湖南省岳陽市2023屆高三下學期二模數(shù)學試題(含答案)

機密★啟用前

岳陽市2023屆高三教學質(zhì)量監(jiān)測（二）

數(shù)學

本試卷共6頁，22道題，滿分150分，考試用時150分鐘.

姓名準考證號.

注意事項：

L答卷前，考生務必將自己的學校、班級、考號、姓名填寫在答題卡上.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.答案不能各在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字表作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉆筆和涂改液.不按以上

要求作答無效.

4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選須中，只有一項是符

合題目要求的.

1.設(shè)集合M={x∣f+χ-2≤（）},N={x∣log2*<l},則MUN=（）

A.{x∣一2≤x≤l}B.{X∣-2≤X<2}C.{X∣0<X≤1}D.{Λ∣X<2}

2.已知直線/,機和平面α,尸，若/ua,e_L〃且ac∕=m，則"/_!_m”是“/_L￡”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知角ɑ的頂點與坐標原點重合，始邊與X軸的非負半軸查合，點A是角ɑ的終邊與單位圓的交點，若點

4

A的橫坐標為-1，則CoS2。=（）

22_77

A.B.-C.-----D.—

552525

4.某學校為落實“雙減”政策，在課后服務時間開設(shè)了“球類”、“棋類”、"書法”、"繪畫”“舞踩''等五項活動.若甲同

學準備從這五項活動中隨機選三項，則“書法”和“繪畫”這兩項中至多有一項被選中的概率為（）

A.0.9B.0.7C.0.6D.0.3

5.已知函數(shù)/（x）=—2χ3+3以2+3χ是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)/（尤）的圖像在點（—2,/（—2））處的切

線的斜率為（）

A.-27B.-25C.-23D.-21

6.收臧于陜西博物館的國寶——唐?金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀

2

細作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是離心率為右的雙曲線c：X2一方=LS>0）的右支與y

軸及平行于X軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若P為C右支上的一

點，JF為C的左焦點，則IPpI與P到C的一條漸近線的距離之和的最小值為（）

八/

A.2B.3C.4D.5

7.已知函數(shù)/（x）=2sin（28+0）（3eN+，|a<9的最小正周期Te（子年），將函數(shù)/（%）的圖像向

右平移g個單位長度，所得圖像關(guān)于原點對稱，則下列關(guān)于函數(shù)/（x）的說法錯誤的是（）

6

?

A.函數(shù)/（X）的圖像關(guān)于直線X=-考7r?對稱

B.函數(shù)/（X）在I上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/（x）在（0,牌）上有兩個極值點

D.方程/（X）=1在[0,句上有3個解

8.若函數(shù)/（χ）=∕-2g-2Hnjt+OX2有兩個不同的零點，則實數(shù)α的取值范圍是（）

A.（-∞,-e）B.（-oo,-e]C.（-e,0）D.（-Ve,θj

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.2022年6月，某學校為宣傳我國第三艘航空母艦“中國人民解放軍海軍福建艦''下水試航，增強學生的國防

意識，組織了一次“逐夢深藍，山河榮耀''國防知識競賽，對100名學生的參賽成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所

示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[50,60）」60,70）,[70,80）480,90）,[90,100],為進一步了解學生的

答題情況，通過分層抽樣，從成績在區(qū)間[70,90）內(nèi)的學生中抽取6人，再從這6人中先后抽取2人的成績

作分析，下列結(jié)論正確的是（)

A.頻率分布直方圖中的X=O.030

B.估計100名學生成績的中位數(shù)是85

C.估計100名學生成績的80%分位數(shù)是95

D.從6人中先后抽取2人作分析時，若先抽取的學生成績位于［70,80),則后抽取的學生成績在［80,90)的

4

概率是77

15

10.設(shè)函數(shù)/(x)=∣?Λ∣在［。,+8)上的最小值為加“，函數(shù)g(x)=sin葭在［0,α］上的最大值為，若

〃“—？='，則滿足條件的實數(shù)。可以是()

2

A.∣B.∣C.10√10D.√10

11.已知拋物線C:X2=2Py(P>0)的焦點F與圓M:爐+(>+2)?=1上點的距離的最小值為2,過點F的

動直線/與拋物線C交于A8兩點，以AB為切點的拋物線的兩條切線的交點為P,則下列結(jié)論正確的是

()

A.〃=2

B.當/與M相切時，/的斜率是±受

4

C.點P在定直線上

D.以AB為直徑的圓與直線y=T相切

12.在中國共產(chǎn)黨全國代表大會召開期間，某學校組織了“永遠跟黨走，奮進新征程”，

4萬

書畫作品比賽.如圖①，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，若球的體積為W;如圖②，托盤

由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，則下列結(jié)論正確的是()

B

π

A.直線AO與平面B石廠所成的角為工

6

π

B.經(jīng)過三個頂點人民C的球的截面圓的面積為一

4

C.異面直線AD與CF所成的角的余弦值為-

8

D.球離球托底面DEF的最小距離為√3+--1

3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)復數(shù)z=(l+i)sinl5+(l-i)sin75,其中i為虛數(shù)單位，則IZl=.

