新教材一輪復(fù)習(xí)人教A版第2章第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性

——\必備知識(shí)?回顧教材重“四基”廣

一'教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象

一般地，設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?，如果Vx∈∕,都

關(guān)于y軸對(duì)

偶函數(shù)有一九∈/,且〃一幻=〃幻,那么函數(shù)/Q)就叫做偶

稱

函數(shù)

-般地，設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?,如果Vx∈∕,都

關(guān)于坐標(biāo)原

奇函數(shù)有一Xd/,且f(—X)=—f(x),那么函數(shù)/(X)就叫做

息對(duì)稱

奇函數(shù)

微提醒???

1.函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.

2.若∕α)≠o,則奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式如下：

f(--X)

(Iy?(-χ)=∕(x)%(—X)-∕(X)=O0'2=IV了(X)為偶函數(shù);

(2?(_*)=_/@)%(_》)+/。)=0吟K=-1Wa)為奇函數(shù).

3.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論

(1)如果函數(shù)/(x)是奇函數(shù)且在X=O處有定義，那么一定有/(0)=0：如果函

數(shù)/(x)是偶函數(shù)，那么/(x)=∕(即.

(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)

間上具有相反的單調(diào)性.

2.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?。，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,

使得對(duì)每一個(gè)X?。都有x+TW。，且f(x+D=f(x),那么函數(shù)/(x)就叫做周期

函數(shù).非零常數(shù)T就叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個(gè)量小的正數(shù)，那

么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做/㈤的最小正周期(若不特別說(shuō)明，T一般都是指最小正

周期).

微提醒■■■

周期函數(shù)定義的實(shí)質(zhì)

存在一個(gè)非零常數(shù)T,使/(x+7)=∕(x)為恒等式，即自變量X每增加一個(gè)T

后，函數(shù)值就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)一次.

3.函數(shù)周期性的常用結(jié)論

對(duì)/Q)定義域內(nèi)任一自變量X，

(1)若/(x+a)=—/(x),則T=24(4>0).

(2)若/(x+a)=J^√則T=2”(α>0).

⑶若/(x+a)=-則T=2α(α>0).

4.函數(shù)圖象的對(duì)稱性

(1)若函數(shù)y=∕(x+α)是偶函數(shù)，即/(a—x)=∕(α+x),則函數(shù)y=∕(x)的圖象

關(guān)于直線x=α對(duì)稱.

(2)若對(duì)于R上的任意X都有/(2α—尤)=〃x)或/(—x)=∕(2α+x),則y=f(x}

的圖象關(guān)于直線尤=α對(duì)稱.

(3)若函數(shù)y=∕(x+b)是奇函數(shù)，即/(—x+∕0+∕(x+A)=0,則函數(shù)y=∕(x)

的圖象關(guān)于點(diǎn)3,0)中心對(duì)稱.

二'基本技能?思想?活動(dòng)體驗(yàn)

1.判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“X”.

(1)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.(J)

(2)若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，則一定有/(0)=0.(×)

(3)若函數(shù)y=∕(x+α)是偶函數(shù)，則函數(shù)y="x)的圖象關(guān)于直線x=α對(duì)稱.

(√)

(4)若函數(shù)y=∕(x+/?)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)3,0)中心對(duì)稱.

(√)

2.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

A.y=fsinxB.y=Aosx

C.y=∣lnx?D.y=2~x

B解析：A中函數(shù)為奇函數(shù)，B中函數(shù)為偶函數(shù)，C與D中函數(shù)均為非奇

非偶函數(shù).故選B.

3.已知/(九)滿足/(x+2)=∕(x).當(dāng)x∈［0,1］時(shí)，/(x)=2?則/(I)等于()

A.gB.?∣2C.乎D.1

B解析：由/(x+2)=∕(x),知函數(shù)/(x)的周期T=2,所以/(D=∕(3)=

22=^?/2.

4.已知f(x)=ax2+bx是定義在［。-1,2加上的偶函數(shù)，那么a+b的值是

()

A.一；B?gC.D.-g

B解析：因?yàn)?(x)=0x2+bx是定義在1,2。］上的偶函數(shù)，所以。-1+

2(7=0,所以α=g.又/(—x)=∕(x),所以〃=0,所以α+〃=g.

