(s+0),如圖，A,8是直線y=g與曲線y=/(%)的

兩個交點(diǎn)，若|A8|=M，則/(m=)

6

答案4

解法1：|明=，這個條件怎么翻譯?可用了=(求48橫坐標(biāo)的迪帖,社叫AB|,從而建立方程求。.

不妨設(shè)0>0,令sin(。九+0)=1可得5+0=2ATT+&或2%)+“，其中女cZ,

266

I*兀5萬..一2427

由圖知(p-2攵乃H,CDXg+0=2Z%~\---，兩式作左;得：—)=---,故—X人

6633G，

YL\AB\=XB-XA=—,所以也=工，解得：69=4,則/(x)=sin(4x+0),

63ct)6

再求0,由圖知二是零點(diǎn)，可代入解析式，注意，二是增區(qū)間上的零點(diǎn)，且y=sinx的增區(qū)間上的零點(diǎn)是2〃萬,

33

故應(yīng)按它來求。的通解,

X77"X九"TT'仃

所以7+0=2〃乃(〃GZ),從而(p=2〃]一--,故/(x)=sin(4x+2n兀---)=sin(4x-—),

所以/(4)=sin(4^---)=sin(--)=-sin-=--

3332

解法2：勞注后橫向伸縮里會改變圖象在水平方向上的線段長度，但不改變長度比例，則可先分析v=sinx與y」

'-2

交點(diǎn)的情況，再按比例對應(yīng)到木題的圖中來,

如圖1,直線y=」與函數(shù)y=sinx在)，軸右側(cè)的三個/,J,K的橫坐標(biāo)分別為工，—,—

2666

所以|叫=至_工=,，|國=罟產(chǎn)=3,\U\:\jK\=]-.2,故在圖2中|AB|:忸C|=l:2,

因?yàn)閨AB|=2,所以忸C|=X,故|AC|=|Afi|+忸C|=2,又由圖2可知|AC|=7,所以T=2,

6322

故啰2=7r==4,接下來同解法1.

T

【反思】①對于函數(shù)y=sin(0x+e)(°>0),若只能用零點(diǎn)來求解析式，則需盡量確定零點(diǎn)是在增區(qū)間還是減區(qū)間.

“上升零點(diǎn)”用。X+8=2〃萬來求，“下降零點(diǎn)”用。x+s=2mr+%來求：②對圖象進(jìn)行橫向伸縮時，水平方向的

線段長度比例關(guān)系不變，當(dāng)涉及水平線與圖象交點(diǎn)的距離時.，我們常抓住這一特征來求周期.

17.(2023?新高考II卷?17?★★★)記A4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知AABC的面積為G，

。為BC的中點(diǎn)，且4)=1.

jr

(1)若ZADC=—,求tan3；

3

(2)若〃+/=8,求兒

解：（1）如圖，因?yàn)镹ADC=工，所以44￡>8=空

33

（要求tan3,可到MB。中來分析，所給面積怎么用？可以用它求出鼠加,，從而得到8。）

因?yàn)?。是BC中點(diǎn)，所以山/=2sMe。，又SMBC=6所以SM?=E，

由圖可知SMB"=gAO3D-sinZAZ）8=gxlx8Oxsin,=,3￡>,所以日BD二號,故BD=2,

（此時A48D已知兩邊及夾角，可先用余弦定理求第二邊A8,再用正弦定理求角8）

在AAB0中，由余弦定理，AB2=A￡>2+BD2-2ADBDcosZAr>B=l2+22-2xlx2x(--)=7,所以AB=Jj,

AD

由正弦定理，一絲一所以律

sinZADBsin3S-2出

由加8=與可知8為銳角‘從而d-in5梟故tanB=^=".