14.在[―工)(I+%)’的展開式中/項的系數(shù)是.

15.已知函數(shù)/(x)=-x3+∕nχ2θ>0),x∈[l,+8),數(shù)列｛4｝滿足a”=/("),"∈M,給出下列兩個條

件：①函數(shù)/(久)是遞減函數(shù)；②數(shù)列｛%,｝是遞減數(shù)列.試寫出一個滿足條件②但不滿足條件①的函數(shù)/(x)

的解析式：/(X)=.

16.定義！XI是與實數(shù)X的距離最近的整數(shù)(當X為兩相鄰整數(shù)的算術(shù)平均值時，IXll取較大整數(shù))，如

=1,∣∣=2,∣∣2∣∣=2,∣∣2.5∣I=3,令函數(shù)K(X)Ml罔|,數(shù)列｛%｝的通項公式為4=K師，其前九項和

為Sn,則S4=-------------；S2023=----------.

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

在CABC中，c分別為角A,B,C的對邊，若J‰inC+cosC=竺空四G,且AABC的內(nèi)切圓半徑

SinA

r=2?求：

(1)角A的大?。?/p>

(2)b+c的最小值.

18.（本題滿分12分）

已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S.,q=1,S.=2S,,+2角

（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式;

（2）設(shè)a=W，若對任意正整數(shù)〃，不等式"＜尤二竺土竺恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

3""27

19.（本題滿分12分）

在AABC中，NACB=45,BC=3,過點A作ADLBC,交線段BC于點。（如圖1）,沿Ar）將

ABD折起，使NBQC=90（如圖2）,點E,M分別為棱BC,AC的中點.

（I）求證：CDLME；

42I

（2）在①圖1中tan2B=——，②圖1中A。=—AB+—AC,③圖2中三棱推A—BCD的體積最大.

333

這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，再解答問題.

問題：已知,試在棱CD上確定一點N,使得EN_L3M,并求平面BMN與平面CBN的夾角

的余弦值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

20.（本題滿分12分）

國家發(fā)改委和住建部等六部門發(fā)布通知，提到：2025年，農(nóng)村生活垃圾無害化處理水平將明顯提升.現(xiàn)階段我

國生活垃圾有填埋、焚燒、堆肥等三種處理方式，隨著我國生態(tài)文明建設(shè)的不斷深入，焚燒處理已逐漸成為主

要方式.根據(jù)國家統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，對2013-2020年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)y（單位：座）

進行統(tǒng)計，得到如下表格：

年份20132014201520162017201820192020

年份代碼X12345678

垃圾焚燒無害化

166188220249286331389463

處理廠的個數(shù)y

（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可用一元線性回歸模型刻畫變量V與變量X之間的線性相關(guān)關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加

以說明（精確到0.01）；

(2)求出V關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程，并預則2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)；

(3)對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)，還能用(2)所求的經(jīng)驗回歸方程預測嗎？請簡要

說明理由.

∑(?-^)U?-y)

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=~p,L“，回歸方程》=%+/中斜率和截距的最小二乘法估計

χτ22

J∑(i~)∑(yi-y)

Vi=li=?

λt(D(%-y)λ

公式分別為。=-2ξ?------------,a=y-bx

∑(Λ∕^J)2

/=I

8888

參考數(shù)據(jù)：Xy=2292,2才=204,2寸=730348,2XjK=I2041,

Z=IZ=Ii=?Z=J

5732=328329,√105≈10.25,√7369≈85.84

21.(本題滿分12分)

22

已知點P(0,-2),點A3分別為橢圓C：鼻+==1(?>/?>0)的左、右頂點，直線BP交。于點Q“ABP

3

是等腰直角三角形，且PQ=]QB.

(1)過橢圓C的上頂點用引兩條互相垂直的直線4,，2，記C上任一點N到兩直線(,A的距離分別為

dλ,d2,求片+4的最大值;

(2)過點“(4,0)且斜率不為零的直線與橢圓C相交于E,尸兩點試問：是否存在X軸上的定點G,使得

NEGO=/FGH.若存在,求出定點G的坐標；若不存在，說明理由.

22.(本題滿分12分)

已知函數(shù)/(%)=lnx-x+l.

