利用導數(shù)研究函數(shù)的最值

利用導數(shù)研究函數(shù)的最值導數(shù)基本概念與性質(zhì)一階導數(shù)判斷函數(shù)最值方法二階導數(shù)判斷函數(shù)最值方法多元函數(shù)最值問題求解方法約束條件下的最值問題求解方法總結(jié)與拓展contents目錄01導數(shù)基本概念與性質(zhì)VS設函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量$x$在$x_0$處取得增量$Deltax$（點$x_0+Deltax$仍在該鄰域內(nèi)）時，相應地函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$與$Deltax$之比當$Deltaxto0$時極限存在，則稱函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處可導，并稱這個極限為函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處的導數(shù)，記作$f'(x_0)$。幾何意義函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處的導數(shù)$f'(x_0)$在幾何上表示曲線$y=f(x)$在點$(x_0,f(x_0))$處的切線的斜率。導數(shù)定義導數(shù)定義及幾何意義三角函數(shù)$(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx,(tanx)'=sec^2x$對數(shù)函數(shù)$(lnx)'=frac{1}{x}$指數(shù)函數(shù)$(e^x)'=e^x$常數(shù)函數(shù)$(C)'=0$冪函數(shù)$(x^n)'=nx^{n-1}$常見函數(shù)導數(shù)公式如果函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)可導，且$f'(x)>0$，則函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)單調(diào)增加。如果函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)可導，且$f'(x)<0$，則函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)單調(diào)減少。如果函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)可導，且$f'(x)=0$，則稱點$x_0inI$為函數(shù)的駐點。駐點可能是極值點、拐點或平凡點（即既不是極值點也不是拐點的點）。導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關系02一階導數(shù)判斷函數(shù)最值方法一階導數(shù)等于零的點為臨界點一階導數(shù)等于零的點稱為臨界點，可能是函數(shù)的極值點或拐點。在臨界點處，函數(shù)可能取得最大值、最小值或者既不是最大值也不是最小值。根據(jù)一階導數(shù)在臨界點兩側(cè)的符號變化，可將臨界點分為三類：極大值點、極小值點和拐點。若一階導數(shù)在臨界點左側(cè)由正變負，則臨界點為極大值點；若一階導數(shù)在臨界點右側(cè)由負變正，則臨界點為極小值點；若一階導數(shù)在臨界點兩側(cè)符號相同，則臨界點為拐點。臨界點分類與判斷依據(jù)01例如，對于函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$，求其一階導數(shù)$f'(x)=3x^2-6x$。02令$f'(x)=0$，解得臨界點$x=0$和$x=2$。03分析$f'(x)$在臨界點兩側(cè)的符號變化，可知$x=0$為極大值點，$x=2$為極小值點。04因此，函數(shù)$f(x)$在$x=0$處取得極大值$f(0)=4$，在$x=2$處取得極小值$f(2)=0$。舉例分析一階導數(shù)判斷最值過程03二階導數(shù)判斷函數(shù)最值方法函數(shù)f(x)的二階導數(shù)是指其一階導數(shù)f'(x)的導數(shù)，記為f''(x)或d^2y/dx^2。二階導數(shù)定義若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)二階可導，則其二階導數(shù)反映了函數(shù)圖像的凹凸性。二階導數(shù)的性質(zhì)二階導數(shù)定義及性質(zhì)二階導數(shù)大于零為凹函數(shù)，小于零為凸函數(shù)凹函數(shù)若函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)二階可導，且f''(x)>0，則稱f(x)在該區(qū)間內(nèi)為凹函數(shù)。凹函數(shù)的圖像呈現(xiàn)“上凸”的形狀。凸函數(shù)若函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)二階可導，且f''(x)<0，則稱f(x)在該區(qū)間內(nèi)為凸函數(shù)。