（2）（已行關(guān)丁山?的一個方程，若再建立一個方程，就能求b和c,故把面積和中線都用〃，「表示）

由題意，%網(wǎng).=g〃csinA=G,所以bcsinA=26①，

（中線A。怎樣用6,c表示？可用向量處理）

因?yàn)榱锽C中點(diǎn)，所以AZ）=，AB+AC）,

2.2-2

從而2AO=A3+AC,4AD=AB^+AC+2AB-AC,

所以/+從+2cbeosA=4,

將b2+c2=8代入上式化簡得becosA=—2②，

（我們希望找的是〃，。的方程，故由①②消去A,平方相加即可）

由①②得"c?sir?A+02c28s2A=16,所以歷=4③，

由/+不=8可得s+c）2-2從=8,

所以b+c=j2H+8=4,結(jié)合式③可得b=c=2.

Si；鬻數(shù),記％。分別為｛”，

18.（2023?新高考II卷?卷?★★★★）已知｛〃〃｝為等差數(shù)列，b=電｝

n[24,〃為偶數(shù)

的前〃項(xiàng)和，S4=32,4=16.

(1)求｛”“｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：當(dāng)〃>5時，Tn>S?.

解：(1)(給出J'兩件，把它們用q和1翻譯出來，即可建：組求解q和1)

由題意，3=44+6〃=32①，

￡=4+A+&=(G—6)+2a,+(%—6)=q—6+2(q+d)+q+2d—6=4%+4d—12=16(2),

由①②解得：q=5,d=2,所以=%+(〃一l)d=2〃+3.

(2)由(1)可得S=&匕。=/+2〃+3)=“2+①,

"22

(要證結(jié)論，還需求7；,由于以按奇偶分段，故求7；也應(yīng)分奇偶討論，先考慮”為偶數(shù)的情形)

當(dāng)〃(〃>5)為偶數(shù)時,Tn=R+b2+…+b〃

=(q—6)++(%—6)+2a4+,??+—6)+2a〃

=(4+/+-，+a“-i)-6乂1+2(%+%-i---i-an)③,

因?yàn)?,%a,i和生，4，…M”分別也構(gòu)成等差數(shù)列，

n

匕匚〃(5+2〃+1)n2+3n

所以q+%+…-2——=——4—=~i~f

n/、

產(chǎn)+4)n(7+2n+3)n2+5n

%+4+…+%T~4-—2-

代入③化簡得：i上心-3n+2乂上2=3"-+7〃,

222

(要由此證7；>5.，可作差比較)

所以(一與=史產(chǎn)一(r+4")=?>0,故7；>S”;

(對于〃為奇數(shù)的情形，可以重復(fù)上述計(jì)算過程，但更簡單的做法是補(bǔ)1項(xiàng)湊成偶數(shù)項(xiàng)，再減掉補(bǔ)的那項(xiàng))

當(dāng)〃5>5)為奇數(shù)時，7>*「%=3(〃+1)=7(〃+1)_

3(〃+1)2+7(〃+1)..3/+5/2-1O

----------------2(2〃+5)=-----------

3n2+5/1-10

所以z1-s,=-(n2+477)

2

n2-3/?-10(n+2)(〃-5).,,??

=-—=—2—故(>S“；

綜上所述，當(dāng)”>5時，總有7；>S,,.

19.(2023?新高考H卷T9?★★★)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有

明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖：

頻率頻率

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判定為陰

性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為

4(C).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率4(c)；

(2)設(shè)函數(shù)/(c)=p(c)+q(c).當(dāng)ce［95,105］時,求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值.

解：(1)(給的是漏診率,故先看患病者的圖，漏/:?或等「C-的頻率為0.5%,可由此求。)由患病

者的圖可知，［95,100)這組的頻率為5x0.002=0.01>0.005,所以c在［95,100)內(nèi)，

且(c-95)*0.002=0.005,解得：c=97.5；

(要求g(c),再來看未患病者的圖，g(c)是誤診率，也即未患病者判定為陽性(指標(biāo)大于c)的概率)

由未患病者的圖可知指標(biāo)大于97.5的概率為(100-97.5)x0.01+5x0.002=0.035,所以q(c)=3.5%.