已知定義在上的函數(shù)滿足一去，當(dāng)∈］時(shí)，

5.R/(x)/(x+2)=x(0,2/(x)

JW

=2Λ-1,則/(9)=.

1解析：因?yàn)?(x+2)=一去，所以∕α+4)=∏(x+2)+2]=∕(x),得T=

4,/(9)=/(1)=1.

\關(guān)鍵能力?研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”/

考點(diǎn)1函數(shù)奇偶性的判斷——基礎(chǔ)性

「多維訓(xùn)練」

X___~Jζ

1.(多選題)設(shè)函數(shù)/㈤=匚手一，則下列結(jié)論正確的是()

A.If(X)I是偶函數(shù)

B.—/(x)是奇函數(shù)

C./(x),(x)∣是奇函數(shù)

D./(國(guó)V(X)是偶函數(shù)

e%—erQ~X—Qx

ABC解析：因?yàn)?(%)=—2—,所以/(一%)=-2-=~f(x).所以/(X)

是奇函數(shù),所以，(尤)|是偶函數(shù)，一/㈤是奇函數(shù).因?yàn)?(I-XI)=√(∣χ∣),所以f(∣χ∣)

是偶函數(shù)，所以/(∣x∣)"x)是奇函數(shù).故選ABC.

—∣-Xx<0

2.已知函數(shù)/(x)=二)則該函數(shù)的奇偶性是_________.

、XrIXi尢>0,

奇函數(shù)解析：當(dāng)x>0時(shí)，-χ<0,所以/(一χ)=x*2-r=-(-χ2+x)=-∕α);

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,/(—x)=—x2-χ=-(x2+x)=-∕(x),所以/(九)是奇函數(shù).

解題通法

判斷函數(shù)奇偶性的常用方法

(1)定義法，即根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義來(lái)判斷.

(2)圖象法，即利用奇、偶函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)判斷；

(3)性質(zhì)法，即利用在公共定義域內(nèi)奇函數(shù)、偶函數(shù)的和、差、積的奇偶性

來(lái)判斷.

考點(diǎn)2函數(shù)奇偶性的簡(jiǎn)單應(yīng)用——基礎(chǔ)性

「多維訓(xùn)練」

1.若函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤20時(shí)，/(x)=log2(x+2)-1,

則/(—6)=()

A.2B.4C.-2D.-4

C解析：根據(jù)題意得/(—6)=—/(6)=l—log2(6+2)=l—3=-2.

2.(2019?全國(guó)卷II)設(shè)/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，/(X)=y—l,則當(dāng)x<0

時(shí)，/(x)=()

A.e^?v-lB.e^-t+lC.~e~x-↑D.-e~x+↑

D解析：當(dāng)x<0時(shí)，一口20時(shí)，/(X)=e'—l,所以/(一χ)=er-l.又因

為/(x)為奇函數(shù)，所以/(X)=—/"(—》)=—e-?v+l.

3.若函數(shù)/(x)=xln(x+1α+x2)為偶函數(shù),則α=.

I解析：令g(x)=?n(x+y∣a+x2),若/(x)=x?g(x)為偶函數(shù)，則必有g(shù)(x)為

奇函數(shù)，所以g(0)=InW=0,所以α=l.經(jīng)驗(yàn)證，α=l滿足題意.

解題通法

應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的問(wèn)題及解題方法

(1)求函數(shù)值

將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.

(2)求解析式

先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或利用奇

偶性構(gòu)造關(guān)于/(x)的方程(組)，從而得到/(Λ)的解析式.

(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值

利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)/(分勺X-X)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由

系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值.

考點(diǎn)3函數(shù)的周期性——綜合性

「典例引領(lǐng)」

例?！?1)設(shè)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)X,恒有/α+4)=/

(x).當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，/(x)=2x—f,則/(2023)=.

-1解析：因?yàn)?(x+4)=∕(九)，所以函數(shù)/(x)的周期T=4.又/(1)=1,所

以/(2023)=∕(-l+4×506)=∕(-l)=-∕(l)=-l.

(2)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù).若對(duì)于x20,都有/(x+2)=一￡;,

且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，/(x)=log2(x+l),則/(一2019)+/(2021)的值為.

