2024九年級數(shù)學(xué)下冊提練第8招求二次函數(shù)表達(dá)式的九種方法習(xí)題課件新版冀教版

第8招求二次函數(shù)表達(dá)式的九種方法冀教版九年級下冊典例剖析已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)為(1，－3)，且過點P(2，0)，求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．

例典例剖析解題秘方：用待定系數(shù)法，結(jié)合已知條件設(shè)出頂點式，再將點P的坐標(biāo)代入求解．典例剖析解：∵二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)為(1，－3)，∴可設(shè)這個二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a(x－1)2－3.又∵函數(shù)圖像過點P(2，0)，∴a(2－1)2－3＝0，解得a＝3.∴這個二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.方法利用一般式求二次函數(shù)表達(dá)式1分類訓(xùn)練1.

[2023·蘇州工業(yè)園區(qū)九年級月考]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的圖像經(jīng)過點A(－1，0)，點B(3，0)，與y軸交于點C.

(1)求a，b的值；(2)若點P為直線BC上一點，點P到A，B兩點的距離相等，將該拋物線向左(或向右)平移，得到一條新拋物線，并且新拋物線經(jīng)過點P，求新拋物線的頂點坐標(biāo)．解：由(1)得拋物線表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，C(0，3)．∵點P到A，B兩點的距離相等，∴點P在拋物線的對稱軸上，即在直線x＝1上．分類訓(xùn)練2.已知拋物線C：y1＝－x2＋mx＋n，直線l：y2＝kx＋b，拋物線C的對稱軸與直線l交于點A(－1，5)，點A與拋物線C的頂點B的距離是4.方法利用頂點式求二次函數(shù)表達(dá)式2(1)求拋物線C的表達(dá)式；解：根據(jù)已知條件可得點B的坐標(biāo)為(－1，1)或(－1，9)，∴y1＝－(x＋1)2＋1或y1＝－(x＋1)2＋9，即拋物線C的表達(dá)式為y1＝－x2－2x或y1＝－x2－2x＋8.(2)若y2隨著x的增大而增大，且拋物線C與直線l都經(jīng)過x軸上的同一點，求直線l的表達(dá)式．分類訓(xùn)練3.【新視角?條件探究題】如圖，

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4的圖像與x軸交于點A(4，0)，B(－1，0)，與y軸交于點C.方法利用交點式求二次函數(shù)表達(dá)式3(1)求函數(shù)表達(dá)式及頂點坐標(biāo)；(2)連接AC，點P為線段AC上方拋物線上一點，過點P作PQ⊥x軸于點Q，交AC于點H，當(dāng)PH＝2HQ時，求點P的坐標(biāo)；解：把x＝0代入y＝－x2＋3x＋4，得y＝4，∴C(0，4)．設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx＋4，把A(4，0)的坐標(biāo)代入得4k＋4＝0，解得k＝－1.∴直線AC的表達(dá)式為y＝－x＋4.設(shè)點P(m，－m2＋3m＋4)，則H(m，－m＋4)，∴PH＝－m2＋4m，HQ＝－m＋4.∵PH＝2HQ，∴－m2＋4m＝2(－m＋4)，解得m1＝2，m2＝4(舍去)．∴P(2，6)．(3)是否存在點M在拋物線上，點N在拋物線對稱軸上，使得△BMN是以BN為斜邊的等腰直角三角形，若存在，直接寫出點M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【點方法】當(dāng)遇到拋物線與x軸交于某兩個點求拋物線表達(dá)式的問題時，設(shè)交點式可使運(yùn)算簡便．方法利用平移法求二次函數(shù)表達(dá)式4分類訓(xùn)練4.

[2023·宿遷一模]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋4x－3的圖像的頂點是A，該圖像與x軸交于B，C兩點，與y軸交于點D，點B的坐標(biāo)是(1，0)．(1)求A，C兩點的坐標(biāo)，并根據(jù)圖像直接寫出當(dāng)y＞0時x的取值范圍；解：把點B(1，0)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.∴A(2，1)，拋物線的對稱軸為直線x＝2.易知B，C關(guān)于直線x＝2對稱，∴C(3，0)．當(dāng)y＞0時，1＜x＜3.(2)平移該二次函數(shù)的圖像，使點D恰好落在點A的位置上，求平移后圖像所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．解：易知點D的坐標(biāo)為(0，－3)，∴要使點D恰好落在點A的位置上，則拋物線就要向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度，可得平移后圖像所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－(x－4)2＋5.分類訓(xùn)練5.