(1)求/(x)的最大值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+a(XT)2,若對任意實數(shù)人￡(2,3),當XW(0,歷時，函數(shù)g(x)的最大值

為g(?),求Q的取值范圍；

Λn

(3)若數(shù)列｛斯｝的各項均為正數(shù)，α∣=l,an+↑=f(aw)+2an+l(∈ΛΓ+).求證：all<2~1.

岳陽市2023屆高三教學質(zhì)量監(jiān)測(二)

數(shù)學參考答案及評分標準

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.B2.C3.D4.B5.D6.C7.D8.A

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.AC10.BDll.ACD12.CD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.√214.-1015._丁+2￡（答案不唯一，加Hg］均可）16.3,空^

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本題滿分10分）

解：（1）在二ABC中，由√?inC+cos。=遮十SmC可得

SinA

GSinCSinA+CosCsinA=sin（A+C）+sinC=GsinCsinA=CosAsinC+SinC

sinC>0,/.?/?si?vl-cosA=1=>sin∣A--?=-

I6J2

π5π

A∈(0,??).?A--E

6^,^6^

：.A——=—=>A=-

663

??乃

(2)Sλbc=5〃。511124=5(0+/?+(?)r且24=1/=2

=>-^bC=2(α+6+c)βPtz=-^-bc-b-c

由余弦定理有：a2=b2+c2-2bccosA=>a2=b2+c2-be

-(He)?-3bc

于是等e+c）—3=

,當且僅當h=c時取=

8√3

所以Gs+C)?-32(b+c)+64?G≥0=>Z>+c≥8?∕3或b+c≤

3

所以8+c≥8Gn(b+c)mm=8√3

18.(本題滿分12分)

VV

解：⑴由SN=2S,,+2W得瑞=才+1,

qV1

所以數(shù)列=j?G是以也=L為首項，公差為1的等差數(shù)列

-2"22

合=(+(〃T)=竽，BP?=(2n-l)?2n-

,當〃≥2時，

n1n2,2

??=?-Sn-1=(2π-l)?2--(2n-3)?2-=(2n+l)?2--

1,〃=1

又q=l不滿足上式，所以。加_?_

(2n÷l)?22,n≥2

(2)由(1)知S.=(2"-l)?2"T,

當〃≤2時，bn+l>bni

當3時，bll+i<bn,即4<%<4>“>4>

所以么的最大值為A=—,依題意史<"-'〃+18即z√一2>0,

272727

解得m<-1或m>2.

19.（本題滿分12分）

解：（1）證明：CO,Ar）ADcBO=Z）,

.?.。0，平面48。，ABU平面ABr>,.?.O）"LA5.

χ?.M,E分別為ACBC的中點，

:.ME//AB,:.CDLME.

(2)選①，在圖1所示的AABC中，由tan23=-±=二?駕一

3l-tan2B

解得tanB=2或tanB=-'(舍去).

2

Az)X

設(shè)AD=CD=x,在RfABD中，tan8=----=------=2,

BD3-X

解得X=2,.?.30=1.

以點。為原點，O3,OC,D4分別為x,NZ軸建立如圖所示的坐標系?！?，

P(0,0,0),B(l,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,l,l),E^,l,0j,

則BM=(-1,1,1).

設(shè)N(O,4,0),則EN=-?,tz-l,θ^.

ENLBM,:.ENBM=O,即(―g,a—l,θ)(-1,1,1)=O,解得α=g,

?.當ON=；(即N是Co的靠近。的一個四等分點)時，ENA.BM.

設(shè)平面BMN的一個法向量為“=(x,y,z),且BN=(-l,g,θ),

n-BN=O,-X+Ly=O,

由｛得〈2令X=1,則〃=(1,2,-1)

[〃.*(),[γ+y+z=o,

取平面CBN的一個法向量根=(0,0,1),

m`n1(0,0,1)-(1,2,-1)∣

√l2+22+(-l)26

??.平面BMN與平面CBN的夾角的余弦值為國

6

選②，在圖1所示的OABC中，設(shè)BO=ZlBC，

則Ao=AB+BD=AB+XBC=A3+；l(AC—AB)=(l—；l)A8+；lAC,

211

又?AD=-AB+-AC,由平面向量基本定理知a=一，即30=1.

333

以點。為原點,DB,DC,DA分別為％y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。-DZ

D(0,0,0),B(l,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,l,l),Efp1,0L

貝IJBM=(Tl,1).

設(shè)N(0,4,0),則硒=(—；,a—l,θ].EN上BM,;.ENBM=O,

即(一,,α-l,θ)?(-l,l,l)=O,解得α=/，?',N[°，]，°}

，當DN=L(即N是CD的靠近。的一個四等分點)時，ENlBM.

2

設(shè)平面BMN的一個法向量為“=(x,y,z),且BN=(-l,g,θ),

n-BN=O,-X+Ly=O,

由{得〈2令X=1,則〃=(1,2,-1).