0解析：當(dāng)XeO時(shí)J(X+2)=一去，所以/(x+4)=∕(x),即4是/(x)(XeO)

的一個(gè)周期.所以/(一2019)=/(2019)=/(3)=-R=—1,/(2021)=/(1)=

log22=l,所以/(-2019)+/(2021)=0.

同源異考/

1.若本例⑴中的條件不變，則/(x)(χW[2,4])的解析式是.

/(X)=X2-6X+8解析：當(dāng)x∈[-2,0]時(shí)，一χ∈[0,2].由已知得/(一χ)=2(一

x)一(—x)2=-2x—X2.又/(x)是奇函數(shù)，所以/(—X)=—/(x)=-2x—%2.所以/(x)

=f+2x.又當(dāng)尤∈[2,4]時(shí)，χ-4∈[-2,0],所以/(X-4)=(X-4)2+2(X-4).又/(X)

是周期為4的周期函數(shù)，所以/(x)=f(X-4)=(Λ-4)2+2(Λ-4)=√-6XX∈[2,4]

時(shí)，/(x)=x2-6x+8.

7U+2)=-τ?w變?yōu)椤?a+2)=—/(x)”，

2.若將本例(2)中則/(一2

019)+/(2021)=.

0解析：由/(x+2)=-∕(x)可知T=4,所以/(一2019)=—1,/(2021)=1,

所以/(一2019)+/(2021)=0.

解題通法

函數(shù)周期性有關(guān)問(wèn)題的求解策略

(1)求解與函數(shù)的周期性有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函

數(shù)的周期.

(2)周期函數(shù)的圖象具有周期性，如果發(fā)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)的圖象具有兩個(gè)對(duì)稱性

(注意：對(duì)稱中心在平行于X軸的直線上，對(duì)稱軸平行于y軸)，那么這個(gè)函數(shù)一

定具有周期性.

「多維訓(xùn)練J

1.已知函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且周期為4,若/(-1)=2,則/(2021)

=()

A.2B.0C.-2D.-4

C解析：因?yàn)楹瘮?shù)/Q)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且周期為4,所以/(x)為奇

函數(shù)，所以/(2021)=/(505)<4+1)=/(1)=—/(-1)=一2.故選C.

2.設(shè)定義在R上的函數(shù)/(X)同時(shí)滿足以下條件：

◎(*)+/(—九)=0；劭(X)=/。+2)；③當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)=2?Jl.

則/?)+∕(D+/(1)+/⑵+/(D=------------

√2-l解析：依題意知函數(shù)/(x)為奇函數(shù)且周期為2,則/(1)+/(—1)=0,

/(-1)=/(1),即/⑴=0?

所以f(∣)+∕(D+/便)+/(2)+/修)

=∕?)+0+∕H)+∕(0)+∕?)

=f?-?&+/(。)+/a

=/8+/(0)

?

=22-1÷2O-1=√2-1.

考點(diǎn)4函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用——應(yīng)用性

「典例引領(lǐng)」

考向1函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性綜合

例g/已知奇函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若α=g(-log25.1),b

=g(2),c=g(3),則α,b,C的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

C解析：易知g(x)=好'Q)在R上為偶函數(shù)，

因?yàn)槠婧瘮?shù)/Q)在R上單調(diào)遞增，且/(0)=0?

所以g(九)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又3>log25.1>2>2,且α=g(Tog25.1)=g(log25.1),

所以g(3)>g(log25.1)>g(2),即c>a>b.

考向2函數(shù)奇偶性與周期性的綜合

例目，定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x+3)=∕(x).若/(2)>1,/(7)=α,則

實(shí)數(shù)α的取值范圍為()

A.(—8,-3)B.(3,+∞)

C.(-8,-1)D.(1,+∞)

D解析：因?yàn)?(x+3)=∕(x),所以/(x)是定義在R上的以3為周期的函數(shù)，

所以/(7)=/(7—9)=/(一2).又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是偶函數(shù)，所以/(-2)=/(2),所

以/(7)=∕(2)>1,所以a>l,即αW(l,+∞).故選D?

考向3函數(shù)單調(diào)性'奇偶性與周期性的綜合

例0定義在R上的偶函數(shù)/㈤滿足f(