凸函數(shù)的圖像呈現(xiàn)“下凹”的形狀。舉例分析二階導數(shù)判斷最值過程032.然后求二階導數(shù)f''(x)=6x-6。01分析過程021.首先求一階導數(shù)f'(x)=3x^2-6x。舉例分析二階導數(shù)判斷最值過程舉例分析二階導數(shù)判斷最值過程3.解方程f'(x)=0得到x=0或x=2，這兩個點是函數(shù)的潛在極值點。4.利用二階導數(shù)判斷極值點的性質(zhì)：當x<1時，f''(x)<0，函數(shù)為凸函數(shù)；當x>1時，f''(x)>0，函數(shù)為凹函數(shù)。因此，x=1是函數(shù)的拐點。5.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和二階導數(shù)的性質(zhì)，可以確定x=0處取得極大值，x=2處取得極小值。04多元函數(shù)最值問題求解方法多元函數(shù)中，固定其他變量的值，對某一變量求導數(shù)，所得結(jié)果即為該變量的偏導數(shù)。它反映了函數(shù)在該變量方向上的變化率。偏導數(shù)多元函數(shù)在某一點的全微分，是該函數(shù)在該點附近因變量的全增量與自變量全增量之間的線性主部。全微分反映了函數(shù)在各變量方向上的綜合變化。全微分多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分概念極值條件：多元函數(shù)在某點取得極值的必要條件是該點的偏導數(shù)等于零。此外，還需滿足一些充分條件，如二階偏導數(shù)矩陣正定或負定等。求解步驟1.求出函數(shù)的偏導數(shù)，并令其為零，得到可能的極值點。2.利用充分條件判斷極值點的性質(zhì)（極大值、極小值或鞍點）。3.比較各極值點的函數(shù)值，確定最值點及最值。0102030405多元函數(shù)極值條件及求解步驟舉例求二元函數(shù)$f(x,y)=x^2+y^2$在單位圓$x^2+y^2=1$上的最大值和最小值。分析首先求出函數(shù)的偏導數(shù)$f_x=2x$和$f_y=2y$，并令其為零得到可能的極值點$(0,0)$。然后利用充分條件判斷該點為鞍點，不是極值點。最后，由于單位圓上的點滿足$x^2+y^2=1$，因此$f(x,y)=1$，即函數(shù)在單位圓上的最大值為1，最小值為0。舉例分析多元函數(shù)最值問題求解過程05約束條件下的最值問題求解方法拉格朗日乘數(shù)法原理通過引入拉格朗日乘子，將約束條件與目標函數(shù)結(jié)合成一個新的函數(shù)（拉格朗日函數(shù)），通過對拉格朗日函數(shù)求導并令其等于零，得到臨界點，進而求得最值。適用條件約束條件為等式約束，且目標函數(shù)和約束條件都是連續(xù)可微的。拉格朗日乘數(shù)法原理及適用條件根據(jù)目標函數(shù)和約束條件，構(gòu)建拉格朗日函數(shù)$L(x,lambda)=f(x)+lambdag(x)$，其中$f(x)$是目標函數(shù)，$g(x)=0$是約束條件，$lambda$是拉格朗日乘子。對拉格朗日函數(shù)求導，得到$nablaL(x,lambda)=nablaf(x)+lambdanablag(x)=0$和$g(x)=0$，解這兩個方程組得到臨界點$(x^*,lambda^*)$。構(gòu)建拉格朗日函數(shù)求解臨界點構(gòu)建拉格朗日函數(shù)并求解臨界點123求目標函數(shù)$f(x,y)=x^2+y^2$在約束條件$g(x,y)=x+y-1=0$下的最小值。舉例$L(x,y,lambda)=x^2+y^2+lambda(x+y-1)$。構(gòu)建拉格朗日函數(shù)對$L(x,y,lambda)$求導，得到方程組求解臨界點舉例分析約束條件下最值問題求解過程123$begin{cases}2x+lambda=02y+lambda=0舉例分析約束條件下最值問題求解過程輸入標題02010403舉例分析約束條件下最值問題求解過程x+y-1=0判斷最值：由于$f(x,y)$是凸函數(shù)，且在臨界點處滿足約束條件，因此$f(frac{1}{2},frac{1}{2})=frac{1}{2}$是最小值。解得臨界點$(x^*,y^*,lambda^*)=(frac{1}{2},frac{1}{2},-1)$。end{cases}$06總結(jié)與拓展導數(shù)的定義及計算方法通過極限的概念引入導數(shù)，掌握導數(shù)的基本計算公式和運算法則。導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系理解導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。利用導數(shù)求函數(shù)的最值學會利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值，理解最值存在的條件?；仡櫛敬握n程重點內(nèi)容030201經(jīng)濟學在經(jīng)濟學中，導數(shù)可以用來研究成本、收益、利潤等經(jīng)濟量的變化率，為經(jīng)濟決策提供數(shù)學依據(jù)。物理學在物理學中，導數(shù)可以表示速度、加速度等物理量的變化率，是解決物理問題的重要工具。工程學在工