(2)|,二。,"當(dāng)954cvl00時，p(c)=9—95)*0.002,

q(c)=(100-c)x0.01+5x0.002，所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82,

故/(，)>-0.008x100+0.82=0.02①;

當(dāng)100McM105時，/?(c)=5xO.OO2+(c-100)x0.012,q(c)=(105-c)x0.002.

所以/(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98,故/(c)>/(100)=0.01x100-0.98=0.02②;

-0.008c+0.82,954c<100

所以〃c)=且由①②可得/(%?=0.02.

0.0k-0.98,100<c<105

20.(2023?新高考H卷?20?★★★)如圖，三棱錐A-8C￡>中，DA=DB=DC,BDYCD,NA￡>8=NA￡>C=60",

E為8c的中點(diǎn).

(1)證明：BC±DAi

(2)點(diǎn)尸滿足EF=D4,求二面角O—A3—尸的正弦值.

解:(1)(3。和DA是異面1線，要證垂BMNHSI可用逆推法，假設(shè)BC^DA.｝主意到:件中還有DB=DC,

所以BCLDE,二者結(jié)合可得到3cl.而ADE,故可通過證此線面垂直來證BCLDA)

因?yàn)椤?=DB=DC,ZA￡)B=ZAZ)C=60",所以和AAPC是全等的正三角形，故yW=AC,

又E為BC中點(diǎn)，所以8CJ_AE,BCJ.DE,因?yàn)锳E,OEu平面ADE,AE,DE=E,

所以BC_L平面AQE,又ZMu平面AOE,所以

(2)(由圖可猜想面8。，若能證出這一結(jié)果，就能建系處理，故先嘗試證明)

不妨設(shè)DA=DB=DC=2,則/W=AC=2,

因?yàn)?D，CD,所以BCTCB'+QC?=2&,

故DE=CE=BE=>BC=&,AE=\lAC2-CE2=72,

2

所以他2+?！?=4=心，故所以E4,EB,ED兩兩垂直，

以E為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,正)，D(V2,0,0),8(0,夜,0),

所以D4=(-72,0,72),AB=(0,也,-夜)，由防=D4可知四邊形ADEF是平行四邊形，所以E4=EQ=(72,0,0),

設(shè)平面DAB和平面ABF的法向量分別為m=,n=(x1,y2,z2),

則，*=°,令為=1,則卜”之，所以，”=(1,1,1)是平面DAB的一個法向量，

m-AB=J2yl-\j2z1=014=1

n?AB=V2\\—V2Z=0.?,[x=0―,,,,,

\29,令必=1，則1y-，所以〃=(0,U)是平面ABF的一個A法向量M，

n-FA-\J2X2=0"2=1

從而cos<m.n>=普一==直,故二面角￡>-鉆-尸的正弦值為，(務(wù)=昱.

|w|.|n|6x03V33

21.(2023?新高考H卷?21?★★★★)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(-2右,0),離心率為右.

(1)求C的方程；

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A，A,,過點(diǎn)(T,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線M4,

與NA?交于點(diǎn)P,證明：點(diǎn)P在定直線上.

22

解：(1)設(shè)雙曲線方程為*?-*=1(。>0,匕>0),由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=2不，

則由e=￡=后可得。=2,b=ylc2-a2

a

->2

雙曲線方程為工-匕=1.

416

(2)由⑴可得)(-2,0),4(2,0),設(shè)例(冷y),N(%,%)，

顯然直線的斜率不為所以設(shè)直線MN的方程為x=沖-4,且一品"弓,

22

^y-^=l^ALBJW(4w2-l)y2-32my+48=0,KA=64(W+3)>0,

X

直線MA的方程為y=」7(+2),直線NA2的方程為y=上/x-2),

X]+ZX]—Z

聯(lián)立直線MA,與直線N4的方程可得:

x+2=%(弓+2)=%(町-2)=叼跖-？。+yz)+2y

x-2兇(迎-2)x(m%-6)碎必-6%

48_J2m-16m-

2——+2y

癡？一14疝-1477?"-1

心$-6乂48m~~~3

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