[2023·泰州二中模擬]如圖，拋物線y＝ax2＋bx過點B(1，－3)，對稱軸是直線

x＝2，且拋物線與x軸的正半軸交于點A.方法利用對稱軸求二次函數(shù)表達(dá)式5(1)求拋物線的表達(dá)式，并根據(jù)圖像直接寫出當(dāng)y≤0時，自變量x的取值范圍；(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點P，當(dāng)PA⊥BA時，求△PAB的面積．解：如圖，過P點作PF⊥x軸于點F，過B點作BE⊥x軸于點E，由點P在拋物線上，可設(shè)P點的坐標(biāo)為(t，t2－4t)，易知PF＝t2－4t，F(xiàn)(t，0)，E(1，0)，A(4，0)，BE＝3，∴AE＝3，AF＝4－t，∴BE＝AE.

∴△ABE為等腰直角三角形.分類訓(xùn)練6.[2022·南充]如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5m時，方法利用圖像中的信息求二次函數(shù)表達(dá)式6水柱落點距O點2.5m；噴頭高4m時，水柱落點距O點3m，那么噴頭高_(dá)_______m時，水柱落點距O點4m.8【點撥】以O(shè)為原點，水平線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．當(dāng)噴頭高2.5m時，設(shè)y＝ax2＋bx＋2.5，將點(2.5，0)的坐標(biāo)代入并化簡得2.5a＋b＋1＝0，由題意知，當(dāng)噴頭高4m時，可設(shè)y＝ax2＋bx＋4，將點(3，0)的坐標(biāo)代入得9a＋3b＋

4＝0，進(jìn)而求出a，b的值，設(shè)噴頭高h(yuǎn)m時，水柱落點距O點4m，則此時可設(shè)表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋h，將點(4，0)的坐標(biāo)代入可求出h.分類訓(xùn)練7.[新考法·圖表信息法]已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：方法利用表格信息求二次函數(shù)表達(dá)式7x…－2－1012…y…m0－3n－3…(1)根據(jù)以上信息，可知拋物線開口向______，對稱軸為________；(2)求拋物線的表達(dá)式及m，n的值；上直線x＝1解：把x＝－1，y＝0；x＝0，y＝－3；x＝2，y＝－3分別代入y＝ax2＋bx＋c，(3)請在圖中畫出所求的拋物線．設(shè)點P為拋物線上的動點，OP的中點為P′，描出相應(yīng)的點P′，再把相應(yīng)的點P′用平滑的曲線連接起來，猜想該曲線是哪種曲線？解：畫出拋物線，描出點P′的軌跡，是一條拋物線，如圖所示．(4)設(shè)直線y＝t(t>－2)與拋物線及(3)中的點P′所在曲線都有兩個交點，交點從左到右依次為A1，A2，A3，A4，請根據(jù)圖像直接寫出線段A1A2，A3A4之間的數(shù)量關(guān)系：__________________．A3A4－A1A2＝1【點撥】設(shè)A1，A2，A3，A4的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，易得x1＋x4＝2，x2＋x3＝1，∴A3A4－A1A2＝(x4－x3)－

(x2－x1)＝(x4＋x1)－(x3＋x2)＝2－1＝1.分類訓(xùn)練8.[2023·深圳][新情境·農(nóng)業(yè)生產(chǎn)]蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它的出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．方法利用幾何建模求二次函數(shù)表達(dá)式8如圖①，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構(gòu)成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中點O，過點O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點E，若以O(shè)點為原點，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．請回答下列問題：(1)如圖②，拋物線AED的頂點E(0，4)，求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖③，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT，SMNR，若FL＝

NR＝0.75m，求兩個正方形裝置的間距GM的長；(3)如圖④，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為CK，求CK的長．分類訓(xùn)練9.[新考法·表格信息法]無錫陽山是聞名遐邇的“中國水蜜桃之鄉(xiāng)”，每年6至8月，總會吸引大批游客前來品嘗，當(dāng)?shù)啬成碳覟榛仞侇櫩停瑑芍軆?nèi)將標(biāo)價為20元/千克的水蜜桃經(jīng)過兩次降價后變?yōu)?6.2元/千克，并且兩次降價的百分率相同．方法利用建立實際問題模型求二次函數(shù)表達(dá)式9(1)求水蜜桃每次降價的百分率．解：設(shè)水蜜桃每次降價的百分率為x%，依題意得20(1－x%)2＝16.2，解得x1＝10，x2＝190(舍去)．∴水蜜桃每次降價的百分率為10%.(2)①從第一次降價的第1天算起，第x天(x為整數(shù))的售價、銷量及儲存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示：第x天1≤x＜99≤x＜15售價/(元/千克)第一次降價后的價格第二次降價后的價格銷量/千克105－3x120－x儲存和損耗費(fèi)用/元40＋3x3x2－68x＋300已知水蜜桃的進(jìn)價為8.2元/千克，設(shè)銷售水蜜桃第x天的利潤為y元，求y與x(1≤x＜15)之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出第幾天銷售利潤最大．解：結(jié)合(1)得第