[〃.*(),[γ+y+z=o,

取平面CBN的一個法向量加=(0,0,1),

m`n1(0,0,1)-(1,2,-1)∣

√l2+22+(-l)26

??.平面BMN與平面CBN的夾角的余弦值為?.

6

選③，在圖1所示的.ABC中，設(shè)B0=x(O<x<3),則CD=3-x,

.?ADlBC,ZACB=45,:.A。C為等腰直角三角形，二AD=8=3-

折起后AO_LOC,AZ>_LBO,且BDcZX?=。,

.?.AZ)_L平面Ba),又∕5DC=90,/.Sβcβ=∣%(3-x),

匕-Be=陽’=<(3—x>：x(3—x)=:(χ3-6χ2+9χ),χe(0,3),

??Zo'

令/(x)=，(r-6x2+9x),f(X)=?(?-l)(?-?),

當O<x<l時，∕,(x)>0:當l<χ<3時，∕,(x)<0,

.?.x=8O=l時，三棱錐A-BCO的體積最大.

以點D為原點，DB,DC,DA分別為X,Nz軸建立如圖所示直角坐標系D-xyz,

D(0,0,0),β(l,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,l,l),

?θ),則=(-1,1,1)

設(shè)N(0,α,0),則EN=1-g,a—1,0).

ENIBM,:.EN-BM=0,B∣JI-∣√z-1,0j?(-l,1,1)=O

解得,.-./v[o,?,o],

，當DN=L(即N是CD的靠近。的一個四等分點)時，ENlBM.

2

設(shè)平面AWN的一個法向量為〃=(x,y,z),且BN=-l,?,θ

n-BN=0,-x+Ly=O,..

由得V2，令X=I,則〃=(1,2,-1).

[〃.*(),[γ+y+z=o,

取平面CBN的一個法向量“2=（0,0,1）,

mn1(0,0,1)-(1,2,-1)∣

則cos(m,n)=

√l2+22+(-l)26

平面BMN與平面CBN的夾角的余弦值為

~6~

20.（本題滿分12分）

n,、一1+2+3+4+5+6+7+89_2292573

解Il：(1)X=------------------------------=—,y=--------------

8282

n8—

∑α一元)(力一,)∑>∕τ孫

相關(guān)系數(shù)r=二『，’’V、

2222

Σ(χi-χ)Σ(yi-y)∑X,-8X∑χ-8y

Ni=I/=IYli=I八M√

9573

12041-8×X17271727

「一22≈0.98

204-8X：X730348-8X%，9√42×√7369020.5×85.84

因為y與X的相關(guān)系數(shù)r=0.98,接近1,所以y與X的線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合y與X的

關(guān)系.

n8

Xa-可(K-方^xiyi-9,xy

i=l

(2)b=-~~8~

ΣU-J)2∑^,2-8x2

/=1Z=I

9573

12041-8×?×-

221727

Ql42~Λ41.12

204-8×-

4

?5739

α=y-?χ≈--41.12x?=101.46

22

所以V與X的線性回歸方程為夕=41.12x+101.46

又2022年對應的年份代碼χ=l(),當X=1()時，$=41.12X10+101.46=512.66=513,

所以預測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)為513.

(3)對于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)，不能由(2)所求的線性回歸方程預測，理由如下

(說出一點即可)：

①線性回歸方程具有時效性，不能預測較遠情況；

②全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個數(shù)有可能達到上限，一段時間內(nèi)不再新建；

③受國家政策的影響，可能產(chǎn)生新的生活垃圾無害化處理方式.

21.(本題滿分12分)

解：⑴由ABP是等腰直角三角形，得α=2,B(2,0).

6

.3—“。=不

設(shè)。(Λ0,%),則由PQ=∕QB,得T4

b=τ

2

代入橢圓方程得〃=1,所以橢圓E的方程為三+y2=I.

4-

由幾何關(guān)系可知：d；+d1=|MN∣2,

2

設(shè)N(X,y),則?+y2=]且y∈[T,l]

.-.IMNI2=X2+(?-I)2=-3y2-2y+5

于是當y=-；時，IMVi2〃郎=—

d；+d；的最大值是τ.

⑵證明：設(shè)點E的坐標為(x∣,yj,點F的坐標為(打為了假設(shè)存在X軸上的定點G(a,0),使得

AEGO=AFGH,即∕?G+%FG=O

由題意可知直線EF的斜率存在，設(shè)直線EF的方程為X=中y+4.

2

聯(lián)立方程,4+>—消去X得，(根2+4)丁+8咫+12=(),

X=my+

8m

X+%

m2+4

Δ=Mtn2-48(∕M2+4)>O,rrr>12,且<

12

m2+4

yy

直線EG的斜率為一口l一，直線FG的斜率為一r"2-